2022年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)配套練習(xí) 導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用（基礎(chǔ)）（解析版）

4.6導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用(基礎(chǔ))

一、單選題

1.(2021?西城區(qū)?北京育才學(xué)校高三月考)已知函數(shù)/(x)=xlnx-?x2有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范

圍是()

A.(―℃,O)B.^0,—jC.(0,1)D.(0,+<x>)

【答案】B

【解析】由題意/'(x)=lnx+l—2奴=lnx-2or+l=0有兩個(gè)不等實(shí)根，2。=生出，

X

.../、lnx+1，/、l-(lnx+l)Inx

設(shè)g(x)=-----，g(x)=-----'——=r，

XXX

當(dāng)0cx<1時(shí)，g'(x)>0,g(x)遞增，當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)<0,g(x)遞減，

x=l時(shí)，g⑴=1為極大值也是最大值，

Xf+OO時(shí)，g(x)->0,且g(x)>o,當(dāng)x->0時(shí)，g(x)f-°o,

所以當(dāng)0<2"1,即0<"(時(shí)，直線y=2a與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即2a=皿擔(dān)有兩個(gè)不等實(shí)根.

2X

故選：B.

2.(2021?山西長(zhǎng)治市?(文))函數(shù)f(x)=二一1+lnx,對(duì)Vx>0,F(x)20成立，則實(shí)數(shù)d的取值范圍

2x

是()

A.(—8,2]B.[2,+°°)C.(—8,1]D.[1,+°°)

【答案】B

【解析】“X)定義域是(。,+8),7*)=—4+1=與￡,

2廠x2x"

若aVO,則尸(x)>0在(0,+8)上恒成立，〃x)單調(diào)遞增，/(1)=^-1<0,不合題意；

若〃>0,則0<x<:時(shí)，r(x)<0,〃x)遞減，x>@時(shí)，f'(x)>0,/(x)遞增，

22

所以x=￡時(shí)，fM取得極小值也是最小值/(x)min=嗎)=嗚，

由題意ln￡2O,解得a22.

故選：B.

3.(2021?貴州中央民族大學(xué)附屬中學(xué)貴陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三月考(理))函數(shù)f(x)=*isinx的部分圖象大致

為()

【答案】A

f(-x)=sin(-x)=-eMsinx=-f(x),所以/(X)是奇函數(shù)，排除D；

當(dāng)xNO時(shí)，f(x)=exsinx,f'M=(sinx+cosx)=>/2exsinfx+j.

由/圖＞o,可排除c；r圖＞0,排除B

故選：A

4.（2021?廣東高三月考）若關(guān)于x的不等式2sinx-xN?x,對(duì)xe[0,句恒成立,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

【答案】A

【解析】當(dāng)x=0時(shí)，aaR上不等式恒成立，符合題設(shè),

w小,2sinx…一生一人—、2sinx〔.、2(xcosx-sinx)

當(dāng)工￡(0,乃］時(shí)，a<----------1怛成立，令/(x)=-----------1,則rnl/(/幻z==-----；-----二

XXX

令g(x)=xcosx-sinx,則夕")=—xsinx<0,即g0)遞減,

，g(x)<g(O)=O,即/'(x)<0,故/(x)遞減，則萬(wàn))=-l,

?*Cl<-1.

綜上，”的取值范圍

故選：A

5.(2021?全國(guó))設(shè)函數(shù)F(x)=；x—In必則函數(shù)y=F(x)()

A.在區(qū)間(Ll),(1,e)內(nèi)均有零點(diǎn)

e

B.在區(qū)間d,l),(1,e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)

e

C.在區(qū)間d,1)內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)

e

D.在區(qū)間d,l)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點(diǎn)

e

【答案】D

【解析】當(dāng)xC(Le)時(shí)，函數(shù)圖象連續(xù)不斷，且f'(*)=!—，=手〈0,所以函數(shù)/1(?在(1,e)上單

e3x3xe

調(diào)遞減.

