2023-2024學(xué)年福建廈門湖濱中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末調(diào)研模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年福建廈門湖濱中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末調(diào)研模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某地區(qū)高考改革，實行“3+2+1”模式，即“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科，則一名學(xué)生的不同選科組合有（）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種2．（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)（），若函數(shù)在上有唯一零點，則的值為（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或04．已知集合，，則（）A． B．C． D．5．為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A．向右平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向左平移個長度單位6．已知且，函數(shù)，若，則（）A．2 B． C． D．7．復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是A．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i8．已知（i為虛數(shù)單位，），則ab等于（）A．2 B．-2 C． D．9．的展開式中有理項有（）A．項 B．項 C．項 D．項10．已知等式成立，則（）A．0 B．5 C．7 D．1311．框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，實際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應(yīng)填入（）A．， B． C．， D．，12．如圖，這是某校高三年級甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測試的班級平均分的莖葉圖，則下列說法不正確的是（）A．甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的平均水平高于乙班B．甲班的數(shù)學(xué)成績的平均分比乙班穩(wěn)定C．甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的中位數(shù)高于乙班D．甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測試的總平均分是103二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數(shù)為__________．14．若將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位后所得的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為________________.15．在疫情防控過程中，某醫(yī)院一次性收治患者127人.在醫(yī)護(hù)人員的精心治療下，第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，那么第19天治愈出院患者的人數(shù)為_______________，第_______________天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.16．已知函數(shù)為奇函數(shù)，，且與圖象的交點為，，…，，則______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若方程有兩個不同實根，，證明：．18．（12分）某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查，為此需要抽驗1000人的血樣進(jìn)行化驗，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.方案②：按個人一組進(jìn)行隨機(jī)分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進(jìn)行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結(jié)果呈陰性，這個人的血只需檢驗一次（這時認(rèn)為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗，這樣，該組個人的血總共需要化驗次.假設(shè)此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應(yīng)相互獨立.（1）設(shè)方案②中，某組個人的每個人的血化驗次數(shù)為，求的分布列；（2）設(shè)，試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）19．（12分）橢圓：（）的離心率為，它的四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是直線上任意一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，求證：直線恒過一個定點.20．（12分）某商場為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，在進(jìn)場購物的顧客中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問卷調(diào)查．調(diào)查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下：滿意不滿意男女是否有的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)？若在購物體驗滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價值元的購物券．若在獲得了元購物券的人中隨機(jī)抽取人贈其紀(jì)念品，求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率．附表及公式：．21．（12分）已知函數(shù)，.(1)求的值；(2)令在上最小值為，證明：.22．（10分）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E為AB的中點，底面四邊形ABCD滿足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝1．（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

分兩類進(jìn)行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對應(yīng)的組合數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門，則有種組合；若一名學(xué)生物理和歷史都選，則有種組合；因此共有種組合.故選C【點睛】本題主要考查兩個計數(shù)原理，熟記其計數(shù)原理的概念，即可求出結(jié)果，屬于常考題型.2、D【解析】

利用，根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結(jié)果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式，關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，只需，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)的值，當(dāng)時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷；【詳解】解：∵（），∴，∴當(dāng)時，由得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極小值，∴只需，即.令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵，∴；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，，函數(shù)在上有且只有一個零點，∴的值是1或0.故選：C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，零點存在性定理的應(yīng)用，屬于中檔題.4、A【解析】

根據(jù)對數(shù)性質(zhì)可知，再根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】∵，集合，∴由交集運算可得.故選：A.【點睛】本題考查由對數(shù)的性質(zhì)比較大小，集合交集的簡單運算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】，所以要的函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位得到，故選D6、C【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式，知當(dāng)時，且，由于，則，即可求出.【詳解】由題意知：當(dāng)時，且由于，則可知：，則，∴，則，則.即.故選：C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，由分段函數(shù)解析式求自變量.7、B【解析】分析：化簡已知復(fù)數(shù)z，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得．詳解：化簡可得z=∴z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i.故選B．點睛：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算，涉及共軛復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題．8、A【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解．【詳解】，，得，．．故選：．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，是基礎(chǔ)題．9、B【解析】

由二項展開式定理求出通項，求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù)，即可求解.【詳解】，，當(dāng)，，，時，為有理項，共項.故選:B.【點睛】本題考查二項展開式項的特征，熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，，而，所以.故選：D【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了特殊值代入法，考查了數(shù)學(xué)運算能力.11、A【解析】

依題意問題是，然后按直到型驗證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計算7個數(shù)的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應(yīng)填入，，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

