2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版教案：第4章 第1節(jié)　任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念

第四章三角函數(shù)

任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念

［考試要求］

1.了解任意角的概念和弧度制.

2.能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入瓠度制的必要性.

3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

［走進(jìn)教材-夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

?梳理?必備知識(shí)

1.角的概念

(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

［按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正魚、魚魚、零角.

Q)分犬［按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

(3)相反角：我們把射線0A繞端點(diǎn)。按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)

角叫做互為相反角.角a的相反角記為二攵.

(4)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)

集合S={夕口=a+k360。，kGZ},即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成

角a與整數(shù)個(gè)周角的和.

提醒：終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：把長(zhǎng)度等于生徑近的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度單

位用符號(hào)rad表示，讀作弧度.

(2)公式

|a|=:(弧長(zhǎng)用/表示)

角a的弧度數(shù)公式

角度與弧度的換算l0-180rad；Irad-^

弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l—aR

扇形面積公式S=g/R=；o7?2

提醒：在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.

3.任意角的三角函數(shù)

設(shè)儀是一個(gè)任意角，a￡R,它的終邊。P與單位圓相交于點(diǎn)P（x,y）,則sin

y

a=y_cosa=xtana=(xW0).

99x

三個(gè)三角函數(shù)的性質(zhì)如下表:

第一第二第：.第四

三角

定義域象限象限象限象限

函數(shù)

符號(hào)符號(hào)符號(hào)符號(hào)

sinaR++——

cosaR+——+

tanaaa#E+多kGZ+——+——

拓展：任意角的三角函數(shù)的定義（推廣）

設(shè)P（x,y）是角a終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)0的距離為r,

yxy

如］sina=:,cosa=;,tana=尤#0).

［常用結(jié)論］

1.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律

一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.象限角

第一家眼角］問2*"<a<2"+多*=］

第二隼眼角）,恢"+手<a<2hr+ir,*eZ

Z第三象限角){a|2*T+F<a<2*"+

第四家眼角）卜卜""+要<a<2*"+2T=CZ

3.軸線角

終邊落在與軸上的角）［a［a=Mr,AWZ|

軸

線

角

的終邊落在y軸上的角）向0?=號(hào)+—西斗

集

合

終邊落在坐標(biāo)軸上的角）同a淳ir/￡號(hào)

2

齡激活?基本技能

一'易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)第一象限的角是銳角.

(2)角a的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān).

(3)若sina>0,則a是第一、第二象限的角.

(4)若a為第一象限角，則sina+cosa>1.

［答案］(1)X(2)V(3)X(4"

二'教材習(xí)題衍生

1.終邊落在第一象限角平分線上的角的集合是.(用角度表示)

［答案］{6(汝=心360。+45。，ZWZ}

2.角一225。=弧度，這個(gè)角的終邊落在第象限.

［答案］一5兀于二

3.設(shè)角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,—3),那么2cos。-sin6=.

II3

y［由已知并結(jié)合三角函數(shù)的定義，得sine=一：,

4473、11

cos。=5，所以2cos8—sin^=2X^—I—T(=-］

4.一條弦的長(zhǎng)等于半徑，這條弦所對(duì)的圓心角大小為rad.

TTIt

3［弦和兩條半徑構(gòu)成等邊三角形，因此這條弦所對(duì)的圓心角大小為^rad.］

［細(xì)研考點(diǎn)?突破題型］重難解惑直擊高考

考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角梅組通關(guān)

1.集合］a|/+*aWE+壬ZGZM的角所表示的范圍(陰影部分)是

)

兀兀兀兀

C［當(dāng)女=2〃(〃￡2)時(shí)，2/7兀+1忘0?2〃兀+］(〃￡2),此時(shí)a的終邊在?］內(nèi)：

3

兀兀兀

當(dāng)Z=2〃+1(〃^Z)時(shí)，2〃兀+兀+^^1<2〃兀+兀+](〃￡2),此時(shí)a的終邊在兀+]?

