2023高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練（五）（參考答案）

2023高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)強(qiáng)化專題訓(xùn)練(五)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.(廣東省深圳市深圳中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次階段測試數(shù)學(xué)試題)

(多選題)已知定義在區(qū)間,，以上的函數(shù)產(chǎn)/'(x),/'(X)是"X)的導(dǎo)函數(shù)，若存在火(。力)，使得

2)-/(a)=r(R)(b-a).則稱」為函數(shù)在可上的“中值點(diǎn)”.下列函數(shù)，其中在區(qū)間［-2,2］

上至少有兩個"中值點(diǎn)''的函數(shù)為()

A./(x)=sinxB./(x)=ex

C./(x)=ln(x+3)D./(x)=x3-x+1

【答案】AD

【解析】

【分析】求出/'(力，逐項(xiàng)判斷方程/'(4)="2)；"一'在看式一2,2］上的根的個數(shù),可得出合適的

選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，/(2)-/(-2)=2sin2,/,(x)=cosx,

由/(2)-〃-2)=4f(g)=4cos。，所以，cosj=^^,

當(dāng)46［—2,2］時，cos2<cos^<l,如下圖所示：

sin2

由圖可知，直線y=含與曲線y=cosJ在Je［-2,2］上的圖象有兩個交點(diǎn)，

A選項(xiàng)滿足條件；

對于B選項(xiàng)，“2)—/(—2)=e2-5，r(x)=e\

由“2)—2)4”《)=4e"所以，&=^-,

2-2

因?yàn)楹瘮?shù),=/在［—2,2］上單調(diào)遞增，故方程/=在卜2,2］上不可能有兩個根，B不滿足條件;

T

對于C選項(xiàng)，/(2)-/(-2)=ln5,尸(力=+，

由/(2)—〃-2)=4rq)=ln5,可得白=與，解得"奈一3e[—2,2],

故函數(shù)〃x)在[-2,2]上只有一個“中值點(diǎn)”，C選項(xiàng)不滿足條件；

對于D選項(xiàng)，/(2)-/(-2)=12,

由“2)一〃一2)%'(4)=12,可得襄[一],

故函數(shù)“X)在[-2,2]上有兩個“中值點(diǎn)”，D滿足條件.

故選：AD.

2.(河北省邢臺市六校聯(lián)考2023屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題)

已知直線/是曲線y=ln2x與曲線>=爐+尢的一條公切線，直線/與曲線y=V+》相切于點(diǎn)

(〃,/+.),則〃滿足的關(guān)系式為()

A.q-+1—In[a+/]=0B.a~+1+111(4+5]=0

C.a?-l-ln(a+g)=0D.a2-l+ln(a+；)=0

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)/與/(X)的切點(diǎn)為他』nA),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得斜率相等，再結(jié)合斜率公式得到等式,

將人代入即可得到。滿足的關(guān)系式.

【詳解】記/(x)=ln2x,得/(X)=2X-!-=L記g(x)=d+x,得g，(x)=2x+l,

2xx

設(shè)直線/與曲線/(x)=In2x相切于點(diǎn)(Z?,ln2b),

由于/是公切線，故可得攵=/'(b)=g'(a),即!=2a+l,即6=」一，

b2。+1

又因?yàn)椋?-------——=g(。)，即------------=2。+1,

a-ba-b

2

將b代入，得a?+q_]no2]=(2a+l)(a—21j,即/+a+ln^^=a(2a+l)—l,

整理得a2-i_in(a+g)=0.

故選：c.

3.(福建省福州高級中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題)

設(shè)。=W,b=-4T，c=0.9，則()

11e0J

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】A

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=e'-x-l,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，/(0.1)=e°'-l.l=---,

ba

/(一0.1)=eCi-0.9=0—c,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，分析即得解.

