浙江省紹興市2024屆高三上學(xué)期11月選考科目診斷性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1浙江省紹興市2024屆高三上學(xué)期11月選考科目診斷性考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，而，所以.故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意由可得，所以.故選：A.3.已知向量，滿足，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則，則，，則.，故.故選：B.4.已知某正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，故正六棱柱的外接球球心為上下底面中心連線的中點(diǎn)，故，表面積為.故選：D.5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設(shè)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，故，即，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知為拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，圓心，，如圖所示：連接，，，則，故當(dāng)最小時(shí)的最小，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，最小為，此時(shí).故選：C.7.已知數(shù)列滿足，且，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.若，則是等差數(shù)列B.若，則是等差數(shù)列C.若，則是等比數(shù)列D.若，則是等比數(shù)列【答案】B【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，，，故，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，，故，，不滿足等差數(shù)列，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，，則，故，數(shù)列為等比數(shù)列，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，，，故，即，正確；故選：B.8.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則對(duì)所有這樣的函數(shù)，由下列條件一定能得到的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)選項(xiàng)A：取，滿足函數(shù)為奇函數(shù)，且，，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：取，滿足函數(shù)為奇函數(shù)，且，，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：若，為奇函數(shù)，且，取得到；取得到；故，正確.對(duì)選項(xiàng)D：取，滿足函數(shù)為奇函數(shù)，且，，錯(cuò)誤；故選：C.二、選擇題9.已知圓：和圓：，則（）A.圓的半徑為4B.軸為圓與的公切線C.圓與公共弦所在的直線方程為D.圓與上共有6個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1【答案】BD【解析】圓：，圓心，半徑；圓：，圓心，半徑；對(duì)選項(xiàng)A：圓半徑為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：軸到圓心的距離為，即軸與圓相切；軸到圓心的距離為，即軸與圓相切，正確；對(duì)選項(xiàng)C：圓心距，，故兩圓相交，圓與公共弦所在的直線方程為，整理得到，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：過(guò)直線，故到直線距離為的點(diǎn)有個(gè)；過(guò)直線，故到直線距離為的點(diǎn)有個(gè)，故共有個(gè)點(diǎn)滿足條件，正確；故選：BD.10.由變量和變量組成的10個(gè)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，設(shè)過(guò)點(diǎn)，的直線方程為，記，，則（）A.變量，正相關(guān)B.若，則C.經(jīng)驗(yàn)回歸直線至少經(jīng)過(guò)中的一個(gè)點(diǎn)D.【答案】ABD【解析】對(duì)選項(xiàng)A：回歸方程為，故變量，正相關(guān)，正確；對(duì)選項(xiàng)B：若，則，正確；對(duì)選項(xiàng)C：經(jīng)驗(yàn)回歸直線不一定會(huì)經(jīng)過(guò)中的點(diǎn)，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：根據(jù)最小二乘法，回歸直線是所有直線中使殘差平方和最小的直線，正確；故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（）A. B.恰有5個(gè)零點(diǎn)C.必有極值點(diǎn) D.在上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，故，畫(huà)出函數(shù)和圖象，如圖所示：根據(jù)圖象知，函數(shù)有五個(gè)交點(diǎn)，故恰有5個(gè)零點(diǎn)，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，，，故存在，使且是變號(hào)零點(diǎn)，必有極值點(diǎn)，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，設(shè)，，則，因?yàn)?，故，，在上單調(diào)遞增，，，故存在，使，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；故，即恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞減，正確；故選：BCD12.已知橢圓的左項(xiàng)點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，，動(dòng)點(diǎn)，在橢圓上（點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限），是坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為1，則（）A.為定值 B.C.與的面積相等 D.