TT

兀+]內(nèi)，結(jié)合選項(xiàng)知選C.]

2.下列四個(gè)命題中，正確的是.(填序號(hào))

①一3號(hào)7r是第二象限角；

若是第三象限角；

③一400。是第四象限角；

④一315。是第一象限角.

37r47rJr47r

②③④[—q"是第三象限角，故①錯(cuò)誤：與-=兀+],從而可是第三象限角，

故②正確；一400°=—360°—40°,是第四象限角，故③正確；一315°=—360°

+45°,是第一象限角，故④正確.]

3.在一720。?0。范圍內(nèi)所有與45。終邊相同的角為_______.在1初>

一675?；蛞?15。[所有與45。終邊相同的角表示為/f=45°+jtX360°()tGZ).

法一：令一720°<45°+ZX360°<0°(AGZ),得一76504X360°<一45°(AGZ),

解得一<一/從而“=-2或"=-1,代入?得”=-675?；?=一

315°.

法二：由4=45°+女X360°知，

當(dāng)k=~\時(shí)，4=一315。滿足題意.

攵=-2時(shí)，4=一675。滿足題意.

所以夕=一675°或^=-315°.]

4.若角a是第二象限角，則卷是第象限角.

TTJTCL

一或三[因?yàn)閍是第二象限角，所以1+2&兀兀+2E,kGZ,所以]+%兀

兀716(71CC

<]+E,ZGZ.當(dāng)％為偶數(shù)時(shí)，不妨設(shè)％=2〃(〃ez),則a+2〃兀<5<]+2〃兀，5是

7Tn7T

第一^象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)攵=2〃+l(〃￡Z),則[+兀+2〃兀V]V/+TI

+2/271,即m+2〃兀兀+2〃兀，楙是第三象限角.所以看是第一或三象限角.]

4

畬反思領(lǐng)信L判斷象限角的兩種方法

在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知

圖象法

角是第幾象限角

先將已知角化為攵BGOo+alOoWaVBGO。，攵WZ)的形式，即找出與已知

轉(zhuǎn)化法

角終邊相同的角a,再由角a終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角

2.確定-1*N*)的終邊位置的步驟

(1)用終邊相同的角的形式表示出角a的范圍;

⑵寫出履或t的范圍；

(3)根據(jù)k的可能取值確定ka或?的終邊所在的位置.

□考點(diǎn)二扇形的弧長(zhǎng)及面積公式枷生共研

［典例1］已知一扇形的圓心角為a,半徑為R,弧長(zhǎng)為/.

⑴若a=60。,R=10cm,求扇形的弧長(zhǎng)/；

(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm,面積為4cm2,求扇形的圓心角；

(3)若扇形的周長(zhǎng)為20cm,當(dāng)扇形的圓心角a為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面

積最大？

TT

［解］(1)因?yàn)椤?60。=,

~兀10兀

所以l=aR=qX10=每一(cm).

2R+aR=W,R=4,

⑵由題意得鼠一，火=1,

解得1(舍去)或(1

la=8,

故扇形的圓心角為:.

(3)由已知得/+27?=2O(cm).

法一:S=；/R=g(20-2H)R=10尺一/?2=一(氏-5)2+25.

所以，當(dāng)R=5cm時(shí)，S取得最大值，且最大值為25cm2,此時(shí)/=10cm,

。=2.

5

田_11-1〃+2R%

法二：S=,/R=*2R)W,2j=25,

2

當(dāng)且僅當(dāng)l=2R=10,即R=5時(shí)，Smax=25cm,

此時(shí)a=2.

力反思領(lǐng)悟應(yīng)用弧度制解決問題的方法

(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積的最大值問題，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法

使問題得到解決，也可以通過“配湊”法利用基本不等式求最值.

