新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 對數(shù)函數(shù)單調性的應用（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性、單調性判斷即可.【詳解】解：對于A：為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B：為偶函數(shù)，且在上單調遞減，故B錯誤；對于C：定義域為，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；對于D：定義域為，且，故為偶函數(shù)，又，所以在上單調遞增，故D正確；故選：D2．B【解析】【分析】直接根據(jù)冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調性即可得出答案.【詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上遞增；函數(shù)在區(qū)間上單調遞減；函數(shù)在區(qū)間上遞增；函數(shù)在區(qū)間上遞增.故選：B.3．C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)和分段函數(shù)單調性依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，由指數(shù)函數(shù)單調性知：在上為減函數(shù)，A錯誤；對于B，由二次函數(shù)單調性知：在上單調遞減，在上單調遞增，B錯誤；對于C，由一次函數(shù)單調性知：，分別在和上單調遞增；又，在上為增函數(shù)，C正確；對于D，由對數(shù)函數(shù)單調性知：定義域為，且在定義域內為增函數(shù)，D錯誤.故選：C.4．D【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調性即得.【詳解】由題知的定義域為，令，則，函數(shù)單調遞增，當時，關于單調遞減，關于單調遞減，當時，關于單調遞增，關于單調遞增，故的遞增區(qū)間為．故選：D．5．A【解析】【分析】先求出函定義域，再通過換元法利用復合函數(shù)“同增異減”的性質得到結果【詳解】由，得，令，則，在上遞增，在上遞減，因為在定義域內為增函數(shù)，所以的單調遞減區(qū)間為，故選：A6．C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)復合函數(shù)的單調性，結合二次函數(shù)的單調性、對數(shù)型函數(shù)的定義域進行求解即可.【詳解】由，二次函數(shù)的對稱軸為：，所以二次函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，而函數(shù)是正實數(shù)集上的減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調性質可知：函數(shù)的單調增區(qū)間為，故選：C7．B【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調性，先分析外層函數(shù)的單調性可得a>1，再求導分析內層函數(shù)的單調性即可【詳解】函數(shù)（a>0且a≠1）在（4，+∞）上單調遞增，故外層函數(shù)是增函數(shù)，由此得a>1，又內層函數(shù)在區(qū)間在（4，+∞）上單調遞增，令則在（4，+∞）上恒成立，即3x2≥2a在（4，+∞）上恒成立故2a≤48，即a≤24，又由真數(shù)大于0，故64﹣8a≥0，故a≤8，由上得a的取值范圍是1<a≤8，故選：B.8．A【解析】【分析】分兩種情況討論：、，分別判斷單調性，結合已知單調區(qū)間求a的范圍，再利用二次函數(shù)性質求的取值范圍.【詳解】當時，則在定義域上遞減，不滿足題設；當時，則在定義域上遞增，又在上是增函數(shù)，所以，可得，即.由，故在上遞增，所以的取值范圍是.故選：A9．B【解析】【分析】轉化為函數(shù)在上單調遞增，且在上恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)的單調性以及不等式恒成立列式可求出結果.【詳解】因為函數(shù)在上單調遞減，所以函數(shù)在上單調遞增，且在上恒成立，所以，解得.故選：B10．A【解析】【分析】分別討論和兩種情況，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調性，可得a的范圍，根據(jù)充分、必要條件的概念，分析即可得答案.【詳解】當時，在為單調遞增函數(shù)，則恒成立，當時，在為單調遞減函數(shù)，由，可得，解得，綜上使成立a的范圍是，由題意：“選項”是使“”成立的充分而不必要條件，所以由“選項”可推出“”成立，反之不成立，分析選項可得，只有A符合題意，故選：A11．D【解析】【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)，將不等式轉化為，再利用函數(shù)的單調性求解.【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，又，，所以不等式，可化為，即，又因為在上單調遞增，所以在R上單調遞增，所以，解得.