測(cè)試與檢測(cè)技術(shù)基礎(chǔ)課件

測(cè)試信號(hào)分析與處理

Signalanalysisandprocessinginmeasurement測(cè)試信號(hào)分析與處理2.1信號(hào)與測(cè)試系統(tǒng)分析2.2信號(hào)描述2.3數(shù)字信號(hào)處理2.1信號(hào)與測(cè)試系統(tǒng)圖2.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)信號(hào)測(cè)試系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

對(duì)於不同的被測(cè)參量，測(cè)試系統(tǒng)的構(gòu)成及作用原理可以不同；根據(jù)測(cè)試任務(wù)的複雜程度，一個(gè)測(cè)試系統(tǒng)也可以有簡(jiǎn)單和複雜之分；根據(jù)不同的作用原理，測(cè)試系統(tǒng)可以是機(jī)械的、電的、液壓的等等。 在對(duì)待屬性各異的各類測(cè)試系統(tǒng)中，常常略去系統(tǒng)具體的物理上的含義，而將其抽象為一個(gè)理想化的模型，目的是為了得到一類系統(tǒng)共性的規(guī)律。將系統(tǒng)中變化著的各種物理量，如力、位移、加速度、電壓、電流、光強(qiáng)等稱為信號(hào)。 因此，信號(hào)與系統(tǒng)是緊密相關(guān)的。信號(hào)按一定的規(guī)律作用於系統(tǒng)，而系統(tǒng)在輸入信號(hào)的作用下，對(duì)它進(jìn)行“加工”，並將該“加工”後的信號(hào)進(jìn)行輸出。通常將輸入信號(hào)稱為系統(tǒng)的激勵(lì)，而將輸出信號(hào)稱為系統(tǒng)的回應(yīng)。2.2信號(hào)描述一、信號(hào)的定義二、信號(hào)的分類三、信號(hào)時(shí)域和頻域描述方法四、週期信號(hào)的頻域描述五、週期信號(hào)的功率六、非週期信號(hào)的頻域描述七、隨機(jī)信號(hào)描述一、信號(hào)的定義“信號(hào)”(signal)一詞最初起源於“符號(hào)”、“記號(hào)”(sign)，它表示用來(lái)作為資訊向量的一個(gè)物體、一個(gè)標(biāo)記、一種語(yǔ)言的元素、或一個(gè)約定的符號(hào)等等。信號(hào)是信號(hào)本身在其傳輸?shù)钠瘘c(diǎn)到終點(diǎn)的過程中所攜帶的資訊的物理表現(xiàn)。

例如：品質(zhì)——彈簧系統(tǒng)在受到一個(gè)激勵(lì)後的運(yùn)動(dòng)狀況，可以通過系統(tǒng)品質(zhì)塊的位移——時(shí)間關(guān)係來(lái)描述。反映品質(zhì)塊位移的時(shí)間變化過程的信號(hào)則包含了該系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比的資訊。

雜訊的概念：雜訊(noise)也是一種信號(hào)；任何干擾對(duì)信號(hào)的感知和解釋的現(xiàn)象稱為雜訊。

信號(hào)與雜訊的區(qū)別純粹是人為的，且取決於使用者對(duì)兩者的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

例：齒輪雜訊信號(hào)理論必須包括雜訊理論。

二、信號(hào)的分類

信號(hào)的分類方法(signalclassifications)：基於信號(hào)的演變類型、信號(hào)的預(yù)定特點(diǎn)、或者信號(hào)的隨機(jī)特性的表像(phenomenological)分類法。規(guī)定兩類信號(hào)的能量(energy)分類法，兩類信號(hào)中一類為具有有限能量的信號(hào)，另一類為具有有限平均功率但具有無(wú)限能量的信號(hào)。基於信號(hào)的幅值或者獨(dú)立變數(shù)是連續(xù)還是離散的這一特點(diǎn)的形態(tài)(morphological)分類法?；缎盘?hào)模型中獨(dú)立變數(shù)個(gè)數(shù)的維數(shù)(dimensional)分類法。基於信號(hào)頻譜的頻率分佈形狀的頻譜(spectral)分類法。1、確定性信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)

分類方法1是考慮信號(hào)沿時(shí)間軸演變的特性所作的一種分類。根據(jù)這種時(shí)域分類法可定義兩大類信號(hào)：確定性信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)。確定性（deterministic）信號(hào)：可以用合適的數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)關(guān)係式來(lái)完整地描述或預(yù)測(cè)(predicable)其隨時(shí)間演變情形的信號(hào)。隨機(jī)（random）信號(hào)：具有不能被預(yù)測(cè)(unpredicable)的特性且只能通過統(tǒng)計(jì)觀察來(lái)加以描述的信號(hào)。確定性信號(hào)分為週期信號(hào)和非週期信號(hào)。週期(periodic)信號(hào)：定義：滿足下麵關(guān)係式的信號(hào)：x(t)=x(t+kT) (2.3)

式中，T——週期。週期信號(hào)一般又分為正余弦信號(hào)、多諧複合信號(hào)、和偽隨機(jī)信號(hào)。非週期(nonperiondic)信號(hào)：定義：不具有上述性質(zhì)的確定性信號(hào)。非週期信號(hào)又可分成準(zhǔn)週期(quasi-periodic)信號(hào)和瞬態(tài)(transient)信號(hào)兩類。正余弦(harmonic)信號(hào)具有如下的一般運(yùn)算式：偽隨機(jī)(pseudo-random)信號(hào)組成週期信號(hào)的一個(gè)特殊範(fàn)疇，它們具有準(zhǔn)隨機(jī)的特性。圖2.2正、余弦信號(hào)圖2.3偽隨機(jī)信號(hào)

非週期信號(hào)又可分成準(zhǔn)週期信號(hào)和瞬態(tài)信號(hào)兩類。準(zhǔn)週期信號(hào)：由多個(gè)具有不成比例週期的正弦波之和形成，或者稱組成信號(hào)的正（餘）弦信號(hào)的頻率比不是有理數(shù)。瞬態(tài)信號(hào)：時(shí)間歷程短的信號(hào)。圖2.5瞬態(tài)信號(hào)：x(t)—矩形脈衝信號(hào)；y(t)－衰減指數(shù)脈衝信號(hào)；z(t)－正弦脈衝；

隨機(jī)信號(hào)又可分成兩大類：平穩(wěn)(stationary)隨機(jī)和非平穩(wěn)(nonstationary)隨機(jī)信號(hào)。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)：信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特徵是時(shí)不變的。

圖2.6平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t)－寬頻信號(hào)（白雜訊）y(t)－經(jīng)低通濾波後的信號(hào)

非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)：不具有上述特點(diǎn)的隨機(jī)信號(hào)。圖2.7非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)按信號(hào)時(shí)域特性的表像分類法分類圖

2、能量信號(hào)和功率信號(hào)

能量(energy)信號(hào)：例如：在右圖所示的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)中： 由彈簧所積蓄的彈性勢(shì)能為x2(t);

若x(t)表達(dá)為運(yùn)動(dòng)速度，則x2(t)反映的是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)能。定義：當(dāng)x（t）滿足關(guān)係式

則稱信號(hào)x（t）為有限能量信號(hào)，簡(jiǎn)稱能量信號(hào)。矩形脈衝、衰減指數(shù)信號(hào)等均屬這類信號(hào)。圖2.8單自由度振動(dòng)系統(tǒng)2、能量信號(hào)和功率信號(hào)（續(xù)）功率(power)信號(hào)：當(dāng)信號(hào)滿足條件 亦即信號(hào)具有有限的（非零）平均功率，則稱信號(hào)為有限平均功率信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)。3、連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)分類依據(jù)：信號(hào)的幅值是連續(xù)的還是離散的；引數(shù)（即時(shí)間t）是連續(xù)的還是離散的。對(duì)於連續(xù)信號(hào)(continuoussignal)：引數(shù)和幅值均為連續(xù)的信號(hào)稱模擬(analog)信號(hào)；引數(shù)是連續(xù)、但幅值為離散的信號(hào)，則稱為量化(quantized)信號(hào)。對(duì)於離散信號(hào)(discretesignal)：信號(hào)的引數(shù)及幅值均為離散的，則稱為數(shù)字(digital)信號(hào)；信號(hào)的引數(shù)為離散值、但其幅值為連續(xù)值時(shí)，則稱該信號(hào)為被採(cǎi)樣(sampled)信號(hào)。信號(hào)按形態(tài)分類法加以區(qū)分的四種形式

三、信號(hào)時(shí)域和頻域描述方法

時(shí)域描述法(time-domaindescription)

：主要反映信號(hào)的幅值隨時(shí)間變化的特徵。分析系統(tǒng)時(shí)，除採(cǎi)用經(jīng)典的微分或差分方程外，還引入單位脈衝回應(yīng)和單位序列回應(yīng)的概念，借助於卷積積分的方法。頻域分析法(frequency-domaindescription)：將信號(hào)和系統(tǒng)的時(shí)間變數(shù)函數(shù)或序列變換成對(duì)應(yīng)頻率域中的某個(gè)變數(shù)的函數(shù)，來(lái)研究信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性。對(duì)於連續(xù)系統(tǒng)和信號(hào)來(lái)說(shuō)，常採(cǎi)用傅裏葉變換和拉普拉斯變換；對(duì)於離散系統(tǒng)和信號(hào)則採(cǎi)用Z變換。頻域分析法將時(shí)域分析法中的微分或差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，給問題的分析帶來(lái)了方便。實(shí)際信號(hào)的形式常常是比較複雜的。因此常常將複雜的信號(hào)分解成某些特定類型（易於實(shí)現(xiàn)和分析）的基本信號(hào)之和，如正弦信號(hào)、複指數(shù)型信號(hào)、階躍信號(hào)、沖激信號(hào)等等。信號(hào)的頻域描述即是將一個(gè)時(shí)域信號(hào)變換為一個(gè)頻域信號(hào)，將該信號(hào)分解成一系列基本信號(hào)的頻域表達(dá)形式之和，從頻率分佈的角度出發(fā)研究信號(hào)的結(jié)構(gòu)及各種頻率成分的幅值和相位關(guān)係。四、週期信號(hào)的頻域描述

