2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題（答案）

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

2i

1.設(shè)111,則2()

A.12iB.12iC.2iD.2i

【答案】B

【解析】

【分析】由題意首先計算復(fù)數(shù)Z的值，然后利用共輾復(fù)數(shù)的定義確定其共桅復(fù)數(shù)即可.

.53-rzr,21211212i1

［詳解］由題意可得Z——3_---------------------------12d1,

1rfr111r1

則r12L

故選：B.

2設(shè)集合UR,集合MT'X［X4,劉XX1（）

A.@MNB.N許M

C.可MND.MOJN

【答案】A

【解析】

【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結(jié)果是否為A|A"即可.

【詳解】由題意可得MNx|x2,則6MNx|x2,選項A正確;

U

6Mx|x1,則NeMx|x1

,選項B錯誤；

MNx|1x1,則6MNx|x1或x1,選項c借誤；

面Nx|x1或x2，則MdNx|x1或x2，選項D錯誤；

故選：A.

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積為()

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A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長方體ABCDAMP"…"

中，，

點H,I,J,K為所在棱上靠近點B,C,D,A的三等分點，…"""

為所在棱的中點，

iiii

則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體ABCDA|B0Pi去掉長方體

之后所得的幾何體，

1

該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，

其表面積為：22242321130.

故選：D.

4.已知f(x)」匚是偶函數(shù)，則2()

e"1

A.2B.1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.

第2頁/共25頁

xx厘a1x

【詳解】因為fX-工為偶函數(shù)，則fxfX-......-x-e-0，

e11e"'1eax1

又因為x不恒為0,可得exealx0，即e'ea1x,

1a1，腫何&4.

則xa1x,即

故選：D.

5.設(shè)0為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，在區(qū)域*yrX2y24內(nèi)隨機(jī)取一點，記該點為A,則直線OA

的傾斜角不大于一的概率為（）

4

Illi

A.-B.-C.-D.，

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運算求解.

【詳解】因為區(qū)域4y"y24表示以00,0圓心，外圓半徑R2,內(nèi)圓半徑r1的圓環(huán),

則直線0A的傾斜角不大于為部分如陰影所示，在第一象限部分對應(yīng)的圓心角M0NJT

4T

9_

結(jié)合對稱性可得所求概率p41.

2n4

.n2nJT2元

6.已知函數(shù)f(x)sin(x）在區(qū)間單調(diào)遞增，直線x—和X—yfX

63為函數(shù)的圖像的

兩條對稱軸，則fr）

11

卜?專C.D.

22

第3頁/共25頁

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入x——即可得到答案

12

,..,n2n

【詳解】因為f(x)sin(x)在區(qū)間單調(diào)遞增,

63

T2兀JIJI2兀

所以—,且0,則TII,w—2,

7T百2T

JTJI

當(dāng)X一時，fx取得最小值，則2-2kn—,kZ,

662

5n5n

則2kn----,kZ,不妨取k0,則fxsin2x

6T

5n5n好,

則fsin

12T2

故選：D.

7.甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有

()

A.30種B.60種C120種D.240種

【答案】C

【解析】

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案

【詳解】首先確定相同得讀物，共有C*種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種，

根據(jù)分步乘法公式則共有A|

120種，

故選：C.

8.已知圓錐P0的底面半徑為火，0為底面圓心，PA,PB為圓錐的母線，A0B120,若PAB的面

積等于純，則該圓錐的體積為()

4

A.B.>/6C.3D.：入同

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積作答.

第4頁/共25頁

【詳解】在AOB中，AOB1200,而OA0B不，取AC中點C,連接oc,PC

，有

3,由PAB的面積為喧，得13PC

242

解得PC于是P0JPC2oc

22

所以圓錐的體積VinOAPOJn（V3）#-76n.

33

故選：B

9.已知ABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，AABD為等邊三角形,若二面角“為3,則

直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）

1小2

A.-BcD.-

5-V55

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答

【詳解】取AB的中點E，連接’，因為ABC是等腰直角三角形，且AB為斜邊，則有CEAB

又4ABD是等邊三角形，則DEAB,從而CED為二面角CABD的平面角，即CED150

第5頁/共25頁

顯然平面CDE,于是AB平面CDE又AB平面ABC,

因此平面CDE平面ABC,顯然平面CDE平面ABCCE,

直線CD平面CDE,則直線CD在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,

從而DCE為直線CD與平面ABC所成的角，令A(yù)B2,則CEIDE6,在CDE中，由余弦

定理得:

DECD立sinl50

由正弦定理得———---------,EPsinDCE忑

sinDCEsinCEDa獷

5

顯然DCE是銳角，cosDCEJsin2DCE

2^/7,

所以直線CD與平面ABC所成的角的正切為也.

