灰色系統(tǒng)理論與建模

灰色系統(tǒng)理論與建?；疑到y(tǒng)理論基礎(chǔ)1982年，中國(guó)學(xué)者鄧聚龍教授創(chuàng)立的灰色系統(tǒng)理論，是一種研究少數(shù)據(jù)、貧信息不確定問題的新方法?；疑到y(tǒng)理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定系統(tǒng)為研究對(duì)象，主要通過對(duì)部分已知信息的生成、開發(fā)，提取有價(jià)值的信息、實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為、演化規(guī)律的正確描述和有效監(jiān)控?；疑到y(tǒng)模型對(duì)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有什么特別的要求和限制，因此應(yīng)用領(lǐng)域十分寬廣。

一、數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)與處理

首先，為了保證建模方法的可行性，需要對(duì)已知數(shù)據(jù)做必要的檢驗(yàn)處理。設(shè)參考數(shù)據(jù)為，計(jì)算數(shù)列的級(jí)比

如果所有的級(jí)比都落在可容覆蓋內(nèi)，則數(shù)列可以作為模型的數(shù)據(jù)進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)。

二、GM(1,1)模型的一般過程累加生成。設(shè)為原始序列

對(duì)進(jìn)行一次累加生成，得生成序列其中,GM(1,1)模型的一般過程2.建模。由構(gòu)造背景值序列其中，

一般取=0.5,建立白化方程(影子方程)為稱之為GM(1,1)模型的原始形式GM(1,1)模型的一般過程這里，符號(hào)GM(1,1)的含義如下：

GM（1，1）

GreyModel1階方程1個(gè)變量將上式離散化，微分變差分，得到GM(1,1)微分方程如下：稱之為GM(1,1)模型的基本形式。GM(1,1)模型的一般過程

其中a,b為待定系數(shù)，分別稱之為發(fā)展系數(shù)和灰色作量,a的有效區(qū)間是(-2,1)。3.求解參數(shù)。應(yīng)用最小二乘法可經(jīng)下式得：其中,GM(1,1)模型的一般過程4.建立預(yù)測(cè)公式GM(1,1)模型的一般過程5.檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?1)求出與之殘差，相對(duì)誤差求出原始數(shù)據(jù)平均值,殘差平均值:

GM(1,1)模型的一般過程(2)求出原始數(shù)據(jù)方差與殘差方差的均方差比值C和小誤差概率p:當(dāng)，，時(shí)，模型精度為一級(jí)。當(dāng)發(fā)展系數(shù)時(shí),則所建GM(1,1)模型則可用于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。

GM(1,1)模型的一般過程

精度檢驗(yàn)等級(jí)參照表相對(duì)誤差

關(guān)聯(lián)度均方差比值小誤差概率一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)0.010.050.100.200.900.800.700.600.350.500.650.800.950.800.700.60級(jí)比偏差檢驗(yàn)(3)級(jí)比偏差值檢驗(yàn)據(jù)數(shù)據(jù)預(yù)處理中的級(jí)比和a求出級(jí)比偏差如果，則可認(rèn)為達(dá)到一般要求；如果，則認(rèn)為達(dá)到較高要求。例題

設(shè)原始序列為：試用GM(1,1)模型對(duì)進(jìn)行模擬。第一步對(duì)作一階累加第二步對(duì)作緊鄰均值生成。令得于是，第三步對(duì)參數(shù)列進(jìn)行最小二乘估計(jì)。得第四步確定模型及時(shí)間相應(yīng)式第五步求的模擬值第六步還原求出的模擬值得第七步檢驗(yàn)誤差。殘差平方和平均相對(duì)誤差

誤差檢驗(yàn)表序號(hào)實(shí)際數(shù)據(jù)模擬數(shù)據(jù)殘差相對(duì)誤差12343.2783.3373.3903.6793.2303.35453.48173.61360.0460-0.0175-0.09170.06541.40%0.52%2.71%1.78%殘差修正GM(1,1)若用修正則稱修正后的時(shí)間響應(yīng)式為殘差修正GM(1,1)模型，簡(jiǎn)稱殘差GM(1,1)新陳代謝GM(1,1)

