北京市師大附中平谷分校九年級(jí)上第一次月考數(shù)學(xué)試卷含解析

北京市師大附中平谷分校九年級(jí)上第一次月考數(shù)學(xué)試卷含解析參考答案與試題解析一、選擇1．（3分）﹣3的倒數(shù)是（） A． 3 B． ﹣3 C． D． 考點(diǎn)： 倒數(shù)．分析： 直截了當(dāng)依照倒數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．解答： 解：∵（﹣3）×（﹣）=1，∴﹣3的倒數(shù)是﹣．故選D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是倒數(shù)的定義，即乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．2．（3分）最新統(tǒng)計(jì)，中國(guó)注冊(cè)理想者總數(shù)已超30000000人，30000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（） A． 3×107 B． 3×106 C． 30×106 D． 3×105考點(diǎn)： 科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．分析： 科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯(cuò)點(diǎn)，由于30000000有8位，因此能夠確定n=8﹣1=7．解答： 解：30000000=3×107．故選A．點(diǎn)評(píng)： 此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準(zhǔn)確確定a與n值是關(guān)鍵．3．（3分）已知=，那么下列式子不成立的是（） A． = B． = C． = D． 3a=2b考點(diǎn)： 比例的性質(zhì)．分析： 依照比例的性質(zhì)進(jìn)行判定．解答： 解：∵=，∴3a=2b．A、由該比例式得到3a=2b．故本選項(xiàng)不符合題意；B、由該比例式得到2b=3a．故本選項(xiàng)不符合題意；C、由該比例式得到2a=3b．故本選項(xiàng)符合題意；D、3a=2b．故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．點(diǎn)評(píng)： 本題是基礎(chǔ)題，考查了比例的差不多性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單．比例的差不多性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．4．（3分）假如兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3，則它們的周長(zhǎng)的比為（） A． 1：3 B． 1：9 C． 1： D． ：3考點(diǎn)： 相似三角形的性質(zhì)．分析： 依照相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比即可解得．解答： 解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比為1：3，∴它們的周長(zhǎng)比為1：3．故選A．點(diǎn)評(píng)： 此題要緊考查相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比．5．（3分）下列命題中不正確的是（） A．等腰直角三角形都相似 B． 頂角相等的等腰三角形一定相似 C．全等形是相似形 D． 不相似的圖形可能是全等形考點(diǎn)： 命題與定理．分析： 依照相似三角形的判定以及等腰三角形、直角三角形、全等形的性質(zhì)分別進(jìn)行分析即可．解答： 解：A、等腰直角三角形都相似，正確；B、頂角相等的等腰三角形一定相似，正確；C、全等形是相似形，正確；D、不相似的圖形一定不是全等形，錯(cuò)誤；故選D．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了命題與定理，用到的知識(shí)點(diǎn)相似三角形的判定、等腰三角形、直角三角形、全等形的性質(zhì)，熟練把握常用的課本中的性質(zhì)定理是本題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=5：3，則下列結(jié)論不正確的是（） A． AD：AB=5：8 B． AE：EC=5：3 C． DE：BC=3：5 D． BC：DE=8：5考點(diǎn)： 平行線分線段成比例．分析： 依照平行線分線段成比例定理分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行判定即可．解答： 解：∵DE∥BC，AD：DB=5：3，∴AD：AB=5：（5+3）=5：8，AE：EC=AD：DB=5：3，DE：BC=AD：AB=5：8，BC：DE=AB：AD=8：5，∴結(jié)論不正確的是C；故選C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)求的比例式進(jìn)行變形．7．（3分）如圖，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E交AD于F，則圖中與△AEF相似的三角形的個(gè)數(shù)是（）（不包括它本身） A． 1個(gè) B． 2個(gè) C． 3個(gè) D． 4個(gè)考點(diǎn)： 相似三角形的判定．分析： 依照等角的余角相等寫(xiě)出與∠A相等的角，再依照有一對(duì)銳角相等的直角三角形相似解答．解答： 解：∵AD⊥BC于D，CE⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠ADC=90°，∴∠A=∠C，與△AEF相似的三角形有：△ADB、△CDF、△CEB共3個(gè)．故選C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的判定，要緊利用了有一對(duì)銳角相等的直角三角形相似．8．（3分）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為l，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（） A． B． C． D． 考點(diǎn)： 相似三角形的判定．專(zhuān)題： 壓軸題；網(wǎng)格型．