又/d)=，-+l〉0,f(1)=^>0,f(e)e—1<0,所以函數(shù)f(x)有唯一的零點(diǎn)在區(qū)間(1,e)內(nèi).

e3e33

故選：D

6.(2021?重慶市兩江中學(xué)校)直線>與函數(shù)y=d—3x的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為()

A.(-2,2)B.[—2,2]C.[2,+00)D.(-°0,—2]

【答案】A

【解析】因?yàn)閥=*3-3x,

所以y'=3f_3=3(x-l)(x+l),

4"/=3(x-l)(x+l)=0,解得x=l或x=-l,

由y'>0,解得x>l或xvT,

由y'<o,解得

所以好丁7》在(f,-1)上遞增，在(fl)遞減，在。，+8)遞增，

當(dāng)了=一1時(shí)-，y=V-3x取得極大值且為(T)3-3X(-1)=2,

當(dāng)x=l時(shí)，丁=/一3工取得極小值且為13一3又1=一2,

因?yàn)橹本€丫=。與函數(shù)y=V-3x的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-2,2),

故選：A

7.(2021?甘肅高三開學(xué)考試(理))設(shè)a=lng.b=2,c=1ln^,則()

33228

A.c>a>bB.a>c>bC.c>b>aD.b>c>a

【答案】A

【解析】設(shè)函數(shù)〃x)=g(x2-l)-lnx,

12_1

令ra)=—=三r二i令r(x)〈o,得o<x<i；令ra)>o,得x>i.

XX

則/(x"/(l)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立，所以《|)>0,

BP21X/l9i6"、Tln43>()，即嗎4〉/7即

因?yàn)椤?」111">,111匚=111±=4,即c>a,

28293

所以c>a>/?.

故選：A

8.(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))設(shè)〃x)=M(x-1)|,-5+。=0在(1,6]上有3個(gè)根，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是()

【答案】A

【解析】由/(x)-ar+a=0得a(x-l)=|ln(x-l)|,而xe(l,6],

令x-l=fw(0,5］,于是得。=皿1

令g(f)=3(0<f45],

當(dāng)0<f<l時(shí)，g'(f)=-=^<0,即g(r)在(0,1]上單調(diào)遞減,

當(dāng)l<f<5時(shí),g'(f)=與絲，于是得g⑺在口,句上單調(diào)遞增,在［e,5］上單調(diào)遞減，f=e時(shí)，g⑴取得極大

值g(e)=L

e

作出函數(shù)g(f)=3在(0<區(qū)5］」二的圖象及直線》=a,如圖,

t

方程〃x)-?+a=0在(1,6］上有3個(gè)根，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)g(f)=3(0<T5］的圖象與直線y=a有三個(gè)公共

點(diǎn)，

觀察圖象知，函數(shù)g?)=四"(0<f45］的圖象與直線>>=a有三個(gè)公共點(diǎn)，

t

當(dāng)且僅當(dāng)g(5)Wa<g(e),即當(dāng)

5e

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是［塔,3.

5e

故選：A

9.(2021?山東)已知函數(shù)/(x)=x+l+aeT有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

【答案】B

【解析】由題意，函數(shù)/(x)=x+*aeT的定義域?yàn)镽,

令/(x)=O,即x+l+ae-*=O,即。=(一*一1>",

設(shè)g(x)=(-xT)，e”,可得/(力=-，+(-工一1〉/=(一犬一2>，,

當(dāng)x<-2時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x>-2時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)Xf7O時(shí)，g(x)-O,當(dāng)x―時(shí)，g(x)fYO,

當(dāng)xf-2時(shí):可得g(-2)=W，作出簡(jiǎn)圖，如圖所示,

要使得函數(shù)/(x)=x+l+ae-'有兩個(gè)零點(diǎn)，

只需V=a與g(x)=(—x—l>e'的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0<。<二，

e

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,3).

