線性代數(shù)第二章課件

§2

1

矩陣

am2

amn

bm)

(a11

a12

a1n

b1)

(a21

a22

a2n

b2)

(am1這個(gè)數(shù)表就稱為矩陣

引例一個(gè)線性方程組與一個(gè)數(shù)表存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴方陣 行矩陣 列矩陣矩陣的定義由m

n個(gè)數(shù)aij(i

1

2

m

?n階矩陣(n階方陣)

j

1

2

n)排成的m行n列的矩形數(shù)表稱為m

n矩陣

記作首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴行矩陣

(a1

a

2

an)

(a1

a

2

an)

列矩陣

其中aij稱為矩陣的第i

行第j列的元素

一般情況下

我們用大寫字母

A

B

C

等表示矩陣

m

n矩陣A簡(jiǎn)記為A

(aij)m

n或Am

n

同型矩陣 矩陣相等同型矩陣

兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等

就稱它們是同型矩陣

矩陣相等

如果A

(aij)與B

(bij)是同型矩陣

并且它們的對(duì)應(yīng)元素相等

即aij

bij(i

1

2

m

j

1

2

n)

則稱矩陣A與矩陣B相等

記作A

B

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴零矩陣 單位矩陣 對(duì)角矩陣零矩陣

所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣

記為O

單位矩陣

單位矩陣簡(jiǎn)稱為單位陣

n階單位矩陣用En或E表示

對(duì)角矩陣

對(duì)角矩陣簡(jiǎn)記為

diag[λ1

λ2

λn]

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴注

n階矩陣中從左上角到右下角的直線叫做主對(duì)角線

矩陣舉例例1

某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可列成矩陣其aij為工廠向第i個(gè)店發(fā)送第j種產(chǎn)品的數(shù)量

這四種產(chǎn)品的單價(jià)及單件重量也可列成矩陣其中bi1為第i種產(chǎn)品的單價(jià)

bi2為第i種產(chǎn)品的單件重量

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴注

圖中的結(jié)點(diǎn)可以看作城市

有向邊可以看作單向或雙向航線

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴矩陣舉例例2

由結(jié)點(diǎn)和有向邊構(gòu)成的有向圖與矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

例如

①②③④①②③④矩陣舉例例3

線性變換與矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴線性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣稱為線性變換的系數(shù)矩陣

恒等變換的系數(shù)矩陣為單位陣

§2

2

矩陣的運(yùn)算上頁(yè)下頁(yè)返回首頁(yè)結(jié)束鈴一、矩陣的加法

二、數(shù)與矩陣相乘三、矩陣與矩陣相乘四、矩陣的轉(zhuǎn)置五、方陣的行列式六、共軛矩陣補(bǔ)充例題一、矩陣的加法矩陣加法的定義設(shè)有兩個(gè)m

n

矩陣A

(

a

ij

)

和B

(

b

ij

)

矩陣A

與B

的和A

B

規(guī)定為A

B

(aij

bij)

即提示

只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)

這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴一、矩陣的加法矩陣加法的定義設(shè)有兩個(gè)m

n

矩陣A

(

a

ij

)

和B

(

b

ij

)

矩陣A

與B

的和A

B

規(guī)定為A

B

(aij

bij)

即首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴矩陣的加法

設(shè)A

(aij)和B

(bij)

則規(guī)定A

B

(aij

bij

)

矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)A

B

C都是m

n矩陣

則(1)A

B

B

A

(2)(A

B)

C

A

(B

C)

負(fù)矩陣 矩陣的減法設(shè)矩陣A

(aij)

記

A

(

aij)

A稱為矩陣A的負(fù)矩陣

顯然有A

(

A)

O

規(guī)定矩陣的減法為A

B

A

(

B)

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴二、數(shù)與矩陣相乘首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴數(shù)乘矩陣的定義數(shù)λ與矩陣A的乘積

記為λA或Aλ

規(guī)定為λA=(λaij)

即數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)A、B都是m

n矩陣

λ、μ是數(shù)

則(1)(λμ)A

λ(μA)

(2)(λ

μ)A

λA

μA

(2)λ(A

B)

λA

λB

矩陣的加法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算合起來(lái)

統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算

數(shù)與矩陣相乘

設(shè)A

(aij)

則規(guī)定λA=(λaij)

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴三、矩陣與矩陣相乘引例相繼作線性變換可得線性變換這個(gè)線性變換稱為前兩個(gè)線性變換的乘積

它的系數(shù)矩陣可以看作是前兩個(gè)線性變換的系數(shù)矩陣的某種乘積

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴三、矩陣與矩陣相乘首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴應(yīng)注意的問(wèn)題

只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時(shí)