分析： 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形互為相似三角形，可求出三邊的長(zhǎng)，即可得出．解答： 解：原三角形的邊長(zhǎng)為：，2，．A中三角形的邊長(zhǎng)為：1，，．B中三角形的邊長(zhǎng)為：1，，．在，即相似；C中三角形的邊長(zhǎng)為：，，3．D中三角形的邊長(zhǎng)為：2，，．故選B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查相似三角形的判定，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形互為相似三角形．9．（3分）順次連接三角形各邊中點(diǎn)所得三角形面積與原三角形面積的比是（） A． 1：2 B． 2：1 C． 1：4 D． 4：1考點(diǎn)： 三角形中位線定理．分析： 依照D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，求證△DEF∽△ABC，然后利用相似三角形面積比等于相似比的平方即可得出答案．解答： 解：如圖，∵D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，∴DE=AC，DF=BC，EF=AB，S△DEF：S△ABC=．故選C．點(diǎn)評(píng)： 此題考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線定理的明白得和把握，解答此題的關(guān)鍵是利用了相似三角形面積比等于相似比的平方．10．（3分）如圖：把△ABC沿AB邊平移到△A′B′C′的位置，它們的重疊部分（即圖中陰影部分）的面積是△ABC面積的一半，若AB=，則此三角形移動(dòng)的距離AA′是（） A． ﹣1 B． C． 1 D． 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；平移的性質(zhì)．專(zhuān)題： 壓軸題．分析： 利用相似三角形面積的比等于相似比的平方先求出A′B，再求AA′就能夠了．解答： 解：設(shè)BC與A′C′交于點(diǎn)E，由平移的性質(zhì)知，AC∥A′C′∴△BEA′∽△BCA∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2∵AB=∴A′B=1∴AA′=AB﹣A′B=﹣1故選A．點(diǎn)評(píng)： 本題利用了相似三角形的判定和性質(zhì)及平移的性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大??；②通過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．二、填空11．（3分）分解因式：ax2+2ax+a=a（x+1）2．考點(diǎn)： 提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．分析： 先提取公因式，再依照完全平方公式進(jìn)行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．解答： 解：ax2+2ax+a，=a（x2+2x+1）﹣﹣（提取公因式）=a（x+1）2．﹣﹣（完全平方公式）點(diǎn)評(píng)： 本題考查了提公因式法與公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進(jìn)行二次分解，注意要分解完全．12．（3分）在函數(shù)中，自變量x的取值范疇是x≠2．考點(diǎn)： 函數(shù)自變量的取值范疇．分析： 依照分式有意義的條件是分母不為0；分析原函數(shù)式可得關(guān)系式x﹣2≠0，解可得自變量x的取值范疇．解答： 解：依照題意，有x﹣2≠0，解可得x≠2；故自變量x的取值范疇是x≠2．故答案為x≠2．點(diǎn)評(píng)： 本題要緊考查了分式有意義的條件是分母不等于0．13．（6分）兩個(gè)相似三角形的相似比為3：5，則對(duì)應(yīng)中線的比等于3：5，面積比為9：25．考點(diǎn)： 相似三角形的性質(zhì)．分析： 直截了當(dāng)依照相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．解答： 解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比為3：5，∴對(duì)應(yīng)中線的比等于3：5，面積比=（）2=9：25．故答案為：3：5；9：25．點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，已知DE∥BC，EC=6cm，DE=2.1cm，BC=6.3cm，則AC=4.5cm．考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： 依照平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，截得的三角形與原三角形相似判定出△ABC和△ADE相似，依照相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出，然后依照EC=6cm求解即可．解答： 解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴===，又∵EC=6cm，∴AC=6×=4.5cm．故答案為：4.5cm．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練把握三角形相似的判定方法并求出的值是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AB=20cm，BC=10cm，則AD=15c考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： 依照同角的余角相等求出∠A=∠BCD，再依照兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似求出△ABC和△CBD相似，依照相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=，代入數(shù)據(jù)求出BD，再依照AD=AB﹣BD運(yùn)算即可得解．解答： 解：∵∠C=90°，CD⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，又∵∠ACB=∠CDB=90°，∴△ABC∽△CBD，∴=，∵AB=20cm，BC=10cm，∴BD===5cm，∴AD=AB﹣BD=20﹣5=15cm．