數(shù)值分析第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題答案

第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分1.確定下列求積公式中的特定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：解：求解求積公式的代數(shù)精度時，應(yīng)根據(jù)代數(shù)精度的定義，即求積公式對于次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立，但對于m+1次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立，進(jìn)行驗(yàn)證性求解。（1）若令，則令，則令，則從而解得令，則故成立。令，則故此時，故具有3次代數(shù)精度。（2）若令，則令，則令，則從而解得令，則故成立。令，則故此時，因此，具有3次代數(shù)精度。（3）若令，則令，則令，則從而解得或令，則故不成立。因此，原求積公式具有2次代數(shù)精度。（4）若令，則令，則令，則故有令，則令，則故此時，因此，具有3次代數(shù)精度。2.分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分：解：復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為3。直接驗(yàn)證柯特斯教材公式（2。4）具有5交代數(shù)精度。證明：柯特斯公式為令，則令，則令，則令，則令，則令，則令，則因此，該柯特斯公式具有5次代數(shù)精度。4。用辛普森公式求積分并估計(jì)誤差。解：辛普森公式為此時，從而有誤差為5。推導(dǎo)下列三種矩形求積公式：證明：兩邊同時在上積分，得即兩邊同時在上積分，得即兩連邊同時在上積分，得即6。若用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分，問區(qū)間應(yīng)人多少等分才能使截?cái)嗾`差不超過？若改用復(fù)化辛普森公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間應(yīng)分多少等分？解：采用復(fù)化梯形公式時，余項(xiàng)為又故若，則當(dāng)對區(qū)間進(jìn)行等分時，故有因此，將區(qū)間213等分時可以滿足誤差要求采用復(fù)化辛普森公式時，余項(xiàng)為又若，則當(dāng)對區(qū)間進(jìn)行等分時故有因此，將區(qū)間8等分時可以滿足誤差要求。7。如果，證明用梯形公式計(jì)算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大，并說明其幾何意義。解：采用梯形公式計(jì)算積分時，余項(xiàng)為又且又即計(jì)算值比準(zhǔn)確值大。其幾何意義為，為下凸函數(shù)，梯形面積大于曲邊梯形面積。8。用龍貝格求積方法計(jì)算下列積分，使誤差不超過.解：00.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717因此03.45131318.628283-4.446923因此014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此9。用的高斯-勒讓德公式計(jì)算積分解：令，則用的高斯—勒讓德公式計(jì)算積分用的高斯—勒讓德公式計(jì)算積分10地球衛(wèi)星軌道是一個橢圓，橢圓周長的計(jì)算公式是這是是橢圓的半徑軸，c是地球中心與軌道中心（橢圓中心）的距離，記h為近地點(diǎn)距離，H為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離，R=6371（km）為地球半徑，則我國第一顆地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距離h=439(km)，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離H=2384(km）。試求衛(wèi)星軌道的周長。解：從而有。01.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646即人造衛(wèi)星軌道的周長為4870811。證明等式試依據(jù)的值，用外推算法求的近似值。解若又此函數(shù)的泰勒展式為當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,由外推法可得n32.59807663.0000003.13397593.1058293.1411053.141580故12。用下列方法計(jì)算積分，并比較結(jié)果。(1)龍貝格方法；(2)三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式；(3)將積分區(qū)間分為四等分，用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式。解(1)采用龍貝格方法可得k01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有(2)采用高斯公式時此時令則利用三點(diǎn)高斯公式，則利用五點(diǎn)高斯公式，則(3)采用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式將區(qū)間四等分，得作變換，則作變換，則作變換，則作變換，則因此，有13.用三點(diǎn)公式和積分公式求在，和1.2處的導(dǎo)數(shù)值，并估計(jì)誤差。的值由下表給出：x1.01.11.2