在有限區(qū)間上，一個(gè)週期信號(hào)x（t）當(dāng)滿足狄裏赫利條件時(shí)可展開成傅裏葉級(jí)數(shù)(Fourierseries)：

式中，注意：an是n或nω0的偶函數(shù)，a-n=an；而bn則是n或nω0的奇函數(shù)，有b-n=-bn。

(2.12)(2.13)(2.14)

信號(hào)x（t）的另一種形式的傅裏葉級(jí)數(shù)運(yùn)算式：

式中，

An稱信號(hào)頻率成分的幅值(amplitude)，φn稱初相角(phase)。注意：An是n或nω0的偶函數(shù)，A-n=An；而bn則是n或nω0的奇函數(shù)，有φ-n=-φn。

比較式（2.12）和式（2.15），可見：（2.15）n＝1,2,……（2.16）

n＝1,2,……（2.17）

小結(jié)與討論式中第一項(xiàng)a0/2為週期信號(hào)中的常值或直流分量；從第二項(xiàng)依次向下分別稱信號(hào)的基波或一次諧波、二次諧波、三次諧波、……、n次諧波；將信號(hào)的角頻率ω0作為橫坐標(biāo)，可分別畫出信號(hào)幅值A(chǔ)n和相角φn隨頻率ω0變化的圖形，分別稱之為信號(hào)的幅頻譜和相頻譜圖。

由於n為整數(shù)，各頻率分量?jī)H在nω0的頻率處取值，因而得到的是關(guān)於幅值A(chǔ)n和相角φn的離散譜線。

週期信號(hào)的頻譜是離散的!

例1 求圖2.11所示的週期方波信號(hào)x（t）的傅裏葉級(jí)數(shù)。 解：

信號(hào)x（t）在它的一個(gè)週期中的運(yùn)算式為：

根據(jù)式（2.13）和（2.14）有：圖2.11週期方波信號(hào)

注意：本例中x(t)為一奇函數(shù)，而cosnω0t為偶函數(shù)，兩者的積x(t)cosnω0t也為奇函數(shù)，而一個(gè)奇函數(shù)在上、下限對(duì)稱區(qū)間上的積分值等於零。

根據(jù)式（2.12），便可得圖2.11所示週期方波信號(hào)的傅裏葉級(jí)數(shù)運(yùn)算式為：

圖2.12週期方波信號(hào)的頻譜圖奇、偶函數(shù)的傅裏葉係數(shù)計(jì)算特點(diǎn)

x(t)為奇函數(shù)

由於x(-t)=-x(t)，因此， 由式（2.16）進(jìn)而有（2.18）（2.19）x(t)為偶函數(shù)由於x(-t)=x(t)，因而有進(jìn)而有圖2.14偶函數(shù)例，圖中函數(shù)為對(duì)稱於縱軸的三角波（2.20）（2.21）傅裏葉級(jí)數(shù)表達(dá)成指數(shù)函數(shù)的形式

由歐拉公式可知： 代入式（2.12）有：

令 則 或（2.22）（2.23）（2.24）（2.25） 求傅裏葉級(jí)數(shù)的複係數(shù)

Cn

Cn是離散頻率nω0的函數(shù)，稱為週期函數(shù)x(t)的離散頻譜。Cn一般為複數(shù)，故可寫為 且有（2.26）（2.27）（2.28）（2.29）離散頻譜的兩個(gè)重要性質(zhì)每個(gè)實(shí)週期函數(shù)的幅值譜是n（或nω0）的偶函數(shù)。當(dāng)週期信號(hào)有時(shí)間移位τ時(shí)，其振幅譜不變，相位譜發(fā)生±nω0τ弧度的變化。

週期信號(hào)的頻譜的特點(diǎn)週期信號(hào)的頻譜是離散譜；週期信號(hào)的譜線僅出現(xiàn)在基波及各次諧波頻率處；週期信號(hào)的幅值譜中各頻率分量的幅值隨著頻率的升高而減小，頻率越高，幅值越小。解：根據(jù)式（2.26）有

例2求週期矩形脈衝的頻譜，設(shè)週期矩形脈衝的週期為T，脈衝寬度為τ，如圖2.16所示。圖2.16週期矩形脈衝

由於ω0=2π/T，代入上式得 定義

則式（2.36）變?yōu)?根據(jù)式（2.25）可得到週期矩形脈衝信號(hào)的傅裏葉級(jí)數(shù)展開式為（2.36）（2.37）（2.38）（2.39）圖2.17週期矩形脈衝的頻譜（T=4τ）

通常將0≤ω≤2π/T這段頻率範(fàn)圍稱週期矩形脈衝信號(hào)的帶寬，用符號(hào)ΔC表示：

我們來(lái)考慮當(dāng)週期矩形脈衝信號(hào)的週期和脈寬改變時(shí)它們的頻譜變化的情形。

(2.40)圖2.18信號(hào)脈衝寬度與頻譜的關(guān)係

信號(hào)的脈衝寬度相同而週期不同時(shí)，其頻譜變化情形：圖2.19信號(hào)週期與頻譜的關(guān)係

五、週期信號(hào)的功率

一個(gè)週期信號(hào)x（t）的功率為：

將式（2.15）代入式（2.41），有

根據(jù)正交函數(shù)的性質(zhì)，式（2.41）展開後的結(jié)果為：

上式等號(hào)右端的第一項(xiàng)表示信號(hào)x（t）的直流功率，而第二項(xiàng)則為信號(hào)的各次諧波的功率之和。（2.41）（2.42）（2.43）

又因?yàn)?，故式?.43）又可寫為式(2.43)和式(2.44)稱巴塞伐爾（Parseval）定理。它表明：週期信號(hào)在時(shí)域中的信號(hào)功率等於信號(hào)在頻域中的功率。定義週期信號(hào)x（t）的功率譜為 其中Pn表示信號(hào)第n個(gè)功率譜點(diǎn)。功率譜的性質(zhì):Pn是非負(fù)的；Pn是n的偶函數(shù)；Pn不隨時(shí)移τ而改變。（2.44）（2.45）六、非週期信號(hào)的頻域描述

（一）傅裏葉變換與連續(xù)頻譜（二）能量譜（三）傅裏葉變換的性質(zhì)（四）功率信號(hào)的傅裏葉變換（一）傅裏葉變換與連續(xù)頻譜

設(shè)x（t）為(-T/2,T/2)區(qū)間上的一個(gè)週期函數(shù)。它可表達(dá)為傅裏葉級(jí)數(shù)的形式： 式中 將式（2.50）代入式（2.49）得

當(dāng)T→∞時(shí)，區(qū)間(-T/2,T/2)變成(-∞,∞)，另外，頻率間隔Δω=ω0=2π/T變?yōu)闊o(wú)窮小量，離散頻率nω0變成連續(xù)頻率ω。(2.49)(2.50)(2.51)

由式（2.51）得到 將式（2.52）中括弧中的積分記為： 它是變數(shù)ω的函數(shù)。則（2.52）式可寫為： 將X(ω)稱為x（t）的傅裏葉變換(Fouriertransform,FT)，而將x(t)稱為X(ω)的逆傅裏葉變換，記為：(2.52)(2.53)(2.54)(2.55)

非週期函數(shù)x（t）存在有傅裏葉變換的充分條件是x（t）在區(qū)間(-∞,∞)上絕對(duì)可積，即 但上述條件並非必要條件。因?yàn)楫?dāng)引入廣義函數(shù)概念之後，許多原本不滿足絕對(duì)可積條件的函數(shù)也能進(jìn)行傅裏葉變換。 若將上述變換公式中的角頻率ω用頻率f來(lái)替代，則由於ω=2πf，式（2.53）和（2.54）分別變?yōu)?/p>

(2.56)(2.57)小結(jié)：從式（2.57）可知，一個(gè)非週期函數(shù)可分解成頻率f連續(xù)變化的諧波的疊加。式中X(f)df的是諧波ej2πf的係數(shù)，決定著信號(hào)的振幅和相位。X(f)或X(ω)為x(t)的連續(xù)頻譜。由於X(f)一般為實(shí)變數(shù)f的復(fù)函數(shù)，故可將其寫為 將上式中的(或，當(dāng)變數(shù)為ω時(shí)）稱非週期信號(hào)x(t)的幅值譜，φ(f)（或φ(ω)）稱x(t)的相位譜。(2.59)

例4 求圖示單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜。 解：由式（2.56）有 於是圖2.21單邊指數(shù)函數(shù)

e-atξ(t)(a>0)圖2.22單邊指數(shù)函數(shù)e-atξ(t)(a>0)的頻譜

例5圖2.23所示為一矩形脈衝（又稱窗函數(shù)或門函數(shù)），用符號(hào)gT(t)表示： 求該函數(shù)的頻譜。 解：圖2.23矩形脈衝函數(shù)(2.59)

其幅頻譜和相頻譜分別為： 可以看到，窗函數(shù)gT(t)的頻譜GT(ω)是一個(gè)正或負(fù)的實(shí)數(shù)，正、負(fù)符號(hào)的變化相當(dāng)於在相位上改變一個(gè)π弧度。

(2.60)(2.61)(2.62)圖2.24矩形脈衝函數(shù)的頻譜GT(ω)

矩形脈衝函數(shù)與sinc函數(shù)之間是一對(duì)傅裏葉變換對(duì)，若用rect（t）表示矩形脈衝函數(shù)則有：（二）能量譜

一個(gè)非週期函數(shù)x（t）的能量定義為 將式（2.54）代入上式可得 對(duì)於實(shí)信號(hào)x(t)，有,式(2.64)變?yōu)?2.63)(2.64)

