八年級上第09講 期中復(fù)習(xí)講義+練習(xí)

第9講

期中復(fù)習(xí)

概述

適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中二年級

適用區(qū)域人教版課時(shí)時(shí)長（分鐘）120

知識點(diǎn)三角形的概念；三角形三邊的關(guān)系定理及推論；三角形中的主要線段；三角形內(nèi)角和

定理；三角形的外角性質(zhì)；全等圖形；全等三角形的表示和性質(zhì)；全等三角形的判定；

等腰三角形的判定；等腰三角形的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；軸對稱：最短路

徑問題

教學(xué)目標(biāo)了解三角形的意義，認(rèn)識三角形的邊、內(nèi)角、頂點(diǎn)，能用符號語言表示三角形；

理解三角形三邊不等的關(guān)系，會(huì)判斷三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形，并能運(yùn)用它解決

有關(guān)的問題；

認(rèn)識三角形的高、中線與角平分線；會(huì)畫三角形的高、中線與角平分線；了解三角形

的三條高所在的直線，三條中線,三條角平分線分別交于一點(diǎn)；掌握三角形內(nèi)角和定理；

理解三角形的外角；掌握三角形外角的性質(zhì)，能利用三角形外角的性質(zhì)解決問題

了解多邊形及有關(guān)概念，理解正多邊形的概念；區(qū)別凸多邊形與凹多邊形，?了解多邊

形的內(nèi)角、外角等概念；能通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，并會(huì)應(yīng)

用它們進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.

知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的對應(yīng)元素；知道全等三角形的性質(zhì),

能用符號正確地表示兩個(gè)三角形全等;能熟練找出兩個(gè)全等三角形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊；

掌握全等三角形的判定；應(yīng)用角的平分線性質(zhì)定理；軸對稱：最短路徑問題

教學(xué)重點(diǎn)三角形的有關(guān)概念和符號表示，三角形三邊間的不等關(guān)系；三角形的高、中線與角平

分線；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角和三角形外角的性質(zhì)

多邊形及有關(guān)概念、正多邊形的概念，?多邊形的內(nèi)角和與多邊形的外角和公式；應(yīng)用

角的平分線性質(zhì)定理.

等腰三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)

軸對稱：最短路徑問題

教學(xué)難點(diǎn)用三角形三邊不等關(guān)系判定三條線段可否組成三角形；三角形的角平分線與角的平分

線的區(qū)別；理解三角形的外角；

區(qū)別凸多邊形與凹多邊形;多邊形的內(nèi)角和定理的推導(dǎo);應(yīng)用角的平分線性質(zhì)定理.等

腰三角形的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)

軸對稱：最短路徑問題

【知識導(dǎo)圖】

三角形

期三角形全等

中

角平分線

復(fù)

軸對稱

習(xí)

等腰三角形,

等邊三角形

最短路徑

教學(xué)過程

rr

「、導(dǎo)入/

復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

1、復(fù)習(xí)三角形的相關(guān)性質(zhì)

2、復(fù)習(xí)三角形全等的幾種證明方法

3、復(fù)習(xí)角平分線的相關(guān)性質(zhì)及判定方法

4、復(fù)習(xí)軸對稱圖形的性質(zhì)

5、復(fù)習(xí)等腰三角形，等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)

6、復(fù)習(xí)最短路徑問題

考點(diǎn)1三角形的相關(guān)概念

1、不在一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形

2、組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱角,

相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)

3、三角形ABC用符號表示為△ABC。三角形ABC的頂點(diǎn)C所對的邊AB可用c表示,頂點(diǎn)B

所對的邊AC可用b表示,頂點(diǎn)A所對的邊BC可用a表示.

4、三角形的分類

「三邊都不相等的三角形

三角形底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

考點(diǎn)2三角形三邊的關(guān)系

三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

考點(diǎn)3與三角形有關(guān)的線段念

從aABC的頂點(diǎn)A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D,所得線段AD叫做aABC

的邊BC上的高，表示為ADJ_BC于點(diǎn)D。

注意：高與垂線不同，高是線段，垂線是直線。

再畫出這個(gè)三角形AB、AC邊上的高，三角形的三條高相交于一點(diǎn)。

如圖，我們把連結(jié)AABC的頂點(diǎn)A和它的對邊BC的中點(diǎn)D,所得線段AD叫做aABC的邊BC

上的中線，表示為BD=DC或BD=DC=2BC或2BD=2DC=BC.