5

故選：C

10.已知等差數(shù)列科的公差為號，集合Scosan|nN*，若。,則ab)

A.-1B.-C.0D.：

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理

作答.

【詳解】依題意，等差數(shù)列｛aj中，an%（nD1n

33

顯然函數(shù)ycos［?、蔂帲莸闹芷跒?,而nN

即cosan最多3個不同取值，又

{cosa,,|nN}{a,b},

則在cosapcosa2cosa3中，cosa,cosa2cosa3cosacosacosa

或

2

于是有coscos（今），即有（;）1Wk

2kn,kZ,解得knZ,

T

gcos[(kn?宗JI

所以kZ,abcos(kncos(kn二)coskncos2k兀cos—￡

332

故選：B

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2

1L設(shè)A,B為雙曲線（L-1上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）

A.1,1B.J1,2）C.13i4

D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)點差法分析可得kk9,對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷;

AB

對于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷

【詳解】設(shè)A為，y,BX"丫2，則AB的中點M受廣,斗六，

yiy2

JJ-----------------JJ

可得KB-_—2—--~

Xix2XiX2

2

x；1

9

因為AB在雙曲線上,則

y

1

2

9

y：飛

所以kk9

ABx：A

對于選項A：可得kLkAB9，則

y9x8

2

聯(lián)立方程2y1，消去y得72x2272x730,

XV

此時2722472732880,

所以直線AB與雙曲線沒有交點,故A錯誤;

9

對于選項B：可得k2,k則AB:y

AB2

95

y-x-

22

聯(lián)立方程2，消去y得45x2245X610,

y1

X2——1

9

此時245244561445160,

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；

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對于選項C：可得k3kAB3AB:y3x

,則

由雙曲線方程可得""""，則AB:y3x為雙曲線的漸近線,

所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤：

997

對于選項D：k一，則AB:y-x一，

AB444

97

y—>

4了

聯(lián)立方程2,消去y得63x2i26x1930,

2

x工1

9

此時12624531930,故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；

故選：D.

12已知0的半徑為1,直線PA與00

相切于點A,直線PB與交于B,C兩點，D為BC的中點,

若|PO|a""PAPD-w〉')

1+&B.*

22

C.1QD.272

【答案】A

【解析】

【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論利用平面向量的數(shù)量積定義可得

PAPD--sin2-，或PAPD--sin2-然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定

224224

PA

【詳解】如圖所示，|OA|1|OP|工■，則由題意可知：APO45,

由勾股定理可得PAOh1

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B

D

當(dāng)點AD位于直線PO異側(cè)時,設(shè)OPC,0T

心PAPD=PA||PDcos

4

1屈coscos

T

”in

>/2cos與。s

22

cos2sincos

1cos2lsin2

22

1

—sin2

224

0-----,則-2

44了了

JI;時，PA

當(dāng)2PD有最大值1.

4

當(dāng)點AD位于直線P0同側(cè)時，設(shè)

OPC=,04

XU:PAPD=1PA||PDcos

4

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1屈COScos

T

紇。s

屈cos4

22

cos2sincos

1cos2，n2

22

￡Ein

2

224

0則一2

4了~2

有最大值’,

當(dāng)25時，PAPD

42

坪口人ppnuAxyvm/yj

故選：A.

【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查

了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.

二、填空題

13已知點A175的鮑線ay與px上，則A到c的準(zhǔn)線的距離為

9

【答案】

4

【解析】

5

【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為x—，最后利

4

用點的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計算點A到C的準(zhǔn)線的距離即可.

jyu

【詳解】由題意可得：下22p1,則，拋物線的方程為y25x,

559

準(zhǔn)線方程為x“點A到C的準(zhǔn)線的距離為1--

9

故答案為：-

4

第10頁/共25頁

x3y1

14.若x,y滿足約束條件x2y9，則z2xy

的最大值為

3xy7

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為截距最值討論即可.

【詳解】作出可行域如下圖所示:

z2xy,移項得y2x

x3y1x5

聯(lián)立有x,解得

2y9y2

設(shè)…“

,顯然平移直線y2xz

使其經(jīng)過點A,此時截距最小，則最大,

代入得z8,

8a

，貝iJ

7

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對a2a4a5a3a6化簡得aq1,聯(lián)立aa8求出：

19io2,最后得

5n

a7%qa，q乙.

