二次函數(shù)的總結(jié)

【知識(shí)要點(diǎn)】1.二次函數(shù)的定義：一般地，如果y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù).當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù).2.拋物線的平移主要是移動(dòng)頂點(diǎn)的位置，將y=ax2沿著y軸（上“+”，下“－”）平移k（k﹥0）個(gè)單位得到函數(shù)y=axk；將y=ax2沿著x軸（左“+”，右“-”）平移h（h﹥0）個(gè)單位得到y(tǒng)=a（x.在平移之前先將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，再來(lái)平移，若沿y軸平移則直接在解析式的常數(shù)項(xiàng)后進(jìn)行加減（上加下減），若沿x軸平移則直接在含x的括號(hào)內(nèi)進(jìn)行加減（（左加右減）．【典型例題】例1（2010陜西省中考題）已知拋物線C：y=x+3x-10，將拋物線C平移得到拋物線C’.若兩條拋物線C、C’關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則下列平移方法中，正確的是（）A.將拋物線C向右平移個(gè)單位B.將拋物線C向右平移3個(gè)單位C.將拋物線C向右平移5個(gè)單位D.將拋物線C向右平移6個(gè)單位【知識(shí)要點(diǎn)】1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是以（－，）為頂點(diǎn)，以x=－為對(duì)稱軸的一條拋物線.2、在畫(huà)二次函數(shù)的圖象時(shí)應(yīng)抓住以下五點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸交點(diǎn)，與y軸交點(diǎn).3、拋物線y=ax2+bx+c的圖象位置及性質(zhì)與a、b、c的關(guān)系：（1）當(dāng)a﹥0時(shí)，開(kāi)口向上，a越大，開(kāi)口越小，圖象兩邊越靠近y軸.在對(duì)稱軸x=－的左側(cè)，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸x=－的右側(cè)，y隨x的增大而增大.此時(shí)，y有最小值y=，頂點(diǎn)（－，）為最低點(diǎn).（同樣的方法，分析當(dāng)a﹤0時(shí)的情況）（2）ab﹥0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；ab=0時(shí)，對(duì)稱軸是y軸；ab﹤0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).c﹥0時(shí)，與y軸正半軸相交；c=0時(shí)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；c﹤0時(shí)，與y軸負(fù)半軸相交.【典型例題】例1若拋物線y=a(x+1)+b和拋物線y=2x的形狀相同，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），求的值。例2已知二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②b＜a+c；③a+b+c＞0；④2a-b＞0；⑤9a-3b+c＜0．其中正確的有（）A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)【知識(shí)要點(diǎn)】1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2是對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個(gè)交點(diǎn)△﹥0拋物線與x軸相交.②有一個(gè)交點(diǎn)△=0拋物線與x軸相切.③沒(méi)有交點(diǎn)△﹤0拋物線與x軸相離.2．一次函數(shù)y=kx+n（k≠0）的圖象L與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象G的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目確定：①當(dāng)方程組有兩個(gè)不同的解時(shí)L與G有兩個(gè)交點(diǎn)；②方程組只有一組解時(shí)L與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)L與G有沒(méi)有交點(diǎn).3．二次函數(shù)與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A，B,則==【典型例題】例1已知拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)為A(2,0)．(1)求b、c的值．(2)若拋物線與y軸交點(diǎn)為B，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，求△OAB的周長(zhǎng)（答案可帶根號(hào)）．例2二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（）yxyxOyxOB．C．yxOA．yxOD．1Oxy【知識(shí)要點(diǎn)】求二次函數(shù)的解析式，要根據(jù)具體情況，選擇適當(dāng)方法.二次函數(shù)常見(jiàn)的表達(dá)式有三種：（1）已知任意三點(diǎn)求解析式用一般式，即y=ax2+bx+c（a≠0）.其方法是：把三點(diǎn)坐標(biāo)值分別代入一般式，得到關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，求出a，b，c，即可得二次函數(shù)解析式.（2）已知頂點(diǎn)或最大（小）值求解析式用頂點(diǎn)式，即y=a（x－h(huán)）2+k（a≠0）．其方法是：先將頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）或最大（小）值代入頂點(diǎn)式，再把另一點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a，即可得二次函數(shù)解析式.（3）已知與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)求解析式用交點(diǎn)式，即y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.其方法是：將拋物線與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)x1，x2代入交點(diǎn)式，然后將拋物線上另一點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a，即可得二次函數(shù)解析式.