由此最後得 式（2.64）亦稱巴塞伐爾方程或能量等式。它表示，一個(gè)非週期信號(hào)x(t)在時(shí)域中的能量可由它在頻域中連續(xù)頻譜的能量來(lái)表示。 式（2.64）亦可寫成 其中，,稱S(ω)為x(t)的能量譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱能量譜函數(shù)。(2.65)(2.66)圖2.27矩形脈衝函數(shù)的能量譜曲線及能量表示(三)傅裏葉變換的性質(zhì)對(duì)稱性（亦稱對(duì)偶性）線性尺度變換性奇偶性時(shí)移性頻移性（亦稱調(diào)製性）卷積時(shí)域微分和積分頻域微分和積分對(duì)稱性（亦稱對(duì)偶性） 若有則有線性 如果有則(2.67)(2.68)尺度變換性(scaling)

如果有則對(duì)於實(shí)常數(shù)a，有若信號(hào)x（t）在時(shí)間軸上被壓縮至原信號(hào)的1/a，則其頻譜函數(shù)在頻率軸上將展寬a倍，而其幅值相應(yīng)地減至原信號(hào)幅值的1/|a|。信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)佔(zhàn)有的頻帶寬成反比。(2.69)圖2.29窗函數(shù)的尺度變換（a=3）奇偶性x(t)為時(shí)間t的實(shí)函數(shù)x(t)為偶函數(shù)（x(t)=x(-t)），X(ω)為ω的實(shí)、偶函數(shù)；x(t)為奇函數(shù)（x(t)=-x(-t)），X(ω)為ω的虛、奇函數(shù)；x(t)為時(shí)間t的實(shí)函數(shù)

(2.73)(2.74)5.時(shí)移性(timeshifting)

如果有 則 例8求圖2.30所示矩形脈衝函數(shù)的頻譜。 解：該函數(shù)的運(yùn)算式可寫為

可視為一個(gè)中心位於座標(biāo)原點(diǎn)的矩形脈衝時(shí)移至t0點(diǎn)位置所形成。則

幅頻譜和相頻譜分別為(2.75)圖2.30具有時(shí)移t0的矩形脈衝圖2.31具有時(shí)移的矩形脈衝函數(shù)的幅頻和相頻譜圖形6.頻移性(frequencyshifting)（亦稱調(diào)製性） 如果有則ω0

——常數(shù)。(2.76)圖2.32x(t)cosω0t的頻譜7.卷積(convolution)時(shí)域卷積

如果有

則 式中x(t)*h(t)表示x(t)與h(t)的卷積。頻域卷積 如果有

則(2.79)(2.81)證明：（時(shí)域卷積）根據(jù)卷積積分的定義有其傅裏葉變換為由時(shí)移性知，代入上式得(2.80)圖2.34卷積的圖解時(shí)域微分和積分 如果有 則 以及 條件是X(0)=0。 證明：(1)

n階微分的傅裏葉變換公式：(2.87)(2.88)(2.89) (2) 設(shè)函數(shù)g(t)為 其傅裏葉變換為G(ω)。由於 利用(2.87)得 或 亦即 9.頻域微分和積分

如果有 則 進(jìn)而可擴(kuò)展為 和

式中 若x(0)=0，則有(2.91)(2.92)(2.93)(2.94)（四）功率信號(hào)的傅裏葉變換

只有滿足狄裏赫利條件的信號(hào)才具有傅裏葉變換，即。 有限平均功率信號(hào)，它們?cè)?-∞,∞)區(qū)域上的能量可能趨近於無(wú)窮，但它們的功率是有限的，即滿足 利用δ函數(shù)和某些高階奇異函數(shù)的傅立葉變換來(lái)實(shí)現(xiàn)這些函數(shù)的傅立葉變換。(2.95)1.單位脈衝函數(shù)在Δ時(shí)間內(nèi)激發(fā)有一矩形脈衝pΔ(t)，的幅值為，面積為1。當(dāng)Δ→0時(shí)，該矩形脈衝pΔ(t)的極限便稱為單位脈衝(impulse)函數(shù)或δ函數(shù)。性質(zhì)：（1）（2）(2.96)(2.97)圖2.36矩形脈衝函數(shù)與δ函數(shù)由δ函數(shù)的兩條性質(zhì)式(2.96)和(2.97)，可得 其中x(t)在t=t0時(shí)是連續(xù)的。單位脈衝函數(shù)δ(t)的傅裏葉變換： 即(2.99)(2.100)(2.101)圖2.37δ(t)及其傅裏葉變換時(shí)移單位脈衝函數(shù)δ(t-t0)的傅裏葉變換對(duì)：常數(shù)1的傅裏葉變換對(duì)：圖2.38δ(t-t0)及其傅裏葉變換圖2.39常數(shù)1及其傅立葉變換(2.102)(2.103)(2.104)單位脈衝函數(shù)δ(t)與任一函數(shù)x(t)的卷積證明：推廣可得(2.105)(2.106)圖2.41x(t-t1)與δ(t-t0)的卷積2.余弦函數(shù)

歐拉公式： 余弦函數(shù)的頻譜： 正弦函數(shù)的頻譜：圖2.42正、余弦函數(shù)及其頻譜(2.111)(2.110)(2.109)3.週期函數(shù)

週期函數(shù)x(t)的傅裏葉級(jí)數(shù)形式： 式中

x(t)的傅立葉變換為：一個(gè)週期函數(shù)的傅裏葉變換由無(wú)窮多個(gè)位於的各諧波頻率上的單位脈衝函數(shù)組成。(2.117)例12單位脈衝序列求它的傅裏葉變換。解：將x(t)表達(dá)為傅裏葉級(jí)數(shù)的形式於是有對(duì)式（2.119）兩邊作傅裏葉變換得根據(jù)式（2.117）可得亦即(2.118)(2.119)(2.120)一個(gè)週期脈衝序列的傅裏葉變換仍為（在頻域中的）一個(gè)週期脈衝序列。單個(gè)脈衝的強(qiáng)度為ω0=2π/T，且各脈衝分別位於各諧波頻率nω0=n2π/T上，n=0,±1,±2,…。圖2.47週期脈衝序列函數(shù)及其頻譜七、隨機(jī)信號(hào)描述

（一）概述（二）隨機(jī)過程的主要特徵參數(shù)均值、均方值和方差概率密度函數(shù)和概率分佈函數(shù)（一）概述隨機(jī)信號(hào)(randomsignal)特點(diǎn)：具有不能被預(yù)測(cè)的暫態(tài)值；不能用解析的時(shí)域模型來(lái)加以描述；能由它們的統(tǒng)計(jì)的和頻譜的特性來(lái)加以表徵。描述隨機(jī)信號(hào)必須採(cǎi)用概率統(tǒng)計(jì)的方法。樣本(samle)函數(shù)：隨機(jī)信號(hào)按時(shí)間歷程所作的各次長(zhǎng)時(shí)間的觀察，記作xi(t)。樣本記錄：在有限時(shí)間區(qū)間上的樣本函數(shù)。隨機(jī)過程：同一試驗(yàn)條件下的全部樣本函數(shù)的集（總體）(ensemble)，記為{x(t)}。(2.121)對(duì)隨機(jī)過程常用的統(tǒng)計(jì)特徵參數(shù)：均值、均方值、方差、概率密度函數(shù)、概率分佈函數(shù)和功率譜密度函數(shù)等。均值(meanvalue)：均方值(meansquarevalue)：這些特徵參數(shù)均是按照集平均(setaverage)來(lái)計(jì)算的，即在集中的某個(gè)時(shí)刻對(duì)所有的樣本函數(shù)的觀測(cè)值取平均。分類：平穩(wěn)隨機(jī)過程；非平穩(wěn)過程。平穩(wěn)隨機(jī)過程(stationaryrandomprocess)

：過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的平移而變化、或者說(shuō)不隨時(shí)間原點(diǎn)的選取而變化的過程。嚴(yán)格地說(shuō)便是：如果對(duì)於時(shí)間t的任意n個(gè)數(shù)值t1,t2,…,tn和任意實(shí)數(shù)ε，隨機(jī)過程{x(t)}的n維分佈函數(shù)滿足關(guān)係式對(duì)於一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，若它的任一單個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均統(tǒng)計(jì)特徵等於該過程的集平均統(tǒng)計(jì)特徵，則該過程稱為各態(tài)歷經(jīng)(ergodic)過程。工程中遇到的許多過程都可認(rèn)為是平穩(wěn)的；其中的許多都具有各態(tài)歷經(jīng)性。(2.124)（二）隨機(jī)過程的主要特徵參數(shù)均值、均方值和方差對(duì)於一個(gè)各態(tài)歷經(jīng)過程x(t)，其均值μx定義為

E[x]——變數(shù)x的數(shù)學(xué)期望值；

x(t)——樣本函數(shù)；

T——觀測(cè)的時(shí)間。均值μx表示信號(hào)的常值分量。隨機(jī)信號(hào)的均方值ψx2定義為

E[x2]——變數(shù)x2的數(shù)學(xué)期望值。均方值描述信號(hào)的能量或強(qiáng)度。Ψx2的平方根稱均方根值xrms

。(2.125)隨機(jī)信號(hào)的方差(variance)σx2定義為方差σx2表示隨機(jī)信號(hào)的波動(dòng)分量，方差的平方根σx稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差(standarddeviation)。

