高考數(shù)學(xué)B版真題及模擬：橢圓及其性質(zhì)

橢圓及其性質(zhì)高考理數(shù)

(北京市專用)A組

自主命題·北京卷題組1.(2018北京,14,5分)已知橢圓M:

+

=1(a>b>0),雙曲線N:

-

=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn),則橢圓M的離心率為

;雙曲線N的離心率為

.解析本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì).解法一:如圖是一個(gè)正六邊形,A,B,C,D是雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn),F1,F2為橢

圓M的兩個(gè)焦點(diǎn).

∵直線AC是雙曲線N的一條漸近線,且其方程為y=

x,∴

=

.設(shè)m=k,則n=

k,則雙曲線N的離心率e2=

=2.連接F1C,在正六邊形ABF2CDF1中,可得∠F1CF2=90°,∠CF1F2=30°.答案

-1;2解法二:雙曲線N的離心率同解法一.由題意可得C點(diǎn)坐標(biāo)為

,代入橢圓M的方程,并結(jié)合a,b,c的關(guān)系,聯(lián)立得方程組

解得

=

-1

.方法總結(jié)求橢圓和雙曲線的離心率的關(guān)鍵是通過(guò)其幾何性質(zhì)找到a,c所滿足的關(guān)系,從而求

出c與a的比值,即得離心率.設(shè)橢圓的焦距為2c,則|CF2|=c,|CF1|=

c,再由橢圓的定義得|CF1|+|CF2|=2a,即(

+1)c=2a,∴橢圓M的離心率e1=

=

=

=

-1.2.(2014北京文,19,14分)已知橢圓C:x2+2y2=4.(1)求橢圓C的離心率;(2)設(shè)O為原點(diǎn).若點(diǎn)A在直線y=2上,點(diǎn)B在橢圓C上,且OA⊥OB,求線段AB長(zhǎng)度的最小值.解析(1)由題意,知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=

.故橢圓C的離心率e=

=

.(2)設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.因?yàn)镺A⊥OB,所以

·

=0,即tx0+2y0=0,解得t=-

.又

+2

=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=

+(y0-2)2=

+

+

+4=

+

+

+4=

+

+4(0<

≤4).因?yàn)?/p>

+

≥4(0<

≤4),且當(dāng)

=4時(shí)等號(hào)成立,所以|AB|2≥8.故線段AB長(zhǎng)度的最小值為2

.評(píng)析本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、點(diǎn)與橢圓的關(guān)系以及弦長(zhǎng)問(wèn)題的求解.考查方

程思想、函數(shù)思想以及整體代換思想的應(yīng)用,同時(shí)考查考生的運(yùn)算求解能力.正確選擇參數(shù)是

解決本題的關(guān)鍵,再利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意參數(shù)的取值范圍.本題對(duì)理科學(xué)生有很好

的借鑒作用.B組

統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,12,5分)已知F1,F2是橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為

的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120°,則C的離心率為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

D本題考查直線方程和橢圓的幾何性質(zhì).由題意易知直線AP的方程為y=

(x+a),①直線PF2的方程為y=

(x-c).②聯(lián)立①②得y=

(a+c),如圖,過(guò)P向x軸引垂線,垂足為H,則PH=

(a+c).所以sin60°=

=

=

,即a+c=5c,即a=4c,所以e=

=

.故選D.解題關(guān)鍵通過(guò)解三角形得到a與c的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.因?yàn)椤螾F2H=60°,PF2=F1F2=2c,PH=

(a+c),2.(2017浙江,2,5分)橢圓

+

=1的離心率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).由題意得,a=3,c=

,∴離心率e=

=

.故選B.易錯(cuò)警示1.把橢圓和雙曲線中的a,b,c之間的關(guān)系式記混,而錯(cuò)選A.2.把離心率記成e=

或e=

,而錯(cuò)選C或D.3.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,10,5分)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為

()A.

B.

C.

D.

答案

A本題考查橢圓的性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系.以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,該圓與直線bx-ay+2ab=0相切,∴

=a,即2b=

,∴a2=3b2,∵a2=b2+c2,∴

=

,∴e=

=

.方法技巧橢圓離心率的求法:(1)定義法:根據(jù)條件求出a,c,直接利用公式e=

求解.(2)方程法:根據(jù)已知條件建立關(guān)于a,b,c的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解.注意要根據(jù)e的

范圍取舍方程的解.4.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,11,5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左,右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PF⊥x軸.過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若

直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn),則C的離心率為

()A.