故選：D.12．D【解析】【分析】方法一:求出的解析式,直接帶入求解.方法二:設，則，判斷出在上為增函數(shù),由得，解不等式即可求出答案.【詳解】方法一:由得，則，解得或.方法二:根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域為，有，即函數(shù)為偶函數(shù)，設，則，在區(qū)間上，為增函數(shù)且，在區(qū)間上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，，解得或，故選：D．13．C【解析】【分析】判斷出，構造函數(shù)，判斷時的單調性，利用其單調性即可比較出a,b的大小，即可得答案.【詳解】由，得，設，則，當時，，單調遞增，因為，所以，所以，故，則，即有，故.故選：C.14．B【解析】【分析】先得到為偶函數(shù)，再構造函數(shù)，利用題目條件判斷單調性，進而得出大小關系.【詳解】函數(shù)的圖像關于直線對稱，可知函數(shù)的圖像關于直線對稱，即為偶函數(shù)，構造，當，，故在上單調遞減，且易知為奇函數(shù)，故在上單調遞減，由，所以.故選：B.15．C【解析】【分析】利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質比較，，大小，再利用給定函數(shù)性質求解作答.【詳解】依題意，，而偶函數(shù)在上單調遞減，則，而，即，所以.故選：C16．C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性判斷A、D選項，取特殊值法判斷B，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性以及不等式性質判斷C.【詳解】∵logax＞logay（0＜a＜1），∴0＜x＜y，∴y2＞x2，，故A和D錯誤；選項B，當,取x，y時，,但；顯然有tanx＞tany，故B錯誤；選項C，由0＜x＜y可得，故C正確；故選：C．17．D【解析】【分析】探討給定函數(shù)的性質，結合當時函數(shù)值的符號即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域為，，則有函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，選項B，C不滿足；當時，，即，因此，選項A不滿足，D符合條件.故選：D18．D【解析】【分析】由解析式得到函數(shù)的單調性和對稱軸，結合條件可得，兩邊平方轉為恒成立求解即可.【詳解】當時，單調遞減，；當時，單調遞減，故在上單調遞減：由，得的對稱軸方程為．若對任意的，不等式恒成立，所以，即，即對任意的恒成立，所以解得．故選：D．19．D【解析】根據(jù)分段函數(shù)在上的單調性可得出關于實數(shù)的不等式組，進而可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且有，即，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調性求參數(shù)，要注意分析每支函數(shù)的單調性及其在分界點處函數(shù)值的大小關系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20．A【解析】【分析】利用指數(shù)冪、對數(shù)的性質可比較的大小關系，再根據(jù)函數(shù)單調性求解即可.【詳解】因為，，．所以，又函數(shù)在上單調遞減，所以.故選：A．21．D【解析】【分析】設，確定的定義域、單調性和奇偶性，利用奇偶性將不等式轉化為，再利用的單調性解不等式即可.【詳解】設，因為對任意的恒成立，故的定義域為R，又是定義在R上的奇函數(shù)，又均在R上單調遞增，又對于函數(shù)，當時，明顯為單調遞增函數(shù)，當時，，由于在上單調遞減，故為單調遞增函數(shù)，又函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，故函數(shù)在R上單調遞增，在R上單調遞增.由，可得，即，從而，解得.故選：D.22．B【解析】【分析】若對數(shù)式的底相同，直接利用對數(shù)函數(shù)的性質判斷即可，若底不同，則根據(jù)結構構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性判斷大小．【詳解】對于的大?。海?，明顯；對于的大?。簶嬙旌瘮?shù)，則，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，即對于的大小：，，，故選B．【點睛】將兩兩變成結構相同的對數(shù)形式，然后利用對數(shù)函數(shù)的性質判斷，對于結構類似的，可以通過構造函數(shù)來來比較大小，此題是一道中等難度的題目．23．A【解析】【分析】由給定條件可得，，再用作商法比較m，n的大小即可.【詳解】因0<a<b<1，則，且lna＜lnb＜0，即有，因此，，即p>0，又m<0，n<0，則，于是得m<n<0，所以m<n<p.故選：A24．