與的面積和為定值【答案】ABC【解析】依題意，，則的面積，即有，由，得，即，因此，令，即，則，由，得，而，從而，即，A正確；，由，得，而點(diǎn)不在直線上，因此，B正確；顯然，，，因此與的面積相等，C正確；由選項(xiàng)C知，，而，，由于，函數(shù)的值不是定值，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)__________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，展開(kāi)式中含有項(xiàng)的為，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為；故答案為：14.人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代.目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從（）級(jí)別躍升到（），（）乃至（）級(jí)別.國(guó)際數(shù)據(jù)公司（）的研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為，2010年增長(zhǎng)到.若從2008年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量與年份的關(guān)系為，其中，均是正的常數(shù)，則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的___________倍.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得；2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的倍.故答案為：.15.過(guò)正三棱錐的高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，若三棱錐與三棱臺(tái)的表面積之比為，則直線與底面所成角的正切值為_(kāi)__________.【答案】【解析】依題意過(guò)正三棱錐的高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)的邊長(zhǎng)為，，則，，，所以，，所以三棱錐的表面積，三棱臺(tái)的表面積，依題意，所以，取的中點(diǎn)，則，因?yàn)闉檎忮F的高，所以平面且，則直線與底面所成角為，所以，所以，故直線與底面所成角的正切值為.故答案為：16.已知等比數(shù)列滿足且，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】，，設(shè)，則，，，故，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，，當(dāng)趨近時(shí)，趨近，故有解，滿足條件；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故只需，即，整理得到，解得，故.綜上所述：.故答案為：四、解答題17.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求的大?。唬?）若，，求.解：（1），故意，即，所以，，故，所以，所以，又，所以.（2），，所以.故，故.18.已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列前項(xiàng)的乘積，若，求的最大值.解：（1）設(shè)的公差為，由得；由，，成等比數(shù)列，得，即，整理得.由，解得或，的通項(xiàng)公式為或.（2），所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.從而，，，，，又因?yàn)椋?，故的最大值?19.如圖，為正三角形，平面，平面，，，點(diǎn)F，P分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.（1）證明：直線與直線相交；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，，，則，，由平面，平面，得，又，則，，四邊形為平行四邊形，因此，，由點(diǎn)在線段上，且，得是的中點(diǎn)，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，于是，，則，，即，共面，且，長(zhǎng)度不等，所以直線與直線相交.（2）解：由（1）知，平面即為平面，由平面，且平面，得，而為正三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，又，平面，于是平面，又，則平面，顯然平面，則有，從而為平面與平面所成二面角的平面角，不妨設(shè)，則，，，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若，都有，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，于是，而，所以曲線在處的切線方程是，即.（2）不等式，令函數(shù)，求導(dǎo)得，令，設(shè)，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是，即有，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，由，成立，得，成立，因此，所以的取值范圍是.21.機(jī)器人甲、乙分別在，兩個(gè)不透明的箱子中取球，甲先從箱子中取2個(gè)或3個(gè)小球放入箱子，然后乙再?gòu)南渥又腥?個(gè)或3個(gè)小球放回箱子，這樣稱為一個(gè)回合.已知甲從箱子中取2個(gè)小球的概率為，取3個(gè)小球的概率為，乙從箱子中取2個(gè)小球的概率為，取3個(gè)小球的概率為.現(xiàn)，兩個(gè)箱子各有除顏色外其它都相同的6個(gè)小球，其中箱子中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球；箱子中有2個(gè)紅球，4個(gè)白球.（1）求第一個(gè)回合甲從箱子取出的球中有2個(gè)紅球的概率；（2）求第一個(gè)回合后箱子和箱子中小球個(gè)數(shù)相同的概率；（3）兩個(gè)回合后，用表示箱子中小球個(gè)數(shù)，用表示箱子中小球個(gè)數(shù)，求分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）在第一個(gè)回合中，記事件表示“甲從箱子中取出2個(gè)球”，事件表示“甲從箱子中取出3個(gè)球”，事件C表示“甲從箱子取出的球中有2個(gè)紅球”，則（2）第一個(gè)回合后，A箱子和B箱子中小球個(gè)數(shù)相同，即甲從A箱子中取出小球的個(gè)數(shù)與乙從B箱子中取出小球的個(gè)數(shù)一樣，所以，.（3）每個(gè)回合后A，B兩個(gè)箱子小球個(gè)數(shù)不變的概率，A箱子比B箱子小球個(gè)數(shù)少2個(gè)的概率，A箱子比B箱子小球個(gè)數(shù)多2個(gè)的概率.兩個(gè)回合后，的所有可能值為，，0，2，4.，，，，.所以隨機(jī)變量的分布列為024所以，.22.已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的直線與該雙曲線的左、右兩支