B.

C.

D.

答案

A由題意知過(guò)點(diǎn)A的直線l的斜率存在且不為0,故可設(shè)直線l的方程為y=k(x+a),當(dāng)x=-c

時(shí),y=k(a-c),當(dāng)x=0時(shí),y=ka,所以M(-c,k(a-c)),E(0,ka).如圖,設(shè)OE的中點(diǎn)為N,則N

,由于B,M,N三點(diǎn)共線,所以kBN=kBM,即

=

,所以

=

,即a=3c,所以e=

.故選A.

思路分析根據(jù)題意設(shè)出過(guò)點(diǎn)A的直線l的方程,從而求出點(diǎn)M和點(diǎn)E的坐標(biāo),進(jìn)一步寫(xiě)出線段

OE中點(diǎn)的坐標(biāo),利用三點(diǎn)共線建立關(guān)于a,c的方程,得到a,c的關(guān)系式,從而求出橢圓的離心率.求

解本題的關(guān)鍵在于寫(xiě)出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),難點(diǎn)在于參數(shù)的選擇.方法點(diǎn)撥求解圓錐曲線的離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是要通過(guò)其幾何性質(zhì)找到a,c所滿足的關(guān)系,從

而利用e=

求得離心率.5.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,20,12分)已知斜率為k的直線l與橢圓C:

+

=1交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0).(1)證明:k<-

;(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且

+

+

=0.證明:|

|,|

|,|

|成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.解析本題考查橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、等差數(shù)列的概念及其運(yùn)算.(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

+

=1,

+

=1.兩式相減,并由

=k得

+

·k=0.由題設(shè)知

=1,

=m,于是k=-

.

①由題設(shè)得0<m<

,故k<-

.(2)由題意得F(1,0).設(shè)P(x3,y3),則(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又點(diǎn)P在C上,所以m=

,從而P

,|

|=

.于是|

|=

=

=2-

.同理,|

|=2-

.所以|

|+|

|=4-

(x1+x2)=3.故2|

|=|

|+|

|,即|

|,|

|,|

|成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為d,則2|d|=||

|-|

||=

|x1-x2|=

.

②將m=

代入①得k=-1.所以l的方程為y=-x+

,代入C的方程,并整理得7x2-14x+

=0.故x1+x2=2,x1x2=

,代入②解得|d|=

.所以該數(shù)列的公差為

或-

.思路分析(1)利用“點(diǎn)差法”建立k與m的關(guān)系式,由m的范圍得到k的范圍.(2)根據(jù)題設(shè)

+

+

=0及點(diǎn)P在C上,確定m的值.進(jìn)一步得出|

|、|

|、|

|的關(guān)系,再求公差.解后反思(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消

元、化簡(jiǎn),然后利用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程(組),解決相關(guān)問(wèn)題.(2)題中涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可以采用“點(diǎn)差法”求解,設(shè)出弦端點(diǎn)A、B的坐標(biāo),分別代入圓

錐曲線方程并作差,變形后可出現(xiàn)弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和直線AB的斜率.6.(2014課標(biāo)Ⅱ,20,12分,0.185)設(shè)F1,F2分別是橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為

,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根據(jù)c=

及題設(shè)知M

,2b2=3ac.將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得

=

或

=-2(舍去).故C的離心率為

.(2)由題意,得原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2∥y軸,所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中

點(diǎn),故

=4,即b2=4a.

①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則

即

代入C的方程,得

+

=1.

②將①及c=

代入②得

+

=1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2

.評(píng)析本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)及向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí),考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線問(wèn)題.C組

教師專用題組1.(2013浙江,9,5分)如圖,F1,F2是橢圓C1:

+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是

()

A.

B.

C.

D.

評(píng)析本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì),以及數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)與方程思想和轉(zhuǎn)化與化歸

思想,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和圖形觀察能力.抓住點(diǎn)A在雙曲線和橢圓上且∠F1AF2=

是解答本題的關(guān)鍵.答案

D焦點(diǎn)F1(-

,0),F2(

,0),在Rt△AF1F2中,|AF1|+|AF2|=4,|AF1|2+

=12,所以可解得|AF2|-|AF1|=2

,故雙曲線的離心率e=

=

,選D.2.(2014江西,15,5分)過(guò)點(diǎn)M(1,1)作斜率為-

的直線與橢圓C:

+

=1(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率等于

.答案

解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

+

=1①,

+

=1②.①、②兩式相減并整理得

=-

·

.把已知條件代入上式得,-

=-

×

,∴

=

,故橢圓的離心率e=

=

.評(píng)析本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系及線段的中點(diǎn)問(wèn)題,利用整體運(yùn)算的技巧是求解的

關(guān)鍵.本題也可以利用韋達(dá)定理求解.3.(2014遼寧,15,5分)已知橢圓C:

+

=1,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合.若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,則|AN|+|BN|=

.答案12解析解法一:由橢圓方程知橢圓C的左焦點(diǎn)為F1(-

,0),右焦點(diǎn)為F2(

,0).則M(m,n)關(guān)于F1的對(duì)稱點(diǎn)為A(-2

-m,-n),關(guān)于F2的對(duì)稱點(diǎn)為B(2

-m,-n),設(shè)MN的中點(diǎn)為(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|=

+

=2[

+

],故由橢圓定義可知|AN|+|BN|=2×6=12.評(píng)析本題主要考查橢圓的定義等知識(shí),重點(diǎn)考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,也考查數(shù)形結(jié)合思想,

難度適宜.解法二:根據(jù)已知條件畫(huà)出圖形,如圖.設(shè)MN的中點(diǎn)為P,F1、F2為橢圓C的焦點(diǎn),連接PF1、PF2.

顯然PF1是△MAN的中位線,PF2是△MBN的中位線,∴|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2

×6=12.

4.(2014安徽,14,5分)設(shè)F1,F2分別是橢圓E:x2+

=1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x軸,則橢圓E的方程為

.答案

x2+

y2=1解析不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,∵AF2⊥x軸,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<1,c>0).又∵|AF1|=3|F1B|,∴由

=3

得B

,代入x2+

=1得

+

=1,又c2=1-b2,∴b2=

.故橢圓E的方程為x2+

y2=1.

5.(2015陜西,20,12分)已知橢圓E:

+

=1(a>b>0)的半焦距為c,原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線的距離為

c.(1)求橢圓E的離心率;(2)如圖,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=

的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),求橢圓E的方程.

解析(1)過(guò)點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點(diǎn)O到該直線的距離d=

=

,由d=

c,得a=2b=2

,解得離心率

=

.(2)解法一:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.①依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn),且|AB|=

.易知,AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-

,x1x2=

.由x1+x2=-4,得-

=-4,解得k=

.從而x1x2=8-2b2.于是|AB|=

|x1-x2|=

=

.由|AB|=

,得

=

,解得b2=3.故橢圓E的方程為

+

=1.解法二:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.②依題意,點(diǎn)A,B關(guān)于圓心M(-2,1)對(duì)稱,且|AB|=

.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

+4

=4b2,

+4

=4b2,兩式相減并結(jié)合x(chóng)1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB與x軸不垂直,則x1≠x2,所以AB的斜率kAB=

=

.因此直線AB的方程為y=

(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.評(píng)析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基

礎(chǔ)知識(shí),巧妙利用根與系數(shù)的關(guān)系或點(diǎn)差法構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程是求解的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運(yùn)

算求解能力及方程思想的應(yīng)用能力.由|AB|=

,得

=

,解得b2=3.故橢圓E的方程為

+

=1.于是|AB|=

|x1-x2|=

=

.A組

2016—2018年高考模擬·基礎(chǔ)題組(時(shí)間:20分鐘分值:30分)一、選擇題(每題5分,共10分)1.(2018北京西城二模,6)已知點(diǎn)A(0,0),B(2,0).若橢圓W:

+

=1上存在一點(diǎn)C,使得△ABC為等邊三角形,則橢圓W的離心率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,所以C(1,±

),又點(diǎn)C在橢圓W上,所以

+

=1,解得m=6,則a2=6,c2=4,故e=

=

,所以橢圓W的離心率為

,故選C.2.(2016北京東城一模,7)已知P(5,2),F1(-6,0),F2(6,0)三點(diǎn),那么以F1,F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的

短軸長(zhǎng)為

()A.3

B.6

C.9

D.12答案

B因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,所以|PF1|+|PF2|=2a,因?yàn)镻(5,2),F1(-6,0),F2(6,0),所以|PF2|=

,|PF1|=5

,所以2a=6

,a=3

,又c=6,所以b2=9,所以b=3,2b=6.思路分析先利用已知作出圖形,結(jié)合橢圓的定義和點(diǎn)的坐標(biāo)求出a,再用基本量運(yùn)算求出b,得

