流體力學(xué)課件第三章 流體運動學(xué)基礎(chǔ)

流體力學(xué)與

流體機(jī)械浙江工業(yè)大學(xué)2023/12/22第三章流體運動學(xué)基礎(chǔ)3.1研究流體運動的兩種方法3.2流體運動中的基本概念3.3連續(xù)性方程式3.4流體的伯努利方程式及應(yīng)用3.5動量定理及其應(yīng)用本章介紹流體運動學(xué)是研究流體的運動規(guī)律，即速度、加速度等各種運動參數(shù)的分布規(guī)律和變化規(guī)律。流體運動所應(yīng)遵循的物理定律，是建立流體運動基本方程組的依據(jù)。這些基本物理定律主要包括質(zhì)量守恒定律、動量平衡定律、動量矩平衡定律、能量守恒定律（熱力學(xué)第一定律）、熱力學(xué)第二定律、以及狀態(tài)方程等方程。本章介紹在自然界和工程中,流體大多處于運動狀態(tài),研究其運動規(guī)律具有更重要和普遍意義.由于流體易于變形,其運動比起離散的質(zhì)點系或固體的運動來得復(fù)雜.如何描述其復(fù)雜的運動成為研究運動規(guī)律和動力學(xué)的首要問題.在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)下,討論描述流體運動的方法,建立流場的概念,通過對流體微團(tuán)運動速度的分解,得出流體運動的三種形式:平移、轉(zhuǎn)動和變形,根據(jù)運動要素的特性對運動進(jìn)行分類.3.1研究流體運動的兩種方法流場充滿運動的連續(xù)流體的空間。在流場中，每個流體質(zhì)點均有確定的運動要素。研究流體運動的兩種方法：1）拉格朗日法（Lagrange）2）歐拉法（Euler）拉格朗日（Lagrange）法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利西北部的都靈，1813年4月10日卒于巴黎。19歲就在都靈的皇家炮兵學(xué)校當(dāng)數(shù)學(xué)教授。

1766年德國的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請說，在“歐洲最大的王”的宮廷中應(yīng)有“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。于是他應(yīng)邀去柏林，居住達(dá)二十年之久。在此期間他完成了《分析力學(xué)》一書，建立起完整和諧的力學(xué)體系。

1786年，他接受法王路易十六的邀請，定居巴黎，直至去世。近百余年來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。歐拉(Euler)瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國彼得堡去逝。歐拉出生於牧師家庭，自幼受父親的教育。13歲時入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲碩士學(xué)位。歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個物理的領(lǐng)域。他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。歐拉對數(shù)學(xué)的研究如此廣泛，因此在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理?；舅枷耄焊櫭總€流體質(zhì)點的運動全過程，記錄它們在運動過程中的各物理量及其變化規(guī)律?；緟?shù)：位移流體質(zhì)點的位置坐標(biāo)：幾點說明：1、對于某個確定的流體質(zhì)點，（a，b，c）為常數(shù)，t為變量——軌跡2、t為常數(shù)，（a，b，c）為變量——某一時刻不同流體質(zhì)點的位置分布3、a，b，c為Lagrange變量，不是空間坐標(biāo)函數(shù)，是流體質(zhì)點的標(biāo)號電話號碼“跟蹤”的方法獨立變量：（a,b,c,t）——區(qū)分流體質(zhì)點的標(biāo)志一、Lagrange法（拉格朗日法）1.流體質(zhì)點的位置坐標(biāo)：2.速度：3.流體質(zhì)點的加速度：質(zhì)點物理量：流體質(zhì)點的運動方程一、Lagrange法（拉格朗日法）√直觀性強(qiáng)、物理概念明確、可以描述各質(zhì)點的時變過程×

數(shù)學(xué)求解較為困難，一般問題研究中很少采用

優(yōu)缺點：一、Lagrange法（拉格朗日法）流體質(zhì)點和空間點是兩個完全不同的概念。獨立變量：基本思想：考察空間每一點上的物理量及其變化?？臻g一點上的物理量是指占據(jù)該空間點的流體質(zhì)點的物理量?？臻g點坐標(biāo)，時間(t)的函數(shù)(x,y,z)空間坐標(biāo)，也是流體質(zhì)點的位移按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)來推導(dǎo)加速度“站崗”的方法二、