兩個(gè)矩陣才能相乘

矩陣乘法的定義設(shè)A

(aij

)是一個(gè)m

s矩陣

B

(Bij

)是一個(gè)s

n矩陣

那么矩陣A與矩陣B的乘積記為AB

規(guī)定為m

n矩陣C

(cij)

其中cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1

2

m；j

1

2

n)

>>>三、矩陣與矩陣相乘這表明乘積AB

C中的元cij就是A的第i行與B的第j列的乘積

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴矩陣乘法的定義設(shè)A

(aij

)是一個(gè)m

s矩陣

B

(Bij

)是一個(gè)s

n矩陣

那么矩陣A與矩陣B的乘積記為AB

規(guī)定為m

n矩陣C

(cij)

其中cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1

2

m；j

1

2

n)

>>>按此定義

一個(gè)1

s的行矩陣與一個(gè)s

1的列矩陣的乘積是一個(gè)1階方陣

也就是一個(gè)數(shù)

矩陣的乘法

設(shè)A

(aij)m

s

B

(Bij)s

n

則規(guī)定AB

(cij)m

n

其中cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1

2

m；j

1

2

n)

解10

1

3首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴矩陣的乘法

設(shè)A

(aij)m

s

B

(Bij)s

n

則規(guī)定AB

(cij)m

n

其中cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1

2

m；j

1

2

n)

10

1

37

3

3提問(wèn)

BA是否有意義

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴解矩陣的乘法

設(shè)A

(aij)m

s

B

(Bij)s

n

則規(guī)定AB

(cij)m

n

其中cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1

2

m；j

1

2

n)

解首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴

16

328

160

00

0本例說(shuō)明

乘法一般不滿足交換律

從AB

O一般不能推出A

O或B

O

從A(X

Y)

O一般不能推出X

Y

矩陣的乘法

設(shè)A

(aij)m

s

B

(Bij)s

n

則規(guī)定AB

(cij)m

n

其中cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1

2

m；j

1

2

n)

解首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴1

30

11

30

1顯然AB

BA

如果兩矩陣A與B相乘

有AB

BA

則稱矩陣A與矩陣B可交換

矩陣乘法的性質(zhì)(1)(AB)C

A(BC)

(2)λ(AB)

(λA)B

A(λB)

(其中λ為數(shù))

(3)A(B

C)

AB

AC

(B

C)A

BA

CA

單位矩陣在矩陣乘法中的作用 對(duì)于單位矩陣E

容易驗(yàn)證EmAm

n

Am

n

Am

nEn

Am

n

或簡(jiǎn)寫成EA

AE

A

可見單位矩陣E在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴矩陣乘法的性質(zhì)(1)(AB)C

A(BC)

(2)λ(AB)

(λA)B

A(λB)

(其中λ為數(shù))

(3)A(B

C)

AB

AC

(B

C)A

BA

CA

純量矩陣在矩陣乘法中的作用矩陣λE

diag(λ

λ

λ)稱為純量陣

由(λE)A

λA

A(λE)

λA

可知純量陣λE與矩陣A的乘積等于數(shù)λ與矩陣A的乘積

當(dāng)A為n階方陣時(shí)

有(λEn)An

λAn

An(λEn)

這表明純量陣λE與任何同階方陣都是可交換的

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴應(yīng)注意的問(wèn)題

只有當(dāng)A與B可交換時(shí)

才有(AB)k

AkBk

(A

B)2

A2

2AB

B2

(A

B)(A

B)

A2

B2

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴矩陣的冪設(shè)A是n階方陣

定義A1

A

A2

A1A1

Ak

1

Ak

A1

其中k為正整數(shù)

這就是說(shuō)

Ak就是k個(gè)A連乘

顯然只有方陣

它的冪才有意義

矩陣的冪的運(yùn)算規(guī)律Ak

l

Ak

Al

(2)(Ak)l

Akl

其中k、l為正整數(shù)

四、矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置矩陣的定義把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣

叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣

記作AT

1

32

10

1首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴四、矩陣的轉(zhuǎn)置首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴轉(zhuǎn)置矩陣的定義把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣

叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣

記作AT

轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算規(guī)律

(1)(AT)T

A

(2)(A

B)T

AT

BT

(3)(λA)T

λAT

(4)(AB)T

BTAT

>>>解法一因?yàn)?