故選：B.

10.(2021?廣西崇左高中高二月考(文))已知函數(shù)〃x)=e*-dx(xeR),則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()

①當(dāng)。=1時(shí)，/(X)在(Y,0)上單調(diào)遞增：

②當(dāng)a=0時(shí)，〃x)-lnxN3在x￡(0,+oo)上恒成立；

③對(duì)任意〃<0，/(x)在(7,0)上一定存在零點(diǎn)；

④存在a>0,f(x)有唯一極小值.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】當(dāng)”=1時(shí)，f(x)=e'-x,_f(x)=e"-l,當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，尸(力<0,”力單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；

當(dāng)a=0,〃x)=e',當(dāng)x=l時(shí)，不等式為eN3,顯然不成立，故②錯(cuò)誤；

當(dāng)〃<0時(shí)，/(司="—5在(10,0)上單調(diào)遞增，/用=第一1<6°-1=0,〃0)=1>0,所以“X)在go]

上有零點(diǎn)，故③正確：

當(dāng)a>0時(shí)，f\x)=ex-a,令/'(x)=0,得x=lna,所以在(—Jna)上單調(diào)遞減，在(lna,y)單調(diào)

遞增，所以有唯一極小值/(lna)=a—alna,故④正確.

故選:B.

二、多選題

11.(2021?全國(guó))曲線y=x2—1與曲線y=lnx()

A.在點(diǎn)(1,0)處相交B.在點(diǎn)(1,0)處相切

C.存在相互平行的切線D.有兩個(gè)交點(diǎn)

【答案】ACD

【解析】令/(x)=x2-l,g(x)=lnx,

由〃l)=g⑴=0,所以兩函數(shù)在點(diǎn)(1,。)處相交，所以A正確；

又由f'(x)=2x,g'(x)=J可得/'⑴=2,g'⑴=1,所以B不正確；

由F'(x)=2xeR,g,(x)=^e(0,+oo),存在l'(l)=g'(g),

故曲線y=W-l與曲線y=lnx存在互相平行的切線，所以C正確.

令F(x)=/(x)-g(x)=x2-l-lnx,x>0,可得F'(x)=2x--,

當(dāng)xe(0,岑)時(shí)，F(xiàn)'(x)<0；當(dāng)xe(?,+8)時(shí)，F(xiàn)(x)>0,

所以尸(x)在,日)上單調(diào)遞減，在(日,+8)上單調(diào)遞增，

又由F［等)=_g+gln2<0,尸())>0，尸(1)=0，F(xiàn)(e)=e2-2>0,

故戶(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即曲線廣/_1與^=111》有兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

故選：ACD

12.(2021?河北高三月考)函數(shù)〃x)="的大致圖象可能是()

X+1

【答案】ABD

【解析】當(dāng)a=0時(shí)，/（0）=1,令y=/+i,易知，其在（F,0）上為減函數(shù)，（0,+8）上為增函數(shù)，所以

=在（-00,0）上為增函數(shù)，在（0,+8）上為減函數(shù)，故D正確；

、-ax'-2x+a

當(dāng)。<0時(shí)，/（O）=1,J（町=-八］+1:-,令y=-ax2-2x+a，當(dāng)x<0R.x->0時(shí)，y<0,當(dāng)x>0Flx—>0

時(shí)，》<0,所以f（x）<0,故A正確;

_■z、_cix~_2x+ci

當(dāng)。＞0時(shí)，*0)=1,(八|/，令y=-五-2_￥+。，當(dāng)》<0且》一>0時(shí)，y>0,當(dāng)x>0且X—>0

時(shí)，y>0,所以f（x）>0，故B正確:

綜上，“X）的圖象不可能為C.

故選:ABD.