Euler法（歐拉法）

流體質(zhì)點運動的加速度二、

Euler法（歐拉法）

矢量形式當(dāng)?shù)丶铀俣荣|(zhì)點加速度：遷移加速度第一部分：是由于某一空間點上的流體質(zhì)點的速度隨時間的變化而產(chǎn)生的，稱為當(dāng)?shù)丶铀俣鹊诙糠郑菏悄骋凰矔r由于流體質(zhì)點的速度隨空間點的變化而產(chǎn)生的，稱為遷移加速度當(dāng)?shù)丶铀俣荣|(zhì)點加速度：遷移加速度

——定常流動；——均勻流動密度的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)

壓強(qiáng)的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)

括弧內(nèi)可以代表描述流體運動的任一物理量，如密度、溫度、壓強(qiáng)，可以是標(biāo)量，也可以是矢量。全導(dǎo)數(shù)當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù)在工程實際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點的來龍去脈?；谏鲜鋈c原因，歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用。利用歐拉法得到的是場，便于采用場論這一數(shù)學(xué)工具來研究。采用歐拉法，加速度是一階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導(dǎo)數(shù)，所得的運動微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。拉格朗日法在研究爆炸現(xiàn)象以及計算流體力學(xué)的某些問題中方便。歐拉法的優(yōu)越性：兩種方法的比較

拉格朗日法歐拉法分別描述有限質(zhì)點的軌跡同時描述所有質(zhì)點的瞬時參數(shù)表達(dá)式復(fù)雜表達(dá)式簡單不能直接反映參數(shù)的空間分布直接反映參數(shù)的空間分布不適合描述流體元的運動變形特性適合描述流體元的運動變形特性拉格朗日觀點是重要的流體力學(xué)最常用的解析方法3.2流體運動中的基本概念一、定常流動與非定常流動定常流動：若流場中流體的運動參數(shù)（速度、加速度、壓強(qiáng)、密度、溫度、動能、動量等）不隨時間而變化，而僅是位置坐標(biāo)的函數(shù)，則稱這種流動為定常流動或恒定流動。非定常流動：若流場中流體的運動參數(shù)不僅是位置坐標(biāo)的函數(shù)，而且隨時間變化，則稱這種流動為非定常流動或非恒定流動。均勻流動：若流場中流體的運動參數(shù)既不隨時間變化，也不隨空間位置而變化，則稱這種流動為均勻流動。根據(jù)流體的流動參數(shù)是否隨時間而變化二、一維流動、二維流動、三維流動一維流動：流場中流體的運動參數(shù)僅是一個坐標(biāo)的函數(shù)。二維流動：流場中流體的運動參數(shù)是兩個坐標(biāo)的函數(shù)。三維流動：流場中流體的運動參數(shù)依賴于三個坐標(biāo)時的流動。3.2流體運動中的基本概念三、跡線與流線1、跡線：流場中某一個流體質(zhì)點所連續(xù)占據(jù)的位置連接而成的運動軌跡稱為跡線（Patuline）。

表示在某一段時間間隔內(nèi)某一特定流體質(zhì)點在空間所經(jīng)過的路線。如流星。假如在dt內(nèi)流體質(zhì)點沿AB跡線運動，取微元長度dL，其坐標(biāo)分量分別為dx，dy，dz。即有：屬拉格朗日法的研究內(nèi)容。2、流線：流線（streamline）是指某一瞬間對應(yīng)的流場中的所有質(zhì)點的運動方向所組成的線。u21uu2133u6545u46u流線流線表達(dá)式屬歐拉法（1）流線彼此不能相交。（2）流線是一條光滑的曲線，不可能出現(xiàn)折點。（3）定常流動時流線形狀不變，非定常流動時流線形狀發(fā)生變化。v1v2s1s2交點v1v2折點s強(qiáng)調(diào)的是空間連續(xù)質(zhì)點而不是某單個質(zhì)點

形成是在某一瞬間而不是一段連續(xù)時間內(nèi)表示的是質(zhì)點的速度方向而不是空間位置連線（4）流線簇的疏密反映了速度的大??；流線的性質(zhì)流線定義拉格朗日法歐拉法（t為自變量，

x,y,z為t

的函數(shù)）(x,y,z為t的函數(shù)，t為參數(shù)）質(zhì)點的運動軌跡某一瞬時，速度方向線研究方法微分方程跡線

4、流線的特點在定常流動中，流線與跡線重合為一條。在非定常流動中，流線的位置和形狀隨時間而變化，因此流線與跡線不重合。3、跡線、流線區(qū)別管道流（不可壓縮流體）噴管流（可壓縮流體）明渠流流體機(jī)械內(nèi)流按流場是否被固體邊界包圍分類粘性邊界層外部勢流外流四、內(nèi)流與外流1、流管：在流場中任取一條不與流線重合的封閉曲線L，在同一時刻過曲線L上的每一點作流線，這些流線所組成的管狀表面。①流體不能穿過流管，流管就像真正的管子一樣將其內(nèi)外的流體分開。②定常流動中，流管的形狀和位置不隨時間發(fā)生變化。2、流束：流管內(nèi)部的全部流體稱為流束。