一「跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)(2021.遼寧模擬)“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩(shī)

句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖

雅物”的別號(hào).如圖是折扇的示意圖，其中OA=20cm,ZAOB=120°,M為

的中點(diǎn)，則扇面(圖中扇環(huán))部分的面積是()

A.50TTcm2B.1OOncm2

C.150TIcm2D.200?tcm2

(2)若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為()

A.^B.gC.3D.小

反—?〃一?1,13,32兀

(1)B(2)D[⑴扇環(huán)的面積為5=四/一5a5=3/=6*刀*400=100兀

乙ZooJ

故選B.

(2)如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓。的內(nèi)接三角形，則線段AB所

2兀

對(duì)的圓心角NAOB=w，

作。MLAB,垂足為M,

兀

在RtZXAOM中，AO=r,ZA0M=y

6

r,AB=yj^r,

由弧長(zhǎng)公式得a=;=￥~=[5.]

考點(diǎn)三三角函數(shù)的概念及應(yīng)用，多維探究

考向1求三角函數(shù)的值

[典例2—1]⑴已知點(diǎn)《一坐，坐)是角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則sin

2a=()

A.|B.C.-平D半

(2)已知角a的終邊在直線3x+4y=0上，則5sina+5cosa+4tana=

(1)C(2)—4或一2[(1)依題意，由任意角三角函數(shù)的定義可得sina=^,

近

cosa=-3,

所以sin2a=2sinacosQ=2X乎X[一坐)=一邛

故選C.

3

(2)設(shè)1終邊上任意一點(diǎn)為尸(一4a,3。)，r=[5a|.當(dāng)a>0時(shí)，r=5a9sina=§,

43

cosa=一予tana=一不

.*.5sina+5cosa+4tana=3-4—3=-4;

343

當(dāng)a〈0時(shí)，r=-5a9sina=一予cosa=g,tana=~~^9

/.5sina+5cosa+4tana=-3+4—3=-2.

綜上可知，5sina+5cosa+4tana=—4或5sina+5cosa+4tana=-2.]

考向2由三角函數(shù)值求參數(shù)

[典例2—2]已知角a的終邊上一點(diǎn)尸(一正，MOWO),且sina="券，

則cosa—，tana=.

7

一小理3或一丐[設(shè)P(x,y),由題設(shè)知x=一小，)=機(jī)，所以/=|02|2

=(一小)2+〃P(o為原點(diǎn))，即r=-\]3+m2,所以sina=/="普=黃,所以r

=、3+加2=2啦,即3+機(jī)2=8,解得m=±\回當(dāng)"?=小時(shí),r=2\f2,x=—事,

a=2g=一乎'tan。=一當(dāng)加=一小時(shí)，r=2啦，x

y=小，所以cos

=一4,y=一小，所以cosa=2*=-*，tana=^^.]

考向3判定三角函數(shù)值的符號(hào)

[典例2—3](1)(2020.全國(guó)II卷諾a為第四象限角，則()金茹3

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2<x>0D.sin2a<0

(2)若sin"cos6V0,則角。是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

TI

(1)D(2)D[⑴法一：由題意，知一]+2而<z<2E(&wZ),所以一兀+

4kli<2a<4kit(kGZ),所以cos2。W0或cos2?>0,sin2a<0,故選D.

兀

法二：當(dāng)a=—1時(shí)，cos2a=0,sin2a=-1,排除A,B,C,故選D.

(2)由sin夕cos8V0知。的終邊在第二或第四象限；由里瑪>0知8的終邊

smH

在第一或第四象限，故夕是第四象限角.]

畬反思領(lǐng)信1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用

(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及該點(diǎn)

到原點(diǎn)的距離，確定這個(gè)角的三角函數(shù)值.

(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方

程，求參數(shù)的值.

2.要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，

再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào).如果不能確定角所在象限,

8

那就要進(jìn)行分類討論求解.

一［跟進(jìn)訓(xùn)I練］一

2.(l)sin2-cos3?tan4的值()

A.小于0B.大于0

C.等于0D.大于等于0

(2)設(shè)。是第三象限角，且卜os^=—cos孝，貝碌是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(3)若角a的終邊落在直線上，角用的終邊與單位圓交于點(diǎn)Q，勺

且sina-cos?<0,則co