【詳解】由題意，i=—=1+0.1,-=e0J,

a10b

記f{x}=ev-x-l(x>0),則/,(x)=e'-l>0,

故函數(shù)fix)在[0,+<?)單調(diào)遞增，

又/(0.D=e°/_l.]=L_’>/(0)=l_]=0,故

baba

又a>0,b>0,故

又〃=3=e“」,c=0.9=l-0.1,

e

記/(x)=e"—x_l(x<0),則/\x)=ev-1<0,

故函數(shù)fM在(-oo,0]單調(diào)遞減，

故/(-0.1)=e~°」-0.9=〃-c>/(O)=0,

故〃〉c；

綜上：c<b<a

故選：A

J

4.(廣東省深圳市深圳中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次階段測試數(shù)學(xué)試題)

(多選題)下列大小關(guān)系正確的是().

A1.92<219B.22-9<2,92

C.log74<log]27D.log74+log127<V2

【答案】ABC

【解析】

Inx

【分析】構(gòu)造函數(shù)/'(無)=——，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性后判斷A,利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷B,利用對數(shù)

x

函數(shù)性質(zhì)及基本不等式判斷C,根據(jù)對數(shù)換底公式、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷D.

【詳解】設(shè)/(%)=臣，則;(x)=上坐，

XX

Ovxve時，/⑴>0,/(%)遞增，

而0<1.9<2<e,所以/(1.9)</(2),即臀〈殍，glgZvlnW

即IS?<219,A正確；

229<23=8<8.41=2.92?B正確；

22

c/iA1nm>i1…(log74+log712)(log748)(log749了,

0<log74<log712,所以啕4.唾712<二^~——=---<--=1,

所以log?4<][=log|27,c正確；

log712

4'°=(210)2=10242>106,77=823543<106<4,,,.

in7

|0

ylog74=log7,4>1,所以log74>—=0.7,

43

74=2401,12^=1728<73所以§log|27=log37">1,log|27>a=0.75,

所以log74+log127>0.7+0.75=1.45>72,D錯.

故選：ABC.

5.(河北省邢臺市六校聯(lián)考2023屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題)

設(shè)。=上，A=0.001e°時，c=-In0.999,則()

999

4

A.b<c<aB,c<h<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】由題意，利用作差法，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可得答案.

【詳解】①—Ina=0.001+InO.OO1+ln999=0.001+In(1—0.001)

1—Y

令f(x)=x+ln(l-x),xG(0,0.11,則f\x)-1----------------<0,

1―X1—X

故f(x)在(0,0」上單調(diào)遞減，

可得/(().001)</(0)=0,即ln)一lna<0,所以人<a；

②匕-c=0.00Ie0?11+lnO.999

令g(x)=xe'+ln(l-x),xG(0,0.1],貝Ug'(>)=xe'+e'--—=(1+》)(1二)”,

\-xl—x

令4(x)=(l+x)(l-x)e'-1,所以l(x)=(l-『-2x)6*=-(x+1)'+2e',

當(dāng)xe(0,0.1]時，Z'(x)>0,

所以左(x)在(0,0」上單調(diào)遞增,可得依x)>伙0)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)(0,0」上單調(diào)遞增，可得g(O.OOl)>g(O)=O,即b—c>0,所以b>c.

故c<8<a.

故選：B.

6.(河北省邢臺市六校聯(lián)考2023屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題)

(多選題)高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有'‘?dāng)?shù)學(xué)王子”稱號，他和阿基米德、牛頓并

列為世界三大數(shù)學(xué)家,用其名字命名的“高斯函數(shù)''為:設(shè)X€R,用國表示不超過x的最大整數(shù)，則>=[A]

稱為高斯函數(shù)，也稱為取整函數(shù).如[L2]=1,[3.9]=3,[-1.5]=-2,以下關(guān)于“高斯函數(shù)”的性質(zhì)應(yīng)用

是真命題的有()

A.HreR,[2x]=2[x]

B.Vx,yeR,[x]=[y],則

C.Vx,yeR,[x+y]w[x]+[y]

5

D.若/(x)=[x]的定義域?yàn)閇0,3],值域?yàn)镸g(x)=j2x-Y的定義域?yàn)镹,則

MuN={x|0<x<2}

【答案】AB

【解析】

【分析】A選項(xiàng)可舉出實(shí)例：B選項(xiàng)可進(jìn)行推導(dǎo)；C選項(xiàng)可舉出反例；

D選項(xiàng)求出M={0,1,2,3}和N={x|0Wx<2},從而求出并集.