14

317

13

10解法二0

1714

13

3

10首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴例7

設(shè)列矩陣X

(x1

x2

xn)T滿足XTX

1

E為n階單位陣

H

E

2XXT

證明H是對(duì)稱陣

且HHT

E

證明因?yàn)镠T

(E

2XXT)T

E

T

2(XXT)T

E

2XXT

H

所以H是對(duì)稱陣

HHT

H2

(E

2XXT)2

E

4XXT

4(XXT)(

XXT)

E

4XXT

4X(XTX)XT

E

4XXT

4XXT

E

注

設(shè)A為n階方陣

如果滿足AT

A

即aij

aji(i

j

1

2

n)則稱A為對(duì)稱矩陣

簡(jiǎn)稱對(duì)稱陣

對(duì)稱陣的特點(diǎn)是

它的元素以對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴五、方陣的行列式首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴方陣的行列式的定義由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式稱為方陣A的行列式

記作|A|或detA

方陣的行列式的運(yùn)算規(guī)律

(1)|AT|

|A|

(2)|λA|

λn|A|

(3)|AB|

|A||B|

>>>方陣的伴隨矩陣由行列式|A|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的方陣類似地

有A*A

|A|E

AA*

(bij)

diag(|A|

|A|

|A|)

|A|E

所以稱為矩陣A的伴隨矩陣

簡(jiǎn)稱伴隨陣

例8

試證AA*

A*A

|A|E

證明設(shè)A

(aij)

記AA*

(bij)

因?yàn)槭醉?yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴六、共軛矩陣____共軛矩陣的定義當(dāng)A

(aij)為復(fù)矩陣時(shí)

記

A

(aij)

A稱為A的共軛矩陣

共軛矩陣的運(yùn)算規(guī)律A

B

A

B

(2)λA

λ

A

(3)AB

AB

其中A、B為復(fù)矩陣

λ為復(fù)數(shù)

且運(yùn)算都是可行的

_首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴§2

3

逆矩陣引例從X

(x1

x2

xn)T到Y(jié)(y1

y2

yn)T的線性變換可以記作Y

AX

其中A是n階矩陣

如果線性變換Y

AX存在逆變換X

BY

則有恒等變換X

BY

BAX和Y

AX

ABY

因此應(yīng)有AB

BA

E

補(bǔ)充例題首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴逆矩陣的定義對(duì)于n階矩陣A

如果存在n階矩陣B

使得AB

BA

E

則稱矩陣A是可逆的

并稱B為A的逆矩陣

簡(jiǎn)稱逆陣

逆陣的唯一性如果矩陣A是可逆的

那么A的逆陣是唯一的

這是因?yàn)?/p>

如果B和B1都是A的逆矩陣

則有AB

BA

E

AB1

B1A

E

于是

B

BE

B(AB1)

(AB)B1

EB1

B1

即B

B1

所以逆陣是唯一的

A的逆陣記為A

1

即若AB

BA

E

則B

A

1

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴逆矩陣的定義對(duì)于n階矩陣A

如果存在n階矩陣B

使得AB

BA

E

則稱矩陣A是可逆的

并稱B為A的逆矩陣

簡(jiǎn)稱逆陣

逆陣的唯一性如果矩陣A是可逆的

那么A的逆陣是唯一的

定理1若矩陣A可逆

則|A|

0

這是因?yàn)?/p>

如果A可逆

則AA

1

E

故|A|

|A

1|

|E|

1

所以|A|

0

對(duì)于n階矩陣A

當(dāng)|A|

0時(shí)

稱A是奇異矩陣

否則稱A為非奇異矩陣

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴逆矩陣的定義對(duì)于n階矩陣A

如果存在n階矩陣B

使得AB

BA

E

則稱矩陣A是可逆的

并稱B為A的逆矩陣

簡(jiǎn)稱逆陣

逆陣的唯一性如果矩陣A是可逆的

那么A的逆陣是唯一的

定理1若矩陣A可逆

則|A|

0

(若矩陣A可逆

則A是奇異矩陣

)定理2若|A|

0

則矩陣A可逆

且其中A*為矩陣A的伴隨矩陣

>>>首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴?fù)普撊鬉B

E(BA

E)

則B

A

1

這是因?yàn)閨A||B|

1

0

故|A|

0

因而A

1存在

于是B

EB

(A

1A)B

A

1(AB)

A

1E

A

1

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴?fù)普撌醉?yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴若AB

E(BA

E)

則B

A

1

逆矩陣的性質(zhì)若A可逆

則A

1也可逆

且(A

1)

1

A

若A可逆

數(shù)λ

0

則λA可逆

且(λA)

1

λ

1A

1

若A、B為同型可逆矩陣

則AB可逆

且(AB)

1

B

1A

1

這是因?yàn)?AB)(B

1A

1)

A(BB

1)A

1

AEA

1

AA

1

E

推論首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴若AB

E(BA

E)

則B

A

1

逆矩陣的性質(zhì)若A可逆

則A

1也可逆

且(A

1)

1

A

若A可逆

數(shù)λ

0

則λA可逆

且(λA)

1

λ

1A

1

若A、B為同型可逆矩陣

則AB可逆

且(AB)

1

B

1A

1

若A可逆

則AT也可逆

且(AT)

1

(A

1)T

這是因?yàn)锳T(A

1)T

(A

1A)T

ET

E

d

b

c

a解因?yàn)閨A|

ad

bc

所以當(dāng)|A|

0時(shí)

有提示

A11

d

A12

c

A21

b

A22

a

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴解

由|A|

2

0

得知A

1存在

因?yàn)?

