洪梅中學(xué)C班黃毅龍說(shuō)題

說(shuō)題目的來(lái)源背景

泉州市2013年中考數(shù)學(xué)卷24題：

【問(wèn)題】某校為培養(yǎng)青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動(dòng)漫制作活動(dòng)，小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)雛型.如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)A、B以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng).甲運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間滿(mǎn)足關(guān)系：乙以4cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長(zhǎng)度為21cm.（1）甲運(yùn)動(dòng)4s后的路程是多少？（2）甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？（3）甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？說(shuō)題目的立意

本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題的能力、邏輯思維能力、識(shí)圖能力、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。說(shuō)解法分析此題是屬于封閉路線中的相遇的行程問(wèn)題，已知條件：，V乙=4cm/s，L半圓=21cm，同時(shí)出發(fā)，相向而行?？梢越柚鷪D示直觀地解決：

圖一甲AB乙C圖二甲AB乙（1）根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式把t=4s代入求得L的值即可；（2）、（3）根據(jù)圖可知，等量關(guān)系：第一次相遇：S甲+S乙=1個(gè)半圓，第二次相遇：S甲+S乙=1個(gè)半圓+1個(gè)圓周。

解：（1）當(dāng)t=4s時(shí)，

答：甲運(yùn)動(dòng)4s后的路程是14cm；（2）由圖可知，甲乙第一次相遇時(shí)走過(guò)的路程為半圓21cm，甲走過(guò)的路程為，乙走過(guò)的路程為4t，則，解得：t=3或t=﹣14（不合題意，舍去），答：甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了3s；（3）由圖可知，甲乙第一次相遇時(shí)走過(guò)的路程為三個(gè)半圓：3×21=63cm，則，解得：t=7或t=﹣18（不合題意，舍去），答：甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了7s．【知識(shí)梳理】1、列一元二次方程解應(yīng)用題：①分析題意，找出題中已知量和未知量及等量關(guān)系；②設(shè)未知數(shù)，列方程；③解方程；④檢驗(yàn)；⑤作答。2、解決封閉路線中的行程問(wèn)題：①仍要抓住“路程=速度×?xí)r間”這個(gè)基本關(guān)系式，搞清路程、速度、時(shí)間三者之間的關(guān)系。②必須弄清物體運(yùn)動(dòng)的具體情況。如：運(yùn)動(dòng)的方向（相向、同向），出發(fā)的時(shí)間（同時(shí)、不同時(shí)），出發(fā)的地點(diǎn)（同地、不同地），運(yùn)動(dòng)的結(jié)果（相遇幾次）。變式拓展

變式一：（添加問(wèn)題）甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第27次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？

可以借助圖示直觀地發(fā)現(xiàn)：

從第一相遇后，每增加1次相遇，路程和將增加一圓周即42cm，第n次相遇，把n=27代入得t=42或t=﹣53（不合題意，舍去），小結(jié)：

第n次相遇：S甲+S乙=1個(gè)半圓+（n-1)個(gè)圓周。強(qiáng)調(diào)：運(yùn)用特殊與一般思想圖二甲AB乙圖一甲AB乙C圖一甲AB乙圖二甲AB乙變式二：（把“相向”變“同向”：乙點(diǎn)“逆時(shí)針”的方向改為“順時(shí)針”的方向，即把“相遇問(wèn)題”變?yōu)椤白芳皢?wèn)題”。）某校為培養(yǎng)青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動(dòng)漫制作活動(dòng)，小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)雛型.如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)A、B均以順時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng).甲運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間滿(mǎn)足關(guān)系：乙以4cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長(zhǎng)度為21cm.（1）甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次追及時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？（2）甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次追及時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？

變式拓展分析：此題是屬于封閉路線中的追及的行程問(wèn)題，已知條件：V乙=4cm/s，L半圓=21cm，同時(shí)出發(fā)且同向而行。但到底是誰(shuí)追誰(shuí)呢？因此必須進(jìn)行分類(lèi)討論：(1)當(dāng)甲追上乙時(shí),借助圖示直觀地發(fā)現(xiàn):等量關(guān)系第一次追及：S甲－S乙=1個(gè)半圓，第二次追及：S甲－S乙=1個(gè)半圓+1個(gè)圓周,拓展：第n次追及：S甲－S乙=1個(gè)半圓+（n-1)個(gè)圓周。(2)當(dāng)乙追上甲時(shí),借助圖示直觀地發(fā)現(xiàn):等量關(guān)系第一次追及：S乙－S甲=1個(gè)半圓，第二次追及：S乙－S甲=1個(gè)半圓+1個(gè)圓周,拓展：第n次追及：S乙－S甲=1個(gè)半圓+（n-1)個(gè)圓周。解：當(dāng)甲追上乙時(shí),（1）解得或（不合題意，舍去），答：甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次追及時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了.(2)解得t=14或t=-9（不合題意，舍去），答：甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次追及時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了14s；當(dāng)乙追上甲時(shí),

化簡(jiǎn)得，

此時(shí)，，因此原方程無(wú)解。

所以不可能是乙追及甲，不必再做第（2）題了。綜上所述，（1）甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次追及時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了；（2）甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次追及時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了14s；

小結(jié)：第n次追及：S快－S慢=1個(gè)半圓+（n-1)個(gè)圓周。

強(qiáng)調(diào)：運(yùn)用分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，物理中相對(duì)靜止的知識(shí)。變式三：（把“異地”出發(fā)改為“同地”出發(fā)）即甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的端點(diǎn)A以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng).其余不變，情況又如何呢？分析：只要找準(zhǔn)等量關(guān)系，問(wèn)題就迎刃而解。若是同時(shí)同地異向出發(fā)，則第n次相遇的等量關(guān)系：S甲+S乙=n個(gè)圓周附加說(shuō)明：若是同時(shí)同地同向出發(fā)，則第n次追及的等量關(guān)系：S快－S慢=n個(gè)圓周

變式拓展說(shuō)解后反思1、解決封閉路線中的行程問(wèn)題：①仍要抓住“路程=速度×?xí)r間”這個(gè)基本關(guān)系式，搞清路程、速度、時(shí)間三者之間的關(guān)系。②必須弄清物體運(yùn)動(dòng)的具體情況。如：運(yùn)動(dòng)的方向（相向、同向），出發(fā)的時(shí)間（同時(shí)、不同時(shí)），出發(fā)的地點(diǎn)（同地、不同地），運(yùn)動(dòng)的結(jié)果（相遇幾次或追及幾次）。