故答案為：15．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟練把握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，已知：∠ACB=∠ABD=90°，BC=6，AC=8，當(dāng)BD=或時(shí)，圖中的兩個(gè)直角三角形相似．考點(diǎn)： 相似三角形的判定．分析： 本題要緊應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，列出比例式求解即可．解答： 解：∵∠ACB=∠ADC=90°，BC=6，AC=8．∴AB===10，當(dāng)BD：BC=AB：AC時(shí)，△ABC∽△ADC，則=，解得：BD=；當(dāng)BD：AC=AB：BC時(shí)，△ABC∽△ACD，則=，解得：BD=．故當(dāng)BD=或時(shí)，兩個(gè)直角三角形相似．故答案是：或．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的判定，①假如兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②假如兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③假如兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所組成的三角形與原三角形相似．17．（3分）如圖：點(diǎn)M是Rt△ABC的斜邊BC上不與B、C重合的一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線截△ABC，使截得的三角形與原△ABC相似，如此的直線共有3條．考點(diǎn)： 相似三角形的判定．分析： 依照題意可得過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線，或作AC的垂線，或作BC的垂線，所得三角形滿足題意．解答： 解：∵截得的三角形與△ABC相似，∴過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線，或作AC的垂線，或作BC的垂線，所得三角形滿足題意．∴過(guò)點(diǎn)M作直線l共有三條，故答案為：3．點(diǎn)評(píng)： 本題要緊考查三角形相似判定定理及其運(yùn)用．解題時(shí)，運(yùn)用了兩角法（有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）來(lái)判定兩個(gè)三角形相似．18．（3分）如圖，n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)△B2D1C1的面積為S1，△B3D2C2的面積為S2，…，△Bn+1DnCn的面積為Sn，則S2=；Sn=．（用含n的式子表示）考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．專(zhuān)題： 壓軸題；規(guī)律型．分析： 由三角形的相似性可求得S2、S3、S4的值，則Sn的值也可用含n的式子表示出來(lái)．解答： 解：由于各三角形為等邊三角形，且各邊長(zhǎng)為2，過(guò)各三角形的頂點(diǎn)B1、B2、B3…向?qū)呑鞔咕€，垂足為M1、M2、M3，∵△AB1C1∴AD1=AC1?sin60°=2×=，∵△B1C1B2∴C1B1是∠AC1B2的角平分線，∴AD1=B2D1=，故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=；作AB∥B1C1，使AB=AB1，連接BB1，則B2，B3，…Bn∵BnCn∥AB，∴==，∴BnDn=?AB=，則DnCn=2﹣BnDn=2﹣=．△BnCnBn+1是邊長(zhǎng)是2的等邊三角形，因而面積是：．△Bn+1DnCn面積為Sn=?=?=．即第n個(gè)圖形的面積Sn=．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的性質(zhì)，題目新穎，同學(xué)們要好好把握．三、解答題19．（6分）解方程：3x2﹣4x+1=0；（用配方法解）考點(diǎn)： 解一元二次方程-配方法．專(zhuān)題： 運(yùn)算題．分析： 用配方法解，第一把系數(shù)化為1，移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，然后在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半，即可使左邊是完全平方式，右邊是常數(shù)，即可求解．解答： 解：3x2﹣4x+1=03（x2﹣x）+1=0（x﹣）2=∴x﹣=±∴x1=1，x2=點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解一元二次方程的方法，配方法適用于任何一元二次方程．20．（6分））已知：如圖，AB∥CD，AB=EC，BC=CD．求證：AC=ED．考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題： 證明題．分析： 依照兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠B=∠ECD，然后利用“邊角邊”證明△ABC和△ECD全等，再依照全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．解答： 證明：∵AB∥CD，∴∠B=∠ECD，∵在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（ASA），∴AC=ED．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，求出∠B=∠ECD是證明三角形全等的關(guān)鍵．21．（8分）一次函數(shù)的圖象通過(guò)A（﹣3，2）和B（1，6）．（1）求那個(gè)函數(shù)的解析式，并畫(huà)出函數(shù)的圖象；（2）求那個(gè)函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．分析： （1）設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，依照待定系數(shù)法可求得答案，再依照與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可作出圖形．