【詳解】x=2時，[2司=[4]=4=2[2]=2國，故A為真命題；

設(shè)[%]=3=攵eZ,則左<》<左+1,k<y<k+l,x-y<l,故B真命題；

x=0.5,y=0.6時，有[x]+[y]=0,但[x+y]=[l.l]=l>[x]+[y],故C為假命題.

因?yàn)閒(x)=[x]的定義域?yàn)閇0,3],值域?yàn)閂={0,1,2,3},

g(x)=j2x—d的定義域?yàn)椋??！?0,解得：0WxW2,

所以N={x[0<x<2},對于D,MuN={x|0WxW2}u{3},所以D不正確.

故選：AB

7.(河北省邢臺市六校聯(lián)考2023屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題)

(多選題)已知函數(shù)“X)及其導(dǎo)數(shù)/'(X)的定義域均為R,記g(x)=/'(x).若/怎一2%)為偶函數(shù)，

+為奇函數(shù)，則()

A.O。B.C.g(l)+g(2)=0D.d+gg=。

【答案】BCD

【解析】

31

【分析】分析得到f(x)關(guān)于直線x對稱，函數(shù)g(x)關(guān)于點(diǎn)(立,。)對稱，結(jié)合已知分析即得解.

【詳解】解：fg—2x)為偶函數(shù)，二可得f(|—2x)=/g+2x),所以/g—x)=/g+x)

3

???/(刈關(guān)于直線工二萬對稱，

設(shè)/(x)=(x—|y+1,/(1)=1#0,所以選項(xiàng)A錯誤；

~6

g(g+x)為奇函數(shù)，，g(g—x)=-g(g+x)，所以函數(shù)g(x)關(guān)于點(diǎn)(g,0)對稱.

令x=0得g(g)=O.故選項(xiàng)B正確；

f(X)關(guān)于直線x=?3對稱，所以/G3-x)=/G3+X)

所以"咳-X)]'=[/(1+X)],,BP-/(1-x)=/(1+x)

所以ra)+r(2)=o,所以g(i)+g(2)=o,故選項(xiàng)c正確;

所以r(-；)+/'(g)=o,所以g(-；)+g(g)=o,故選項(xiàng)D正確.

8.(河北省邢臺市六校聯(lián)考2023屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題)

設(shè)定義域?yàn)?0,+8)的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)/(X),對任意的xe(0,+8),都有扛了(力―log3%]=4,若%是

方程/(x)-2/'(x)=3的一個解，且與e(a,a+l),aeN*，則實(shí)數(shù)/(。)=.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)Ax)的解析式，再借助零點(diǎn)存在性定理推理作答.

【詳解】對任意的X6(0,+8),都有了[/(x)-log3x]=4,且，(X)是(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)，

因此f(x)-log3X為定值，設(shè)f=/(x)-log3X,則/(x)=f+log3X,顯然/?)=4,

BPf+log3r=4,而函數(shù)〃⑺=/+log3,在(0,+8)上單調(diào)遞增，且力(3)=4,于是得r=3,

從而〃x)=Iog3X+3,求導(dǎo)得r(x)=E^,

2

方程/⑺―2/(x)=3ologx——=0,

3xin3

2

依題意，/是函數(shù)g(X)=10g3X------的零點(diǎn)，而函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

xln3

ln2-l2

且g⑵=1嗚2-<(M3)=1—>0,

In331n3

即函數(shù)g(x)的零點(diǎn)不)e(2,3),又4e(a,a+l),aeN",所以a=2.