在圖中畫出AABC的另兩條邊上的中線，三角的三條中線相交于一點(diǎn)。

三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)叫做三角形的重心。

如圖，畫NA的平分線AD,交NA所對的邊BC于點(diǎn)D,所得線段AD叫做AABC的角平分線,

￡

表示為/BAD=/CAD或NBAD=NCAD=2/BAC或2/BAD=2/CAD=NBAC。

三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線，是不一樣的。三角形三個(gè)角的平分線

相交于一點(diǎn)。

如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上面的結(jié)論仍然成立。

考點(diǎn)4三角形內(nèi)角和定理

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

用平行線的性質(zhì)證明內(nèi)角和180°

已知AABC,求證：ZA+ZB+ZC=180°。

證明：過點(diǎn)C作CM〃AB,則NA=NACM,ZB=ZDCM,

又NACB+NACM+NDCM=180°

AZA+ZB+ZACB=180°?

BP：三角形的內(nèi)角和等于180°。

A

考點(diǎn)5三角形外角的概念

L____________________

NACD叫做aABC的外角。也就是，三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的

外角。

三角形的外角共有六個(gè)。

注意：每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對頂角。研究與三角形外角有關(guān)的問題時(shí)，通常每個(gè)

頂點(diǎn)處取一個(gè)外角

三角形的外角ZACD與相鄰的內(nèi)角ZACB是鄰補(bǔ)角。

如圖，這是我們證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)畫的輔助線，你能就此圖說明/ACD與NA、ZB

的關(guān)系嗎？

VCM^AB,；.NA=N1,NB=/2,又NACD=N1+N2

ZACD=ZA+ZB

三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。

三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。

考點(diǎn)6多邊形概念

在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形（polygon）

多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……三角形是最簡單的多邊

形。如果一個(gè)多邊形由n條線段組成，那么這個(gè)多邊形就叫做n邊形。如圖7.3—2,螺母

底面的邊緣可以設(shè)計(jì)為六邊形，也可以設(shè)計(jì)為八邊形。

oo

多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。圖7.3—3中的NA、NB、NC、ND、NE是

五邊形ABCDE的5個(gè)內(nèi)角。多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。圖

7.3-4中的N1是五邊形ABCDE的一個(gè)外角。

考點(diǎn)7多邊形的對角線

連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線（diagonal）。圖7.3—5

中，AC、AD是五邊形ABCDE的兩條對角線。

特別提醒：n邊形（n23）從一個(gè)頂點(diǎn)可引出（n-3）條對角線，把n邊形分割成（n

n(n-3)

-2）個(gè)三角形，共有對角線條。

2

例如：十邊形有條對角線。在這里n=10,就可套用對角線條數(shù)公式

n(n-3)10x(10—3)

=35（條）。

2-2

圖i'.3-

考點(diǎn)8多邊形的內(nèi)角和

從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引一條對角線，它們將四邊形分成兩個(gè)三角形，因此，四

邊形的內(nèi)角和=4ABD的內(nèi)角和+4BDC的內(nèi)角和=2X180°=360°。

從五邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引兩條對角線，它們將五邊形分成三個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)

角和等于540°;

從六邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引三條對角線，它們將六邊形分成四個(gè)三角形，六邊形的內(nèi)

角和等于720°；

從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引(n-3)對角線，它們將n邊形分成(n-2)三角形，n

邊形的內(nèi)角和等于(n-2)-180°?

n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)-180°.

考點(diǎn)9全等三角形的判定

三角形全等的五種判定方法SAS、SSS、AAS、ASA、IIL

考點(diǎn)10判定三角形全等的基本思路

,找夾角fSAS

已知兩邊，找直角fHL

找另一邊f(xié)SSS

邊為角的對邊一找任意一角~A4S

找這條邊上的另一角一ASA

已知一邊一角，

邊就是角的一條邊找這條邊上的對角fAAS

找該角的另一邊一SAS

找兩角的夾邊f(xié)ASA

已知兩角

找任意一邊—>AAS

考點(diǎn)11角平分線的性質(zhì)及判定念

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

考點(diǎn)12線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖

要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定定理，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條

線段的垂直平分線上，又由兩點(diǎn)確定一條直線這個(gè)公理，那么必須找到兩個(gè)到線段兩端點(diǎn)距

離相等的點(diǎn)，這樣才能確定已知線段的垂直平分線.

［例］如圖(1),點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？

t

4*-一,BA*-------；?B

⑴(2)

已知:線段AB【如圖(1)］.

求作：線段AB的垂直平分線.

作法：如圖(2)

(1).分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于gAB的長為半徑作弧，兩弧相交于C和D兩點(diǎn);

2

(2).作直線CD.

直線CD就是線段AB的垂直平分線.