13.（2021?福建泉州五中高二期中）已知函數(shù)/（x）=2,下列說(shuō)法正確的有（）

e

A.&

B./⑶恰有一個(gè)零點(diǎn)

C.f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)

D./（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】???/（x）=a；./'（x）=^

所以當(dāng)X<1時(shí),/（x）>oj（x）單調(diào)遞增;當(dāng)、>1時(shí)，，'（x）<o,ra）單調(diào)遞減;

因此當(dāng)X=1時(shí)，/（X）取最大值，

&>1,根據(jù)單調(diào)性可知，/（V^）</（1）,即當(dāng)<go6<e^TA正確；

當(dāng)x=l時(shí)，/（x）取極大值，無(wú)極小值，D正確：

當(dāng)x>0時(shí)，/（x）>0;當(dāng)x<0時(shí)，由單調(diào)遞增得/（x）</（0）=0；

因此“X)只有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確，C錯(cuò)誤.

故選:ABD

14.(2021?河北高二期中)已知函數(shù)〃x)=x2+sinx,則下列說(shuō)法正確的是()

A.f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)

B.設(shè)g(x)=/(力?〃-x),則g(x)與，(x)的單調(diào)性不同

C./(*)有3個(gè)零點(diǎn)

7T

D.f(x)在0,-上單調(diào)遞增

【答案】ABD

【解析】由題知，f'(x)=2x+cosx,/"(x)=2-sinx>0,所以/'(x)=2x+cosx在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x=0

時(shí)，八0)=1>0；當(dāng)時(shí)，《一￡|=-l+cosg<0,所以存在使得尸(x0)=O,所以函

數(shù)/(x)=x2+sinx在(",為)上單調(diào)遞減，在伍,內(nèi))上單調(diào)遞增，所以f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，故A正

確；

因?yàn)?(一工)=工2-sinx,所以g(x)=/(x)-/(-x)=x4-sin2x,JjlfW=4x3-2sinxcosx=4x3-sin2x,所

以g<0)=0,故g(x)的一個(gè)極值點(diǎn)為0,所以g。)與/⑺的單調(diào)性不相同，故B正確；

因?yàn)?(X)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)%,x()e(-g,o),且/(0)=0,所以/(X)在(YO,天)和伍,+00)上各有一個(gè)零

點(diǎn)，所以Ax)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

TT1T

因?yàn)閥=fVy=sinx在0,-上都是單調(diào)遞增，所以/(xXV+sinx在0,-上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：ABD.

15.(2020?福建高三期中)已知函數(shù)/(x)=xlnx,給出下面四個(gè)命題：()

①函數(shù)"X)的最小值為」；

e

②函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；

③函數(shù)“X)的單調(diào)減區(qū)間為(—，］；

④若方程/(力="有兩解，則」<加<0.

e

則其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是()

A.@B.③C.②D.①

【答案】BC

【解析】函數(shù)f(x)=xlnx的定義域?yàn)?O,+8),r(x)=lnx+l.

令尸(x)=0,解得：x=~,列表得：

e

1IT

X

e

f\x)=lnx+1-0+

]_

f(x)=x\nx單減單增

e

作出/(X)=xlnX的圖像如圖示：

所以f(x)在(0,j上單減，在上單增，且/(5=-：最小，無(wú)最大值，

/(1)=0

對(duì)于①：函數(shù)〃x)的最小值為一5故①正確；

對(duì)于②：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(o,j,而不是,嗎故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，從圖像可以看出：若方程/(力=加有兩解，則〈根＜0.故④正確.

e

故選：BC

16.(2021?湖南高二期末)給出下列四個(gè)命題：①〃力=1-3/是增函數(shù)，無(wú)極值；②/(x)=d-3x2在

(YO,2)上有最大值；③(cosx)'=sinx;④函數(shù)〃x)=lnx+dx存在與直線2x-y=0平行的切線，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是(-，2).其中正確命題的序號(hào)為()