3、總流：如果封閉曲線取在管道內(nèi)部周線上，則流束就是充滿管道內(nèi)部的全部流體，這種情況通常稱為總流。4、微元流束：截面積無窮小的流束。微元流束極限是流線。注意：流管與流線只是流場中的一個幾何面和幾何線，而流束不論大小，都是由流體組成的。五、流管與流束

1、過流斷面：在流束上作出與流線正交的橫斷面。

2、總流：截面積有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及風(fēng)管中的氣流都是總流?？偭鞣诸悾海?）有壓流動總流的全部邊界受固體邊界的約束，即流體充滿流道，如壓力水管中的流動。（2）無壓流動總流邊界的一部分受固體邊界約束，另一部分與氣體接觸，形成自由液面，如明渠中的流動。（3）射流總流的全部邊界均無固體邊界約束，如噴嘴出口的流動。六、過流斷面、流量和平均速度3、流量：單位時間內(nèi)通過某一過流斷面的流體量稱為流量。

體積流量：單位時間內(nèi)通過某一過流斷面的流體體積稱為體積流量，以qv表示質(zhì)量流量：單位時間內(nèi)通過某一過流斷面的流體質(zhì)量稱為稱為質(zhì)量流量，以qm表示。4、平均流速：常把通過某一過流斷面的流量qv與該過流斷面面積A相除，得到一個均勻分布的速度

。

七、流態(tài)、層流和湍流層流（或滯流）：流體質(zhì)點在流動過程中流線互不干擾，各股元流互相平行，層次分明的流態(tài)。湍流（或紊流）：流體質(zhì)點在流動過程中作縱向和橫向的不規(guī)則運動，元流內(nèi)各股細(xì)流互相更換位置，互相撞擊，產(chǎn)生湍動和旋渦的流態(tài)。1883年，雷諾(OsborneReynolds)通過大量實驗，終于發(fā)現(xiàn)了液體在管道中流動時有著兩種不同的流動狀態(tài)流體在流動過程中呈現(xiàn)出的狀態(tài)。實驗證明，流體的流態(tài)可以由雷諾準(zhǔn)數(shù)來判斷。Re<2320時為層流；Re>4000時為湍流；2320<

Re

<

4000為過渡流，極易轉(zhuǎn)變。雷諾實驗(課本P68）圖3-1雷諾實驗裝置1—水龍頭；2—容器；3—水管；4—容器；5—控制閥3.3流體流動的連續(xù)性方程在管路和明渠等流體力學(xué)計算中得到極為廣泛的應(yīng)用。

流體連續(xù)地充滿所占據(jù)的空間，當(dāng)流體流動時在其內(nèi)部不形成空隙，這就是流體運動的連續(xù)性條件。

質(zhì)量守恒定律(conservationofmass)

：若在某一定時間內(nèi)，流出的流體質(zhì)量和流入的流體質(zhì)量不相等時，則這封閉曲面內(nèi)一定會有流體密度的變化，以便使流體仍然充滿整個封閉曲面內(nèi)的空間；如果流體是不可壓縮的，則流出的流體質(zhì)量必然等于流入的流體質(zhì)量。連續(xù)性方程圖3-12流場中的微元平行六面體3.3流體流動的連續(xù)性方程一、直角坐標(biāo)系下連續(xù)性微分方程式在x方向上，dt時間內(nèi)通過左面流入的流體質(zhì)量為：

dt時間通過右面流出的流體質(zhì)量為：則dt時間內(nèi)沿x軸通過微元體表面的凈通量為-=3.3流體流動的連續(xù)性方程一、直角坐標(biāo)系下連續(xù)性微分方程式同理可得，在dt時間內(nèi)沿y軸和z軸方向流體質(zhì)量的變化為：在dt時間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為密度的變化產(chǎn)生質(zhì)量的變化開始瞬時流體的密度為ρ，經(jīng)過dt時間后的密度為3.3流體流動的連續(xù)性方程一、直角坐標(biāo)系下連續(xù)性微分方程式在dt時間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為兩者相等可壓縮流體非定常三維流動的連續(xù)性方程3.3流體流動的連續(xù)性方程可壓縮流體非定常三維流動的連續(xù)性方程可壓縮流體定常三維流動的連續(xù)性方程ρ＝const不可壓縮流體三維流動的連續(xù)性方程3.3流體流動的連續(xù)性方程不可壓縮流體三維流動的連續(xù)性方程物理意義：在同一時間內(nèi)通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。不可壓縮流體二維流動的連續(xù)性方程不論是對理想流體還是實際流體都適用。適用范圍：3.3流體流動的連續(xù)性方程