【詳解】設(shè)4的公比為qq0,則a2a4a5qqa0

,顯然

232

則adq,即aiqq,則叫q1,E>aa9a108,貝gq8期98,

5333

則q829,則q2,則由gqq5q52,

15q

故答案為:2.

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16設(shè)aQI,若函數(shù)fxa*1a乂在“

上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是_.

【答案】七一」

【解析】

【分析】原問題等價于fxaxIna1axIn1a0恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形,

_?1aIna

可得------------a

aIn1a,由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實

數(shù)a的取值范圍.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得fxa*Ina1a*M1a0在區(qū)間Q上恒成立，

]a*Inq

on1axlnlaaxha,即--——--在區(qū)間Q上恒成立，

aIn1a

0

1q1nO

故——1--------，而a112,故In1a0

aIn1a

y/511

結(jié)合題意可得實數(shù)a的取值范圍是七一，1.

-751,

故答案為：，1.

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進(jìn)行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)

相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的

伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為x‘y"

ii),試驗結(jié)果如下

試驗序號i12345678910

伸縮率升545533551522575544541568596548

伸縮率升536527543530560533522550576536

記4%y*L2,10),記z,馬，…，z的樣本平均數(shù)為之,樣本方差為s2,

110

第12頁/共25頁

⑴求，,s2;

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果

,則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否

則不認(rèn)為有顯著提高).

【答案】(1)飛it,a61；

(2)認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均數(shù)公式即可計算出工》，再得到所有的4值，最后計算出方差即可;

(2)根據(jù)公式計算出的值,和W比較大小即可.

【小問1詳解】

545533551522575544541568596548廣?c

*-------------------------------------------------5523,

10

536527543530560533522550576536一，°

y-------------------------------------------------541.3,

10

Z*y552.3541.311,

4%y,的值分別為：9,6815^11,19,18.20^12

4.(9II)2(6II)2(8II)2(8II)2(15II)20(19II)2(18II)2(20II)2(12II)2

故s2----------------------------------------------------------------------------

10

【小問2詳解】

由(1)知:Z11,2c2761故有彳

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

1&在ABC中，已知BAC120,AB2,二

(1)求sinABC；

(2)若D為BC上一點，月.BAD90,求4ADC的面積

【答案】C)叵;

14

⑵*

第13頁/共25頁

【解析】

【分析】⑴首先由余弦定理求得邊長BC的值為BCJ7,然后由余弦定理可得cosB最后由同

角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB

△ABD,\

⑵由題意可得——4,則SAACD-S，據(jù)此即可求得4ADC的面積

OAACD5AABC

【小問1詳解】

由余弦定理可得：

BC2a2b2d2bccosA

41221cos1207,

.-----FTL25舊

sinBDyjlcosB1-----

【小問2詳解】

-ABADsin90

由三角形面積公式可得

1ACADsin30

2

則SAACD-S--21sinl20二

5AABC5210

19.如圖，在三棱錐PABC中，ABBC,AB2,BC2正，PBPC的，BP,AP,BC的

中點分別為D,E,0,ADJ5D0,點F在AC上，BFAO.

(1)證明：EF//平面ADO:

第14頁/共25頁

（2）證明：平面ADO平面BEF；

（3）求二面角DAOC的正弦值

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析;

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答

（2）由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.

（3）由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小問1詳解】

連接DE,OF,設(shè)AFtAC,則BFBAAF(1t)BAtBC,-

AOBA2BCBFAO

則BFAO[(1t)BAtBC](BA區(qū)C)(t1)BA2IBC24(t1)4t0,

22

解得t則F為AC的中點，由D,E,0,F分別為PB,P\BC,AC

2的中點,

于是DE//AB,DE-AB,OF//AB,OF-AB,即DE//OF,DEOF，則四邊形ODEF為平行

22

四邊形,

EF//DO,EFDO,又EF平面ADO,DO平面ADO,

所以EF//平面ADO.

因此0D2AO2AD2(，貝iJODAO,有EFAO,

2

VU1,UL1UIjL-il

又，平面BEF,

則有AO平面BEF,又AO平面ADO,所以平面ADO平面BEF.