考點(diǎn)13等腰三角形概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形

相等的兩邊叫做等腰三角形的腰，第三邊叫做底邊

腰與底邊的夾角叫做底角

兩腰的夾角叫做頂角

考點(diǎn)14三角形的特征

等腰三角形是軸對稱圖形

等腰三角形頂角的角平分線、底邊的中線、底邊上的高互相重合(也稱等腰三角形三線合一),

它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸

等腰三角形的兩個(gè)底角相等

考點(diǎn)15等邊三角形

(1)性質(zhì)：①等邊三角形各邊都相等；②等邊三角形各角都相等，并且都等于60°。

(2)判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形。②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角

形。③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形

特殊直角三角形

(1)含30°的直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊一半，且三邊長度比為1：73：2；

(2)等腰直角三角形各邊長比為1：1：72

考點(diǎn)16求直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最小的問題

求直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的和最小的問題

講解內(nèi)容：只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，所得線段

與該直線的交點(diǎn)即為所求的位置。

:三、例題精析.

如圖所示，三角形的個(gè)數(shù)是()

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【答案】D

【解析】BD,BE,BC,DE,DC,EC六條線段分別和A組成6個(gè)三角形.故選D

用一條長為18cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形。

(1)如果腰長是底長的2倍，那么各邊的長是多少？

(2)能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？

【答案】(1)設(shè)底邊長為xcm,

???腰長是底邊的2倍，腰長為2xcm,

[8

2x+2x+x=18,解得，x=ycm,

1836.363618

2x=2X—=—cm,?,.各邊長為:—cm,—cm,—cm

555

(2)①當(dāng)4cm為底時(shí)，腰長=------7cm；

2

②當(dāng)4cm為腰時(shí)，底邊=18-4-4=10cm,

V4+4<10,不能構(gòu)成三角形，故舍去；

，能構(gòu)成有一邊長為4cm的等腰三角形，另兩邊長為7cm,7cm.

【解析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，在解答此類題目時(shí)要注意分

類討論，不要漏解

(1)設(shè)底邊長為xcm,則腰長為2xcm,根據(jù)周長公式列一元一次方程，解方程即可求得各

邊的長；

(2)題中沒有指明4cm所在邊是底還是腰，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，注意利用三角形三邊

關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)

下面四個(gè)圖形中，線段BE是AABC的高的圖是()

【答案】D

【解析】根據(jù)高的畫法知，過點(diǎn)B作AC邊上的高，垂足為E,其中線段BE是aABC的高

例題4

BM是△ABC中AC邊上的中線，AB=5cm,BC=3cm,求aABM與aBCM的周長之差

【答案】解:5-3=2cm.答：Z\ABM與△BCM的周長之差為2cm.

【解析】根據(jù)三角形的中線的概念，由BM是aABC中AC邊上的中線得AM=CM.所以aABM

與△BCM的周長之差為AB與BC的差.

如圖，在△ABC中，ZBAC=40°,NB=75°,AD是AABC的角平分線。求/ADB得度數(shù)。

,D

B

【答案】：AD平分NCAB,ZBAC=40°,

1

ZDAB=-ZBAC=20°,

2

ZB=75°,

AZADB=1800-ZDAB-ZB=180--20°-75°=85°

【解析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于

180°。

根據(jù)角平分線定義求出/DAB,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出NADB=180°-NDAB-/B,代入求

出即可.

如圖，在aABC中，ZB=47°,三角形的外角/DAC和/ACF的平分線交于點(diǎn)E,則NAEC=

【答案】66.5。

【解析】???三角形的外角ZDAC和/ACF的平分線交于點(diǎn)E,

I1

.*.ZEAC=-ZDAC,ZECA=-ZACF；

22

又：/B=47°（已知I）,ZB+Z1+Z2=18O°（三角形內(nèi)角和定理），

11

Z.-ZDAC+-ZACF

22

11

=一(ZB+Z2)+-(ZB+Z1)

22

1227°

=一(ZB+ZB+Z1+Z2)=----(外角定理)，

22

11

；.NAEC=180°-(-ZDAC+-ZACF)=66.5°；

22

故答案是：66.5°.

(1)如圖1,在aABC中，NABC、NACB的平分線相交于0.

①已知/A=40°,求NB0C的度數(shù)，NA與NB0C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

②若/A=n°,則/A與NB0C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

(2)如圖2,在AA，B'C'中，NA'B'C的平分線與/A'C'B'的外角平分線相交于

0',請你探索NA，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【答案】(1)ZB0C=90°+-ZA.理由如下:

2

VZB0C=1800-Z0BC-Z0CB,

.\2ZB0C=360°-2Z0BC-2Z0CB,

而B0平分NABC,CO平分NACB,

.?,ZABC=2Z0BC,ZACB=2Z0CB,

.".2ZB0C=360°-(ZABC+ZACB),

VZABC+ZACB=180°-NA,

.,.2ZB0C=180°+ZA,

AZB0C=90°+-ZA.

