天津市河?xùn)|區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1天津市河?xùn)|區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，即，解得或，所以或，則，由，則，解得，所以，所以.故選：C.2.已知，命題“，”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）（）A B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榍?，，所以，?duì)恒成立，所以，因?yàn)椤?，所以是命題“，”是真命題的一個(gè)充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)在區(qū)間上的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題可得偶函數(shù)，排除A,D兩個(gè)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn).故選：C.4.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，故，，，故，故選：C5.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前和為，已知，，，若，則正整數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)的公差為，則，解得，故，故，則，因?yàn)?，所以，解?故選：B.6.為征求個(gè)人所得稅法修改建議，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了名當(dāng)?shù)芈毠さ脑率杖肭闆r，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖：下面三個(gè)結(jié)論：估計(jì)樣本的中位數(shù)為元；如果個(gè)稅起征點(diǎn)調(diào)整至元，估計(jì)有的當(dāng)?shù)芈毠?huì)被征稅；根據(jù)此次調(diào)查，為使以上的職工不用繳納個(gè)人所得稅，起征點(diǎn)應(yīng)調(diào)整至元．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以中位?shù)位于，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故①錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以如果個(gè)稅起征點(diǎn)調(diào)整至元，估計(jì)有的當(dāng)?shù)芈毠?huì)被征稅，故②錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以為使以上的職工不用繳納個(gè)人所得稅，起征點(diǎn)應(yīng)低于元，故③錯(cuò)誤．故選：A.7.陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，，分別為圓柱上、下底面圓的圓心，為圓錐的頂點(diǎn)，若圓錐的底面圓周長為，高為，圓柱的母線長為3，則該幾何體的體積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓錐的底面圓周長為，所以底面半徑為，設(shè)圓柱的體積為，圓錐體積為，，故選：D．8.已知，給出下列結(jié)論：若，，且，則；存在，使得的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；若，則在上單調(diào)遞增；若在上恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】①由題意可得，由，，且得兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為，所以，解得，故①錯(cuò)誤；②的圖象向左平移個(gè)單位長度得，若關(guān)于軸對(duì)稱，則，即，解得，所以當(dāng)時(shí)符合題意，故②正確；③當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，故③錯(cuò)誤；④設(shè)，當(dāng)時(shí)，，在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，即在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故④錯(cuò)誤．故選：A．9.已知定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，所以和有兩個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)的圖像如圖所示：因?yàn)闀r(shí)，和相交，所以只需和再有一個(gè)交點(diǎn)..當(dāng)時(shí)，若與相切，則有的判別式，此時(shí).當(dāng)時(shí)，若與相切，則有的判別式，此時(shí).當(dāng)時(shí)，若與相切，設(shè)切點(diǎn)為.則有，解得：.所以要使函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，只需或或，解得：或或.故選：D.二、填空題10.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則_________．【答案】【解析】由題設(shè)，.故答案為：.11.（1）已知兩個(gè)變量線性相關(guān)，若它們的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于；（2）正態(tài)曲線當(dāng)一定時(shí)，越小，總體分布越集中，越大，總體分布越分散；（3）對(duì)于分類變量與的隨機(jī)變量，越大說明“與有關(guān)系”的可信度越大；（4）在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)的值越大，說明擬合的效果越好；（5）根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)，求得的回歸方程是，對(duì)所有的解釋變量，的值一定與有誤差以上命題正確的序號(hào)為____________．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義可知，兩個(gè)變量線性相關(guān)，若它們的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于，故（1）正確；根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)可知，正態(tài)曲線當(dāng)一定時(shí)，越小，總體分布越集中，越大，總體分布越分散，故（2）正確；根據(jù)意義可知，對(duì)于分類變量與的隨機(jī)變量，越大說明“與有關(guān)系”的可信度越大，故（3）正確；根據(jù)殘差平方和及相關(guān)指數(shù)的意義可知，在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)的值越大，說明擬合的效果越好，故（4）正確；若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上時(shí)，則的值與相等，故（5）錯(cuò)誤故答案為：（1）（2）（3）（4）.12.已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為______．【答案】【解析】因?yàn)?，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，．故答案為：．13.已知正實(shí)數(shù)，滿足，且，則的最小值為______．【答案】【解析】由題意知正實(shí)數(shù)，滿足，且，則，即，則，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，故答案為：14.在平面四邊形中，，則___________；___________.【答案】【解析】∵，又，故，∵，故，∴為等邊三角形，則；∵，∴，又，∴，得，∴，根據(jù)以上分析作圖如下：則∠BCD=150°，則．故答案為：1；15.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，根據(jù)題意可作出的圖象如下：若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令，，則有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，故與都有2個(gè)交點(diǎn)，或者與有1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)與都有2個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得，不滿足，舍去；當(dāng)與有1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，解得，故，解得或，舍去；故，兩個(gè)實(shí)數(shù)根的范圍為，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．三、解答題16.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且．（1）求；（2）若，求的值；（3）若的面積為，，求的周長．解：（1）．由正弦定理可得，則，所以，所以，為三角形內(nèi)角，，解得，，．（2）由已知，，所以，，，.（3），，由余弦定理得，即，解得，的周長為．17.已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為；數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）分別求出，.解：（1）因?yàn)?，所以是公差的等差?shù)列，又前項(xiàng)和為，即，解得，所以，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且，設(shè)公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，解得，所以.（2）記，所以①，②，②①得，.18.如圖，四棱錐中，側(cè)面PAD為等邊三角形，線段AD的中點(diǎn)為O且底面ABCD，，，E是PD的中點(diǎn)．（1）證明：平面PAB；（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為，求平面MAB與平面ABD夾角的余弦值；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)D到平面MAB的距離．（1）證明：連接OC，因?yàn)?，所以四邊形OABC為平行四邊形，所以，所以，以O(shè)C，OD，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則，令，，平面PAB的一個(gè)法向量，，則，又平面PAB，所以平面PAB．（2）解：，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)M在棱PC上，所以，，即，所以，所以，平面ABCD的法向量為，因?yàn)橹本€BM與底面ABCD所成角為，所以，，解得，所以，設(shè)平面MAB的法向量為，則，即，令，則，所以，所以平面MAB與平面ABD夾角的余弦值．（3）解：，點(diǎn)D到平面MAB的距離．19.設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入1個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；……；在和之間插入個(gè)數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.（i）求；（ii）是否存在正整數(shù)，，使成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）設(shè)的公差為，，則，解得，所以.由得，得，，所以，所以，即，所以.綜上所述：；.（2）（i）依題意得，，，，，，所以令，則，所以，所以，所以，所以，（ii）假設(shè)存在正整數(shù)，，使，即，即成立，因?yàn)椋?，所以，所以，令，則，所以數(shù)列單調(diào)遞減，，，，當(dāng)時(shí)，，所以由，得；由，得，所以存在正整數(shù)，，使，且所有的正整數(shù)對(duì)為：和.20.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)上的切線方程.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（2）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，，且.（?。┣髮?shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）設(shè)k為大于1的常數(shù)，當(dāng)a變化時(shí)，若有最小值，求k的值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，又，所以函數(shù)在點(diǎn)上的切線方程為，即；（2）（ⅰ）即，則有，，設(shè)，，則，令，得，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又x趨向于0時(shí)，趨向負(fù)無窮，x趨向于正無窮大時(shí)，無限趨向0，且，函數(shù)的圖象如下：由題意，方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，即方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，所以函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知，，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（ⅱ）因?yàn)?，由（?。┑?，則，所以，設(shè)，則，即，，