【典型例題】例1如圖20－4－1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且當(dāng)x=0和x=2時(shí)，y的值相等.直線y=3x－7與這條拋物線相交于兩點(diǎn)，其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，另一點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M，求這條拋物線的解析式.圖例1圖例1例2已知拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4）和點(diǎn)（5，0），則該拋物線的解析式為分析：方法一：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x=2，則可設(shè)解析式為y=a（x－2）2+b，再將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a、b的值.方法二：將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中，得到兩個(gè)方程式，再由x=－=2得到一個(gè)方程，然后聯(lián)立解這個(gè)方程組，得a、b、c的值.方法三：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是x=2，由線的對(duì)稱性可知，拋物線與x軸另一交點(diǎn)為（－1，0）.可由交點(diǎn)式求出解析式.解：y=－x2+2x+【能力提升】存在問(wèn)題1.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+8（a≠0）的圖像與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B，與y軸交于點(diǎn)C，tan∠ABC=2．（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線PM垂直于直線CD，且與直線OP的夾角為75°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，將拋物線沿其對(duì)稱軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線最多可以向上平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？【知識(shí)要點(diǎn)】1.二次函數(shù)的定義：一般地，如果y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù).當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù).2.拋物線的平移主要是移動(dòng)頂點(diǎn)的位置，將y=ax2沿著y軸（上“+”，下“－”）平移k（k﹥0）個(gè)單位得到函數(shù)y=axk；將y=ax2沿著x軸（左“+”，右“-”）平移h（h﹥0）個(gè)單位得到y(tǒng)=a（x.在平移之前先將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，再來(lái)平移，若沿y軸平移則直接在解析式的常數(shù)項(xiàng)后進(jìn)行加減（上加下減），若沿x軸平移則直接在含x的括號(hào)內(nèi)進(jìn)行加減（（左加右減）．【典型例題】例1（2010陜西省中考題）已知拋物線C：y=x+3x-10，將拋物線C平移得到拋物線C’.若兩條拋物線C、C’關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則下列平移方法中，正確的是（）A.將拋物線C向右平移個(gè)單位B.將拋物線C向右平移3個(gè)單位C.將拋物線C向右平移5個(gè)單位D.將拋物線C向右平移6個(gè)單位【知識(shí)要點(diǎn)】1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是以（－，）為頂點(diǎn)，以x=－為對(duì)稱軸的一條拋物線.2、在畫(huà)二次函數(shù)的圖象時(shí)應(yīng)抓住以下五點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸交點(diǎn)，與y軸交點(diǎn).3、拋物線y=ax2+bx+c的圖象位置及性質(zhì)與a、b、c的關(guān)系：（1）當(dāng)a﹥0時(shí)，開(kāi)口向上，a越大，開(kāi)口越小，圖象兩邊越靠近y軸.在對(duì)稱軸x=－的左側(cè)，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸x=－的右側(cè)，y隨x的增大而增大.此時(shí)，y有最小值y=，頂點(diǎn)（－，）為最低點(diǎn).（同樣的方法，分析當(dāng)a﹤0時(shí)的情況）（2）ab﹥0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；ab=0時(shí)，對(duì)稱軸是y軸；ab﹤0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).c﹥0時(shí)，與y軸正半軸相交；c=0時(shí)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；c﹤0時(shí)，與y軸負(fù)半軸相交.【典型例題】例1若拋物線y=a(x+1)+b和拋物線y=2x的形狀相同，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），求的值。例2已知二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②b＜a+c；③a+b+c＞0；④2a-b＞0；⑤9a-3b+c＜0．其中正確的有（）A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)【知識(shí)要點(diǎn)】1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2是對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個(gè)交點(diǎn)△﹥0拋物線與x軸相交.②有一個(gè)交點(diǎn)△=0拋物線與x軸相切.③沒(méi)有交點(diǎn)△﹤0拋物線與x軸相離.2．一次函數(shù)y=kx+n（k≠0）的圖象L與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象G的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目確定：①當(dāng)方程組有兩個(gè)不同的解時(shí)L與G有兩個(gè)交點(diǎn)；②方程組只有一組解時(shí)L與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)L與G有沒(méi)有交點(diǎn).3．