2

①當(dāng)NA=40°，ZBOC=HO°；

/j

②當(dāng)/A=n°,ZB0C=90°+--

2

(2)NB'O'C=-ZA/.理由如下：

2

'：ZO'CD=/B'O'C+ZQ'B'C',/A'CD=NA'B'C'+/A',

而B'O'平分NA'B'C,CO'平分NA'CD,

.,.ZA,C'D=2ZO,C'D,NA'B'C=2/0,B'C,

，2/B'O'Cz+2/0'B'Cz=ZAzB'C+NA',

.".2ZB'O'C=NA',

即NB'O'C'=-ZAz.

2

【解析】

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NB0C=180°-NOBC-NOCB,則

2ZB0C=360°-2Z0BC-2Z0CB,再根據(jù)角平分線的定義得/ABC=2/0BC,ZACB=2Z0CB,則

2ZB0C=360°-ZABC-ZACB,易得NB0C=90°+-ZA.

2

(2)根據(jù)角平分線的定義得NACE=2/0CE,ZABC=2Z0BC,由三角形外角的性質(zhì)有

ZOCE=ZBOC+ZOBC,ZACE=ZABC+ZA,則2NB0C+2N0BC=NABC+NA,即可得至ljNBOC='

2

NA；

若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成十五邊形，則原來的多邊形的邊數(shù)可能為（）

A.14或15或16B.15或16C.14或16D.15或16或17

【答案】A

【解析】一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一

條，則多邊形的邊數(shù)是14,15或16.故選A.

如圖，Nl、N2、N3、N4是五邊形ABCDE的4個(gè)外角.若/A=120°,則N1+N2+/3+/

【答案】300°

【解析】由題意得，Z5=180°-ZEAB=60°,

又???多邊形的外角和為360°,

.?.Zl+Z2+Z3+Z4=360°-Z5=300°.

故答案為：300°

例題10

如圖，小華不小心把一塊三角形玻璃打碎為三塊，他能否只帶其中一塊碎片到商店，就能配

出一塊和原來一樣的三角形玻璃？如果能，帶哪一塊去？為什么？

【答案】解：a只保留了一個(gè)角及部分邊，不能配成和原來一樣的三角形玻璃；

b則只保留了部分邊，不能配成和原來一樣的三角形玻璃；

而c不但保留了一個(gè)完整的邊還保留了兩個(gè)角，所以應(yīng)該帶“C”去，根據(jù)全等三角形判定

“ASA”可以配出一塊和原來一樣的三角形玻璃.

【解析】此題是對全等三角形的判定方法在實(shí)際生活中的考查，通過實(shí)際情況來考查學(xué)生對

常用的判定方法的掌握情況.

例題11

如下圖,Rt/XADC與RtZ\BCD,AC=BD,求證AD=BC

【答案】證明：在RtZSADC與Rt^BCD中AC=BD,CD=CD.

ARtAADCRtABCD.（1IL）

/.AD=BC.（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

【解析】HL（斜邊、直角邊）

即在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

例題12

己知：0C是/AOB的平分線，點(diǎn)P在0C上，PDXOA,PE10B,垂足分別是D、E

求證：PD=PE.

【答案】證明：〉PD_LOA,PE_LOB,

.\ZPD0=ZPE0=90°

在△PDO和aPEO中，

NPDO=ZPEO,

<ZAOC=NBOC,

OP=OP,

.,,△PDO^APEO(AAS)

.".PD=PE

【解析】角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

例題13

如圖，在RtaABC中，ZC=90°,AD是/BAC的平分線，DC=2,則D到AB邊的距離是一

【答案】2

【解析】過D作DE±AB于E,得出DE的長度是D到AB邊的距離，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出

CD=ED,代入求出即可.

解：過D作DE_LAB于E,則DE的長度就是D到AB邊的距離.

；AD平分NCAB,ZACD=90°,DE_LAB,.\DC=DE=2（角平分線性質(zhì)），故答案為：2.

例題14

如圖，AABC中，/ABC、NACB外角的平分線相交于點(diǎn)F,連接AF,則下列結(jié)論正確的有（）

A.AF平分BCB.AF平分NBACC.AF1BCD.以上結(jié)論都正確

【解析】解：過F點(diǎn)分別作AB、BC、AC的垂線，垂足分別為E、G、D,

VZABC.NACB外角的平分線相交于點(diǎn)F,

；.EF=GF,GF=DF,；.EF=DF,；.AF平分NBAC.