A.①B.②C.③D.④

【答案】BD

【解析】對(duì)于①中，函數(shù)〃x)=d—3/,可得r(x)=3d—6x=3x(x—2),

當(dāng)x<0或x>2時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<2時(shí)，r(x)<0,“X)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)“X)在(3,0),(2,+8)單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,2)單調(diào)遞減，所以①不正確；

對(duì)于②中，由①知，函數(shù)在(田,0)單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,2)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以②正確；

對(duì)于③中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，可得(cosx)'=-sinx，所以③不正確；

對(duì)于④中，函數(shù)/(x)=lnx+ox,可得r(x)=g+a,

若存在與直線2x-y=0平行的切線，可得/'(x)=2有解，即2+。=2在(0,+8)上有解，

X

即■在(0,+8)上有解，又由2」<2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,2),所以④正確.

xx

故選：BD.

三、填空題

fx+3x<z1

17.(2021?全國(guó))已知,f(x)=2二.、，，則使/(x)-"-mVO恒成立的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

[—x+2x+3,xNl

【答案】2-8)

【解析】當(dāng)X<1時(shí)，/(X)—，一加40恒成立，即加ZX+3—/恒成立.

令g(x)=x+3-e*(%<1),貝ijg[x)=l-e”,

當(dāng)0<xvl時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x<0時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以g(x)在x=0處取得極大值，也為最大值，且最大值為2,則有機(jī)22①.

當(dāng)xNl時(shí)，/(對(duì)一"一加40恒成立，即加之一/+2》+3—，恒成立.

^?/?(尤)=—廠+21+3—e*(x21),則〃'(x)=—2x+2—e*,

當(dāng)xNl時(shí),"(x)<0,所以人(力在口,欣)上單調(diào)遞減,

所以〃(x)4/z⑴=4-e,則有機(jī)24-e②,

由①②，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2,+8）.

故答案為：[2,+8）.

18.（2021?湖北黃石市?高三開學(xué)考試）已知加>0,若存在實(shí)數(shù)xe[l,+8）使不等式加2皿“-log拒xwo成

立，則皿的最大值為.

【答案】3

e\n2

【解析】依題意〃。0,存在實(shí)數(shù)xe[l,+8）使不等式底2"'Z-log忘X40成立，

m'2'"'-2—2log2x<0,2""----Iog2xV0,（2"）—log2?,x40,

令a=2"',a>1,則存在實(shí)數(shù)xe[1,+co）使不等式ax-log,,x<0,al<log?x,成立.

y=a*和"log。％的圖象如下圖所示,

結(jié)合圖象可知，機(jī)取得最大值時(shí)，>=優(yōu)與J=10gaX相切,

由于y="和y=log“％關(guān)于直線y=x對(duì)稱,

所以用取得最大值時(shí)，y=優(yōu)與y=log“x相切于直線y=x（切點(diǎn)相同），如圖所示.

丁士設(shè)切點(diǎn)為億山），則斜率為意=1==高①?

y=ax^＞y=ax-In,設(shè)切點(diǎn)為，，則斜率"Ina=1,

a'=】ogJ

則＜J,logjJna=ln/=l=＞，=e,

"Ina=----=1

tina

將t=e代入①得《=’，即Ina=1,

Inae

所以ln2'"=1,〃71n2=',m=―!—

eee\nl

故答案為:

e\nl

19.（2021?陜西省洛南中學(xué)（理））函數(shù)/。）=-丁+12》+“有三個(gè)零點(diǎn)，則〃，的取值范圍為.

【答案】（-16,16）

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/。）=-丁+12》+雨,

所以f\x)=-3d+12=-3(x+2)(x-2),

令/'(x)>0—2Vx<2；/'(x)<0nx<-2或x>2,

所以函數(shù)fM在-2）和（2,+⑹上為減函數(shù)，在（-2,2）上為增函數(shù),

所以當(dāng)尤=-2時(shí)，/（x）取得極小值，且/（-2）=唐-16,

當(dāng)x=2時(shí)，Ax）取得極大值，且〃2）=機(jī)+16,

/n-16<0,

又函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以，"+16>0'解得T6"<I6.