二次函數(shù)與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A，B,則==【典型例題】例1已知拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)為A(2,0)．(1)求b、c的值．(2)若拋物線與y軸交點(diǎn)為B，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，求△OAB的周長(zhǎng)（答案可帶根號(hào)）．例2二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（）yxyxOyxOB．C．yxOA．yxOD．1Oxy【知識(shí)要點(diǎn)】求二次函數(shù)的解析式，要根據(jù)具體情況，選擇適當(dāng)方法.二次函數(shù)常見(jiàn)的表達(dá)式有三種：（1）已知任意三點(diǎn)求解析式用一般式，即y=ax2+bx+c（a≠0）.其方法是：把三點(diǎn)坐標(biāo)值分別代入一般式，得到關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，求出a，b，c，即可得二次函數(shù)解析式.（2）已知頂點(diǎn)或最大（?。┲登蠼馕鍪接庙旤c(diǎn)式，即y=a（x－h(huán)）2+k（a≠0）．其方法是：先將頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）或最大（?。┲荡腠旤c(diǎn)式，再把另一點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a，即可得二次函數(shù)解析式.（3）已知與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)求解析式用交點(diǎn)式，即y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.其方法是：將拋物線與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)x1，x2代入交點(diǎn)式，然后將拋物線上另一點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a，即可得二次函數(shù)解析式.【典型例題】例1如圖20－4－1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且當(dāng)x=0和x=2時(shí)，y的值相等.直線y=3x－7與這條拋物線相交于兩點(diǎn)，其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，另一點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M，求這條拋物線的解析式.圖例1圖例1例2已知拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4）和點(diǎn)（5，0），則該拋物線的解析式為分析：方法一：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x=2，則可設(shè)解析式為y=a（x－2）2+b，再將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a、b的值.方法二：將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中，得到兩個(gè)方程式，再由x=－=2得到一個(gè)方程，然后聯(lián)立解這個(gè)方程組，得a、b、c的值.方法三：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是x=2，由線的對(duì)稱性可知，拋物線與x軸另一交點(diǎn)為（－1，0）.可由交點(diǎn)式求出解析式.解：y=－x2+2x+【能力提升】存在問(wèn)題1.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+8（a≠0）的圖像與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B，與y軸交于點(diǎn)C，tan∠ABC=2．（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線PM垂直于直線CD，且與直線OP的夾角為75°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，將拋物線沿其對(duì)稱軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線最多可以向上平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？2、如圖，拋物線（＞0）與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且．（1）求此拋物線的解析式；（2）如果點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△ACD的面積為S，求S與x的關(guān)系式，并求當(dāng)S最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；(備用圖)（3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在求點(diǎn)(備用圖)（（2題圖） 3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），直線與軸相交于點(diǎn)，連結(jié)，拋物線從點(diǎn)沿方向平移，與直線交于點(diǎn)，頂點(diǎn)到點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．（1）求線段所在直線的函數(shù)解析式；（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，①用的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)為何值時(shí)，線段最短；（3）當(dāng)線段最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使△的面積與△的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(，0)，B(3，2)，（0，2)．動(dòng)點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)0出發(fā)沿O