【數(shù)學(xué)】江蘇省淮安市盱眙縣2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中試題（解析版）

江蘇省淮安市盱眙縣2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題3分，共24分．）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.2x+y＝1 B.x2+3xy＝6 C.x+＝4 D.x2＝3x﹣2【答案】D【解析】A、原方程為二元一次方程，不符合題意；B、原式方程為二元二次方程，不符合題意；C、原式為分式方程，不符合題意；D、原式為一元二次方程，符合題意，故選：D．2.如圖，點(diǎn)A，B，C在上，連接．若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴；故選：C.3.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠D=85°，則∠B的度數(shù)為（）A.95° B.105° C.115° D.125°【答案】A【解析】∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠D=85°，∴；故選A．4.如圖，是的切線，B為切點(diǎn)，與交于點(diǎn)C，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵是的切線，B為切點(diǎn)，∴，即，∵，∴，∵，∴．故選：B．5.如圖，冰淇淋蛋筒下部呈圓錐形，則蛋筒圓錐部分包裝紙的面積（接縫忽略不計(jì)）是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圖可知，圓錐的底面半徑為，母線長為，則圓錐的側(cè)面積為，即蛋筒圓錐部分包裝紙的面積（接縫忽略不計(jì)）是，故選：C．6.據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，根據(jù)題意得，．故選：B．7.已知：如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)D處，折痕交于點(diǎn)C，連接，則扇形的面積為（）A. B.2π C.π D.【答案】C【解析】由翻折的性質(zhì)可知，，∵，∴，∴是正三角形，∴，∴，∴．故選：C．8.若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=?5，則關(guān)于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】設(shè)t=y+1，則原方程可化為at2+bt+c=0，∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3，x2=-5，∴t1=3，t2=-5，∴y+1=3或y+1=-5，解得y1=2，y2=-6．

故選：B．二、填空題（每小題3分，共24分．）9.請?zhí)顚懸粋€(gè)常數(shù)，使得關(guān)于的方程__________有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．【答案】1【解析】設(shè)這個(gè)常數(shù)為a，∵要使原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴滿足題意的常數(shù)可以為1，故答案：1．10.如圖，用一個(gè)半徑為6cm的定滑輪拉動(dòng)重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了，假設(shè)繩索粗細(xì)不計(jì)，且與輪滑之間沒有滑動(dòng)，則重物上升了_________cm．（結(jié)果保留）【答案】【解析】根據(jù)題意，重物的高度為（cm）．故答案為：．11.請寫出一個(gè)兩根分別為，3的一個(gè)一元二次方程___________．【答案】【解析】由題意得，滿足題意的方程可以為，即，故答案為：（答案不唯一）．12.石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，如圖，已知一石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，求水面寬AB＝_____m．【答案】8．【解析】連結(jié)OA，拱橋半徑OC為5cm，cm，m，cm，mm，故答案為：8．13.若a是一元二次方程的一個(gè)根，則的值是___________．【答案】6【解析】∵a是一元二次方程的一個(gè)根，∴，∴，∴，故答案為：6．14.如圖，用若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個(gè)正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個(gè)數(shù)是________個(gè)．【答案】10【解析】根據(jù)題意可得：∵正五邊形的一個(gè)外角，∴，∴，∴共需要正五邊形的個(gè)數(shù)（個(gè)），故答案為：10．15.如圖，某博覽會(huì)上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點(diǎn)處安裝了一臺(tái)監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是，為了監(jiān)控整個(gè)展區(qū)，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器___________臺(tái)．【答案】4【解析】∵，∴對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為，∵，∴最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器臺(tái)，故答案為：416.如圖，在中，，，D為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為直徑作圓交于點(diǎn)P，連接，則的最小值是______．【答案】【解析】如圖，取中點(diǎn)G，連接，∵為直徑，∴∵點(diǎn)G是中點(diǎn)，∴，在中，，在中，，即當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，最小值為，故答案為：．三、解答題（本大題共有11小題，共102分．）17.解方程：（1）；（2）．解：（1），∴，∴，∴，；（2），∴∴，∴，．