故答案為：2

9.(廣東省深圳市深圳中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次階段測試數(shù)學(xué)試題)

7

已知函數(shù)/(%)=1％3+以，g(x)=x-sinx

6

(1)求函數(shù)g(x)在［0,兀］上的最值;

(2)設(shè)〃(X)=/(X)-g(X)在區(qū)間(0,+o。)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】(1)g(X)min=°，g(X)max=%；(2)?>0.

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)由g'(x)=l-cosx'O,得到g(x)在。兀］上單調(diào)遞增求解.

(2)根據(jù)"X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為"(X)20在區(qū)間(0,+8)上恒成立求解.

【詳解】(1)g(x)=x-sinx,g'(x)=l-cosx20,

所以g(x)在［0,汨上單調(diào)遞增，

所以g(X)min=g(°)=°，g(以皿=g(%)=兀；

(2)h(x)=/(x)-g(x)=—x3+ax-x+sinx,h'(x)=—x2+cosx+?-l,

62

因?yàn)閔(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以“(x)20在區(qū)間((),+8)上恒成立，

〃"(x)=x-sinx,由(1)知〃"(x)=x-sinx遞增，

所以當(dāng)xe(0,+?>)時，〃"(x)>〃〃(0)=0,

所以〃'(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以“(x)>"(0)=a

所以

【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算

求解的能力，屬于中檔題.

一類高考導(dǎo)數(shù)壓軸題原創(chuàng)題(2023屆)

(1稿)問題1：已知定義在R上的函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)為g(x),且滿足

Y

2/z(x)+x/(x)>l,求證：/(力-/(0),

8

修正為：(2稿)問題1：已知定義在R上的函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)為g(x),且滿足

Y~

2f'{x}+xg\x)>\,求證:x-[/(x)-/(O)]>—

(1稿)問題2：已知定義在R上的函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)為g(x),且滿足

tan%?[gf(x)-/(x)]>1-2f\x),求證：sinx-/(x)+cosx>/(O)x+1

修正為：(2稿)問題2：已知定義在R上的函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)為g(x),且滿足

sinx-[g,(x)-/(%)]>fl-2/,(x)l-cosx,求證：sinx-f(x)+cosx>/(O)x+1

問題3：已知定義在R上的函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)為g(x),且滿足

(ex-e-')?[f(x)+g'(x)]>[1-2f(x)](ex+e-x),

求證：(ex-e-x)f(x)-(ex+e-x)>2[/(0)x-l]

注：以上3個問題為我們研究中發(fā)現(xiàn)的“副產(chǎn)品”，有深刻的出題背景。供大家探究。

說明：問題1,問題2的1稿有誤，已在2稿修正。主要問題是1稿的結(jié)論兩邊不能同除以x；2稿的條

件，兩邊不能同除以cosx。

命題很難一步到位，難免會出錯誤。保留1稿，并說明修正的問題，也是科學(xué)的研究態(tài)度。

(劉蔣巍提供)

三角函數(shù)

1.(重慶市南開中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題)

若角a40,"匹(0,?),且0+:湍(晨‘a(chǎn)尸’而(。+0=噂，則”()

7T

解：令，=sina+cosa=V^sin[a+?因?yàn)閍所以。+一￡

4

9

則有t2=l+2sinacosa,則有sinacose=------

6sinacosa3(/T)一6(-1)

所以該函數(shù)單調(diào)遞增，所以

(l+sin?)(l+cosa)1+(+產(chǎn)-1^+1

+t+^T

7一加衿*_的范圍是他,18—12及)，因?yàn)?8-12及。1.03,所以;一■6sin：cosa_

(l+sina)(l+cosa)'7(l+sina)(l+cosa)

一,7712一.34

所以解得，=一,BPsina+cosa=-,sinacosa=—,所以sina=—,cosa=—.