二、微元流束和總流的連續(xù)性方程一維流動的問題在管道中流動的流體在單位時間內(nèi)通過微元流管的任一有效截面的流體質(zhì)量都應(yīng)相等，即1、在流場中取一微元流束2、假定流體的運動是連續(xù)的、定常的研究對象：dA1

、dA2—分別為1、2兩個有效截面的面積，m2；V1

、V2—分別為dA1和dA2上的流速，也稱為真實流速，m/s；ρ1

、ρ2—分別為dA1和dA2處的流體密度，kg/m3。3.3流體流動的連續(xù)性方程

二、微元流束和總流的連續(xù)性方程流體在管道中的流動一維流動積分形式總流的連續(xù)性方程有效截面l和2上的平均流速3.3流體流動的連續(xù)性方程

二、微元流束和總流的連續(xù)性方程物理意義：當(dāng)流動為可壓縮流體定常流體動時，沿流動方向的質(zhì)量流量為一個常數(shù)。不可壓縮流體一維定常流動的總流連續(xù)性方程在同一總流上，流通截面積大的截面上流速小，在流通截面積小截面上流速大。圖3-13流場中的微元流束

【例3-4】假設(shè)有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規(guī)律為）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。試分析該流動是否連續(xù)。

【解】根據(jù)式（3-28）

所以故此流動不連續(xù)。不滿足連續(xù)性方程的流動是不存在的

【例3-5】有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布規(guī)律為u=x2siny，v=2xcosy，試分析該流動是否連續(xù)。

【解】根據(jù)式（3-29）所以

故此流動是連續(xù)的。

【例3-6】有一輸水管道，如圖3-14所示。水自截面1-1流向截面2-2。測得截面1-1的水流平均流速m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，試求截面2-2處的平均流速為多少？

【解】由式（3-33）得

(m/s)圖3-14輸水管道3.4.1

理想流體的運動微分方程式1、選取控制體：在所研究的運動流體中，任取一微小平行六面體，如圖所示。六面體邊長分別為dx、dy、dz，平均密度為

，頂點A處的壓強(qiáng)為p。2、受力分析質(zhì)量力：fx

dxdydz,fy

dxdydz,fz

dxdydz

表面力：設(shè)A點壓強(qiáng)為p時，則與其相鄰的ABCD、ADEH、ABGH三個面上的壓強(qiáng)均為p，而與這三個面相對應(yīng)的EFGH、BCFG、CDEF面上的壓強(qiáng)可由泰勒級數(shù)展開略去二階以上無窮小量而得到，分別為3.4流體的伯努利方程式及應(yīng)用則x、y、z軸向上的表面力分別為：

X軸：

Y軸：

Z軸：則根據(jù)牛頓第二定律有：歐拉運歐拉平

動微分比較

衡微分方程式方程式其中加速度項可分解為時變加速度和位變加速度之和：化簡整理得：歐拉運動微分方程式又可以表示為：3.4流體的伯努利方程式及應(yīng)用*3.4.1理想流體的運動微分方程

理想流體運動微分方程式是研究流體運動學(xué)的重要理論基礎(chǔ)?？梢杂门ｎD第二定律加以推導(dǎo)。

受力分析：1、質(zhì)量力：2、表面力：fxρdxdydz切向應(yīng)力＝0（理想流體）法向應(yīng)力＝壓強(qiáng)x軸正方向x軸正方向x軸負(fù)方向根據(jù)牛頓第二定律得x軸方向的運動微分方程理想流體的運動微分方程歐拉運動微分方程*3.4.1理想流體的運動微分方程一、運動微分方程在流線上的積分形式(1)不可壓縮理想流體的定常流動；(2)沿同一微元流束（也就是沿流線）積分；(3)質(zhì)量力只有重力。即可求得理想流體微元流束的伯努利方程。3.4.2理想的流體運動方程的積分－Bernoulli方程