18.小敏與小霞兩位同學(xué)解方程的過程如下框：小敏：兩邊同除以，得，則．小霞：移項(xiàng)，得，提取公因式，得．則或，解得，．你認(rèn)為他們的解法是否正確？如果不正確，請寫出你的解答過程．解：兩位同學(xué)的解法都不正確正確解答：移項(xiàng)，得，提取公因式，得，去括號，得，則或，解得，．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)．（1）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的坐標(biāo)為；（2）這個(gè)圓的半徑為；（3）直接判斷點(diǎn)D(5，﹣2)與⊙M的位置關(guān)系，點(diǎn)D(5，﹣2)在⊙M（填內(nèi)、外、上）．解：（1）如圖，圓心的坐標(biāo)為；（2），，，即的半徑為；（3），，，，點(diǎn)在內(nèi)．20.如圖，是的直徑，是延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，的延長線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．解：連接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．21.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無論取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一根為，求的值．解：（1）由一元二次方程的根的判別式，取任意實(shí)數(shù)時(shí)，，即，無論取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故命題得證．（2）把代入方程，得：，解得，故答案為：．22.如圖，某小區(qū)矩形綠地的長、寬分別為，，現(xiàn)計(jì)劃對其進(jìn)行擴(kuò)充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個(gè)新的矩形綠地，若擴(kuò)充后的矩形綠地面積為，求新的矩形綠地的長與寬．解：設(shè)將綠地的長、寬增加，則新的矩形綠地的長為，寬為，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），，.答：新的矩形綠地的長為，寬為.23.如圖，已知，．（1）作一個(gè)圓，使圓心O在邊AC上，且與AB、BC所在的直線相切（不寫作法、保留作圖痕跡，并說明作圖理由）；（2）若，，求所作的半徑．解：（1）如圖所示，即為所求作的圖形（2）在中，由勾股定理，得：．設(shè)與AB的切點(diǎn)為D，連接OD則設(shè)的半徑為r，在中，依勾股定理，得：解得：即的半徑為．24.如圖，為的直徑，E為上一點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)D，延長交的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑長．解：（1）如圖，連接，∵，∴，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，即，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，即，∴的半徑為5．25.列方程（組）解應(yīng)用題端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，下面是調(diào)查員的對話：小王：該水果的進(jìn)價(jià)是每千克22元；小李：當(dāng)銷售價(jià)為每千克38元時(shí)，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，求這種水果的銷售價(jià)為每千克多少元？解：設(shè)這種水果每千克降價(jià)元，則每千克的利潤為：元，銷售量為：千克，整理得，或，要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，即售價(jià)為（元）答：這種水果的銷售價(jià)為每千克29元．26.閱讀材料：各類方程的解法求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式．求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組．求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）問題：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=，x3=；（2）拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程的解；（3）應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=8m，寬AB=3m，小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點(diǎn)B，沿草坪邊沿BA，AD走到點(diǎn)P處，把長繩PB段拉直并固定在點(diǎn)P，然后沿草坪邊沿PD、DC走到點(diǎn)C處，把長繩剩下的一段拉直，長繩的另一端恰好落在點(diǎn)C．求AP的長．解：（1），，所以或或，，；故答案為，1；（2），方程的兩邊平方，得即或，，當(dāng)時(shí)，，所以不是原方程的解．所以方程的解是；（3）因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，設(shè)，則因?yàn)?，，兩邊平方，得，整理，得兩邊平方并整理，得，即，所以．?jīng)檢驗(yàn)，是方程的解．答：的長為．27.【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點(diǎn)在折線段上，，則稱點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．（1）如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．若，則；【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，從向作垂線，垂足為，求證：是折弦的中點(diǎn)；【變式探究】（3）如圖4，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】（4）如圖5