552555

又因?yàn)閍+6與)，且sin(a+力)=：需>0,所以a+4￡(0,").

所以cos(a+〃)=一?/

又因?yàn)閟in(a+4)<sina,a+fi>a,所以a+/w

3乃

所以cosp=cos[(a+/?)-a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+/?)sina=---,所以1=彳.

2.（重慶市南開中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）

（多選題）已知函數(shù)/'（x）=sin（Gx+o）@>0,夕￡,直線x=三和點(diǎn)一*0是/（x）的圖

12I

象的一組相鄰的對稱軸和對稱中心，則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（x+W）為偶函數(shù)B.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-菖,0）對稱

C.函數(shù)“X）在區(qū)間-（上為單調(diào)函數(shù)D.函數(shù)/（x）在區(qū)間0,早上有23個零點(diǎn)

2x—+0=攵〃+一

122

解：由題可知“X）的最小正周期為乃，所以⑦=2,由<=>9=上乃+。，所以9=5

=sin12x+工

/(x)=sinl2x+|j,對于A,=cos(2x),故A正

I2J

確;

=sin(-^-)=0故B正確;

10

當(dāng)一代三時，一工+至，所以函數(shù)/(x)區(qū)間-三:上不單調(diào)，故C錯誤.

34336八，134」

對于D選項(xiàng)：2x+工=%萬=x=%一工4池n女44,分析可得D正確.

32633

3.(福建省福州高級中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題)

已知在二A3c中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,滿足bcosC=(2"-c)cos3.

C

V

A

(1)求B；

(2)如圖，若。="，在.ABC外取點(diǎn)。.且A0=G，CD=1.求四邊形ABC。面積的最大值.

71

【答案】(1)-

3

⑵26

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)余弦定理、三角形面積公式，結(jié)合輔助角公式、正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

,/8cosC=(2a—c)cosB,

由正弦定理得sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB,

2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC,

2sinAcosB=sin(B+C).

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理A+3+C=;z^^2sinAcos3=sin("—A)=sinA,

?0<A<zr,,?sinAw0,??cosB=一,

2

71

?；0<B<7T,:.B=—.

3

TT

12

tanZADC-tan—373-----

由已知tanZADB-tan(ZAZ)C--)=---------------=--------

61+tanZADCtan-1+3后也

63

所以A8=AOtan4D8=2后x氈=逑；

33

【小問2詳解】

設(shè)ZAT>3=e,則=ZC=ZADC=0+-,ZDBC=--0,

cos。cos。63

2^2

由正弦定理圖~=—―一得—C9S0=—坐—

sinCsinZDBC.TT...2TI小

sm(/8N+—)sm(----0)

63

2sin(6+cos2=sin(—-2),2(-^-sin^+—cos0)cos0=sin(—-0)=sin(6+—)，

632233

sin(6+馬=V5sin。cos0+cos20=—sin2^+—cos2^+—=sin(26+—)+—

322262

=sin(2^+—--)+-=-cos2(2^+—)+-=2sin2(^+-)-l+-,

3223232

2sin2(^+y)-sin(^+y)-1=0,

，是銳角，sin(^+|)>0,故解得sin(6+?)=笥叵，

—CD0歷

CDBC

BC=—%-----=——-——=2回-2V2

2471

sin(--^)sin—sin(--6>)sin(6>+-)

由正弦定理36所以33

解析幾何

1.（福建省福州高級中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題）

二ABC中，ZB=y,A,B是雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)C在E上，若（84+8C）-AC=0,則E的

離心率為（）

13

B.6+1C.婦D,2^+1

A.V5-1

22

【答案】D

【解析】

【分析】由題意，根據(jù)垂?直向量的數(shù)量積性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)，整理齊次方程，可得答案.

【詳解】由題意得，點(diǎn)C'在雙曲線的右支上.