μx、σx2、ψx2之間的關(guān)係為隨機(jī)過程的均值、方差和均方值的估計(jì)(estimate)公式為：(2.127)(2.128)(2.129)(2.130)(2.131)概率密度函數(shù)(probabilitydensityfunction)概率密度函數(shù)是指一個(gè)隨機(jī)信號(hào)的暫態(tài)值落在指定區(qū)間（x,x+Δx）內(nèi)的概率對(duì)Δx比值的極限值。概率密度函數(shù)p(x)則定義為：2.概率密度函數(shù)和概率分佈函數(shù)(2.134)(2.135)概率分佈函數(shù)(probabilitydistributionfunction)概率分佈函數(shù)P(x)表示隨機(jī)信號(hào)的暫態(tài)值低於某一給定值x的概率，即 式中Tx’為x(t)值小於或等於x的總時(shí)間。概率密度函數(shù)與概率分佈函數(shù)間的關(guān)係(2.137)(2.138)(2.139)利用概率密度函數(shù)還可來(lái)識(shí)別不同的隨機(jī)過程。圖2.51典型隨機(jī)信號(hào)的概率密度函數(shù)圖（a）正弦信號(hào)（初始相角為隨機(jī)量）（b）正弦加隨機(jī)雜訊（c）窄帶隨機(jī)信號(hào)（d）寬頻隨機(jī)信號(hào)2.2.7.3相關(guān)分析一、相關(guān)二、互相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)三、相關(guān)函數(shù)的工程意義及應(yīng)用一、相關(guān)(correlation)相關(guān)：用來(lái)描述一個(gè)隨機(jī)過程自身在不同時(shí)刻的狀態(tài)間，或者兩個(gè)隨機(jī)過程在某個(gè)時(shí)刻狀態(tài)間線性依從關(guān)係的數(shù)字特徵。圖2.52變數(shù)x和y的相關(guān)性（a）精確相關(guān)（b）中等程度相關(guān)（c）不相關(guān)評(píng)價(jià)變數(shù)x和y間線性相關(guān)程度的經(jīng)典方法：協(xié)方差σxy：

式中，E表示數(shù)學(xué)期望值；

μx=E[x]為隨機(jī)變數(shù)x的均值；

μy=E[y]為隨機(jī)變數(shù)y的均值；

相關(guān)函數(shù)ρxy： 式中σx、σy分別為x、y的標(biāo)準(zhǔn)偏差，而x和y的方差σx2和σy2則分別為（2.142）（2.143）（2.144）（2.145）

利用柯西—許瓦茲不等式(Cauchy-Schwarzinequality)

可知|ρxy|≤1。當(dāng)ρxy=1時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)均落在y-μy=m(x-μx)的直線上，因此x,y兩變數(shù)是理想的線性相關(guān)。當(dāng)ρxy=0時(shí)，(xi-μx)與(yi-μy)的正積之和等於其負(fù)積之和，因而其平均積σxy為0，表示x,y之間完全不相關(guān)。（2.146）二、互相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)

對(duì)於各態(tài)歷經(jīng)過程，可定義時(shí)間變數(shù)x(t)和y(t)的互協(xié)方差(cross-covariance)函數(shù)為 式中 稱x(t)與y(t)的互相關(guān)(cross-correlation)函數(shù)，引數(shù)τ稱為時(shí)移。（2.147）（2.148）

當(dāng)y(t)≡x(t)時(shí)，得自協(xié)方差(auto-covariance)函數(shù) 其中 稱為x(t)的自相關(guān)(auto-correlation)函數(shù)。週期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為週期函數(shù)，且兩者的頻率相同，但丟掉了相角資訊。同頻相關(guān)，不同頻不相關(guān)。（2.149）（2.150）圖2.53典型的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)曲線(a)自相關(guān)函數(shù)（b）互相關(guān)函數(shù)

例1求正弦函數(shù)x(t)=Asin(ωt+φ)的自相關(guān)函數(shù)。 解：正弦函數(shù)x(t)是一個(gè)均值為零的各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，其各種平均值可用一個(gè)週期內(nèi)的平均值來(lái)表示。 令ωt+φ=θ,則dt=dθ/ω,由此得正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)與原函數(shù)具有相同頻率的余弦函數(shù)，它保留了原信號(hào)的幅值和頻率資訊，但失去了原信號(hào)的相位資訊。自相關(guān)函數(shù)可用來(lái)檢測(cè)淹沒在隨機(jī)信號(hào)中的週期分量。

自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)的估計(jì)和具有限個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)N的相關(guān)函數(shù)估計(jì)的數(shù)字處理運(yùn)算式則為：（2.160）（2.161）（2.162）（2.163）三、相關(guān)函數(shù)的工程意義及應(yīng)用不同類別信號(hào)的辨識(shí)圖2.55典型信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)相關(guān)濾波(filteringbycorrelation)

圖4.79相關(guān)濾波頻譜分析儀原理框圖相關(guān)測(cè)速和測(cè)距圖2.56相關(guān)法測(cè)量聲傳播距離圖2.57帶鋼測(cè)速系統(tǒng)測(cè)量流速和流量圖2.58相在法測(cè)定流量2.2.7.4功率譜分析

2.2.7.4功率譜(powerspectrum)分析

一、自功率譜密度函數(shù)二、巴塞伐爾（Parseval）定理三、互功率譜密度函數(shù)四、自譜和互譜的估計(jì)五、工程應(yīng)用一、自功率譜密度函數(shù)

設(shè)x(t)為一零均值的隨機(jī)過程，且x(t)中無(wú)週期性分量，則其自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)在當(dāng)τ→∞時(shí)有 該自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)滿足傅裏葉變換的條件。對(duì)作傅裏葉變換可得 其逆變換為（2.167）（2.168）Sx(f)為x(t)的自功率譜密度函數(shù)(autopowerspectrum)，簡(jiǎn)稱自譜或功率譜。功率譜Sx(f)與自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)之間是傅裏葉變換對(duì)的關(guān)係，亦即式（2.167）和（2.168）稱為維納——辛欽（Wiener-Khintchine）公式。由於Rx(τ)為實(shí)偶函數(shù)，因此亦為Sx(f)實(shí)偶函數(shù)。圖2.59單邊功率譜和雙邊功率譜

當(dāng)τ=0時(shí)，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)和自功率譜密度函數(shù)Sx(f)的定義，可得Sx(f)曲線下麵和頻率軸所包圍的面積即為信號(hào)的平均功率；Sx(f)就是信號(hào)的功率譜密度沿頻率軸的分佈，故也稱為功率譜。（2.169）二、巴塞伐爾（Parseval）定理

設(shè)有變換對(duì)： 按頻域卷積定理有 令k=0，有 又令h(t)=x(t)，得 x(t)為實(shí)函數(shù)，故X(-f)=X*(f)，於是有巴塞伐爾定理：信號(hào)在時(shí)域中計(jì)算的總能量等於它在頻域中計(jì)算的總能量。 式（2.170）又稱信號(hào)能量等式。|X(f)|2稱能量譜，它是沿頻率軸的能量分佈密度。在整個(gè)時(shí)間軸上信號(hào)的平均功率可計(jì)算為 自譜密度函數(shù)與幅值譜之間的關(guān)係為（2.170）（2.171）（2.172）

對(duì)於單邊功率譜G(f)也應(yīng)滿足巴塞伐爾定理，故有

由此規(guī)定

Gx(f)的圖形如圖2.59中所示。（2.173）圖2.59單邊功率譜和雙邊功率譜

根據(jù)信號(hào)功率（或能量）在頻域中的分佈情況，將隨機(jī)過程區(qū)分為窄帶隨機(jī)、寬頻隨機(jī)和白雜訊等幾種類型。窄帶過程的功率譜（或能量）集中於某一中心頻率附近，寬頻過程的能量則分佈在較寬的頻率上，而白雜訊過程的能量在所分析的頻域內(nèi)呈均勻分佈狀態(tài)。三、互功率譜密度函數(shù)

若互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)滿足傅裏葉變換的條件，則定義Rxy(τ)的傅裏葉變換 為信號(hào)x(t)和y(t)的互功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱互譜密度函數(shù)(crosspowerspectrum)或互譜。 根據(jù)維納—辛欽關(guān)係，互譜與互相關(guān)函數(shù)也是一個(gè)傅裏葉變換對(duì)，即 因此Sxy(f)的傅裏葉逆變換為：（2.175）（2.176）

定義信號(hào)x(t)和y(t)的互功率為 因此互譜和幅值譜的關(guān)係為

正如Ryx(τ)≠Rxy(τ)一樣，當(dāng)x和y的順序調(diào)換時(shí)，Syx(τ)≠Sxy(τ)。但根據(jù)Rxy(-τ)=Ryx(τ)及維納—辛欽關(guān)係式，不難證明：

其中（2.177）（2.178）（2.179）

Sxy(f)也是含正、負(fù)頻率的雙邊互譜，實(shí)用中也常取只含非負(fù)頻率的單邊互譜Gxy(f)，由此規(guī)定 自譜是f的實(shí)函數(shù)，而互譜則為f的復(fù)函數(shù)，實(shí)部Cxy(f)稱為共譜(cospectrum)，虛部Qxy(f)稱為重譜(quadspectrum)，即 寫為幅頻和相頻的形式：（2.180）（2.181）（2.182）四、自譜和互譜的估計(jì)

定義功率譜亦即自譜的估計(jì)值 互譜的估計(jì)為（2.183）（2.184）（2.185）五、工程應(yīng)用求取系統(tǒng)的頻響(frequencyresponse)函數(shù) 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(s)或頻響函數(shù)H(jω)十分重要，在機(jī)器故障診斷等多個(gè)領(lǐng)域常要用到它。例1：機(jī)器由於其軸承的缺陷而在機(jī)器運(yùn)行中會(huì)造成衝擊脈衝信號(hào)，此時(shí)若用安裝在機(jī)殼外部的加速度感測(cè)器來(lái)接收時(shí)，必須考慮機(jī)殼的傳遞函數(shù)。例2：當(dāng)信號(hào)經(jīng)過一個(gè)複雜系統(tǒng)被傳輸時(shí)，系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)便必須要加以考慮。一個(gè)線性系統(tǒng)的輸出y(t)等於其輸入x(t)和系統(tǒng)的脈衝回應(yīng)h(t)的卷積，即 根據(jù)卷積定理，上式在頻域中化為 式中H(f)即為系統(tǒng)的頻響函數(shù)。