假定流體是不可壓縮流體，則有定常流動乘以dx乘以dy乘以dz3.4.2理想的流體運動方程的積分－Bernoulli方程定常流動流線和跡線重合，則四式聯(lián)合3.4.2理想的流體運動方程的積分－Bernoulli方程積分

質(zhì)量力只有重力

對于同流線上的任意兩點1和2，則上式寫成理想流體流線上的伯努利方程若

，上式為靜力學(xué)基本方程。

3.4.2理想的流體運動方程的積分－Bernoulli方程適用范圍：理想流體不可壓縮均質(zhì)流體在重力作用下作一維定常流動并沿同一流線（或微元流束）流動。3.4.2理想的流體運動方程的積分－Bernoulli方程二、Bernoulli方程的物理意義與幾何意義

位能——壓力能——動能——勢能——機(jī)械能——Bernoulli方程表明，對于理想流體，其位置能、壓力能和動能可以互相轉(zhuǎn)換，但總和不變。Bernoulli方程為能量守恒方程在理想液體中的應(yīng)用或表現(xiàn)形式。1、物理意義3.4.2理想的流體運動方程的積分－Bernoulli方程bc1aa'2c'b'H總水頭線靜水頭線速度水頭位置水頭壓強(qiáng)水頭總水頭2、幾何意義注：理想流體的總水頭線是一條水平線實際流體的總水頭線是一條斜線3.4.2理想的流體運動方程的積分－Bernoulli方程1、實際流體微小流面的Bernoulli方程為克服阻力，1斷面到2斷面的能量損失同乘重度

3.4.3實際流體的Bernoulli方程2、實際總流的Bernoulli方程同乘以流體重量積分3.4.3實際流體的Bernoulli方程（1）勢能積分（2）動能積分——動能修正系數(shù)層流α=2紊流α=1.05~1.1≈13.4.3實際流體的Bernoulli方程（3）水頭損失積分實際流體的總流上的伯努利方程3.4.3實際流體的Bernoulli方程3、有能量輸入（Hi）或輸出（H0）的伯努利方程4、有分流（或匯流）的伯努利方程1122333.4.3實際流體的Bernoulli方程12綜上所述，伯努利方程式的應(yīng)用條件：

1、恒定流動；

2、質(zhì)量力僅有重力；

3、流體為不可壓縮流體，對于氣體，

4、所取過流斷面截面處為緩變流

3.4.3實際流體的Bernoulli方程例1:如圖所示,水槽液面至管道出口的垂直距離保持6.2米,水管全長330米,管道內(nèi)徑為106毫米.如果在此流動系統(tǒng)中壓頭損失為6米水柱,試求管道中水每分鐘可達(dá)到的流量.分析:取水槽液面為1-1截面,水流出口為2-2截面.取出口管中心線為水平基準(zhǔn)面.那么在1-1至2-2截面之間的伯努利方程為:已知:Z2=0,Z1=6.2m;D=106mm,hw=6mH20.

液面與出口均與大氣相通,故P1=P2=1.

由于1-1截面面積大大于2-2截面面積,故U1=0那么:6.2=+6U2=1.98m/sQ=0.785D2×U2=0.01746m3/s=1.05m3/min例2:用水泵將清水從開口水池送至距水池液面高20米之處的水塔上,水的流量為每小時15立方米,水從噴頭噴出要求壓強(qiáng)為1.5大氣壓(表壓),采用53毫米的水管輸送.如果全部管道的阻力損失為5米水柱,求泵的有效功率.一、畢托管取軸線0-0為位置水頭零位，在軸線1、2點處列Bernouli方程測量點速的儀器在點2處為流動駐點靜壓平衡條件ψ—流速修正系數(shù)，一般由實驗確定，ψ=0.973.4.4Bernoulli方程的應(yīng)用畢托管使用方法：

1.要正確選擇測量點斷面，確保測點在氣流流動平穩(wěn)的直管段。為此，測量斷面離來流方向的彎頭、變徑異形管等局部構(gòu)件要大于4倍管道直徑。離下游方向的局部彎頭、變徑結(jié)構(gòu)應(yīng)大于2倍管道直徑。

2.測量時應(yīng)當(dāng)將全壓孔對準(zhǔn)氣流方向，以指向桿指示。測量點插入孔應(yīng)避免漏風(fēng)，可防止該斷面上氣流干擾。用皮托管只能測得管道斷面上某一點的流速，由于斷面流量分布不均勻，因此該斷面上應(yīng)多測幾點，以求取平均值。

3.