設(shè)AC的中點(diǎn)為。，由(BA+BC)AC=0得3OJ_AC,

所以|剛=忸C|=2c,E白雙曲線的定義得|C4|=|CB|+2a=2c+2a.

71

在△ABO中，BDA.A1D,AABD=~,

A￡>+c

.sin^_ll_?所6a+c

3\AB\2c22c

整理得e=￡=3里.

a2

故選：D.

2.(湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)

設(shè)拋物線G：y2=2?(p>0)|的焦點(diǎn)為尸(1,0),點(diǎn)尸(2,2).已知以點(diǎn)EP為焦點(diǎn)的橢圓C2與拋物線G有公共點(diǎn)，

則該橢圓的離心率的最大:值為()

A④

A.-----B.-C.—D.6

2332

【答案】C

【解析】

14

【分析】求出橢圓長軸長的最小值，利用離心率定義可得解.

【詳解】由題意，拋物線方程為V=4x,準(zhǔn)線方程為x=—1,橢圓焦距2c=6，

由拋物線的定義可得拋物線上的點(diǎn)。到EP的距離和的最小值為點(diǎn)尸到拋物線準(zhǔn)線的距離3,即橢圓長

軸的最小值為2。=3,所以橢圓的離心率的最大值為好.

3

故選：C.

3.（重慶市南開中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）

r221

已知橢圓。：彳+彳v=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別是京，工，斜率為；的直線/經(jīng)過左焦點(diǎn)E且交C

于A,3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），設(shè)的內(nèi)切圓半徑為「△8片鳥的內(nèi)切圓半徑為弓，若工=3,

ri

則橢圓的離心率0=.

如圖所示，由橢圓定義可得|蝴|+|悟|=2a,忸耳|+|巡|=外,

設(shè)△4耳鳥的面積為S/△BRK的面積為S?

；（2a+2cHSRex以

由題意得j----------=^-=----------=￡=

5（2a+2c九邑-x2cx（-yB）乃九

設(shè)直線/:x=2y-c,則聯(lián)立橢圓方程與直線/,可得

[72>；2=/=（/+好萬一4%一*0,?。?^^，*"

令，=上.>],則2一h+_1]=（2±±2^=4^=^^=*，

r2y\yy如+枷5a--4c-_A

BABr40

e~

當(dāng)-^-=2=3時，有2—（3+，]=—3=—=>e2=—=>e=,故答案為：

r2k3j34__51644

15

4.（福建省福州高級中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題）

已知RjABC中，A（-l,0）,3（1,0）,NC4B=90。，AC=手，曲線E過C點(diǎn)，動點(diǎn)P在E上運(yùn)

動，且保持1PH+歸目的值不變.

（1）求曲線E的方程；

（2）過點(diǎn)（1,0）的直線/與曲線E交于M,N兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在定點(diǎn)。，使得QM-QN的值為定

值？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請說明理由.

r2

【答案】（1）—+/=1

2-

（2）存在點(diǎn)使得QATQN為定值一《

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件可知動點(diǎn)P運(yùn)動軌跡滿足橢圓定義，由橢圓的方程可的結(jié)果.

（2）分直線的斜率為零和不為零兩種情況分別計(jì)算.

【小問1詳解】

解：由題意，可得|P4|+|尸同=|C4|+|C@=2VL

而［4即=2<2及，

所以點(diǎn)尸的軌跡為以A,3為焦點(diǎn)，長軸長為20的橢圓，

由2a=2及，c=l，得a=6,b=l,

所以曲線E的方程為土+V=i.