D人

G

故選B.BE

例題15

如圖，ZA0E=ZB0E=15°,EF〃OB,EC±OB,若EC=L則EF=

【解析】作EG±OA于F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG的長度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

/0EF=NC0E=15°,然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求出NEFG=30°,利用30°角所

對的直角邊是斜邊的一半解題

例題16

△ABC中，點(diǎn)0是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)0到aABC三邊的距離相等；ZA=40°,則NB0C=一

【答案】由已知，。到三角形三邊距離相等，所以。是內(nèi)心，

即三條角平分線交點(diǎn)，AO,BO,C0都是角平分線，

所以有NCB0=NAB0=，ZABC,ZBC0=ZAC0=-ZACB,

22

ZABC+ZACB=180-40=140°Z0BC+Z0CB=70°ZB0C=180-70=l10°

【解析】由已知，0到三角形三邊距離相等，得0是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求

出/BOC的度數(shù).

例題17

如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D,DE1,AB于點(diǎn)E,若ADEB

的周長為10cm,求斜邊AB的長

E

CDB

【答案】TAD平分NBAC

???DE=CD

.'.△ACD^AAED

AAC=CB=AE

???AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE=1Ocm

【解析】由AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D,可以知道本題滿足角平分線的性質(zhì)定理得到:

DE=CD,AACD^AAED,則AC=CB=AE,則AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE即可求出

例題18

如圖所示,DE是線段AB的垂直平分線，下列結(jié)論一定成立的是（）

A.ED=CDB.NDAC=NBC.ZC>2ZBI）.ZB+ZADE=90°

【答案】：DE是線段AB的垂直平分線,

.\AD=BD..\ZB=ZBAD,ZADE=ZBDE./.ZB+ZADE=90°

其它選項(xiàng)無法證明其是正確的.故選D

【解析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得等腰三角形ADB,運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)得出盡量多

的結(jié)論，與各選項(xiàng)進(jìn)行比對，答案可得

例題19

如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD,求：△ABC各角的度數(shù).

【答案】因?yàn)锳B=AC,BD=BC=AD,

所以NABC=NC=NBDC.

ZA-ZABD（等邊對等角）.

設(shè)NA=x,則

ZBDC=ZA+ZABD=2x,

從而NABC=NC=/BDC=2x.

于是在AABC中，有

ZA+ZABC+ZC=x+2x+2x=180°,

解得x=36°.

在aABC中，ZA=35°,/ABC=/C=72°.

【解析】根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，我們可以得到

ZA=ZABD,ZABC=ZC=ZBDC,?

再由NBDC=NA+/ABD,就可得到NABC=NC=NBDC=2/A.

再由三角形內(nèi)角和為180°,?就可求出aABC的三個(gè)內(nèi)角.

例題20

如圖，在aABC中，AB=AC,點(diǎn)D,E分別在AC,AB±,且BC=BD二DE=EA,則NA的度數(shù)為

【答案】解：VAE=ED,AZADE=ZA,

???ZDEB=ZA+ZADE=2ZA,

VBD=ED,AZABD=ZDEB=2ZA,

???ZBDC=ZA+ZABD=3ZA,

,/BD二BC,I.ZC=ZBDC=3ZA,

VAB=AC,AZABC=ZC=3ZA,

???NABC+NC+NA=180°,A7ZA=180°,

???NA告度

【解析】由已知根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到兒組相等的角，再根據(jù)三角形外角

的性質(zhì)可得到NC與NA之間的關(guān)系，從而再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可

例題21

已知MN是線段AB的垂直平分線，下列說法正確的是（）

A.與AB距離相等的點(diǎn)在MN上

B.與點(diǎn)A和點(diǎn)B距離相等的點(diǎn)在MN上

C.與MN距離相等的點(diǎn)在AB上

D.AB垂直平分MN

【答案】B

【解析】VMN是線段AB的垂直平分線，

:.與點(diǎn)A和點(diǎn)B距離相等的點(diǎn)在MN上，MN垂直平分AB.

故B正確；A、C、D錯(cuò)誤.故選B

例題22

下列說法中：

①P是線段AB上的一點(diǎn)，直線1經(jīng)過點(diǎn)P且1_LAB,則1是線段AB的垂直平分線；

②直線1經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)，則1是線段AB的垂直平分線；

③若AP=PB,且直線1垂直于線段AB,則1是線段AB的垂直平分線；

④經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)P且垂直于AB的直線1是線段AB的垂直平分線.