（2.192）（2.193）通過自譜和互譜來(lái)求取H(f)：

對(duì)式（2.193）兩端乘以各自的複共軛並取期望值有上式反映出輸入與輸出的功率譜密度和頻響函數(shù)間的關(guān)係；式中沒有頻響函數(shù)的相位資訊，因此不可能得到系統(tǒng)的相頻特性。

（2.194）

如果在式（2.193）兩端乘以x(f)的複共軛並取期望值，則有由於Sx(f)為實(shí)偶函數(shù)，因此頻響函數(shù)的相位變化完全取決於互譜密度函數(shù)的相位變化。式（2.195）將輸入、輸出的相位關(guān)係完全保留了下來(lái)，且在這裏輸入的形式並不一定限制為確定性信號(hào)，也可以是隨機(jī)信號(hào)。（2.195）通常一個(gè)測(cè)試系統(tǒng)往往受到內(nèi)部和外部雜訊的干擾。從而輸出也會(huì)帶入干擾。輸入信號(hào)與雜訊是獨(dú)立無(wú)關(guān)的，因此它們的互相關(guān)為零。結(jié)論：在用互譜和自譜求取系統(tǒng)頻響函數(shù)時(shí)不會(huì)受到系統(tǒng)干擾的影響。旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)特性檢測(cè)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)軸部件從起動(dòng)、升速到額定轉(zhuǎn)速的過程共經(jīng)歷了全部轉(zhuǎn)速的變化，因此在各個(gè)轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)狀態(tài)可用來(lái)對(duì)機(jī)器的臨界轉(zhuǎn)速、固有頻率和阻尼比等各參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。起動(dòng)和停車過程則包含了豐富的資訊。是常規(guī)運(yùn)行狀態(tài)下所無(wú)法獲得的?！捌俨紙D(waterfallplot)法”：在機(jī)械振動(dòng)或停車過程中將不同轉(zhuǎn)速下振動(dòng)的功率譜圖迭加而形成的一種圖。圖2.61旋轉(zhuǎn)機(jī)械的瀑布圖

由圖可見機(jī)器的回轉(zhuǎn)頻率n(r/min)及其各次諧波下譜峰高度，由此來(lái)得出機(jī)器的臨界轉(zhuǎn)速、固有頻率及阻尼比等數(shù)據(jù)。從圖可見，機(jī)器臨界轉(zhuǎn)速約為4000r/min，機(jī)器振動(dòng)的高次諧波分量很小，主要是回轉(zhuǎn)頻率處的譜峰，因此可判斷轉(zhuǎn)子存在有較嚴(yán)重的失衡。此外還可看到圖中頻率60HZ處有一譜峰值，它不隨轉(zhuǎn)速升高而改變，判斷為電源的脈動(dòng)干擾。2.3數(shù)字信號(hào)處理

數(shù)字信號(hào)處理(digitalsignalprocessing)：利用電腦或?qū)Ｓ眯盘?hào)處理設(shè)備，以數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)信號(hào)作採(cǎi)集、變換、綜合、估值與識(shí)別等處理。一、離散傅裏葉變換（DFT）二、離散傅裏葉變換的性質(zhì)三、採(cǎi)樣定理四、洩漏與加窗處理五、柵欄效應(yīng)六、快速傅裏葉變換（FFT）一、離散傅裏葉變換（DFT）

對(duì)於一個(gè)非週期的連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)來(lái)說(shuō)，它的傅裏葉變換應(yīng)該是一個(gè)連續(xù)的頻譜X(f)，其運(yùn)算公式根據(jù)第二章的內(nèi)容有（2.199）（2.200）圖2.63傅裏葉變換的幾種類型

對(duì)於無(wú)限連續(xù)信號(hào)的傅裏葉變換共有四種情況：對(duì)於非週期連續(xù)信號(hào)X(t)，頻譜X(f)是連續(xù)譜；對(duì)於週期連續(xù)信號(hào)，傅裏葉變換轉(zhuǎn)變?yōu)楦笛Y葉級(jí)數(shù)，因而其頻譜是離散的；對(duì)於非週期離散信號(hào)，其傅裏葉變換是一個(gè)週期性的連續(xù)頻譜；對(duì)於週期離散的時(shí)間序列，其頻譜也是週期離散的。結(jié)論：若x(t)是週期的，頻域中X(f)必然是離散的，反之亦然。若x(t)是非週期的，則X(f)一定是連續(xù)的，反之亦然。第四種亦即時(shí)域和頻域都是離散的信號(hào)，且都是週期的，給我們利用電腦實(shí)施頻譜分析提供了一種可能性。對(duì)這種信號(hào)的傅裏葉變換，我們只需取其時(shí)域上一個(gè)週期（N個(gè)採(cǎi)樣點(diǎn)）和頻域一個(gè)週期（同樣為N個(gè)採(cǎi)樣點(diǎn)）進(jìn)行分析，便可瞭解該信號(hào)的全部過程。DFT的定義：對(duì)有限長(zhǎng)度的離散時(shí)域或頻域信號(hào)序列進(jìn)行傅裏葉變換或逆變換，得到同樣為有限長(zhǎng)度的離散頻域或時(shí)域信號(hào)序列的方法，便稱為離散傅裏葉變換（digitalFouriertransform,DFT）或其逆變換（IDFT）。離散傅裏葉變換的公式：

式中

x(n)和X(k)分別為和的一個(gè)週期，此處將Δt和f0均歸一化為1。（2.205）（2.206）離散傅裏葉變換意義：可以對(duì)任意連續(xù)的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行採(cǎi)樣和截?cái)鄟K對(duì)其作離散傅裏葉變換的運(yùn)算，得到離散的頻譜，該頻譜的包絡(luò)即是對(duì)原連續(xù)信號(hào)真正頻譜的估計(jì)。離散傅裏葉變換的過程：時(shí)域採(cǎi)樣(samplingint-domain)；時(shí)域截?cái)?truncationint-doman)；頻域採(cǎi)樣(samplinginf-domain)。

圖2.64離散傅裏葉變換的圖解過程（一）圖2.64離散傅裏葉變換的圖解過程（二）圖2.64離散傅裏葉變換的圖解過程（三）三、採(cǎi)樣定理(samplingtheorem)

混疊（aliasing）：若採(cǎi)樣率過低即採(cǎi)樣間隔大，則系列的離散時(shí)間序列可能不能真正反映原始信號(hào)的波形特徵，在頻域處理時(shí)會(huì)出現(xiàn)頻率混淆。圖2.65不同採(cǎi)樣率對(duì)採(cǎi)樣信號(hào)產(chǎn)生的影響（一）圖2.65不同採(cǎi)樣率對(duì)採(cǎi)樣信號(hào)產(chǎn)生的影響（二）採(cǎi)樣定理：為避免混疊產(chǎn)生，要求的採(cǎi)樣頻率fs必須高於信號(hào)頻率成分中最高頻率fmax的兩倍，即乃奎斯特（Nyquist）頻率：在給定的採(cǎi)樣頻率fs條件下，信號(hào)中能被分辨的最高頻率。只有低於乃奎斯特頻率的頻率成分才能被精確地採(cǎi)樣，亦即為避免頻率混淆，應(yīng)使被分析信號(hào)的最高頻率fmax低於乃奎斯特頻率。（2.222）（2.223）圖2.66混疊產(chǎn)生的條件四、洩漏(leakage)與加窗(windowing)

圖2.67余弦信號(hào)加窗截?cái)嘣斐傻臎┈F(xiàn)象抑制或減小洩漏效應(yīng)的方法：選擇性能更好的特殊窗來(lái)替代矩形窗，亦即加窗處理。評(píng)價(jià)窗函數(shù)的性能指標(biāo)：3dB帶寬B：它是主瓣歸一化的幅值下降至-3dB時(shí)的帶寬。歸一化|W(f)|=20lg|W(f)/W(0)|，帶寬B的單位為Δω或Δf。旁瓣幅度A(dB)，表示為最大旁瓣峰值A(chǔ)smax與主瓣峰值A(chǔ)m之比，即20lg(Asmax/Am)。旁瓣峰值衰減率D（dB/decade），表示為最大旁瓣峰值與相距十倍頻處的旁瓣峰值之比，也是以分貝表示。理想的窗函數(shù)應(yīng)具有最小的B和A以及最大的D。

圖2.69常用窗函數(shù)的時(shí)域圖像圖2.70常用窗函數(shù)的頻譜五、柵欄效應(yīng)(picketfenceeffect)

柵欄效應(yīng)：若信號(hào)中某頻率成分的頻率fi等於，k/T即它與輸出的頻率採(cǎi)樣點(diǎn)相重合，那麼該譜線便可被精確地顯示出來(lái)；反之若fi與頻率採(cǎi)樣點(diǎn)不重合，便得不到顯示，所得的頻譜便會(huì)產(chǎn)生誤差。頻率解析度Δf：兩條譜線間的距離。當(dāng)被分析的時(shí)域信號(hào)長(zhǎng)度T（即窗寬T=NTs）和採(cǎi)樣頻率fs被確定之後，則頻率分辨Δf也被確定：（2.231）例：對(duì)余弦信號(hào)cos2πf0t作DFT。圖2.72週期信號(hào)作整週期截取的DFT（一）圖2.72週期信號(hào)作整週期截取的DFT（二）圖2.73週期函數(shù)作非整週期截取的DFT結(jié)論：