故答案為：（-16,16）

20.（2021?江北?重慶十八中）已知p：/（x）=x-alnx在［3,+oo）上單調(diào)遞增，q："m.若P是夕的充分

不必要條件，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

【答案】（3,內(nèi)）

【解析】。"(％)=苫—。111%在［3,+8)上單調(diào)遞增

f'(x)=120在［3,+8)上恒成立.

即。4》在［3,+8)上恒成立，

所以：a<3.

乂。是9的充分不必要條件，

即6>3.

故答案為：(3,+8).

21.(2021?安徽六安一中(理))若函數(shù)f(x)=?x2+or+l-e2*(x>0)的圖象始終在x軸下方，則a的取值

范圍為

【答案】(-,2］

【解析】V函數(shù)/(》)=以2+以+1-/'(》>0)的圖象始終在》軸下方，

,，。)<0在(0,+8)上恒成立，

Al/?U<o.

乂f'(x)=2ax+a-2e2x,

當(dāng)“VO時(shí)，f'(x)<0,函數(shù)/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

/./(x)</(0)=0

二a<0,

當(dāng)a>0時(shí)，^g(x)=2ax+a-2e2x,則g'(x)=2〃一4e”,

令g'(x)=O可得x=gln；,

當(dāng)0<a<2時(shí)，^-ln^<0,在(0,+8)上g'(x)<。，

函數(shù)g(x)在(0,位)上單調(diào)遞減，???g(x)<g(O)=a-240,

f(x)<(),函數(shù)，(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

.../(x)</(0)=0,

,0<a<2,

當(dāng)。>2時(shí)，當(dāng)xe(O』nE)時(shí)g")>0,函數(shù)g(x)在(。，口”)上單調(diào)遞增，,g(x)>g(0)=a-2>0,

2222

f\x)>o,：.函數(shù)/(X)在(0,1in3上單調(diào)遞增，又/(0)=0

22

???在(03n：)上/(X)>0,與條件相矛盾，

22

綜上所述：?<2,即a的取值范圍為(7,2].

故答案為：(Y°，2]

e*x>0

22.(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=1,八，若函數(shù)g(x)=f(x)+"恰好有兩個(gè)零

-2x-+4x+l,x<0

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%等于.

【答案】-e

【解析】令g(x)=O,得/(x)=-米，

有兩個(gè)零點(diǎn),

???直線y=-丘與y=/(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，

做出y=-履和y=/(x)的函數(shù)圖象，如圖所示：

設(shè)^=%/與曲線y=e"相切，切點(diǎn)為5，%),

J*-0

en=------

/-0

則<%=6與,解得%=1,4=6.

%=M

.一?-無(wú)的取值為e,則:=-e.

故答案為：-e

四、解答題

23.(2021?全國(guó)高二專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=x3-6x+5,XGR.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)y=a的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)見解析⑵(5-4^,5+472).

【解析】(1)由題意可得,/(X)=3X2-6,

當(dāng)f(x)>0時(shí)，x>近或…舊

當(dāng)，(x)<0時(shí)，

所以F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(fo,-3)和(72,+<?)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-&,&),

f(x)在x=-&處取得極大值，/(x)的極大值為/(-&)=5+4應(yīng)；

f(x)在x=五處取得極小值，f(x)的極小值為/(0)=5-4立

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

結(jié)合(1)中Ax)的單調(diào)性以及極值點(diǎn)可知，5-4&<”5+4近,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍(5-40,5+40).

24.(2021?全國(guó)高二專題練習(xí))已知<(x)=21n(x+a)—f—x在x=0處取得極值.

(1)求實(shí)數(shù)”的值.