B【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)性質結合中間值比較可得．【詳解】，即，，而，所以，故選：B．25．A【解析】【分析】利用冪指對函數(shù)的性質逐一分析給定四個函數(shù)的單調性和奇偶性，可得結論．【詳解】解：是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調遞減，滿足條件；是非奇非偶函數(shù)，不滿足條件；是偶函數(shù)，但在區(qū)間上單調遞增，不滿足條件；是奇函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意.故選：．26．C【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質及放縮法有、，可比較，的大小，再由并構造，根據(jù)其單調性即可確定，的大小.【詳解】由題意，，，∴，由，則，而在上遞增，∴，故，即，∴.故選：C27．C【解析】【分析】構造函數(shù)，導數(shù)判斷其單調性，由此確定的大小.【詳解】設，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設，則,令，，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調遞增，所以，即，所以故選：C.28．C【解析】【分析】分析單調性和定義域可得，解不等式組即得解.【詳解】解：令，二次函數(shù)拋物線的對稱軸方程為，由復合函數(shù)的單調性可知，.又在上恒成立，所以，即，所以，解可得，．故選：C29．D【解析】【分析】由對數(shù)的運算法則求出a,然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的單調性分別對b,c進行放縮，最后求得答案.【詳解】由題意，，，，則.故選：D.30．B【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后由復合函數(shù)的單調性可得出答案.【詳解】由，得，當時，函數(shù)單調遞增，所以函數(shù)單調遞增；當時，函數(shù)單調遞減，所以所以函數(shù)單調遞減，故選：B.31．C【解析】【分析】先化簡出結合，然后再求交集.【詳解】由，則，所以集合所以故選：C32．A【解析】【分析】利用對數(shù)的單調性證明，即得解.【詳解】解：因為，則，則，所以，從而，所以故選：A．33．D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的意義將方程恰有兩個互異的實數(shù)解，轉化為各段上根的個數(shù)問題分類推理求解.【詳解】因關于x的方程恰有兩個互異的實數(shù)解，則有：有兩個不同的實根且無實根，或與各有一個實根，或無實根且有兩個不同的實根，當時，，函數(shù)為增函數(shù)，則函數(shù)在上最多一個零點，有兩個不同的實根不成立，當函數(shù)在上有一個零點時，必有，即，此時，，因此，當時，函數(shù)在上確有一個零點，方程必有一個實根，當，時，，函數(shù)，而函數(shù)對稱軸，即在上單調遞減，又，即在上必有一個零點，因此，方程必有一個實根，于是得當時，與各有一個實根，若方程無實根，必有，此時方程有兩個不同的實根，函數(shù)在上有兩個零點，當且僅當，解得，于是得當時，有兩個不同的實根且無實根，綜上得：當或時，方程恰有兩個互異的實數(shù)解，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：D【點睛】思路點睛：涉及分段函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以按各段零點個數(shù)和等于總的零點個數(shù)分類分段討論解決.34．B【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的圖象的特點解方程可判斷①；由奇函數(shù)的定義，解方程可判斷②；由對數(shù)不等式的解法可判斷③；由對數(shù)函數(shù)的運算性質可判斷④．【詳解】解：①函數(shù)，則，故①錯誤；②因為當時，，且，所以由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)得，故②錯誤；③若，可得，故③正確；④對于函數(shù)當且僅當取得等號，其定義域內任意都滿足，故④正確．故選：B．【點睛】本題關鍵在于正確運用函數(shù)的單調性、奇偶性和對稱性，以及函數(shù)圖象等基本性質.35．D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當時，利用函數(shù)單調性的性質可判斷出單調遞增，排除B；當時，利用復合函數(shù)單調性可判斷出單調遞減，從而得到結果.【詳解】由得定義域為，關于坐標原點對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，排除B；當時，，在上單調遞減，在定義域內單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調性可知：在上單調遞減，D正確.