2023-2024學(xué)年安徽省合肥市區(qū)屬中學(xué)高三上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

2023-2024學(xué)年安徽省合肥市區(qū)屬中學(xué)高三上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為則（）A． B．C． D．2．已知全集為，集合，則（）A． B． C． D．3．將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長度，則所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A． B． C． D．4．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，則a3=（）A．2 B．4 C． D．85．已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，則函數(shù)圖象以點(diǎn)為對(duì)稱中心的充要條件是()A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，命題：，的否定是（）A．， B．，C．， D．，7．已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則的取值范圍是A． B．C． D．8．如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位：），則該幾何體的表面積為()A． B．C． D．9．已知為銳角，且，則等于（）A． B． C． D．10．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（）A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里11．若sin(α+3π2A．-12 B．-1312．已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為____．14．《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十二尺，術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方高），則由此可推得圓周率的取值為________.15．一個(gè)長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則容器體積的最小值為_________.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,,則滿足的正整數(shù)的所有取值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，求的通項(xiàng)公式；（3）在第（2）問的條件下，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；18．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時(shí)檢測結(jié)束．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用元，設(shè)表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用（單位：元），求的分布列．20．（12分）我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀(jì)60年代天文學(xué)的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時(shí)間（脈沖星的自轉(zhuǎn)周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機(jī)構(gòu)觀測并統(tǒng)計(jì)了93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.（1）在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線與曲線的普通方程，并求出直線的傾斜角；（2）記直線與軸的交點(diǎn)為是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)的最大距離.22．（10分）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0；（Ⅲ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)模的求法，代入化簡即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，∵，代入可得，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義，復(fù)數(shù)模的求法及共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

對(duì)于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補(bǔ)集；對(duì)于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.3、D【解析】

先化簡函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對(duì)稱性得解.【詳解】,

將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,

再向右平移個(gè)單位長度,所得函數(shù)的解析式為,，可得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，故選D.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一，經(jīng)?？疾槎x域、值域、周期性、對(duì)稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等，其中公式運(yùn)用及其變形能力、運(yùn)算能力、方程思想等可以在這些問題中進(jìn)行體現(xiàn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意基礎(chǔ)知識(shí)的理解與落實(shí)．三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵，在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解．4、B【解析】

根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，，解得或（舍去）.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、A【解析】

由題可得出的坐標(biāo)為，再利用點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，即可求出和.【詳解】根據(jù)題意，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題和函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)命題的否定的定義，全稱命題的否定是特稱命題求解.【詳解】因?yàn)椋?，是全稱命題，所以其否定是特稱命題，即，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否定，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

方法一：令，則，，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，∴時(shí)，，，且，∴，即在上單調(diào)遞增，時(shí)，，，且，∴，即在上單調(diào)遞減，∴是函數(shù)的極大值點(diǎn)，∴滿足題意；當(dāng)時(shí)，存在使得，即，又在上單調(diào)遞減，∴時(shí)，，所以，這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾．綜上，．故選B．方法二：依據(jù)極值的定義，要使是函數(shù)的極大值點(diǎn)，須在的左側(cè)附近，，即；在的右側(cè)附近，，即．易知，時(shí)，與相切于原點(diǎn)，所以根據(jù)與的圖象關(guān)系，可得，故選B．8、C【解析】

由三視圖知，該幾何體是一個(gè)圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，據(jù)此可計(jì)算出答案.【詳解】由三視圖知，該幾何體是一個(gè)圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，該幾何體的表面積.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖的知識(shí)，幾何體的表面積的計(jì)算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.9、C【解析】

由可得，再利用計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運(yùn)用的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，再結(jié)合AB可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.在△ABC中，由正弦定理得，即，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.11、B【解析】

由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡即可.【詳解】因?yàn)閟inα+3π2=3故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式，靈活掌握公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】試題分析：由題意得，，所以，，所求雙曲線方程為．考點(diǎn)：雙曲線方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】總事件數(shù)為，目標(biāo)事件：當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6，具體事件有，共8種；當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6，則第二顆骰子隨便都可以，則有種；所以目標(biāo)事件共20中，所以。14、3【解析】

根據(jù)圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方高）,可得,進(jìn)而可求出的值【詳解】解:設(shè)圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.15、【解析】

一個(gè)長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均等于長方體的體對(duì)角線的長,長方體的體對(duì)角線的長為,所以容器體積的最小值為.16、20,21【解析】

由題意知數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)值檢驗(yàn)即可.【詳解】解:由題意知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,則;.當(dāng)時(shí),,.當(dāng)時(shí),,.由此可知,滿足的正整數(shù)的所有取值為20,21.故答案為:20,21【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)與求和公式,是綜合題,分清奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.（3）【解析】

（1）根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）由（1）利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（3）分類討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí),分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知,.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也滿足上式.所以.（2）解法一：由（1）可知,即.當(dāng)時(shí),,①當(dāng)時(shí),,所以,②當(dāng)時(shí),,③當(dāng)時(shí),,所以,④……當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)所以以上個(gè)式子相加,得.又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,所以,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.解法二：猜測：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.猜測：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：,命題成立；假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)時(shí),n為偶數(shù),由得故,時(shí),命題也成立.綜上可知,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)同理,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),命題仍成立.（3）由（2）可知.①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),,所以隨n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),的最大值是.②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對(duì)于任意的,不等式恒成立,只需,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用,分類討論奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式及求和方法,數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.18、(1)(2)當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，分類討論把不等式化為等價(jià)不等式組，即可求解．(2)由絕對(duì)值的三角不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”，分類討論，即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，不等式可化為或或，解得不等式的解集為．(2)由絕對(duì)值的三角不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”，所以當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值的不等式的求解，以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記含絕對(duì)值不等式的解法，以及合理應(yīng)用絕對(duì)值的三角不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率；（2）由題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，由此可得出隨機(jī)變量的分布列.【詳解】（1）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件，則；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為、、．則，，．故的分布列為【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了隨機(jī)變量分布列，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）79顆；（2）5.5秒.【解析】

（1）利用各小矩形的面積和為1可得，進(jìn)而得到脈沖星自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數(shù)；（2）平均值的估計(jì)值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.【詳解】（1）第一到第六組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，0.2，，0.05，其和為1所以，，所以，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有（顆）.（2）新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為（秒）.故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，涉及到平均數(shù)的估計(jì)值等知識(shí)，是一道容易題.21、（1），，直線的傾斜角為（2）【解析】

（1）由公式消去參數(shù)得普通方程，由公式可得直角坐標(biāo)方程后可得傾斜角；（2）求出直線與軸交點(diǎn)，用參數(shù)表示點(diǎn)坐標(biāo)，求出，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值．【詳解】（1）由，消去得的普通方程是：由，得，將代入上式，化簡得直線的傾斜角為（2）在曲線上任取一點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程