(2)若關(guān)于x的方程f(x)+b=0的區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【答案】（1）2；⑵（-21n2,2-21n3].

2

【解析】（1）/。）=-----2]-1,當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極值,

x+a

所以/(0)=0,解得,a=2；

(2)令g(x)=f(x)+b=21n(x+2)-x2-x+b,

則小22x(x+｝，。>_2),

g（x）,g'（x）在（-2,位）上的變化狀態(tài)如下表:

X(-2,0)0（0次）

g'(x)4-0—

g(x)/極大值21n2+匕

由上表可知函數(shù)g（x）在x=0處取得極大值，極大值為21n2+江

要使f（x）+8=0在區(qū)間[-1,1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

g(-l)40ft<0

只需g(0)>0,即21n2+b>0

g⑴40[21n3-2+/?<0

所以—21n2<6V2—21n3,

故實(shí)數(shù)b的取值范圍是(-21n2,2-21n3].

25.（2021?南岸區(qū)?重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二月考）已知函數(shù)〃x）=gx3+〃儲(chǔ)+依+3,其導(dǎo)函數(shù)/（X）是

偶函數(shù)，且/⑶=0.

（1）求函數(shù)的解析式;

（2）若函數(shù)y=/（x）-24有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)彳的取值范圍.

1775

【答案】(1)f(x)=-x3-4x+3；(2).

【解析】解：（1）由題意得尸㈤="+力取+〃.

因?yàn)閺V(X)是偶函數(shù)，所以機(jī)=0.

又因?yàn)?3)=0,所以;x27+0x9+3〃+3=0,解得〃=Y.

所以/(x)=gx3-4x+3.

(2)由(1)可得/(x)=；V-4x+3,則1(x)=f—4.

令尸(x)=V-4=0,得x=±2.

當(dāng)x<—2或x>2時(shí)，/,(x)>0,所以“X)在(3,-2),(2,+8)上分別單調(diào)遞增,

當(dāng)-2c<2時(shí)，/'(%)<0,所以f(x)在(-2,2)上單調(diào)遞減.

7S7

所以/(X)的極大值為/(-2)=y-/(X)的極小值為/(2)=~.

由題意得，曲線y=/(x)與宜線y=24有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以一,7<2/1<2上5，即一7,<幾<上25.

3366

26.(2021?沙坪壩區(qū)?重慶八中高三月考)已知函數(shù)-(x-e)+lnx.

(1)當(dāng)aN—e時(shí)，求f(4)的極值;

(2)若/(幻<0,求。的取值范圍.

cl

【答案】(1)極大值2+e-l,無(wú)極小值；(2)(TO,-e].

e

【解析】(1)由題意，r(x)=^^+—=^f-+4X€(0,+8).

令g*)=±+〃，則g'(x)='",令g'(x)=。,則有x=l,

XXT

從而g(X)在(。，1)上遞減，在(1，+8)上遞增，

故g@)min=g(l)=e+a20,

從而g(x)NO,

令f(x)>00<x<1,令f\x)<0x>1

故〃x)在(0,1)上遞增,在(1，+8)上遞減，

在x=l處取極大值〃D=@+e-l,無(wú)極小值

e

/c、rz、，八x-lnx-eA..、x-lnx-e

(2)/(x)WOoaW-------,令力(x)=--------，

xexe

貝I]h'(x)=e'(x-l)(x+J-lnx-e),令如)=x-lnx+l-e,貝I]H\x)=—,

令H'(x)<O,O<x<l,令H'(x)>O;.x>l

則”(x)在(0,1)上遞減，在(1，+8)上遞增，故H(x)1rtli="(l)=2-e<0,

而H(e)=0,H(e-2)=3-e+e-2>0,

故存在為?(0,1),有H(xJ=0,則有l(wèi)nx,=玉+l-e.