其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】①P不是AB的中點(diǎn)，則1不平分線段AB,故錯(cuò)誤；

②直線1經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)，且垂直于AB則1是線段AB的垂直平分線，故錯(cuò)誤；

③若AP=PB,則P在線段AB的垂直平分線上，但1不一定是線段AB的垂直平分線，故錯(cuò)誤;

④正確.故選A

例題23

如圖，在RtaACB中，ZC=90°,BE平分NABC,ED垂直平分AB于D.若AC=9,則AE的值

是（）

A.6V3B.4V3C.6D.4

A

【答案】c

【解析】由角平分線的定義得到/CBE=NABE,再根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB,

則/A=NABE,可得/CBE=30°,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BE=2EC,即AE=2EC,

由AE+EC=AC=9,即可求出AC.

解：「BE平分NABC,.*.ZCBE=ZABE,

；ED垂直平分AB于D,：.EA=EB,，/A=NABE,.,.ZCBE=30°,

；.BE=2EC,即AE=2EC,而AE+EC=AC=9,；.AE=6.故選C.

例題24

等邊三角形ABC的邊長是6cm,BD是中線，延長BC至E,使CE=CD,連接DE,則DE的長是

cm.

【答案】3G.

【解析】:△ABC是等邊三角形，BD是中線，...NABC=/ACB=60°.ZDBC=30°.

又VCE=CD，：.ZCDE=ZCED.又VZBCD=ZCDE+ZCED，：.ZCDE=ZCED=-

2

ZBCD=30°.AZDBC=ZCED..,.DB=DE.=等邊三角形ABC的邊長是6cm,DE=BD=373

例題25

如圖，將邊長為2的等邊三角形沿x軸正方向連續(xù)翻折2011次，依次得到點(diǎn)Pi、P2、P3、…、

P201H則點(diǎn)P20U的坐標(biāo)是.

【答案】(4021,G).

【解析】易得P"l,&),而PR=P2P3=2,，P2(3,g)，P3(5,G)；依此類推，P?

(l+2n-2,6)，即P“(2n-1,6)；當(dāng)n=2011時(shí)，P20n(4021)小),

如圖，在RtaABC中，/ACB=90°,AB的垂直平分線DE交于BC的延長線于F,若/F=30°,

DE=1,則EF的長是()

A.3B.2C.-J3D.1

【答案】B

【解析】連接AF,求出AF=BF,求出NAFD、ZB,得出NBAC=30°,求出AE,求出

ZFAC=ZAFE=30°,推出AE=EF,代入求出即可.

解：連接AF,

DF是AB的垂直平分線，；.AF=BF,

VFD±AB,；.NAFD=/BFD=30°,ZB=ZFAB=90°-30°=60°,

VZACB=90°,AZBAC=30°,ZFAC=60°-30°=30°,

VDE=1,，AE=2DE=2,VZFAE=ZAFD=30°,.*.EF=AE=2,

故選B.

例題27

如圖，AABC是等邊三角形，P是NABC的平分線BD上一點(diǎn)，PELAB于點(diǎn)E,線段BP的垂

直平分線交BC于點(diǎn)F,垂足為點(diǎn)Q.若BF=2,則PE的長為()

A.2B.2+C.逐D.3

E

D

/O^P\

BFC

【答案】C

【解析】先根據(jù)AABC是等邊三角形,P是NABC平分線可知NEBP=NQBF=30°,再根據(jù)BF=2,

FQ_LBP可得BQ的長，再由BP=2BQ；可求BP的長，在RtZkBEF中，根據(jù)NEBP=30°即可求

出PE的長.

解：?.?△ABC是等邊三角形P是/ABC的平分線，.../EBP=/QBF=30°,

VBF=2,FQ_LBP,.,.BQ=BF?cos30°=2X3=技

2

：FQ是BP的垂直平分線，；.BP=2BQ=26,

在RtZXBEF中，VZEBP=30°,PE=；BP=.故選C.

例題28

如圖，△/仍與△川%1都是等邊三角形，AB^AC.下列結(jié)論：①BE=CD；②廬60°；

③/劭3/4%,正確的是.

