專(zhuān)題05 解析幾何（解答題10種考法）講義（原卷版）

專(zhuān)題05解析幾何（解答題10種考法）考法一定點(diǎn)【例11】（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校校考二模）已知點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【例12】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【例13】（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過(guò)線段的中點(diǎn)作直線軸，垂足為，且.(1)求拋物線的方程；(2)若為上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且直線與直線交于點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).【變式】1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．2．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率是，上、下頂點(diǎn)分別為，.圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，且.(1)求的方程；(2)直線與圓相切且與相交于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).3（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長(zhǎng)小于4，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．考法二定值【例2】（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為．點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線、分別與橢圓C交于點(diǎn)A、B，的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求證：為定值．【變式】1．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍，若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上不同于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．2．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為.點(diǎn)是橢圓上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線分別與橢圓交于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，，的面積分別為.求證：為定值.3.（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線T的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)，，，四點(diǎn)中的兩點(diǎn).(1)求拋物線T的方程：(2)已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線T于，和，四個(gè)點(diǎn)，試判斷是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.考法三定直線【例3】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【變式】1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡E與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），過(guò)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，直線與直線的交于，證明：在定直線上．2．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┮阎獧E圓：的短軸長(zhǎng)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．考法四最值【例4】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．【變式】1．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，已知曲線C上任意一點(diǎn)滿足.(1)化簡(jiǎn)曲線的方程；(2)已知圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切，過(guò)點(diǎn)A作直線的垂線，交于兩點(diǎn)，求面積的最小值.2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，點(diǎn)，斜率不為0的直線與橢圓交于點(diǎn)，與圓相切且切點(diǎn)為為中點(diǎn).(1)求圓的半徑的取值范圍；(2)求的取值范圍.3．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）已知雙曲線實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)是，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積最小值.考法五軌跡問(wèn)題【例5】（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且該雙曲線離心率小于等于，點(diǎn)和是雙曲線上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)非重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為雙曲線左右頂點(diǎn)，恒成立．(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線和的交點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程．【變式】1（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知過(guò)右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，曲線的左右頂點(diǎn)分別為，虛軸長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)的比值為．(1)求曲線的方程；(2)如圖，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求的軌跡方程．2．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知過(guò)曲線上一點(diǎn)作橢圓的切線，則切線的方程為.若為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的切線交圓于，過(guò)分別作的切線，直線交于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)已知為定直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)的動(dòng)直線與軌跡交于兩個(gè)不同點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，滿足，試證明動(dòng)點(diǎn)的軌跡過(guò)定點(diǎn).3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓C：，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．(1)點(diǎn)為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A，B不重合），若直線PA，直線PB的斜率存在且斜率之積為，試探究直線l是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由；(2)若．過(guò)點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程．考法六長(zhǎng)度比值【例6】（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測(cè)）貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線．法國(guó)數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對(duì)貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測(cè)試，提出了DeCasteljau算法：已知三個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的比例，使用遞推畫(huà)法，可以畫(huà)出地物線．反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論．如圖所示，拋物線，其中為一給定的實(shí)數(shù).(1)寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；(2)若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值；(3)如圖，A，B，C是H上不同的三點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，證明：．【變式】1．（2023·云南·校聯(lián)考三模）如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為，直線和相交于點(diǎn)，過(guò)作直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).(1)求的方程；(2)求證：.2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.(1)求C的方程；(2)證明：為定值.考法七存在性【例7】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交該橢圓于，兩點(diǎn).(1)求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程；(2)若直線與軸不垂直，在軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【變式】1．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？家荒＃E圓的離心率為，過(guò)橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．2．（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離之比為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)對(duì)，曲線上是否始終存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的中心為O，左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上一點(diǎn)，線段與圓相切于該線段的中點(diǎn)N，且的面積為4.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C上是否存在三個(gè)點(diǎn)A，B，P，使得直線AB過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形？若存在，求出直線AB的方程；若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.考法八角度關(guān)系轉(zhuǎn)斜率【例8】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【變式】1．（2023·陜西寶雞·校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系異于O的任意一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作直線及的平行線，分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，且．(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)在x軸正半軸上取兩點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)A作直線l與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，證明：．2．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)所確定的三角形的面積為，（是的離心率）是上一點(diǎn).(1)求的方程；(2)若直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)，直線與分別交于（不同于）兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，記直線的傾斜角分別為，，求的最大值.考點(diǎn)九三點(diǎn)共線【例9】（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，當(dāng)平行于軸時(shí)，.(1)求拋物線的方程；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線與拋物線的另一交點(diǎn)為的中點(diǎn)為，證明：三點(diǎn)共線.【變式】1．（2022秋·云南昆明）過(guò)拋物線：上一動(dòng)點(diǎn)作x軸的垂線，記垂足為，設(shè)線段的中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求曲線的方程；(2)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，記垂足為，證明：、、三點(diǎn)共線，2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江）已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)、，其中，且.（1）求該拋物線的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，證明：B、O、C三點(diǎn)共線.3．（2023·江蘇南京）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的準(zhǔn)線方程為：.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，交于點(diǎn)，求證：，，三點(diǎn)共線.考法十三角形類(lèi)型的轉(zhuǎn)化【例10】（2022·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考三模）已知橢圓，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線BF與橢圓交于另一點(diǎn)Q，且，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)，，M是橢圓C上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線與直線交于點(diǎn)P，直線與直線交于點(diǎn).證明