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關于原點對稱的前提下，根據(jù)與的關系得到結論；判斷單調性的關鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調性的性質和復合函數(shù)“同增異減”性得到結論.36．B【解析】【分析】利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關系，將0.01換成x,分別構造函數(shù),，利用導數(shù)分析其在0的右側包括0.01的較小范圍內的單調性，結合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關系.【詳解】,所以;下面比較與的大小關系.記,則,，由于所以當0<x<2時，,即,,所以在上單調遞增，所以,即,即;令,則,,由于，在x>0時,,所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調遞減，所以,即,即b<c;綜上，,故選：B.【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究相應函數(shù)的單調性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.37．B【解析】【分析】運用中間量比較，運用中間量比較【詳解】則．故選B．【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉化與化歸思想解題．38．A【解析】【分析】由題意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小關系，由，得，結合可得出，由，得，結合，可得出，綜合可得出、、的大小關系.【詳解】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.【點睛】本題考查對數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調性的應用，考查推理能力，屬于中等題.39．D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調性的性質可判斷每個選項中函數(shù)在的單調性.【詳解】對于A，當時，單調遞增，故A錯誤；對于B，，故在和上單調遞增，故B錯誤；對于C，在上單調遞增，故C錯誤；對于D，在上單調遞減，故D正確故選：D.【點睛】本題主要考查對函數(shù)單調性的判斷，根據(jù)基本初等函數(shù)的復合函數(shù)單調性進行判斷即可，屬于基礎題.40．B【解析】【分析】由題意得到函數(shù)為的偶函數(shù)，且在上為單調遞減函數(shù)，令，化簡不等式為，結合函數(shù)的單調性和奇偶性，得的，即，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為的偶函數(shù)，且在上為單調遞減函數(shù)，令，可得，則不等式可化為，即，即，又因為，且在上單調遞減，在為偶函數(shù)，所以，即，解得，所以不等式的解集為.故選：B.41．C【解析】若函數(shù)在上是單調增函數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)單調性可知，解不等式即可得到的取值范圍．【詳解】由題意得，設，根據(jù)對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)單調性可知：在上是單調增函數(shù)，且，所以，所以，故選:C．42．D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，即可得出的大小關系.【詳解】因為，，，所以.故選：D.【點睛】本題考查的是有關指數(shù)冪和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性，確定其對應值的范圍.比較指對冪形式的數(shù)的大小關系，常用方法：（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調性：，當時，函數(shù)遞增；當時，函數(shù)遞減；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調性：，當時，函數(shù)遞增；當時，函數(shù)遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等.43．D【解析】【分析】分析可知函數(shù)在上單調遞減，可求得，然后作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，可知兩個函數(shù)在上的圖象有兩個交點，從而可得知函數(shù)在上有且只有一個零點，利用二次函數(shù)的零點分布可求得實數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】當時，，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，此時，所以，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，不合乎題意；當時，即當時，此時，，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，不合乎題意；當時，即當時，，此時函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞減，由題意可得，解得，此時.