2023年高考數(shù)學(xué)大招4導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式

大招4導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式

大招總結(jié)

導(dǎo)數(shù)與數(shù)列型不等式的交匯問題，主要用到兩個方面的知識點：第一，學(xué)生要學(xué)會找到

不等式右邊和的通項；第二，要學(xué)會運用放縮比較不等式左邊的通項與右邊的通項的大小.

我們通過幾道例題來給大家講解.

數(shù)列不等式常用通項求法有如下兩種：

%=S,-Si(q為通項,S”為前〃項和)

%=、)(%為通項，T“為前n項積)

導(dǎo)數(shù)常見放縮技巧：

e+1>x>x-1Inxffl--$,$e'ex$,$--V?Inx

xe

典型例題

例1.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(l+x),g(x)=#，(x),x..O,其中廣(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)g|(x)=g(x),g“+i(x)=g(g“(x)),〃eN*,求g“(x)的表達(dá)式；

(2)若/(%)..ag(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)設(shè)〃eN”,比較g⑴+g⑵++g(〃)與〃一/5)的大小，并加以證明.

解

1x

(1)/(X)=ln(l+x),g(x)=xf'(x),x..0,f'(x)=-——,g(x)=-——g/x)=g(x),

1+x1+x

X

g"+l(x)=g(g”(幻),g|(X)=/匚，g2(X)==T--，假設(shè)當(dāng)"=%..1時，=

14-X1+X1+2x

1+x

X

X

，則gM=1+fcr=x當(dāng)〃=A+]時,g(x)=也成立

Mk+]：

1+kx[+x1+(k+l)x1+(K+1)X

1+Ax

綜上'g"a)=念'〃CN*-

Yax

⑵：f(x)廊g(x),g(x)=一—ln(l+x)---—0,A?0.令

1+x1+x

/?(x)=ln(l+x)——竺-,x

1+x

，/八、r\_?i./、16F(1+X—X)1+X—Q?

..0,易知〃(0)=0,貝ij/2*)=■；------------5―=-----r，x..O.當(dāng)4,1時，

1+x(1+x)(1+x)

廳(x)..O在x..O上恒成立，.在［0,+s)上單調(diào)遞增，/z(x)../z(0)=(),滿足條件；當(dāng)

a>1時，令/i'(x)>0,解得x>a—1,令h\x)<0,解得0,,x<a—1.于是A(x)在

上單調(diào)遞減，在(。一L+8)上單調(diào)遞增，

AA(iz-l)</?(())=(),與題設(shè)矛盾，綜上可知a”1.

⑶g⑴+g(2)++g(")>〃一/("),

12

證明：要證g⑴+g(2)++g(n)=-+-++

3=邛+4++j…+1),

〃+1(23幾+U

只需證-----|<ln(?+1).在(2)中取a=l,可得+--->0,令

(23〃+"1+x

1…H+O14一1八

x=eN,貝ijIn---->----,故有山2一

n\)1+〃

In1>-,In3-In2>-,??,ln(n+1)-Inn>—^―，上述各式相加可得

23〃+1

1

ln(?+1)>—H---F+----

(23〃+1

例2.已知函數(shù)/(x)=a7—lnx.

(1)若函數(shù)/(X)在口,長。)上為增函數(shù),求實數(shù)t的取值范圍；

辛111

(2)當(dāng)〃..2且〃eN時，證明：----1-----F---I---->Inn.

In2In3Inn

解：(1)實數(shù)f的取值范圍為",+8).

(2)證明：由⑴知，令r=l,則/(x)=x-l-lnx在［1,+8)上為增函數(shù),

/(x)../(l)=O,

即X-L」nx,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號.

要證明Ng…耳+1咽++1n(色)'只需證

L〉lnpQ

Inn\n-\J

在x-L.lnx中取了=〃(九.2),有〃一則-^―>—--;

Innn-\

fiJ(ri\

在x—L.lnx中取x=----(n..2),易知x>l,則----->In----.

n-\n-\-

綜上可知;一成立，則原命題成立.

In〃I〃-1J

例3.已知函數(shù)/(x)=alnx-ar-3(aeR,aH()).

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

―、一In2In3In4In/?1(.

(2)求證:---x---x---xx---<一|.2,〃￡N).

234nn.)

解(1)由于/'(x)=理二2(x>0),

X

①當(dāng)a>0時，易知，當(dāng)0<x<l時，f'(x)>0,當(dāng)x>l時，f'(x)<0；

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0/)，遞減區(qū)間為(1,+8)；

②當(dāng)“<0時，同理可知/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),遞增區(qū)間為(1,+8)；

、r=、In2In3In4Inn1(--、

(2)證明：要證---X-----X-----XX-----<—(H..2,7?GN)成乂；

234nnx7

_、Innn-\(?

只須證---<-----(幾.2,〃￡NI

nnx7

即證ln〃<〃一1(幾.27GN)

下面證明此式.

令a=l此時/(x)=lnx—x—3,所以/(1)=-4,

由⑴知/(幻=Inxt—3在(1,”)上單調(diào)遞減，

??.當(dāng)X￡［l,+oo)時/(%)</(I),即Inx-x+lvO,

???lnxvx-1對一切X￡(l,+8)成立，

.2,〃￡N",，0<In〃<九一1.故結(jié)論成立.

