2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試第一部分專題一三角函數(shù)與平面向量微專題2三角恒等變換與解三角形大題考法3解三角形中的最值或范圍問題

大題考法3解三角形中的最值或范圍問題(2023·廣東模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且eq\f(cosA,a)＝eq\f(b－2cosC,2c).(1)求a的值；(2)若P為BC上一點，且eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，AP＝eq\r(3)，求角A的最大值．解：(1)因為eq\f(cosA,a)＝eq\f(b－2cosC,2c)，所以根據(jù)正弦定理可得eq\f(cosA,sinA)＝eq\f(b－2cosC,2sinC)，所以2cosAsinC＝bsinA－2cosCsinA，所以2sin(A＋C)＝bsinA，所以2sinB＝bsinA，所以根據(jù)正弦定理可得2b＝ba，b>0，所以a＝2.(2)因為eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，AP＝eq\r(3)，a＝2，所以AP⊥BC，又BC＝2，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\f(1,2)bcsinA，所以eq\f(2,bc)＝eq\f(sinA,\r(3))，又根據(jù)余弦定理可得：cosA＝eq\f(b2＋c2－4,2bc)≥eq\f(2bc－4,2bc)＝1－eq\f(2,bc)＝1－eq\f(sinA,\r(3))，(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b取得等號)，所以cosA≥1－eq\f(sinA,\r(3))，所以sinA＋eq\r(3)cosA≥eq\r(3)，所以2sin(A＋eq\f(π,3))≥eq\r(3)，所以sin(A＋eq\f(π,3))≥eq\f(\r(3),2)＝sineq\f(2π,3)，又A∈(0，π)，所以eq\f(π,3)<A＋eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，所以0<A≤eq\f(π,3)，所以A的最大值為eq\f(π,3).解決與解三角形有關(guān)的最值或范圍問題，一般有兩個方法：(1)轉(zhuǎn)化為某角的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求最值或范圍，須注意角的范圍．(2)利用基本不等式求解．(2023·佛山二模)已知△ABC為銳角三角形，且cosA＋sinB＝eq\r(3)(sinA＋cosB)．(1)若C＝eq\f(π,3)，求A；(2)已知點D在邊AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范圍．解：(1)因為C＝eq\f(π,3)，又cosA＋sinB＝eq\r(3)(sinA＋cosB)，所以cosA＋sin(eq\f(2π,3)－A)＝eq\r(3)sinA＋eq\r(3)cos(eq\f(2π,3)－A)，所以cosA＋eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(1,2)sinA＝eq\r(3)sinA＋eq\r(3)(－eq\f(1,2)cosA＋eq\f(\r(3),2)sinA)，所以(1＋eq\r(3))cosA＝(1＋eq\r(3))sinA，所以tanA＝1，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,4).(2)因為cosA＋sinB＝eq\r(3)(sinA＋cosB)，所以eq\r(3)sinA－cosA＝sinB－eq\r(3)cosB，所以2sin(A－eq\f(π,6))＝2sin(B－eq\f(π,3))，所以A－eq\f(π,6)＝B－eq\f(π,3)或A－eq\f(π,6)＋B－eq\f(π,3)＝π，所以A＝B－eq\f(π,6)或A＋B＝eq\f(3π,2)(舍)，又AD＝BD＝2，所以∠A＝∠ABD，所以∠CBD＝eq\f(π,6)，在△BCD中，由正弦定理可得eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BD,sinC)，所以eq\f(CD,\f(1,2))＝eq\f(2,sinC)，所以CD＝eq\f(1,sinC)，又sinC＝sin(eq\f(7π,6)－2B)，又△ABC為銳角三角形，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<A＝B－\f(π,6)<\f(π,2)，,0<B<\f(π,2)，,0<C＝\f(7π,6)－2B<\f(π,2)，))所以B∈(eq\f(π,3)，eq\f(π,2))，所以eq\f(7π,6)－