6

4

3

6

52

2

2提示

提示

提示

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴解

由|A|

2

0

得知A

1存在

因?yàn)?

6

4

3

6

52

2

2所以首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴例3

設(shè)求矩陣X使其滿足AXB

C

解提示

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴解A

P

P

1

A2

P

P

1P

P

1

P

2P

1

An

P

nP

1

而首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴記首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴φ(A)

a0E

a1A

amAm

矩陣的多項(xiàng)式的計(jì)算設(shè)φ(x)

a0

a1x

amxm為x的m次多項(xiàng)式

A為n階矩陣

φ(A)稱為矩陣A的m次多項(xiàng)式

(1)如果A

P

P

1

則φ(A)

Pφ(

)P

1

這是因?yàn)槿绻鸄

P

P

1

則Ak

P

kP

1

從而φ(A)

a0E

a1A

amAm

Pa0EP

1

Pa1

P

1

Pam

mP

1

Pφ(

)P

1

記首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴φ(A)

a0E

a1A

amAm

矩陣的多項(xiàng)式的計(jì)算設(shè)φ(x)

a0

a1x

amxm為x的m次多項(xiàng)式

A為n階矩陣

φ(A)稱為矩陣A的m次多項(xiàng)式

如果A

P

P

1

則φ(A)

Pφ(

)P

1

如果

diag(λ1

λ2

λn)為對(duì)角陣

則φ(

)

diag(

φ(λ1)

φ(λ2)

φ(λn))

這是因?yàn)棣?

)

a0E

a1

am

m

a0diag(1

1

1)

a1diag(λ1

λ2

λn)

m

mm

1

2

nm

a

diag(λ

λ

λ

)

diag(

φ(λ1)

φ(λ2)

φ(λn))

§2

4

矩陣分塊法上頁(yè)下頁(yè)返回首頁(yè)結(jié)束鈴對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A

運(yùn)算時(shí)常采用分塊法

使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算

我們將矩陣

A

用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣

每一個(gè)小矩陣稱為

A

的子塊

以塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣

補(bǔ)補(bǔ)充充例例題題§2.4

矩陣分塊法對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A

運(yùn)算時(shí)常采用分塊法

使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算

我們將矩陣

A

用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣

每一個(gè)小矩陣稱為

A

的子塊

以塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣

上頁(yè)下頁(yè)返回首頁(yè)結(jié)束鈴補(bǔ)充例題其中Aij與Bij的行數(shù)相同、列數(shù)相同

那么分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則設(shè)A和B是同型矩陣

采用相同的分塊法

有首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴其中Ai1

Ai2

Ait的列數(shù)分別等于B1j

B2j

Btj

的行數(shù)

那么分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則(3)設(shè)A為m

l矩陣

B為l

n矩陣

分塊成首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴提示

例1

設(shè)1

0

1

0

1

2

0

1

2

4

3

3

1

1

3

1提示

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴分塊對(duì)角矩陣及其性質(zhì)形如 的分塊矩陣稱為分塊對(duì)角矩陣

其中Ai(i

1

2

s)都是方陣

對(duì)于上述分塊對(duì)角矩陣

有|A|

|A1||A2|

|As|

在上述分塊對(duì)角矩陣中

如果|Ai|

0(i

1

2

s)

則首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴解首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴矩陣的兩種特殊分塊法矩陣A

(aij

)m

n

的每一行稱為矩陣A的行向量

若矩陣A的首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴i第i行記為a

T(i

1

2

m)

則矩陣B

(bij

)m

n

的每一列稱為矩陣B的列向量

若矩陣B的第j列記為bj(j

1

2

n)

則B

(b1

b2

bn)

注

今后列向量(列矩陣)常用小寫黑體字母表示

如a

α

x等

行向量(行矩陣)用列向量的轉(zhuǎn)置表示

如aT

αT

xT等

例3

設(shè)ATA

O

證明A

O

證明設(shè)A

(aij)m

n

把A用列向量表示為A

(a1

a2

an)

則因?yàn)锳TA

O

所以從而ai1

ai2

ain

0(i

1

2

n)

即A

O

首頁(yè)上頁(yè)返回下頁(yè)結(jié)束鈴提示

以對(duì)角陣

右乘A的結(jié)果是A的每一列乘以

中與該列對(duì)應(yīng)的對(duì)角元