2

【小問2詳解】

當(dāng)直線/的斜率為不為。時，設(shè)直線/的方程為x=my+l,設(shè)定點(diǎn)Q（r,0）

16

「'消'可得（心“+2%-1=0,

聯(lián)立方程組《

設(shè)N（孫必），

2m1

可得X+%E"2

m2+2

所以QM-QN=（王一，）（與一，）+y％=（叼1+1-/）（6%+1-,）+乂％

21、-I3\-2m7x2（2Z-3）/772-Iz\2

%?+2i?2+2v）加2+2、）

要使上式為定值，則2,一3=-,，解得，=』

24

此時QM-QN=—g+[l7

16

當(dāng)直線/的斜率為0時，M（-V2,0）,N出0）,此時，QM.QN=—\也符合.

7

所以，存在點(diǎn)Q（：,。），使得QM.QN為定值q.

16

5.（重慶市南開中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）

v-2v2

己知雙曲線-—4=1（。>0）的右焦點(diǎn)為尸（2,0）,過右焦點(diǎn)/作斜率為正的直線/，直線/交雙曲線的

a"a

右支于「，。兩點(diǎn)，分別交兩條漸近線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A,P在第一象限，。為原點(diǎn).

（I）求直線/斜率的取值范圍；

S

（2）設(shè)△。4尸，△03P,/XOPQ的面積分別是SNAP，SAOBP，SMPQ,求——任絲一的范圍.

〃QAP■S&OBP

解：（I）由題可知：雙曲線的方程為：土—二=1……2分

22

?-1^0

2=2=

（/2-1）y2+4/y+2=0=><A>0=>t2<I

ty-x—2

y?必<°

所以：0<r<l,即直線/的斜率范圍為4=2e（l,+oo）……4分

（2）方法一：設(shè)尸（玉,y）,漸近線方程為y=±x,則尸到兩條漸近線的距離4,4滿足:

17

dd厘.9=匠1吼=1……6分

'2V2722

Jy=x22\y=-x2-2

[ty=x-2A1-t-A\-t\ty=x-2B1+r,1+r

所以％”-S△剛=MoA\.dl\OB\-dngCjg亞士d@=七……8分

ziz2zi—r，i+zi—r

由」-=>(/2-1)/+4ry+2=0

SM”Q=S4OMP+S^OMQ=g|0F||力一為|={(%+%)2-4外坨=...io分

所以：：Q<r<l,.?.e(0,2)……12分

S70一"

S&OAP'S&OKPS&OAP'S^OBP

法二：設(shè)直線/:x=)+2,則有re(O,l),分別聯(lián)立雙曲線與漸近線有：

產(chǎn)—1/0

,:二:：吊--1)丁+4。+2=0=>,

4=8仔+l)>0n0<產(chǎn)<1,所以

力>。<0

27^772回2+i)

一4，2

則有>〃+y2=；^，yy,PQ=J*+i.

t—1PQ?-1l-t2

22

2",=>(/—l)y+4/y+4=0=>A2=16r-16(r-1)=16,

EI*-4f44n7白咨…6分

則有力+%=7^7，yy=-^-：'AB=ylr+l-

t—[ABt—1|r2-l|\-t2

設(shè)M為線段PQ的中點(diǎn)，因?yàn)椤?%=%+%，所以”也為線段45的中點(diǎn),

4

1「，7-i2(1-/)

則有()()12^-\AB2-PQ2\^——g.……9分

APBP=MA-MPMB+MP=MA-MP4L」M_iV

2

設(shè)%為原點(diǎn)。到直線AB的距離，則有［。=-7二，所以:

J產(chǎn)+1

SMPQ=鏟4=2PQ=8P。2

=^2(r+l),11分

22

SAOAP，SAOBP-AP<i-BPdAP-BP-d。^AB-PQ~^-d0

2o2。

18

s

因?yàn)镺vr<l,所以——處絲一e(V2,2).……12分

S^OAP,S4OBP

排列組合

1.（2022?江蘇常州期中）

已知（1—2x）2021=ao+0xH---142021/021,則￡+||+||T----

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】B

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【解析】由題意可知，當(dāng)x=0時，解得ao=1,當(dāng)x=；時，解得0=卬+?+景+lid---亨翁，則

夕+會+學(xué)+…+巽=一劭=一1，故答案選B.