計算兩班的平均值，中位數(shù)，方差得到正確，兩班人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計算，錯誤，得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104，中位數(shù)是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位數(shù)是101，方差是37.6，則A，B，C正確.因為甲、乙兩班的人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計算，故D錯誤.故選：.【點睛】本題考查了莖葉圖，平均值，中位數(shù)，方差，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

分別用1和進(jìn)行分類討論即可【詳解】當(dāng)?shù)谝粋€因式取1時，第二個因式應(yīng)取含的項，則對應(yīng)系數(shù)為：；當(dāng)?shù)谝粋€因式取時，第二個因式應(yīng)取含的項，則對應(yīng)系數(shù)為：；故的展開式中的系數(shù)為.故答案為：3【點睛】本題考查二項式定理中具體項對應(yīng)系數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖像的對稱性，求得的最小值.【詳解】解：將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位長度，可得的圖象.根據(jù)圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，可得，，，即時，的最小值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)圖像的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.15、161【解析】

由題意可知出院人數(shù)構(gòu)成一個首項為1，公比為2的等比數(shù)列，由此可求結(jié)果．【詳解】某醫(yī)院一次性收治患者127人．第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且從第16天開始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，從第15天開始，每天出院人數(shù)構(gòu)成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則第19天治愈出院患者的人數(shù)為，，解得，第天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案為：16，1．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．16、18【解析】

由題意得函數(shù)f（x）與g（x）的圖像都關(guān)于點對稱，結(jié)合函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解即可．【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于點對稱，，函數(shù)關(guān)于點對稱，所以兩個函數(shù)圖象的交點也關(guān)于點（1，2）對稱，與圖像的交點為，，…，,兩兩關(guān)于點對稱，.故答案為：18【點睛】本題考查了函數(shù)對稱性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）將原不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求得的最大值即可；

（2）首先通過求導(dǎo)判斷的單調(diào)區(qū)間，考查兩根的取值范圍，再構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，探究在區(qū)間內(nèi)的最大值即可得證．【詳解】解：（1）由，即，即，令，則只需，，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，的取值范圍是；（2）證明：不妨設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，，要證，即證，由在上單調(diào)遞增，只需證明，由，只需證明，令，，只需證明，易知，由，故，，從而在上單調(diào)遞增，由，故當(dāng)時，，故，證畢．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，最值等，關(guān)鍵是要對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，把根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖像的交點個數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明不等式的問題，屬難題．18、（1）分布列見解析；（2）406.【解析】

（1）計算個人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為，呈陽性反應(yīng)的概率為，得到分布列.（2）計算，代入數(shù)據(jù)計算比較大小得到答案.【詳解】（1）設(shè)每個人的血呈陰性反應(yīng)的概率為，則.所以個人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為，呈陽性反應(yīng)的概率為.依題意可知，，所以的分布列為：（2）方案②中.結(jié)合（1）知每個人的平均化驗次數(shù)為：時，，此時1000人需要化驗的總次數(shù)為690次，時，，此時1000人需要化驗的總次數(shù)為604次，時，，此時1000人需要化驗的次數(shù)總為594次，即時化驗次數(shù)最多，時次數(shù)居中，時化驗次數(shù)最少，而采用方案①則需化驗1000次，故在這三種分組情況下，相比方案①，當(dāng)時化驗次數(shù)最多可以平均減少次.【點睛】本題考查了分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出方程組，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)點，，，由，，結(jié)合斜率公式化簡得出，，即，滿足，由的任意性，得出直線恒過一個定點.【詳解】（1）依題意得，解得即橢圓：；（2）設(shè)點，，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，滿足由的任意性知，，，即直線恒過一個定點.【點睛】本題主要考查了求橢圓的方程，直線過定點問題，屬于中檔題.20、有的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)；.【解析】

由題得，根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)；獲得了元購物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，，，．從中隨機(jī)抽取人，所有基本事件有個，其中僅有1人是女顧客的基本事件有個，進(jìn)而求出獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【詳解】解析：由題得所以，有的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)．獲得了元購物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，，，．從中隨機(jī)抽取人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共個．其中僅有1人是女顧客的基本事件有：，，，，，，，，共個．所以獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率．【點睛】本小題主要考查統(tǒng)計案例、卡方分布、概率等基本知識，考查概率統(tǒng)計基本思想以及抽象概括等能力和應(yīng)用意識，屬于中檔題．21、(1)；(2)見解析．【解析】

(1)將轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，令，故只需，即可求出的值；(2)由(1)知，可得，令，可證，使得，從而可確定在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，即，即可證出．【詳解】函數(shù)的定義域為，因為對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，