當時，，可得，令，可得，因為，則，如下圖所示：因為，所以，函數(shù)與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，由題意可知，函數(shù)與函數(shù)在上的圖象有且只有一個交點，聯(lián)立，可得，設，則函數(shù)在上有且只有一個零點，二次函數(shù)的對稱軸方程為，只需，解得.綜上所述，.故選：D.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.44．BD【解析】【分析】確定函數(shù)是增函數(shù)，然后比較自變量的大小后可得正確選項．【詳解】是上的增函數(shù)，時，成立，成立，BD一定成立；與的大小關系不確定，A不一定成立；同樣與的大小關系也不確定，如時，，C也不一定成立．故選：BD．45．AB【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)和的單調性，即可判斷A是否正確；作出函數(shù)函數(shù)的函數(shù)圖象，根據(jù)圖像即可判斷B是否正確；作出函數(shù)的函數(shù)圖象，根據(jù)圖像即可判斷C是否正確；利用誘導公式，即可判斷D是否正確.【詳解】因為函數(shù)是單調遞減函數(shù)，所以；函數(shù)在上單調遞增，所以，即，故A正確；作出函數(shù)的函數(shù)圖象，如下圖所示：由圖象可知，；故B正確；作出函數(shù)的函數(shù)圖象，如下圖所示：當時，可知；故C錯誤；，，,所以，故D錯誤.故選：AB.46．AD【解析】【分析】由題意可知，利用“同增異減”可知A正確，結合的對稱性可知的圖像的對稱性.【詳解】由得，函數(shù)的定義域為．設，則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且的圖像關于直線對稱，所以的圖像關于直線對稱，D正確；因為在上是減函數(shù)，所以，所以在上遞增且無最大值，A正確，B錯誤；又，所以C錯誤．故選AD．【點睛】本題考查了復合函數(shù)的單調性與最值的應用問題，解題時應判定復合函數(shù)的單調性，根據(jù)單調性判定最值問題，是基礎題．47．CD【解析】【分析】由條件可知，再利用函數(shù)的單調性，判斷選項.【詳解】因為，A：故，A錯誤；B：為減函數(shù)，故B錯誤；C：冪函數(shù)在上為減函數(shù)，故C正確；D：函數(shù)為減函數(shù)，故D正確.故選：CD48．【解析】【分析】利用復合函數(shù)單調性的原則進行計算即可.【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上是單調增函數(shù)，只需函數(shù)在上是單調增函數(shù)，且當時恒成立，所以滿足解得．故答案為：49．【解析】【分析】令，且，，由是增函數(shù)且恒成立，列出關于的不等式組并解之即可.【詳解】令，且，，因為函數(shù)在上是減函數(shù)且在上是減函數(shù)，所以是增函數(shù)且恒成立，即，解之得的取值范圍是.故答案為：.50．【解析】【分析】由，結合在單調遞減，即可求解集.【詳解】解：由在單調遞減，因為，所以，解得，，即解集為.故答案為:【點睛】本題考查了對數(shù)不等式的求解，考查了對數(shù)函數(shù)的單調性，考查了對數(shù)函數(shù)的定義域.本題的易錯點是忽略了真數(shù)需要大于零.51．【解析】【分析】根據(jù)題意得出在上單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調性“同增異減”以及對數(shù)函數(shù)性質列出不等式求解即可.【詳解】由不等式可知，在上單調遞增，又因為在上單調遞減，則在上單調遞減，且在上恒成立，所以，解得．故答案為：52．①②【解析】【分析】①根據(jù)的意義作出判斷即可；②分析導函數(shù)，根據(jù)求解出的值后再進行驗證；③根據(jù)與互相推出的情況作出判斷.【詳解】解：①因為變量與變量沒有關系的概率為，所以有99%的把握認為變量與變量有關系，故正確；②由題意知且，所以，所以，所以，令，所以，當時，，當時，，所以在取極值，故正確；③當時不一定有，如；當時，則有，所以是成立的必要不充分條件，故錯誤，故答案為：①②.53．80【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出常數(shù)a，再建立不等關系即可得解.【詳解】依題意，時，，于是得，解得，即，由得：，即，解得，所以其耗氧量至少需80個單位.故答案為：8054．（1）或；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件求出m值，并代入方程，再解方程即得.(2)由給定解集借助對數(shù)函數(shù)單調性求出范圍，換元借助一元二次不等式即可得解.【詳解】（1）由已知得，即，則，于是得，方程，從而得或，即或，或，所以原方程的根為或；（2）依題意，函數(shù)中，，從而得.又，令，即一