2.（2022?江蘇連云港期中）

高三（1）班某天安排語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)、生物各一節(jié)課.若要求語文課比外語課先上，數(shù)學(xué)課

與物理課不相鄰，則編排方案共有▲種.

【答案】240

【考點(diǎn)】排列組合問題

【解析】由題意可得,因?yàn)閿?shù)學(xué)課與物理課不相鄰，所以先排除數(shù)學(xué)、物理課之外的其他課程，則有月,

而有5個空，需要讓數(shù)學(xué)、物理課插空，則有《，又語文課比外語課先上，且語文、外語課的前后順序共

兩類，則最后編排方案共有十=240種

3.（2022?江蘇南京市第一中學(xué)期中）

在二項(xiàng)式（x+；）”的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為128,把展開式中各項(xiàng)重新排列，則有理項(xiàng)都互不相鄰的概

yjx

率為（）

A±R3&_L

A.35D-4J1414

【答案】D

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理展開式與概率的應(yīng)用

19

7_立

【解析】由題意可知，2"=128,解得〃=7,則二項(xiàng)式展開式的通式可設(shè)為「+尸2,所以當(dāng)r=0,2,

A4/i

4,6時，為有理項(xiàng)，所以所求概率2=齊=言，故答案選D.

4.（2022?江蘇南京市中華中學(xué)期中）

已知（l-2x）"的二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)與第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中含爐的系數(shù)為（）

A.-312B.312C.-220D.220

【答案】D

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用

【解析】由題意可知，二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)與第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以《=優(yōu)，解得"=2+9=11,

則展開式的通項(xiàng)公式〃+1=3（-2x）（令k=2,則展開式中含x2的系數(shù)為6|X4=220,即展開式中含/

的系數(shù)為220,故答案選D.

5.（2022?江蘇南師附中期中）

2021年初，某市因新冠疫情面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，全國各地志愿者紛紛馳援.現(xiàn)

有5名醫(yī)生志愿者需要分配到兩家醫(yī)院（每人去一家醫(yī)院，每家醫(yī)院至少去1人），則共有（）

A.12種B.30種C.18種D.15種

【答案】B

【解析】兩種方案①4+1,②3+2；

①有CC屈=10個結(jié)果，②有C《G=20個結(jié)果.共有30個結(jié)果.

6.（2022?江蘇南通如皋市期中）（多選題）

已知（1—2￥嚴(yán)21=〃0+〃]X+〃加2+???+〃202112021,則

A.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為一1B.展開式中二項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)為第1010項(xiàng)

C.----H第=-1D.ai+2a2+3a3-\---1-202U2021=2021

【答案】AC

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用

【解析】由題意，在所給的等式中，令x=l,可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1—2）2必=-1,故選項(xiàng)A

正確；展開式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為G021，則Go212ao2；，且GM'GU，解得lOlOWrW1011,所

以展開式中二項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)為第1011和1012項(xiàng)，故選項(xiàng)B錯誤；

2D

在所給的等式中，令x=0,可得40=1,令x=g,可得40+與+巖----1■砥盤=0,

所以卜關(guān)+工+…+翁=一1,故選項(xiàng)C正確，對已知關(guān)系式兩邊同時求導(dǎo)可得：2021(1一統(tǒng)嚴(yán)°義(一

2020

2)=a1+2?2x+???+2021a2()2ix,令x=l,則2021(1—2產(chǎn)20><(_2)=m+2a2+…+2021“202i，所以m

+2。2+3。3+…+2021a2021=—4042,故選項(xiàng)D錯誤；綜上，答案選AC.

統(tǒng)計(jì)概率

1.(福建省福州高級中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題)

世衛(wèi)組織就新型冠狀病毒感染的肺炎疫情稱，新型病毒可能造成“持續(xù)人傳人通俗點(diǎn)說就是存在