設(shè)原始序列為：

設(shè)為最新信息，置入最新信息，去掉最老信息，稱用建立的模型為新陳代謝GM(1,1)GM(1，1)模型的變換GM增量模型

對(duì)原始據(jù)時(shí)間序列采用特殊的預(yù)處理，即先進(jìn)行一累減算子運(yùn)算，分離出增量部分

再對(duì)增量序列建立普通GM(1,1)預(yù)測(cè)模型，最后再經(jīng)式

還原成總量。我們稱經(jīng)過這種變換的模型為灰色增量模型(IGM模型)。2.新初值GM模型—以為初始條件的GM模型

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論的新信息優(yōu)先原理，把的第n個(gè)分量作為灰色微分模型的初始條件，可以使模型精度有所提高。灰色微分方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為

還原值3.離散GM模型稱為離散GM(1,1)模型，即DGM(1,1)模型。時(shí)間響應(yīng)函數(shù)：這里，

還原值

DGM(1,1)模型是灰色預(yù)測(cè)模型的一種新形式，可以全面解釋原GM(1,1)模型從離散形式到連續(xù)形式轉(zhuǎn)變問題，用DGM(1,1)做純指數(shù)增長(zhǎng)序列預(yù)測(cè)模擬，結(jié)果完全符合增長(zhǎng)規(guī)律，解決了預(yù)測(cè)穩(wěn)定性問題。4.無偏GM(1,1)模型在求出之后,得到模型：無偏GM(1,1)模型令再令，建立無偏GM(1,1)模型與傳統(tǒng)的GM(1,1)模型相比，無偏GM(1,1)模型不存在傳統(tǒng)GM(1,1)模型所固有的偏差，因而就消除了傳統(tǒng)GM(1,1)模型在原始數(shù)據(jù)序列增長(zhǎng)率較大時(shí)失效的現(xiàn)象，使得其應(yīng)用范圍變得更加廣泛。此外，無偏GM(1,1)模型無需進(jìn)行累減還原，簡(jiǎn)化了建模步驟，提高了模型的計(jì)算速度。

無偏GM(1,1)模型實(shí)際應(yīng)用時(shí)，灰色模型維數(shù)的選擇也影響到預(yù)測(cè)的精度。對(duì)于維數(shù)的選擇將采用如下的方法：先由全部的個(gè)原始數(shù)據(jù)建立第一個(gè)無偏灰色預(yù)測(cè)模型，考慮所建立的模型是否符合實(shí)際要求，否則去掉，用剩余的個(gè)數(shù)據(jù)建立第二個(gè)無偏灰色模型，看是否符合實(shí)際要求，否則去掉，用剩余的個(gè)數(shù)據(jù)建立第三個(gè)無偏灰色模型，依此類推，直到第個(gè)數(shù)據(jù)被去掉為止。在所建立的個(gè)無偏灰色模型中選擇擬合最優(yōu)的曲線作為預(yù)測(cè)曲線。

灰色關(guān)聯(lián)分析

灰色關(guān)聯(lián)分析的基本思想根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷其聯(lián)系是否緊密。曲線越接近，相應(yīng)序列之間關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越小。關(guān)聯(lián)度

關(guān)聯(lián)度分析是分析系統(tǒng)中各因素關(guān)聯(lián)程度的方法，在計(jì)算關(guān)聯(lián)度前應(yīng)計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)。（1）關(guān)聯(lián)系數(shù)：設(shè)則關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為：式中：為第k個(gè)點(diǎn)和的絕對(duì)誤差為兩極最小差為兩極最大差成為分辨率，一般取對(duì)單位不一，初值不同的序列，在計(jì)算相關(guān)系數(shù)前應(yīng)首先進(jìn)行初始化，即對(duì)該序列所有數(shù)據(jù)分別除以第一個(gè)數(shù)據(jù)（2）關(guān)聯(lián)度和的關(guān)聯(lián)度灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度設(shè)系統(tǒng)行為序列與長(zhǎng)度相同，則稱為與的灰色