湖北省A9高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1湖北省A9高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】．故選：A2.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且，點N為BC中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，點N為BC中點，所以，，故．故選：B．3.為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，市某高中全體教師于2023年3月12日開展植樹活動，購買柳樹、銀杏、梧桐、樟樹四種樹苗共計600棵，比例如圖所示.青年教師、中年教師、老年教師報名參加植樹活動的人數(shù)之比為，若每種樹苗均按各年齡段報名人數(shù)的比例進行分配，則中年教師應(yīng)分得梧桐的數(shù)量為（）A.30棵 B.50棵 C.72棵 D.80棵【答案】C【解析】由題意，中年教師應(yīng)分得樹苗的數(shù)量為棵.所以中年教師應(yīng)分得梧桐的數(shù)量為180×40％=72棵.故選：C4.若直線與直線平行，則的值是（）A.1或 B. C. D.或【答案】C【解析】由直線與直線平行，可得，解得，所以實數(shù)的值為.故選：C.5.已知母線長為5的圓錐的側(cè)面積為，則這個圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，則，，∴，體積為，故選：A．6.已知的三個頂點分別為，，，則BC邊上的高等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，，，可得，，，即角B為銳角，所以，所以邊上的高.故選：B7.已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點，則以為中點弦所在直線的斜率為（）A. B. C.-4 D.4【答案】A【解析】設(shè)弦與橢圓交于，，斜率為，則，，相減得到，即，解得.故選：A.8.公元前世紀，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如:平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點和，且該平面內(nèi)的點P滿足，若點P的軌跡關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)點的坐標為，因為，則，即，所以點的軌跡方程為，因為點的軌跡關(guān)于直線對稱，所以圓心在此直線上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以最小值是.故選：B.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求的，全部選對的得5分，有錯選的得0分，部分選對的得2分．9.若方程所表示的曲線為C，則下面四個說法中正確的是（）A.曲線C可能是圓B.若，則C為橢圓C.若C為橢圓，且焦點在x軸上，則D.若C為橢圓，且焦點在y軸上，則【答案】AD【解析】當(dāng)即時，方程為，表示圓心為原點，半徑為1的圓，故選項A正確，選項B錯誤；若C為橢圓，且焦點在x軸上，則，解得，故選項C錯誤；若C為橢圓，且焦點在y軸上，則，解得，故選項D正確.故選：AD.10.甲、乙各投擲一枚骰子，下列說法正確的是（）A.事件“甲投得5點”與事件“甲投得4點”不是互斥事件B.事件“甲投得6點”與事件“乙投得5點”是相互獨立事件C.事件“甲?乙都投得6點”與事件“甲?乙不全投得6點”是對立事件D.事件“至少有1人投得6點”與事件“甲投得6點且乙沒投得6點”是相互獨立事件【答案】BC【解析】對于A，事件“甲投得5點”與事件“甲投得4點”不可能同時發(fā)生，二者為互斥事件，A錯誤；對于B,事件“甲投得6點”發(fā)生與否對事件“乙投得5點”沒有影響，二者是相互獨立事件，B正確；對于C，事件“甲?乙都投得6點”的反面為“至少有1人沒有投得6點”，也即“甲?乙不全投得6點”，故事件“甲?乙都投得6點”與事件“甲?乙不全投得6點”是對立事件，C正確；對于D，事件“至少有1人投得6點”包含“甲投得6點且乙沒投得6點”的情況，故事件“至少有1人投得6點”與事件“甲投得6點且乙沒投得6點”不是相互獨立事件，D錯誤，故選：BC11.已知圓和圓，下列說法正確的是（）A.兩圓有兩條公切線B.兩圓的公共弦所在的直線方程為C.點在圓上，點在圓上，的最大值為D.圓上有2個點到直線的距離為【答案】ACD【解析】對于A，由圓得..，圓心，半徑為1，則，故兩圓相交，故兩圓有兩條公切線，故A正確；對于B，因為圓，圓，將兩圓的方程作差得即，所以直線的方程為，故B不正確；對于C，由圓得圓心，半徑為1，由圓得圓心為，半徑為2，所以，故C正確；對于D，圓心到直線的距離，而圓的半徑為，顯然，故只有一條與平行且距離為的直線與圓相交，故圓上有2個點到直線的距離為，故D正確.故選：ACD.12.如圖，在棱長為的正方體中，，，，分別是，，，的中點，則下列說法正確的有（）A.，，，四點共面B.與所成角的大小為C.在線段上存在點，使得平面D.