廣東省中山市2024屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省中山市2024屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，則故選：A.2.復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由題意得，，故選：D.3.在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．4.已知，，，則實(shí)數(shù)，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以故選：C.5.已知均是銳角，已知，，則（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榫卿J角，，則，，又，所以.故選：D.6.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A選項(xiàng)：因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：由反比例函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，但在定義域上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：因?yàn)椋叶x域?yàn)镽，所以為奇函數(shù)，又均為增函數(shù)，所以也為增函數(shù)，C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)椋圆皇瞧婧瘮?shù)，D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知，，且，則的最大值為（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故選：B.8.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)m的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則有四個(gè)不同的解，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，且當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以，即，當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，又，作出時(shí)的圖象，如圖所示：所以當(dāng)時(shí)，的圖象與圖象有2個(gè)交點(diǎn)，且設(shè)為，作出圖象，如下圖所示：此時(shí)與分別與有2個(gè)交點(diǎn)，即有四個(gè)不同的解，滿足題意.綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：A.二、選擇題9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】方法一：∵等差數(shù)列滿足，，∴由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式有，解得，∴，，對于A，，故選項(xiàng)A正確；對于B，，當(dāng)取與最接近的整數(shù)即或時(shí)，最大，∴，故選項(xiàng)B正確；對于C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.方法二：∵等差數(shù)列滿足，∴，∴對于A，，∴，故A正確；對于B，，，，∴，故選項(xiàng)B正確；對于C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知，是夾角為的單位向量，且，，則（）A.在上的投影向量為 B.C. D.【答案】AB【解析】對于A，B，，，則，，，，所以在上的投影向量為，故A，B正確；對于C，，，故C錯(cuò)誤；對于D，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)的圖象的對稱軸方程為D.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到【答案】AB【解析】，故A正確；函數(shù)的最小正周期為，故B正確；由，得，故C錯(cuò)誤；由的圖象向左平移個(gè)單位長度，得，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12.如圖，正方體的棱長為1，則下列四個(gè)命題正確的是（）A.直線與平面所成的角等于B.四棱錐的體積為C.兩條異面直線和所成的角為D.二面角的平面角的余弦值為【答案】AB【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，而，，得，則平面，所以是直線與平面所成角為，故正確；點(diǎn)到平面的距離為的長度為，則，故正確；易證，所以異面直線和所成的角為或其補(bǔ)角，因?yàn)闉榈冗吶切危詢蓷l異面直線和所成的角為，故錯(cuò)誤；連接，由，所以，又，所以為二面角的平面角，易求得，又，，由余弦定理可得，故錯(cuò)誤．故選：．三．填空題13.已知向量，，，若，，則________【答案】0【解析】因?yàn)?，，所以，解得，所?故答案為：0.14.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則__________.【答案】【解析】，，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，又，，，.故答案為：.15.如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在小正四面體，余下的多面體稱作“阿基米德體”．若一個(gè)正四面體的棱長為12，則對應(yīng)的“阿基米德體”的表面積為________．【答案】【解析】根據(jù)題意，正四面體的棱長為12，一個(gè)面的面積為，截去頂角所在的小正四面體的邊長為4，小正四面體一個(gè)面的面積為，則該多面體中一個(gè)正六邊形的面積為，則該“阿基米德體”的表面積為.故答案為：.16.函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，直線（）與這部分圖象相交于三個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為，則______.【答案】【解析】由圖知，，且點(diǎn)位于減區(qū)間內(nèi)，點(diǎn)位于增區(qū)間內(nèi)，所以，解得，，故.則，最小正周期為.直線與這部分圖象相交于三個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為，則由圖可知，.∴.故答案為：.四．解答題17.已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，且.（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）記，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.解：（1）由可得，解得，所以，.（2）因?yàn)?，由題意得.18.記的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知為銳角，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面積.解：（1）由已知可得,，解得.因?yàn)闉殇J角，所以，所以，所以.（2）由題，，又由正弦定理，得.因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以的面積為或.19.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：；證明：（1）如圖，連接BD和AC交于點(diǎn)O，連接OF，為正方形，為BD的中點(diǎn)，為DE的中點(diǎn)，，平面ACF，平面ACF，平面ACF．（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且，平面，所以平面CDE，平面CDE，，為正方形，，，AD，平面DAE，平面DAE，平面DAE，．20.正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等差數(shù)列，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，因?yàn)?，所以，相減得，所以，代入，得，解得或，因?yàn)?，所以，所?（2）由已知得，，，所以，兩個(gè)等式相減得，所以.21.如圖，在平面四邊形ABCD中，AC=4，BC⊥CD.（1）若AB=3，BC=2，CD=5，求的面積；（2）若，求的最大值.解：（1）在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以的面積；（2）設(shè)，，則，．在中，由正弦定理可得，則，在中，由正弦定理可得，則，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值；綜上，的面積為，的最大值.22.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時(shí)，.（1）解：的定義域?yàn)?.依題意得：對恒成立,對恒成立.令，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.故，即的取值范圍為.（2）證明：（法一）當(dāng)時(shí)，設(shè)，由，得在上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在定理可得在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則，有，兩邊取對數(shù)并整理得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