（2）依照（1）所求的坐標(biāo)，依照面積=|x||y|求解．解答： 解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，將A（﹣3，2）和B（1，6）代入得：，解得：．∴函數(shù)解析式為：y=x+5．與x軸交點(diǎn)為（﹣5，0），與y軸交點(diǎn)為（0，5），所作圖形為：（2）面積=×5×5=．點(diǎn)評(píng)： 本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及作圖的知識(shí)，難度不大，注意把握所圍成三角形的面積=|x||y|．22．（6分）如圖，△ABC和△DEF均為等邊三角形，點(diǎn)D、F分別在BC、AC上，請(qǐng)找一個(gè)與△CDF相似的三角形，并證明．考點(diǎn)： 相似三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)．分析： 利用等邊三角形的性質(zhì)得出：∠A=∠C=∠EFD=60°，進(jìn)而求出∠AMF=∠CFD，即可得出答案．解答： 解：△CDF∽△AFM，理由：∵∠A=∠C=∠EFD=60°，∴∠AMF+∠AFM=120°，∠AFM+∠CFD=120°，∴∠AMF=∠CFD，又∵∠A=∠C，∴△CDF∽△AFM．點(diǎn)評(píng)： 此題要緊考查了等邊三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定，得出∠AMF=∠CFD是解題關(guān)鍵．23．（6分）如圖，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AD=4，DB=2，求：BC的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： 由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，易證得△ACD∽△CBD，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得CD的長(zhǎng)，然后利用勾股定理，求得BC的長(zhǎng)．解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴AD：CD=CD：BD，∴CD===2，在Rt△BCD中，BC==2．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意把握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．24．（6分）己知：如圖，AD⊥BC，垂足為D，矩形EFGH的頂點(diǎn)都在△ABC的邊上，且BC=36cm，AD=12cm，=．求矩形EFGH的周長(zhǎng)．考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．分析： 題中有EF：EG=5：9，要求矩形的周長(zhǎng)，只要設(shè)EF=5x，F(xiàn)H=EG=9x，利用三角形相似的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例，可求出x，即可求出周長(zhǎng)．解答： 解：設(shè)EF=5x，則EG=9x，∵矩形EFGH內(nèi)接于△ABC且AD⊥BC，∴EG∥BC，EF∥AD，∴△AEG∽△ABC，△BFE∽△BDA，∴==，==即=，∴+=+=1．解得：x=，∴矩形的周長(zhǎng)為：2（5x+9x）=42cm．答：矩形EFGH的周長(zhǎng)為42cm．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)于三角形相似類(lèi)型的題目求邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)等，常常要用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)來(lái)解題，這是常識(shí)，應(yīng)記住并應(yīng)用．25．如圖在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，說(shuō)出如此的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出PA長(zhǎng)？考點(diǎn)： 相似三角形的判定．分析： 由于以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)不能確定，故應(yīng)分兩種情形討論．解答： 解：存在．∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，當(dāng)△PAD∽△PBC時(shí)，=∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，∴AP=①；當(dāng)△ADP∽△BPC時(shí)，=∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，∴PA=1或PA=6②；由①②可知，P點(diǎn)距離A點(diǎn)有三個(gè)位置：PA=；PA=1或PA=6．點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是相似三角形的判定，解答此題時(shí)要注意分類(lèi)討論，不要漏解．26．（5分）△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為BC上的動(dòng)點(diǎn)，小慧拿含45°角的透亮三角板，使45°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板可繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．（1）如圖a，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí)．求證：△BPE∽△CFP；（2）將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊AC于點(diǎn)E、F．△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫(xiě)出結(jié)論）（3）在（2