對(duì)週期信號(hào)作整週期截取是獲取正確頻譜的先決條件。六、快速傅裏葉變換（FFT）

離散傅裏葉變換的計(jì)算公式為： 式中N個(gè)點(diǎn)的X(k)需做N2次複數(shù)乘法和N(N-1)次複數(shù)加法。而做一次複數(shù)乘法需要做四次實(shí)數(shù)相乘和兩次實(shí)數(shù)相加，做一次複數(shù)加法需要做兩次實(shí)數(shù)相加。 例：N=1024時(shí)，則需要總共1,048,576次複數(shù)乘，即4,194,304次實(shí)數(shù)乘法。（2.232）（2.233）快速傅裏葉變換(FFT，F(xiàn)astFourierTransform)演算法的本質(zhì):充分利用因數(shù)WN的週期性和對(duì)稱性。對(duì)稱性：週期性：FFT演算法的基本思想：避免運(yùn)算中的重複運(yùn)算，將長(zhǎng)序列的DFT分割為短序列的DFT的線性組合，從而達(dá)到整體降低運(yùn)算量的目的。效果：使原來(lái)的N點(diǎn)DFT的乘法計(jì)算量從N2次降至為N/2log2N次，如N=1024，則計(jì)算量現(xiàn)在為5120次，僅為原計(jì)算量的4.88%。（2.234）（2.235）時(shí)間抽取(decimation-in-time)基2演算法

對(duì)式(2.232)，令N=2M,將x(n)序列分割成長(zhǎng)度各為N/2的奇序列和偶序列，即令n=2r和n=2r+1,，r=0,1,…,N/2-1則式（2.232）重寫為 式中 這是因?yàn)椋?.236）

令 則式（2.236）可改寫為 而 因此將式（2.239）完整地寫成（2.237）（2.238）（2.239）（2.240）

又因?yàn)椋虼俗罱K可得（2.241）圖2.74分割一次後的A(k)、B(k)及X(k)之間的關(guān)係（N=8）

按照上述思路繼續(xù)對(duì)A(k)和B(k)作奇偶序列分解。令r=2l，r=2l+1，l=0,1,…,N/4-1，則有： 令 則（2.242）（2.243）（2.244）（2.245）

同樣，令 則有：（2.246）（2.247）（2.248）（2.249）

對(duì)於一個(gè)N=8的序列，此時(shí)的C(k)、D(k)、E(k)和F(k)均已為兩點(diǎn)的序列，無(wú)需再分，此時(shí)有圖2.75FFT時(shí)間抽取演算法信號(hào)流圖（N=8）C(0)=x(0)+x(4)，E(0)=x(1)+x(5)C(1)=x(0)-x(4)，E(1)=x(1)-x(5)D(0)=x(2)+x(6)，F(xiàn)(0)=x(3)+x(7)D(1)=x(2)-x(6)，F(xiàn)(1)=x(3)-x(7)

在FFT的整個(gè)運(yùn)算過程中，每?jī)蓚€(gè)等式的運(yùn)算過程可以用一個(gè)形似蝴蝶結(jié)的“X”形結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示，八個(gè)等式對(duì)應(yīng)於四個(gè)蝶形結(jié)構(gòu)，因此這種信號(hào)流程圖稱為FFT的蝶形運(yùn)算流程圖，將這種運(yùn)算的基本單元稱為蝶形運(yùn)算單元(butterflycomputation)。圖2.76蝶形運(yùn)算單元時(shí)間抽取演算法的規(guī)律：分級(jí)運(yùn)算：將N個(gè)點(diǎn)的序列逐次對(duì)分，直至分到N/2個(gè)兩個(gè)點(diǎn)的序列為止。圖2.77 8點(diǎn)FFT時(shí)間抽取演算法信號(hào)流圖蝶形運(yùn)算單元組 每一級(jí)上的N/2個(gè)蝶形單元可分為若干組，我們稱之為蝶形運(yùn)算單元組，每一組中的蝶形單元有著相同的結(jié)構(gòu)和Wr因數(shù)分佈。Wr因數(shù)的分佈

Wr因數(shù)分佈的一般規(guī)律為： 其中m為級(jí)次。數(shù)據(jù)排列順序(dataordering)

從圖2.77可見，變換後的輸出序列X(k)按正序排列，但在輸入端序列的排列次序不是原來(lái)的自然順序，而變成了0，4，2，6，1，5，3，7。圖2.78數(shù)據(jù)整序方法（a）奇偶分解整序（b）碼位倒置整序測(cè)試系統(tǒng)特性分析一、概述信號(hào)與系統(tǒng)緊密相關(guān)。被測(cè)的物理量亦即信號(hào)作用於一個(gè)測(cè)試系統(tǒng)，而該系統(tǒng)在輸入信號(hào)亦即激勵(lì)的驅(qū)動(dòng)下對(duì)它進(jìn)行“加工”，並將經(jīng)“加工”後的信號(hào)進(jìn)行輸出。輸出信號(hào)的品質(zhì)必定差於輸入信號(hào)的品質(zhì)。受測(cè)試系統(tǒng)的特性影響；受信號(hào)傳輸過程中干擾的影響。一個(gè)測(cè)試系統(tǒng)與其輸入、輸出之間的關(guān)係：若已知輸入量和系統(tǒng)的傳遞特性，則可求出系統(tǒng)的輸出量。已知系統(tǒng)的輸入和輸出量，求系統(tǒng)的傳遞特性。已知系統(tǒng)的傳遞特性和輸出量，來(lái)推知系統(tǒng)的輸入量。希望輸入與輸出之間是一種一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)係，因此要求系統(tǒng)的傳遞特性是線性的。對(duì)於靜態(tài)測(cè)量，系統(tǒng)的線性特性要求並非是必須的，採(cǎi)取曲線校正和補(bǔ)償技術(shù)來(lái)作非線性校正較為容易。對(duì)於動(dòng)態(tài)測(cè)量，對(duì)測(cè)試裝置或系統(tǒng)的線性特性關(guān)係的要求便是必須的。在動(dòng)態(tài)測(cè)量的條件下，非線性的校正和處理難於實(shí)現(xiàn)且十分昂貴。圖2.52測(cè)試系統(tǒng)框圖二、測(cè)量誤差

定義：誤差E是指示值與真值或準(zhǔn)確值的差：E=xm-x (2.142) xm－指示值；

x－真值或準(zhǔn)確值。校正值或修正值B是與誤差E的數(shù)值相等但符號(hào)相反的值：B=x-xm (2.143)分類一（根據(jù)誤差的性質(zhì)）：系統(tǒng)誤差：定義：每次測(cè)量同一量時(shí)，呈現(xiàn)出相同的或確定性方式的那些測(cè)量誤差。產(chǎn)生原因：由標(biāo)定誤差、持久發(fā)生的人為誤差、不良儀器造成的誤差、負(fù)載產(chǎn)生的誤差、系統(tǒng)解析度局限產(chǎn)生的誤差等因素所產(chǎn)生。隨機(jī)誤差：定義：每次測(cè)量同一量時(shí)，其數(shù)值均不一致、但卻具有零均值的那些測(cè)量誤差。產(chǎn)生的原因有：測(cè)量人員的隨機(jī)因素、設(shè)備受干擾、實(shí)驗(yàn)條件的波動(dòng)、測(cè)量?jī)x器靈敏度不夠等。過失誤差或非法誤差：意想不到而存在的誤差。如實(shí)驗(yàn)中因過失或錯(cuò)誤引起的誤差，實(shí)驗(yàn)之後的計(jì)算誤差等。隨機(jī)誤差具有明顯的統(tǒng)計(jì)分佈特性。常常採(cǎi)用統(tǒng)計(jì)分析來(lái)估計(jì)該誤差的或然率大小。系統(tǒng)誤差則不可以用統(tǒng)計(jì)方法來(lái)處理，因?yàn)橄到y(tǒng)誤差是一個(gè)固定的值，它並不呈現(xiàn)一種分佈的特徵。系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差常常同時(shí)發(fā)生。圖2.53系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差(a)系統(tǒng)誤差大於隨機(jī)誤差(b)隨機(jī)誤差大於系統(tǒng)誤差分類二（根據(jù)測(cè)量的類型）：靜態(tài)誤差：定義：用來(lái)確定時(shí)不變測(cè)量值的線性測(cè)量?jī)x器，其傳遞特性為一常數(shù)。而相應(yīng)的非線性測(cè)量?jī)x器的輸入——輸出關(guān)係是用代數(shù)方程或超越方程來(lái)描述的。因而所產(chǎn)生的誤差一般僅取決於測(cè)量值大小而其本身不是時(shí)間的函數(shù)。這種誤差稱靜態(tài)誤差。動(dòng)態(tài)誤差：定義：在測(cè)量時(shí)變物理量時(shí)，要用微分方程來(lái)描述輸入——輸出關(guān)係。此時(shí)產(chǎn)生的誤差不僅取決於測(cè)量值的大小，而且還取決於測(cè)量值的時(shí)間過程。將這種誤差稱動(dòng)態(tài)誤差。三、測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性當(dāng)被測(cè)量是恒定的、或是慢變的物理量時(shí)，涉及到系統(tǒng)的靜態(tài)特性。靜態(tài)特性包括：重複性；漂移；誤差；精確度；解析度；線性度；非線性。重複性（亦稱精度）：表示由同一觀察者採(cǎi)用相同的測(cè)量條件、方法及儀器對(duì)同一被測(cè)量所做的一組測(cè)量之間的接近程度。表徵測(cè)量?jī)x器隨機(jī)誤差接近於零的程度。漂移：儀器的輸入未產(chǎn)生變化時(shí)其輸出所發(fā)生的變化。由儀器的內(nèi)部溫度變化和元件的不穩(wěn)定性引起。誤差：儀器的誤差有兩種表達(dá)方式：絕對(duì)誤差：用專門的測(cè)量單位來(lái)表示；相對(duì)誤差：表達(dá)為被測(cè)量的一個(gè)百分比值，或表達(dá)為某個(gè)專門值比如滿量程指示值的一個(gè)百分比。精確度：測(cè)量?jī)x器的指示值和被測(cè)量真值的符合程度，通過所宣稱的概率界限將儀器輸出與被測(cè)量的真值關(guān)聯(lián)起來(lái)。精確度是由諸如非線性、遲滯、溫度變化、漂移等一系列因素所導(dǎo)致的不確定度之和。靈敏度：?jiǎn)挝槐粶y(cè)量引起的儀器輸出值的變化。靈敏度有時(shí)亦稱增益或標(biāo)度因數(shù)。解析度：