自我檢測

1.已知f(x)=ln(x+l).

1

(1)若g(x)=：V9—x+/(x),求g(x)在［0,2］上的最大值與最小值；

4

(2)當(dāng)x>0時，求證：

1+X\XJX

(3)當(dāng)“eN+且〃..2時，求證：-+-+-++—^―</■(?)<1+-+-++-.

234n+1-23n

5小/、12,/,、“、1,1x(x-l)

解：⑴g(x)=：x-x+ln(x+l),g(x)=-x-l+------=—~,

42x+12(x+l)

g(x)在［0,1］上單調(diào)遞減,在工2］上單調(diào)遞增.

3

g(0)=0,g⑴=-二+In2,g(2)=-1+In3,

4

g(x)在［0,2］上的最大值為一1+In3，最小值為=一1+In2.

4

I—x

⑵證明:函數(shù)的定義域為(-1,+oo),構(gòu)造函數(shù)//(x)=f(x)—x,.?.1(x)=-----1=—.

X+lX+1

???函數(shù)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+0。)上單調(diào)遞減，

在x=0處，函數(shù)取得極大值，也就是最大值，

〃(x)轟必(0)=0,/(x)—x/?(0)=0,.\/(x)-x?0.1.?x>0,:.構(gòu)造函數(shù)

YX

8(x)=/(x)-----(p'(x)=-------,

1+x(x+1)

函數(shù)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,用)上單調(diào)遞增，

y

在x=0處,函數(shù)取得極小，也就是最小值，,。5)龐。(0)=0,；./(尤)———0,

1+X

.x>0,..----<f-,..----<f—<一.

1+x\x)1+x\x)X

(3)證明：???=+=

由(2)知：---</(1]<一,；."；----<f(?)-/(?—1)<—,

1+?\n)n1+/?n

1+11+221+331+n

,、1—〃1111r,、，111

-1)<一.疊力口可傳1---1---F???H-----<f(H)<1H---1---F?--H.

n234123n

InY

2.已知函數(shù)/(x)=履,g(x)=——.

X

]nx

(1)求函數(shù)g(x)=—的單調(diào)區(qū)間；

X

(2)若不等式/(x)..g(x)在區(qū)間(0,+o。)上恒成立，求實數(shù)&的取值范圍；

一、In2In3Inn1

⑶求證：—r+++-<T--

25n2e

InX

解：⑴g(x)=—,X>0,故其定義域為(0,+8),

X

3)=等,令g'(x)〉。，解得。＜…令g'(x)＜。，解得x〉e.

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+00).

/、八7,Inx人,/、Inx［，/、l-21nx人］、八

(2)?/x>0,kxj^-，:.k——,令/z(x)=——/z(x)=----；——，令/z(x)=(),

XX"XX'

解得X=五,當(dāng)尤在(0,+8)內(nèi)變化時，廳(％),皿>)的變化如下表：

X(0，Ve)n(Ve,+oo)

h‘(工)+0——

1

h(G/

由表知，當(dāng)》=也時函數(shù)人。)有最大值，且最大值為3,所以實數(shù)上的取值范圍是

(，+8)

L2e)

⑶證明由⑵知

華明，.岑11,>、ln2In3Inn

--*-T(-VAS2),——Iz—T~

xx2ex22434n4

1(111

+-----FH---------------

2e11x22x3(〃一1)〃J

3.已知函數(shù)/(x)=or2+in(x+l).

(1)當(dāng)。=-7時,求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

4

x0

⑵當(dāng)xe[0,4。。)時，函數(shù)y=/(x)圖象上的點都在《“八所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)

y-x,,0

a的取值范圍；

(3)求證：f1H----1+--------1+7—i--------\7-----7＜e(其中〃eN,e

I2x3人3x5人5x9j[(2n-'+1)(2"+1)

是自然數(shù)的底數(shù))

11,

解：(1)當(dāng)?=--時，fM=--x2+ln(x+l),(x>-1),有

44

(x+2)(x—1)

r*)=

2(x+l)

由廣(x)>0解得T<x<l,由廣(x)<0解得：x>l,:.函數(shù)/*)的單調(diào)遞增區(qū)間是

(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+8)；

%0

(2)當(dāng)xe[0,+oo)時，函數(shù)y=/(x)的圖象上的點都在《“八所表示的平面區(qū)域內(nèi),

J一%,0

即當(dāng)xe[(),+oo)時，不等式/(x)”x恒成立，即a?+]n(x+l)“次恒成立，設(shè)

g(x)=or2+]n(x+l)-x,(x..O),只需g(x)max”0即可，g，(x)=中"+中切.

x+1

X

①當(dāng)。=0時，g'(x)=-----當(dāng)X>0時,g'(x)<(),函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

X+1

???g(x),,g(0)=0成立.

②當(dāng)a>0時，由g，(x)=-"2"*+(2a_121=o因xe[0,+oo),.\x=--1.

x+l2a

若二-一l<0,即。>1時，在區(qū)間(0,48)上，g'(x)>o,函數(shù)g(x)在(0,+8)上

2a2

單調(diào)遞增