在線段上任取一點，三棱錐的體積為定值【答案】AD【解析】以為原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，設(shè)，則，所以，解得，故，即，，，四點共面，故A正確；因為，，所以，所以與所成角的大小為，故B錯誤；假設(shè)在線段上存在點，符合題意，設(shè)（），則，若平面，則，,因為，，所以，此方程組無解，所以在線段上不存在點，使得平面，故C錯誤；因為，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有點到平面的距離即為到平面的距離，是定值，又的面積是定值，所以在線段上任取一點，三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：AD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，的夾角為，且，，則_________．【答案】【解析】由題設(shè)可得，即.故答案為：3.14.如圖，由到的電路中有4個元件，分別為，，，，若，，，能正常工作的概率都是，記“到的電路是通路”，求______.【答案】【解析】設(shè)“正常工作”，“沒有正常工作，正常工作，且中至少有一個正常工作”由于“到的電路是通路”等價于“正常工作”或“沒有正常工作，正常工作，且中至少有一個正常工作”，即，由于事件互斥，所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得故答案為：15.已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為_____________．【答案】【解析】將整理，此方程表示圓心為，半徑為2的圓，設(shè)點是圓上一點，令，，則與圓有公共點，所以，解得．故答案為：16.在以O(shè)為中心，、為焦點的橢圓上存在一點M，滿足，則該橢圓的離心率為_____________.【答案】【解析】因為，所以，因為與互補，且，由余弦定理可得，可得，所以.故選：C．四、解答題：本大題共6題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知的三個頂點是．（1）求AB邊的高所在直線的方程；（2）若直線l過點C，且點A，B到直線l的距離相等，求直線l的方程．解：（1）直線的斜率為，所以邊的高所在直線的斜率為，所以邊的高所在直線的方程為.（2）直線的斜率為，若直線與直線平行，則直線的方程為.線段的中點坐標為，若直線過，則直線的方程為.18.已知的內(nèi)角的對邊分別為，向量，且.（1）求角（2）若的面積為，求的周長.解：（1）由可知，由正弦定理，得，即.所以，又，所以；（2）由（1）知，所以.又，所以，所以，即，所以的周長為.19.在四棱錐中，平面，底面是正方形，E，F(xiàn)分別在棱，上且，．（1）證明：∥平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖，在棱上取點，使得，連接，，因為，所以且，由正方形，，得且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）若，則可設(shè)，所以．以為原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則點，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則由得令，得平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．20.某高校承辦了杭州亞運會志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.（1）求a，b的值；（2）估計這100名候選者面試成績的60%分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四，第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率.解：（1）因為第三、四、五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以；（2）前兩個分組頻率之和為0.3，前三個分組頻率之和為0.75，所以第60百分位數(shù)在第三組，且為；（3）第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為，，，，第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為，這5人中選出2人，所有情況有，共有10種情況，其中選出的兩人來自不同組的有共4種情況，故選出兩人來自不同組的概率為．21.已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離是．（1）求橢圓的方程；（2）傾斜角為的直線交橢圓于兩點，已知，求直線的一般式方程．解：（1）由橢圓的離心率為，即，可得，由橢圓上的點到焦點的最小距離是，可得，解得，，，所以橢圓的方程．（2）因為直線的傾斜角為，可設(shè)的方程，由方程組，整理得，可得，解得，設(shè)，，則，，又由，解得，滿足，所以直線的一般式方程為或．22.已知