【答案】①②

【解析】:△ABD與aAEC都是等邊三角形，/.AD=AB,AE=AC,NADB=NABD=60°,

ZDAB=ZEAC=60°,/.ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC,/DAC=/BAE,

AD=AB

在ADAC和ABAE中，\ADAC-ZBAE,AADAC^ABAE(SAS),/.BE=DC,ZADC=ZABE,

AC=AE

'：ZB0D=180°-ZODB-ZDBA-ZABE=180°-ZODB-600-ZADC

=120°-(ZODB+ZADC)=120°-60°=60°,AZB0D=60o,...①正確；②正確;

AABD與AAEC都是等邊三角形，，NADB=NAEC=60°,但根據(jù)已知不能推出ZADC=ZAEB,

.?.說/BDO=NCEO錯(cuò)誤，，③錯(cuò)誤；

例題29

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN,橋造在何處可使從A到B的路

徑AM+NB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

【答案】L將點(diǎn)A沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到A',

2.連接A'B交河對岸于點(diǎn)N,則點(diǎn)N為建橋的位置，MN為所建的橋。

【解析】由平移的性質(zhì),得AM〃A'N且AM=A'N,MN=M'N',AM'〃A'N',AM'=A'N'

所以A、B兩地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B

若橋的位置建在M'N'處,則AB兩地的距離為：AM，+M，N，+N，B=A，N，+M，N，+N，B

在AA'N'B中，；A'N'+N'B>A，B,M'N'=AA'N'+A'N'+N'B>AA'+A'B

所以橋的位置建在MN處，AB兩地的路程最短。

例題30

如圖A是銳角NM0N內(nèi)部任意一點(diǎn)，在NM0N的兩邊0M,0N上各取一點(diǎn)B,C,組成三角形,

使三角形周長最小.

【答案】分別作點(diǎn)A關(guān)于0M,0N的對稱點(diǎn)A',A"；連接A'A",分別交0M,0N于點(diǎn)

B、點(diǎn)C,則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求

【解析】若點(diǎn)取在B'、C'處：A和A,關(guān)于0M對稱，A和A''關(guān)于ON對稱...AB=A'B,AC=A，'C,

A'B'=AB',AC'=A''CAABC的周長〃ABC=AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A'',，AAB'C的周

K=AB'+B'C'+C'A=A'B'+B'C+CA''>A，A'',A'A''長度最小，點(diǎn)B和點(diǎn)C即為使三角形

周長最小的點(diǎn)。

四、課堂小結(jié)

1、本次課主要針對期中考試前學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行綜合復(fù)習(xí):

復(fù)習(xí)三角形的相關(guān)性質(zhì)

復(fù)習(xí)三角形全等的幾種證明方法

復(fù)習(xí)角平分線的相關(guān)性質(zhì)及判定方法

復(fù)習(xí)軸對稱圖形的性質(zhì)

復(fù)習(xí)等腰三角形，等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)

復(fù)習(xí)最短路徑問題

五、課后作業(yè)

1.如圖，點(diǎn)D是AABC中NBAC的平分線AD和邊BC的垂直平分線DE的交點(diǎn)，DGJ_AB于點(diǎn)

G,DH±AC的延長線于點(diǎn)H,求證：BG=CII.

2.如圖，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,AD是AABC的角平分線，DE±AB,垂足為E,

DE=1,則BC=()

A.6B,2C,3D.有+2

3、如圖，和△/龐都是等腰三角形，且/劭小90°,N%后90°,B,C,〃在同一條

直線上.

求證：BD-CE.

答案與解析

1【答案】證明：連接DC、DB

：D在/BAC的平分線上，DG_LAB于點(diǎn)G,DH_LAC,.*.DH=DG

：D在BC的垂直平分線上，；.DB=DC

VZBGD=ZDHC=90°.,.△BDG^ACDH(HL),；.BG=CH。

2【答案】C.

【解析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得CD等于DE的長，然后在直角^BDE中，根據(jù)30°的

銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得BD長等于2倍的DE長，則BC即可求得.選

C.

3【答案】證明：比'和△力應(yīng)"都是等腰直角三角形AB=AC,

又信90°+/CAD,NZM慶90°+ZCAD,：.ZDAB=ZEAC,

在△/龐和△?1比中

■:AD=AE,/DAB=NEAC,AB-AC

:.△ADB^XAEClSAS,：.BD=CE.

1.如圖，AABC中，/BAC=90°,AB=AC,AD_LBC,垂足是D,AE平分/BAD,交BC于點(diǎn)E.在

△ABC外有一點(diǎn)F,使FAJ_AE,FC1BC.

(1)求證:BE=CF；

(2)在AB上取一點(diǎn)M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點(diǎn)N,連接ME.

求證：①M(fèi)E_LBC；②DE=DN

2.(1)如圖1,在AABC中，/ABC、/ACB的平分線相交于0.