X(0,七)ae)(e,+8)

+

斤(x)-+-

h(x)遞減遞增遞減遞增

從而故Mx)在(Of)上遞減，(％1)上遞增，(Le)上遞減，(e,+8)上遞增,

,,,,、X,-In.v,-e,,

則/心)=七￡^—=-ee.

又〃(e)=-ec-',故aW=-ec-'

27.(2021?河南(文))已知函數(shù)f(x)=(ax-l)lnx-(2a-1)x+e”.

(1)當(dāng)a>0時(shí),證明:/(x)>0；

(2)若/(x)在(e,e?)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；(2)宏，內(nèi)]

【解析】⑴函數(shù)f(x)定義域(。,+8),求導(dǎo)得：f\x)^a\nx+(ax-l)--2a+-^a\nx---a+-,

xexe

因a>0,則/'(x)在(0,-KO)上單調(diào)遞增,而廣(e)=0,則當(dāng)xe(0,e)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)xw(e,同時(shí),f\x)>0,

于是得f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,M)上單調(diào)遞增，則有〃x"n=/(e)=0,

所以當(dāng)a>0時(shí)，f(x)20；

⑵因/(X)在(e,e?)上單調(diào)遞增，則f'(x)20在(e,e?)上恒成立,

x-1■則〃lnx-L—〃+l>0,即(inx-l)a24一，對(duì)不三卜霜?)恒成立,

由(1)知，r(x)=aln

Xe入e入e

111_1

MI<然Inx-1>0,則xe對(duì)xG(e?)恒成立，令皿)二Je，、qel)

J

lnx-1'lnx-1

1x.

1,1——Inx

則g[x)=xex二e

(lnx-1)2x2(lnx-l)2

令7z(x)=；-Inx,xe(e,e2),則h\x)=土￡>0,則/?(%)在(e,e2)上單調(diào)遞增,

即有〃(x)>/z(e)=O,則g<x)>0,于是得g(x)在(e,e2)」二單調(diào)遞增，從而有g(shù)(x)<g(e2)=9,貝之宏,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是宏什001

28.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))為提高銷量，某廠家擬投入適當(dāng)?shù)馁M(fèi)用，對(duì)網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷.經(jīng)調(diào)

2

查測(cè)算，該促銷產(chǎn)品的銷售量〃萬(wàn)件與促銷費(fèi)用。為正常數(shù))萬(wàn)元滿足，=3——；.已知生產(chǎn)

x+1

20

該批產(chǎn)品。萬(wàn)件需投入成本(10+2p)萬(wàn)元(不含促銷費(fèi)用)，產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為(4+萬(wàn))元/件，假定廠家

的生產(chǎn)能力完全能滿足市場(chǎng)的銷售需求.

(1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；

(2)投入促銷費(fèi)用多少萬(wàn)元時(shí)，廠家獲得的利潤(rùn)最大？

4

【答案】(1)y=16——--x(0<x<?)(2)答案見解析.

x+1;

【解析】(1)由題意知，y=［4+；)p-x-(10+2p)=2p—x+10,

24

將〃=3------；代入化簡(jiǎn)，得y=16----------x(0<x<a)；

x+1x+\

4

(2)由(1)中知，y=16----------x(O<x<a),

x+\

一(X+1)2+4x2+2x-3_(x+3)(x-l)

所以

(x+1)(x+1)2(x+1)2

若a>l,當(dāng)xe［O,l］時(shí)，y'>0；當(dāng)xe［l,a］時(shí)，V<0,

所以函數(shù)>=16-工-二二在［0,1］上單調(diào)遞增，在口,。］上單調(diào)遞減.

X+1

所以當(dāng)x=i時(shí)，>取極大值，也是最大值，

所以投入促銷費(fèi)用1萬(wàn)元時(shí)，廠家獲得的利潤(rùn)最大.

4

若因?yàn)楹瘮?shù)y=16—x--------在。,1］上單調(diào)遞增，

x+1

所以函數(shù)丫=16-》