第15頁/共25頁

【小問3詳解】

過點。作OH//BF交AC于點H,設(shè)ADBEG,

由AOBF,得HOAO，且FH-AH,

3

又由（2）知，ODAO,則DOH為二面角DAOC的平面角,

因為D,E分別為PB,PA的中點，因此“為111.U

的重心，

-AD,GE1BE,又FH1Q

即有DG-AH,即有DH-GF,

3332

,315

4———

2246PA2

cosABD，解得PAJT7,同理得BE叵

22叵22.x/62

2

22

L亞5

于是BE?EF2BF23,即有BEEF,則2

3T*3

叵3岳業(yè)

從而GFDH

3232

BFg0D

i￡AD0H中，OH1

22

6315_________

于是cosDOH）亳。冬，sinDOHt在叵,

2也此2V22

~2F1

C的正弦值為也.

所以二面角DA0

0的離心率為，點A20

在C上

第16頁/共25頁

(2)過點23的直線交C于點P,Q兩點，直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明：線段MN

的中點為定點

22

【答案】⑴工2Li

94

(2)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意列式求解abe,進(jìn)而可得結(jié)果;

(2)設(shè)直線PQ的方程，進(jìn)而可求點M,N的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗證產(chǎn)為定值即可.

【小問1詳解】

b2a3

222

由題意可得abC,解得b

c耶C

e

a3

2

所以橢圓方程為2_

9

【小問2詳解】

由題意可知：直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ:ykx23PX]y,Q

x,y2

i2

ykx23

型216k23k0

聯(lián)立方程y2X2,消去y得:9x8次3x

1

-91

則△64k22<32644k29K3c1728k0,解得k0,

8k316k23k

可得A4:一■，3忍

4k294k29

J

因為A20,則直線AP:yX)2X2

令x0,解得yBPM0,一二

Xi2Xi2

同理可得N

2

第17頁/共25頁

2yl2y2

則Xi2八2“kx23k為23

2Xi2x22

取3當(dāng)2期2<3?22kxiX24k35修42k3

X2%2xx2xx4

1212

32ki3k84k3又3

4卜94k'99

16k23k16k2k336

---------------------------------4

4k294k29

m以軌取rwujf,u、忠;EHMo

【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟

(1)由特例得出一個值，此值一般就是定值；

(2)證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān);

也可令系數(shù)等于零，得出定值；

(3)得出結(jié)論.

21.已知函數(shù)f(x)-aln(lx)

x.

(1)當(dāng)a1時，求曲線yfx在點…1處的切線方程：

(2)是否存在a,b,使得曲線yf-關(guān)于直線xb對稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說明理

第18頁/共25頁

由.

(3)若,"在"

存在極值，求a的取值范圍.

...±11乙AV111L.U

【答案】⑴；

(2)存在al,bL滿足題意，理由見解析

22

(3)Q9

【解析】

【分析】⑴由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo)，最后求

解切線方程即可；

⑵首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)b的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可

aaa,b是否正確即可；

得關(guān)于實數(shù)的方程，解方程可得實數(shù)的值，最后檢驗所得的

⑶原問題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)gx=ax2xx1hx1,然后對函數(shù)求

導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論a0,a:和0aJ三中情況即可求得實數(shù)a的取值

乙乙

范圍.

【小問1詳解】

當(dāng)a1時，fx—1Inx1?

x

ric1111A±1

貝llfX-2~-1---，

XXX1

據(jù)此可得flQf1M2,

函數(shù)在If1期物線方程為y0ln2x1，

nin乙Ayin乙v

即.

【小問2詳解】

由函數(shù)的解析式可得f，xaIn-1,

XX

1V1

函數(shù)的定義域滿足一1——0,即函數(shù)的定義域為

XX

定義域關(guān)于直線XL對稱，由題意可得b1,

22

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由對稱性可知f，mf—mm—,

222

Q

取m2可得1'

f

2

Ul1

即。°”L則a12a，解得

2a2

L滿足題意，故aLb1.

經(jīng)檢驗a-,b

2222

即存在a-,bL滿足題意.

22

【小問3詳解】

由函數(shù)的解析式可得fx}Inx1!1

a

X1

v,

由fX在區(qū)間"存在極值點，則fX隨間上存在變號零點;

111

令I(lǐng)nx1—a----0

Txx1

2

則x1Inx1xax0

令gx=ax2xx1Inx1

fx隨:間“存在極值點，等價于gx幽間Q

上存在變號零點,

1

gx2axInx1,gx2a

0時，gx0Q

當(dāng)a，gx在區(qū)間上單調(diào)遞減,

此時gxg00,gX在區(qū)間上無零點，不合題意;

當(dāng)a-,2a1時，由于」■一1,所以g"xQgx

Q