到短軸長(zhǎng)2b.解后反思對(duì)于橢圓定義的考查,還會(huì)把橢圓定義中2a>2c的條件作為考查點(diǎn),本題中短軸長(zhǎng)

為2b,不是b,也是易錯(cuò)點(diǎn).3.(2017北京豐臺(tái)期末,10)設(shè)橢圓C:

+

=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓C上,如果|PF1|+|PF2|=10,那么橢圓C的離心率為

.二、填空題(共5分)答案

解析∵|PF1|+|PF2|=2a=10,∴a=5,∴e=

=

=

=

=

.4.(2017北京朝陽(yáng)二模,18)已知橢圓W:

+

=1(a>b>0)的上、下頂點(diǎn)分別為A、B,且點(diǎn)B(0,-1),F1、F2分別為橢圓W的左、右焦點(diǎn),且∠F1BF2=120°.(1)求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)點(diǎn)M是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸于N,E為線段MN的中點(diǎn).直線AE與直

線y=-1交于點(diǎn)C,G為線段BC的中點(diǎn),求∠OEG的大小.三、解答題(共15分)解析(1)依題意,得b=1,在Rt△BF1O中,∠F1BO=60°,所以BF1=BF2=2,即2a=2+2,所以a=2.所以橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+y2=1.(2)設(shè)M(x0,y0),x0≠0,則N(0,y0),E

.因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓W上,所以

+

=1,即

=4-4

.又A(0,1),所以直線AE的方程為y-1=

x.令y=-1,得C

.又B(0,-1),G為線段BC的中點(diǎn),所以G

.所以

=

,又

=

,所以

·

=

+y0(y0+1)=

-

+

+y0=1-

+y0=1-y0-1+y0=0,所以

⊥

,即∠OEG=90°.B組

2016—2018年高考模擬·綜合題組(時(shí)間:20分鐘分值:30分)一、選擇題(共5分)1.(2016北京豐臺(tái)期末,7)若F(c,0)為橢圓C:

+

=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),橢圓C與直線

+

=1交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)在直線x=c上,則橢圓的離心率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B∵橢圓C與直線

+

=1交于A,B兩點(diǎn),∴可令A(yù)(a,0),B(0,b),∵線段AB的中點(diǎn)在直線x=c上,∴

=c,∴橢圓的離心率e=

=

=

.故選B.2.(2018北京豐臺(tái)期末,13)能夠說(shuō)明“方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示的曲線是橢圓”為

假命題的一個(gè)m的值是

.二、填空題(每題5分,共10分)答案2(答案不唯一,從(-∞,1]∪{2}∪[3,+∞)中任取一個(gè)值即可)解析當(dāng)m≠1,且m≠3時(shí),方程可化為

+

=1,若方程表示橢圓,則需滿足

解得1<m<3且m≠2,故能夠說(shuō)明“方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示的曲線是橢圓”為假命題

的m的取值范圍為(-∞,1]∪{2}∪[3,+∞).思路分析將方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式,利用a2>0,b2>0,a≠b求解.解題關(guān)鍵掌握方程表示橢圓的充要條件是關(guān)鍵.3.(2018北京門頭溝一模,13)橢圓C:

+

=1(a>b>0)上的點(diǎn)P若滿足PF1⊥PF2,F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),稱這樣的點(diǎn)P為橢圓的“焦垂點(diǎn)”.橢圓

+

=1有

個(gè)“焦垂點(diǎn)”;請(qǐng)你寫(xiě)出橢圓C:

+

=1(a>b>0)上有4個(gè)“焦垂點(diǎn)”時(shí)所滿足的條件:

.答案2;c>b或

<e<1(答案不唯一)解析橢圓

+

=1的焦距為2

,問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為判斷橢圓

+

=1與圓x2+y2=2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題,故易得橢圓

+

=1有2個(gè)“焦垂點(diǎn)”.同理,由C:

+

=1(a>b>0)與圓x2+y2=c2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4容易得出所滿足的條件,即c>b或

<e<1等,答案不唯一.思路分析把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橢圓與圓x2+y2=c2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題求解.方法總結(jié)有關(guān)垂直問(wèn)題一般利用數(shù)量積為零、圓的性質(zhì)、兩直線垂直的充要條件等求解.4.(2017北京西城一模,19)如圖,已知橢圓C:

+

=1(a>b