多元函數(shù)微分學(xué)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一.空間曲線的切線和法平面切線當(dāng)M沿曲線L趨向于時(shí),割線的極限位置MT法平面過(guò)而垂直于切線的平面1.設(shè)曲線導(dǎo)數(shù)不全為零即切向量切線方程法平面方程2.設(shè)曲線將x視為參數(shù),切線方程法平面方程3.設(shè)曲線因?yàn)樗_定隱函數(shù)y=y(x),z=z(x),所以利用隱函數(shù)微分法及情形2即可解決.例1求曲線在點(diǎn)(1,1,1)處的切線和法平面.法平面方程切線方程例2求曲線在點(diǎn)(1,1,1)處的切線和法平面.方程兩邊對(duì)x求導(dǎo):在(1,1,1)點(diǎn)解得:法平面方程切線方程二.曲面的切平面與法線若曲面上過(guò)點(diǎn)的任意曲線的切線都位于同一平面.切平面過(guò)且與切平面垂直的直線法線1.設(shè)曲面方程為在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且不全為零.是曲面上過(guò)的任一曲線:因?yàn)閮蛇厡?duì)t求導(dǎo)切平面法線2.設(shè)曲面方程為設(shè)當(dāng)作第一種情形計(jì)算.切平面的法向量例4.在哪一點(diǎn)處的法線垂直于.例3.求在點(diǎn)(2,1,4)處的切平面和法線.在點(diǎn)(2,1,4):切平面方程法線方程練習(xí)三.多元函數(shù)的極值定義:設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,如果在該鄰域內(nèi)則稱z=f(x,y)在點(diǎn)有極大值;反之,為極小值.極值極值點(diǎn)例如:極大值f(0,0)=1.極小值f(0,0)=0;定理1(極值必要條件)設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)且有極值,則駐點(diǎn)注:(1).由偏導(dǎo)數(shù)及一元函數(shù)極值易證;(2).(3).駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).例如:(0,0)是函數(shù)z=xy的駐點(diǎn),但f(0,0)既不是極大值也不是極小值.定理2(極值充分條件)設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且記則時(shí),是極值,且A<0時(shí)極大,A>0時(shí)極小.時(shí),不一定是極值.時(shí),不是極值;例5.求的極值.駐點(diǎn)(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)在(1,0):f(1,0)=-5是極小值;在(1,2)及(-3,0):,不是極值;在(-3,2):f(-3,2)=31是極大值.注意:在多元函數(shù)中,我們只討論可導(dǎo)函數(shù)的極值.最大值和最小值問(wèn)題:(1).在閉區(qū)域上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值,此時(shí)可以仿照一元函數(shù)的方法來(lái)比較求出.(2).在實(shí)際問(wèn)題中,若問(wèn)題的性質(zhì)決定了最大值(最小值)一定在D內(nèi)取得而函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),則該點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大值(最小值).例6.用鐵板作一容積為V的無(wú)蓋長(zhǎng)方箱,尺寸怎樣時(shí),用料最省?設(shè)長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,而V=xyz駐點(diǎn)即為所求例7.把寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板兩邊折起來(lái)做成斷面為等腰梯形的水槽.怎樣折才能使斷面面積最大?設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為x,傾角為24-xx可以解得駐點(diǎn):即為所求四.條件極值對(duì)自變量有附加條件的極值例6就可以看作條件極值問(wèn)題.前面的極值叫做無(wú)條件極值條件極值計(jì)算法:方法一.化為無(wú)條件極值;方法二.拉格朗日乘數(shù)法:條件簡(jiǎn)單時(shí),如例6條件復(fù)雜或多個(gè)時(shí)例如,求在條件下的極值1.作函數(shù)拉格朗日乘數(shù)3.解出駐點(diǎn)(條件駐點(diǎn));4.判斷是否為條件極值點(diǎn).判別法不要求,會(huì)用實(shí)際問(wèn)題性質(zhì)判斷即可注:該方法可推廣到自變量多于兩個(gè),條件多于一個(gè)的情形.例6.解法二:解出條件駐點(diǎn):求在條件下的極值因?yàn)槭俏ㄒ坏鸟v點(diǎn),所以即為所求設(shè)(x,y,z)為橢圓上一點(diǎn),則x,y,z滿足及距離解得:最