①已知/A=40°,求NB0C的度數(shù)，/A與/B0C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

②若NA=n°,則NA與NB0C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

(2)如圖2,在4A'B'C中，/A'B'C的平分線與NA'CB'的外角平分線相交于

0',請你探索/A'與N0,有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

3.如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN,橋造在何處可使從A到B

的路徑AM+NB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)

b

AM

N

B

答案與解析

1【答案】證明：如圖，(1)???/力￡90°,AFLAE,

...Nl+/￡4C=90°,/2+N￡4C=90°,；./l=/2.

又,：AB=AC,:.NB=NACB=45°,

,：FCVBC,：.ZFCA=^°~ZACB=90°-45°=45°,

ZB=ZFCA,；.(ASA),；.BE=CF

(2)①過E作EG_LAB于點(diǎn)G

???NB=45,△跡是等腰直角三角形，BG=EG,N3=45

?/AD±BC,AE平■分■NBAD,：.EG=ED,：.BG=ED

BM=2ED,BM=2BG,即G是5M的中點(diǎn)

...龍是掰的垂直平分線，.?.=￡%，/4=/3=45°

磔=/4+/3=45°+45°=90°,BPME1.BC.

②?：AD1BC,:檢,AZ5=Z6

VZ1=Z5,：.Z1=Z6,AAM=EM

VMC=MC,ARtAAMC^RtAEMC(HL),：.Z7=Z8

；/BAC=90°,AB=AC,；./ACB=45°,NBAD=/CAD=45°,

N5=/7=22.5°,AD=CD

VZADE=ZCDN=90°,AAADE^ACDN(ASA),.*.DE=DN

2【答案】(1)ZB0C=90°+-ZA.理由如下:

2

ZB0C=1800-ZOBC-ZOCB,

.,.2ZB0C=360°-2ZOBC-2ZOCB,

而BO平分NABC,CO平分/ACB,

；./ABC=2/0BC,ZACB=2Z0CB,

.\2ZB0C=360°-(ZABC+ZACB),

VZABC+ZACB=180°-ZA,

/.2ZB0C=180°+ZA,

???NBOC=900+-1-ZA.

2

①當(dāng)NA=40°,ZB0C=110°；

/7

②當(dāng)NA=n°,ZB0C=90°+-°

2

(2)ZB;O'C=-ZA).理由如下：

2

VZOZC'D=ZBZO'Cz+ZOZB'C',NA'CD=ZAZBzC+NA',

而B'O'平分/A'B'C,C0,平分NA'CD,

：.ZK'CD=2N0'C1D,/A'B'C=2/0'B'C,

：.2ZB'O'C'+2/0'B'C'=NA'B'C'+NA',

.,.2ZB/OzC'=NA',

即NB'O'C=-ZA).

2

3【答案】1.將點(diǎn)A沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到A',

2.連接A'B交河對岸于點(diǎn)N,則點(diǎn)N為建橋的位置，MN為所建的橋。

1.(1)如圖(1),已知：在△4?。中，NBAC=90°,AB=AC,直線0經(jīng)過點(diǎn)/,如J_直線處

皿直線如垂足分別為點(diǎn)〃、E.證明：般如

(2)如圖(2),將(1)中的條件改為：在△46c中，/I田4GD、4、￡三點(diǎn)都在直線加上，并且

有NBDA=NAEe/BAOa,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論原即以"是否成立?如成立,

請你給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展與應(yīng)用：如圖(3),D、￡是〃、4、￡■三點(diǎn)所在直線切上的兩動(dòng)點(diǎn)(〃、爾￡三點(diǎn)互

不重合)，點(diǎn)尸為/胡，平分線上的一點(diǎn)，且△46尸和均為等邊三角形，連接劭、CE,

若NBDA=/AEe/BAC,試判斷△妙'的形狀.

(S3)

(圖1)

2.某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：

（1）操作發(fā)現(xiàn)：

在等腰AABC,AB=AC,分別以AB和AC為斜邊，向aABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1

所示，其中DFLAB于點(diǎn)F,EGLAC于點(diǎn)G,M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME,則下列結(jié)論正

確的是（填序號即可）

①AF=AG—AB；②MD=ME；③整個(gè)圖形是軸對稱圖形；④MDJJE

（2）數(shù)學(xué)思考:

在任意aABC中，分別以AB和AC為斜邊，向4ABC的外則作等腰直角三角形，如圖2所示，

M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME,則MD與ME具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程；M

（3）類比探究：

（i）在任意aABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向aABC的內(nèi)州作等腰直角三角形，如圖

3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME,試判斷△MEC的形狀.答：.

（ii）在三邊互不相等的aABC中（見備用圖），仍分別以AB和AC為斜邊，向aABC的內(nèi)

側(cè)作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE,M是BC的中