當(dāng)一個(gè)被測(cè)量從一個(gè)相對(duì)於零值的任意值開始連續(xù)增加時(shí)，使指示值產(chǎn)生一定變化量所需的輸入量的變化量。如果指示值不是連續(xù)的，將指示的不連續(xù)步距值稱作解析度。數(shù)顯式儀器的解析度是指顯示值最後一位數(shù)的數(shù)距。

圖2.54解析度概念不同意義的例子線性度第一種定義：

用理論刻度的端點(diǎn)值來(lái)確定參考直線。一個(gè)無(wú)抑零範(fàn)圍的測(cè)量?jī)x器的這條直線規(guī)定為穿過零點(diǎn)和最大值的終點(diǎn)。線性度按誤差限的概念定義為最大的偏離量並以示值範(fàn)圍的百分比給出。第二種定義：

用定標(biāo)測(cè)量點(diǎn)來(lái)描述參考直線。採(cǎi)用線性回歸技術(shù)來(lái)求出該直線，使得測(cè)量值偏離該直線的誤差平方之和為最小值。而最大的偏離量則按照測(cè)量的不確定度的定義給出。測(cè)量不確定度規(guī)定為在某個(gè)概率之下不被超過的誤差值。

第一種定義主要用於描述以系統(tǒng)誤差為主的測(cè)量?jī)x器或系統(tǒng)；第二種定義用於以隨機(jī)誤差為主的測(cè)量系統(tǒng)。圖2.55線性度的兩種意義8. 遲滯、回差和彈性後效零點(diǎn)穩(wěn)定性在被測(cè)量回到零值且其他變化因素（如溫度、壓力、濕度、振動(dòng)等）被排除之後，儀器回到零指示值的能力。四、測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性（一）線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述；（二）用傳遞函數(shù)或頻率回應(yīng)函數(shù)描述系統(tǒng)的傳遞特性；（三）測(cè)試系統(tǒng)對(duì)典型激勵(lì)的回應(yīng)函數(shù)；（四）測(cè)試系統(tǒng)對(duì)任意輸入的回應(yīng)；（五）測(cè)試系統(tǒng)特性參數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)定；（一）線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

動(dòng)態(tài)測(cè)量中，測(cè)試裝置或系統(tǒng)本身應(yīng)該是一個(gè)線性的系統(tǒng)：我們僅能對(duì)線性系統(tǒng)作比較完善的數(shù)學(xué)處理；在動(dòng)態(tài)測(cè)試中作非線性校正還比較困難。 線性系統(tǒng)的輸入——輸出之間的關(guān)係：

x(t)為系統(tǒng)輸入；y(t)為系統(tǒng)輸出；An,…a0,bm,…b0為系統(tǒng)的系統(tǒng)的物理參數(shù)，若均為常數(shù)，方程便是常係數(shù)微分方程，所描述的系統(tǒng)便是線性定常系統(tǒng)或線性時(shí)不變系統(tǒng)。(2.144)線性時(shí)不變系統(tǒng)的基本性質(zhì)疊加性 如有x1(t)→y1(t),x2(t)→y2(t);則有

x1(t)+x2(t)→y1(t)+y2(t)。 (2.145)比例性 如有x(t)→y(t),則對(duì)任意常數(shù)a，均有

ax(t)→ay(t) (2.146)微分特性 如有x(t)→y(t),則有積分特性 如有x(t)→y(t),則當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時(shí)，有(2.147)(2.148)頻率保持性 如有x(t)→y(t)，若x(t)=x0ejωt,則y(t)=y0ej(ωt+φ)。證明：按比例性有其中，ω為某一已知頻率。根據(jù)微分特性有兩式相加有(2.149)(2.150)(2.151)

由於x(t)=x0ejωt,則

因此式（2.151）左邊為零，亦即 由此式（2.151）右邊亦應(yīng)為零，即 解此方程可得唯一的解為 其中φ為初相角。(二)用傳遞函數(shù)或頻率回應(yīng)函數(shù)描述系統(tǒng)的傳遞特性傳遞函數(shù) 若y(t)為時(shí)間變數(shù)t的函數(shù)，且當(dāng)t≤0時(shí)，有y(t)=0，則y(t)的拉普拉斯變換Y(s)定義為 式中s為複變數(shù)，s=a+jb,a>0。 若系統(tǒng)的初始條件為零，對(duì)式（2.144）作拉氏變換得(2.152)

將輸入和輸出兩者的拉普拉斯變換之比定義為傳遞函數(shù)H(s)，即

傳遞函數(shù)特性：傳遞函數(shù)H(s)不因輸入x(t)的改變而改變，它僅表達(dá)系統(tǒng)的特性；由傳遞函數(shù)H(s)所描述的一個(gè)系統(tǒng)對(duì)於任一具體的輸入x(t)都明確地給出了相應(yīng)的輸出y(t)；等式中的各係數(shù)an，an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0是一些由測(cè)試系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)特性所唯一確定了的常數(shù)。(2.153)頻率回應(yīng)函數(shù)

對(duì)於穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，可設(shè)s=jω，亦即原s=a+jb中的a=0，b=ω

，此時(shí)式（2.152）變?yōu)?/p>

上式即為信號(hào)章節(jié)中敘述過的單邊傅立葉變換公式。我們有

H(jω)稱測(cè)試系統(tǒng)的頻率回應(yīng)函數(shù)。頻率回應(yīng)函數(shù)是傳遞函數(shù)的特例。

頻率回應(yīng)函數(shù)也可對(duì)式（2.144）作傅立葉變換來(lái)推導(dǎo)得到，請(qǐng)自行推導(dǎo)。

(2.157)(2.158)傳遞函數(shù)和頻率回應(yīng)函數(shù)的區(qū)別在推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的初始條件設(shè)為零。而對(duì)於一個(gè)從t=0開始所施加的簡(jiǎn)諧信號(hào)激勵(lì)來(lái)說(shuō)，採(cǎi)用拉普拉斯變換解得的系統(tǒng)輸出將由兩部分組成：由激勵(lì)所引起的、反映系統(tǒng)固有特性的瞬態(tài)輸出以及該激勵(lì)所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。對(duì)頻率回應(yīng)函數(shù)H(jω)，當(dāng)輸入為簡(jiǎn)諧信號(hào)時(shí)，在觀察的時(shí)刻，系統(tǒng)的瞬態(tài)回應(yīng)已趨近於零，頻率回應(yīng)函數(shù)表達(dá)的僅僅是系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)輸出。用頻率回應(yīng)函數(shù)不能反映過渡過程，必須用傳遞函數(shù)才能反映全過程。

將頻率回應(yīng)函數(shù)H(jω)寫成幅值與相角表達(dá)的指數(shù)函數(shù)形式，有： 式中

A(ω)為複數(shù)H(jω)的模，稱之為系統(tǒng)的幅頻特性；φ(ω)為H(jω)的幅角，稱之為系統(tǒng)的相頻特性。 將H(jω)用實(shí)部和虛部的組合形式來(lái)表達(dá)：

P(ω)和Q(ω)均為ω的實(shí)函數(shù)，則(2.159)(2.160)(2.161)(2.162)(2.163)伯德圖將引數(shù)ω用對(duì)數(shù)座標(biāo)表達(dá)，幅值A(chǔ)(ω)用分貝（dB）數(shù)來(lái)表達(dá)，所得的對(duì)數(shù)幅頻曲線與對(duì)數(shù)相頻曲線稱為伯德（Bode）圖。圖2.59一階系統(tǒng)H(jω)=1/(1+jτω)的伯德圖乃奎斯特圖將系統(tǒng)H(jω)的實(shí)部P(ω)和虛部Q(ω)分別作為坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，畫出它們隨ω變化的曲線，且在曲線上注明相應(yīng)頻率。圖2.60一階系統(tǒng)H(jω)=1/(1+jτω)的乃奎斯特圖一階、二階系統(tǒng)的傳遞特性描述 將式（2.153）中分母分解為s的一次和二次實(shí)係數(shù)因數(shù)式（二次實(shí)係數(shù)式對(duì)應(yīng)其複數(shù)極點(diǎn)），即 則任何一個(gè)系統(tǒng)均可視為是由多個(gè)一階、二階系統(tǒng)的並聯(lián)。也可將其轉(zhuǎn)換為若干一階、二階系統(tǒng)的串聯(lián)。

(2.164)

同樣，根據(jù)式（2.158），一個(gè)n階系統(tǒng)的頻率回應(yīng)函數(shù)H(jω)仿照式（2.164）也可視為是多個(gè)一階和二階環(huán)節(jié)的並聯(lián)（或串聯(lián)）：(2.165)一階慣性系統(tǒng) 若系統(tǒng)滿足 則稱該系統(tǒng)為一階測(cè)試系統(tǒng)或一階慣性系統(tǒng)。 令

K=b0/a0－系統(tǒng)靜態(tài)靈敏度;

τ=a1/a0－系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)。 作拉氏變換，有 故系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(2.166)(2.168)(2.169)

例：右圖示出一液柱式溫度計(jì)，則輸入與輸出間有下述關(guān)係

R－傳導(dǎo)介質(zhì)的熱阻；

C－溫度計(jì)的熱容量。 兩邊作拉普拉斯變換，並令τ＝RC（τ為溫度計(jì)時(shí)間常數(shù)），則有 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 系統(tǒng)的頻率回應(yīng)函數(shù)：(2.170)(2.171)(2.172)圖2.61液柱式溫度計(jì)

液柱式溫度計(jì)的傳遞特性是一個(gè)一階慣性系統(tǒng)特性。系統(tǒng)傳遞特性的幅頻與相頻特性分別為：(2.173)(2.174)圖2.62一階系統(tǒng)的幅頻與相頻特性圖

