數(shù)學(xué)行列式計算論文

PAGE第2頁共9頁高等代數(shù)典型方法選講論文行列式的計算方法行列式的計算是學(xué)習(xí)高等代數(shù)的基石,它是求解線性方程組,求逆矩陣及求矩陣特征值的基礎(chǔ),但行列式的計算方法很多,綜合性較強(qiáng),在行列式計算中需要我們多觀察總結(jié),便于能熟練的計算行列式的值。目前我們常用的計算行列式的方法有對角線法則，化為三角形行列式,拆分法,降階法，升階法，待定系數(shù)法和數(shù)學(xué)歸納法，乘積法。定義法級行列式的值等于所有取自不同行不同列的個元素的乘積的代數(shù)和,這里是的一個排列,每一項都是按下列規(guī)則帶有符號:當(dāng)是偶排列時,帶有正號,當(dāng)是奇排列時,帶有負(fù)號.這一定義可以寫成,這里表示對所有級排列求和.但是對于含有元素較多的高階行列式可用定義法計算則較為復(fù)雜,一般僅對2級3級的行列式采用。而對與高階行列式中0元素較多的行列式則可以采用.因行列式的項中有一因數(shù)為零時，該項的值為零，故只需求出全部為非零乘積的項相加即可。通常是從行列式的一般項行入手，將行標(biāo)按自然數(shù)排列，討論列標(biāo)的所有可能的非零取值，并且要注意每一項的符號。例.計算12345階行列式=解:有定義法知:只需求出A中所有的非零項相加即可。D中的第一行的非零元素只有，因而，同理于是在可能取的數(shù)值中，只能組成一個12345個元素的排列：1234412343…2112345.而此排列的逆序數(shù)為=為偶數(shù)，故化三角法運用行列式的8個性質(zhì)將化為上(下)三角形或者對焦三角形此時行列式值即比較明顯求出.這是計算三階及三階以上行列式值的基本方法和主要方法.特別對于和型行列式可用主對角線元素化為上(下)三角形計算.對于和型行列式可用副對角元素化為上(下)三角形行列式計算．例.求解4階行列式三.降階法利用行列式的性質(zhì)對行列式中存在某行（列）0元素較多的行列式進(jìn)行行(列)展開.容易留下少些非0部分將行列式降階一般也只對非特殊階數(shù)不高的行列式計算如下.亦可利用降階定理對高階的行列式求值.例．計算行列式解：====-7降階定理:設(shè)是方陣,且A可逆,則證明:四.加邊法行列式的計算一般是想辦法降階,但對于某些行列式,在保持原行列式值不變的基礎(chǔ)上增加一行一列(增加的一行一列元素一般是有0和1組成),然后可化為爪型行列式,最終在根據(jù)行列式性質(zhì)化為上下三角形行列式計算.例.求分析:這類行列式的一個顯著特點就是每一行每一列除個別元素以外均相同,這時可加條邊將相同元素化為0.解：五.遞推法按行或者列展開行列式,使行列式降階,比較原行列式和降階后的行列式異同,找出遞推關(guān)系,如降階一次看不出關(guān)系,可再降階一次試試.觀察總結(jié)出遞推關(guān)系.此類行列式一般行列式都表現(xiàn)出特殊規(guī)律的形式.例．計算行列式解:這個行列式的特點是主對角線上的元素全是a,上次對角線上的元素全為b,下次對角線上元素全為c,其余元素均為0.為了求遞推公式,可按第一行展開得:.令,.則,于是,.因此,(1)若,則(2)若,則六．利用VanderMonde行列式計算因為要用到Vandermonde行列式，所以先簡單介紹（Ⅰ）（Ⅱ）Vandermonde行列式的結(jié)構(gòu)特點：第一行（列）全為零2.后行（列）與前行（列）之比為3.的指標(biāo)數(shù)從0依次增加到n-1例.計算行列式解：七.用數(shù)學(xué)歸納法求解（證明）行列式數(shù)學(xué)歸納法是證明（計算）行列式的常用方法。首先建立遞推關(guān)系，當(dāng)遞推關(guān)系僅涉及相鄰兩階行列式時，采用歸納法。但是它必須事先知道結(jié)論,或者可以猜出結(jié)論然后歸納證明.所以數(shù)學(xué)歸納法大都用于已經(jīng)知道結(jié)果的關(guān)于特殊行列式求值的證明題.八.拆行（列）法計算若行列式某一行（列）或多行（列）可以表示成兩項之和，且有一拆成的項相同元素較多(一般都會全力相同)，則此時可以利用行列式的拆項的性質(zhì)，將行列式拆成兩個簡單的行列式計算。例.計算n階行列式解：=0計算行列式的方法有很多，還需要我們更深入的學(xué)習(xí)。以上是常用行列式的求解方法。方法之間也可以交錯運用。做題目時候靈活結(jié)合。使得題目更加的簡單更加容易的處理。提高運算效率。對于行列式的計算，往往由于方法的不同，難易繁簡差別程度甚大，欲使計算過程簡單明了，要善于選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，掌握一定的技巧。對這些技巧進(jìn)行探討歸納，不僅有課程建設(shè)的現(xiàn)實意義，而且有深刻的理論意義。因此，我將著力于研究各種方法的使用領(lǐng)