圖2.63示出另外兩個(gè)一階系統(tǒng)的例子，由系統(tǒng)的相似性理論可知，它們都具有與圖2.61所示液柱式溫度計(jì)相同的傳遞特性，請(qǐng)自行加以推導(dǎo)驗(yàn)證。圖2.63一階系統(tǒng)（a）忽略品質(zhì)的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)（b）RC低通濾波電路二階系統(tǒng)

這便是二階系統(tǒng)的微分方程式。 令 ：系統(tǒng)靜態(tài)靈敏度； ：系統(tǒng)無(wú)阻尼固有頻率（rad/s）； ：系統(tǒng)阻尼比。 並對(duì)式（2.159）兩邊作拉普拉斯變換得(2.175)(2.176)

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 系統(tǒng)的頻率回應(yīng)函數(shù)則為：(2.177)(2.178)

圖2.64示出一個(gè)測(cè)力彈簧秤，它是一個(gè)二階系統(tǒng)。 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，亦x0=0，fi=0。由牛頓第二定律得： 式中，

fi－施加的力（N）；

x0－指針移動(dòng)距離（m）；

B－系統(tǒng)阻尼常數(shù)（N/m/s）；

Ks－彈簧係數(shù)（N/m）。 作拉普拉斯變換有圖2.64測(cè)力彈簧秤(2.179)(2.180)

令 式（2.180）變?yōu)?於是彈簧秤系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

(2.181)(2.182)

系統(tǒng)的幅頻特性為：二階系統(tǒng)的幅頻曲線(2.183)系統(tǒng)的相頻特性為：(2.184)二階系統(tǒng)的相頻曲線二階系統(tǒng)的伯德圖和乃奎斯特圖圖2.66二階系統(tǒng)的伯德圖圖2.67二階系統(tǒng)的乃奎斯特圖

圖2.68示出了其他形式的二階系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)相似性原理，它們具有與彈簧秤相同的傳遞函數(shù)和頻率回應(yīng)函數(shù)，請(qǐng)自行推導(dǎo)。圖2.68二階系統(tǒng)例（a）品質(zhì)彈簧阻尼系統(tǒng)（b）RLC電路(三)測(cè)試系統(tǒng)對(duì)典型激勵(lì)的回應(yīng)函數(shù)單位脈衝輸入下系統(tǒng)的脈衝回應(yīng)函數(shù) 單位脈衝函數(shù)δ(t)，其傅立葉變換Δ(jω)=1。同樣，對(duì)於δ(t)的拉氏變換Δ(s)=L[δ(t)]。因此，測(cè)試裝置在激勵(lì)輸入信號(hào)為δ(t)時(shí)的輸出將是Y(s)=H(s)X(s)=H(s)Δ(s)=H(s)。對(duì)Y(s)作拉普拉斯反變換可得裝置輸出的時(shí)域表達(dá)

h(t)為稱裝置的脈衝回應(yīng)函數(shù)或權(quán)函數(shù)。(2.185)

對(duì)於一階慣性系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)

可求得它們的脈衝回應(yīng)函數(shù)(2.186)圖2.69一階慣性系統(tǒng)的脈衝回應(yīng)函數(shù)

對(duì)於一個(gè)二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為 則可求得其脈衝回應(yīng)函數(shù)

(欠阻尼情況,?<1)

(臨界阻尼情況,?=1) (過阻尼情況,?>1)圖2.70二階系統(tǒng)的脈衝回應(yīng)函數(shù)

公式中所應(yīng)用的單位脈衝函數(shù)在實(shí)際中是不存在的，工程中常採(cǎi)取時(shí)間較短的脈衝信號(hào)來(lái)加以近似。比如給系統(tǒng)以短暫的衝擊輸入，其衝擊持續(xù)的時(shí)間若小於τ/10，則可近似認(rèn)為是一個(gè)單位脈衝輸入。圖2.72精確的和近似的脈衝回應(yīng)單位階躍輸入下系統(tǒng)的回應(yīng)函數(shù) 階躍函數(shù)和單位脈衝函數(shù)間的關(guān)係是 亦即 因此系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)激勵(lì)下的回應(yīng)便等於系統(tǒng)對(duì)單位脈衝回應(yīng)的積分。 一階慣性系統(tǒng)H(s)=1/(τs+1)對(duì)單位階躍函數(shù)的回應(yīng)，其回應(yīng)函數(shù)為 相應(yīng)的拉普拉斯運(yùn)算式為(2.204)(2.205)(2.206)(2.207)

當(dāng)時(shí)t=4τ，y(t)=0.982，此時(shí)系統(tǒng)輸出值與系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的回應(yīng)值之間的差已不足2%，可近似認(rèn)為系統(tǒng)已到達(dá)穩(wěn)態(tài)。一階裝置的時(shí)間常數(shù)應(yīng)越小越好。階躍輸入方式簡(jiǎn)單易行，因此也常在工程中採(cǎi)用來(lái)測(cè)量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

圖2.73一階系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的回應(yīng)

對(duì)於一個(gè)二階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其傳遞函數(shù)為 則它對(duì)階躍輸入的回應(yīng)函數(shù)可求得為

式中(欠阻尼情況)(2.208)(臨界阻尼情況)(2.209)(過阻尼情況)(2.210)圖2.74二階系統(tǒng)對(duì)單位階躍的回應(yīng)小結(jié)： 階躍回應(yīng)函數(shù)方程式中的誤差項(xiàng)均包含有因數(shù)e-AT項(xiàng)，故當(dāng)t→∞時(shí)，動(dòng)態(tài)誤差為零，亦即它們沒有穩(wěn)態(tài)誤差。但是系統(tǒng)的回應(yīng)在很大程度上取決於阻尼比?和固有頻率ωn，ωn越高，系統(tǒng)的回應(yīng)越快，阻尼比?直接影響系統(tǒng)超調(diào)量和振盪次數(shù)。當(dāng)?=0時(shí)，系統(tǒng)超調(diào)量為100%，系統(tǒng)持續(xù)振盪；當(dāng)?>1時(shí)，系統(tǒng)蛻化為兩個(gè)一階環(huán)節(jié)的串聯(lián)，此時(shí)系統(tǒng)雖無(wú)超調(diào)（無(wú)振盪），但仍需較長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)。當(dāng)?<1時(shí)，若選擇?在0.6~0.8之間，最大超調(diào)量約在2.5%~10%之間，對(duì)於5%~2%的允許誤差而認(rèn)為達(dá)到穩(wěn)態(tài)的所需調(diào)整時(shí)間也最短，約為(3~4)/?ωn

。因此，許多測(cè)量裝置在設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)也常常將阻尼比選擇在0.6~0.8之間。單位斜坡輸入下系統(tǒng)的回應(yīng)函數(shù) 斜坡函數(shù)也可視為是階躍函數(shù)的積分，因此系統(tǒng)對(duì)單位斜坡輸入的回應(yīng)同樣可通過系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的回應(yīng)的積分求得。 單位斜坡函數(shù)

一階系統(tǒng)的單位斜坡回應(yīng)為 其傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的輸出總滯後於輸入一個(gè)時(shí)間，因此系統(tǒng)始終存在有一個(gè)穩(wěn)態(tài)誤差。圖2.75單位斜坡函數(shù)圖2.76一階系統(tǒng)的單位階躍回應(yīng)(2.211)(2.212)(2.213)二階系統(tǒng)的斜坡輸入回應(yīng)為：欠阻尼情況：臨界阻尼情況：過阻尼情況：其中其傳遞函數(shù)為：圖2.77二階系統(tǒng)斜坡回應(yīng)(2.114)(2.115)(2.116)(2.117)(四)測(cè)試系統(tǒng)對(duì)任意輸入的回應(yīng)

輸入信號(hào)x(t)，可將其用一系列等間距Δτ劃分的矩形條來(lái)逼近。則在kΔτ時(shí)刻的矩形條的面積為x(kΔτ)Δτ

。若Δτ充分小，則可近似將該矩形條看作是幅度為x(kΔτ)Δτ的脈衝對(duì)系統(tǒng)的輸入。而系統(tǒng)在該時(shí)刻的回應(yīng)則應(yīng)該為[x(kΔτ)Δτ]h(t-kΔτ)。在上述一系列的窄矩形脈衝的作用下，系統(tǒng)的零狀態(tài)回應(yīng)根據(jù)線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)的線性特性應(yīng)該為圖2.78任意輸入x(t)的脈衝函數(shù)分解(2.218)

當(dāng)Δτ→0（即k→∞），對(duì)上述式子取極限得 上述推導(dǎo)過程亦即卷積公式的另一種推導(dǎo)過程。將式（2.218）寫為 式（2.220）表明，系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)信號(hào)的回應(yīng)是該輸入激勵(lì)信號(hào)與系統(tǒng)的脈衝回應(yīng)函數(shù)的卷積。根據(jù)卷積定理，式（2.220）的頻域運(yùn)算式則為 若輸入x(t)也符合傅裏葉變換條件，則有(2.219)(2.220)(2.221)(2.222)(五)測(cè)試系統(tǒng)特性參數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)定一階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性參數(shù)測(cè)定靜態(tài)靈敏度K可通過靜態(tài)標(biāo)定來(lái)得到。求τ方法：方法一：對(duì)系統(tǒng)施加一階躍信號(hào)，然後求取系統(tǒng)達(dá)到最終穩(wěn)定值的63.2%所需時(shí)間作為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)τ

。這一方法的缺點(diǎn)是不精確。方法二：階躍試驗(yàn) 由一階系統(tǒng)的階躍回應(yīng)函數(shù)： 得(2.225)(2.226)

定義Z=ln[1-y(t)]

則有

進(jìn)而有 畫出Z與t的關(guān)係圖，則可得到一根斜率為-1/τ的直線(圖2.79)。從而可以得到更為精確的值。根據(jù)所測(cè)得的數(shù)據(jù)點(diǎn)是否落在一根直線上的情況，我們可判斷該系統(tǒng)是否是一個(gè)一階系統(tǒng)。