直線的傾斜角與斜率+高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修1

解析幾何

第二章直線和圓的方程問題1：

我們學(xué)過哪些平面圖形，用的什么研究方法？問題1：

我們學(xué)過哪些平面圖形，用的什么研究方法？綜合法引

入解析幾何勒奈·笛卡爾（1596-1650）：法國數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和哲學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬（1601-1665），法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家坐標(biāo)系點(diǎn)數(shù)(有序數(shù)對(duì)或數(shù)組)幾何代數(shù)曲線(點(diǎn)的軌跡)的方程研究幾何圖形性質(zhì)代數(shù)方法直線直線的方程幾何要素圓的方程解決實(shí)際問題圓平面直角坐標(biāo)系代數(shù)方法2.1.1 直線的傾斜角與斜率第二章直線和圓的方程

水平直線的方向向右思考1：

如何表示直線的方向?其它直線的方向向上思考2：在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)P可以作出無數(shù)條直線？這些直線的區(qū)別是什么？l1l2l3l4一、直線的傾斜角1.定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.xyoαl零度角銳角

直角

鈍角

問題3：按照角的大小分類，直線的傾斜角可分為幾類？

poyxypoxpoyxpoyx2.直線的傾斜角取值范圍：思考1

你能得出直線的傾斜角的取值范圍嗎？零度角銳角

直角

鈍角

問題3：直線的傾斜角可分為幾類？

poyxypoxpoyxpoyx當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為，因此，直線的傾斜角的取值范圍為：2.直線的傾斜角取值范圍：問題5

你能得出直線的傾斜角的取值范圍嗎？問題4

任何一條直線都有唯一確定的傾斜角與它對(duì)應(yīng)嗎？Oyxl1α1l2l3α2α3每一個(gè)傾斜角都對(duì)應(yīng)于唯一的一條直線嗎?不同的直線其傾斜角一

定不相同嗎?直線l唯一傾斜角α方向相同的直線(平行或重合)傾斜角α思考1

確定一條直線的幾何要素還可以是什么？一個(gè)點(diǎn)P和一個(gè)傾斜角

.3.設(shè)直線l過原點(diǎn)，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到直線l′，則直線l′的傾斜角為()A.α+45°B.α-135°

C.135°-αD.當(dāng)0°≤α<135°時(shí)為α+45°，當(dāng)135°≤α<180°時(shí)為α-135°1.下圖中，表示直線的傾斜角的是()ABCD2.若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角,則直線l的傾斜角為()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°類型一

直線的傾斜角3.設(shè)直線l過原點(diǎn)，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到直線l′，則直線l′的傾斜角為()A.α+45°B.α-135°

C.135°-αD.當(dāng)0°≤α<135°時(shí)為α+45°，當(dāng)135°≤α<180°時(shí)為α-135°1.下圖中，表示直線的傾斜角的是()ABCDA

2.若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角,則直線l的傾斜角為()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°D

D

類型一

直線的傾斜角探究

在兩點(diǎn)確定一條直線，接下來探究直線傾斜角與直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)有何關(guān)系：平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α，（請(qǐng)用向量法探究下面問題）(1)

已知直線l經(jīng)過O(0,0),P(,1),α與O,P

的坐標(biāo)有什么關(guān)系?(2)類似地，如果直線l經(jīng)過P1(-1,1),P2(,0),α與P1,P2的坐標(biāo)又有什么關(guān)系?探究

在兩點(diǎn)確定一條直線，接下來探究直線傾斜角與直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)有何關(guān)系：平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α，（請(qǐng)用向量法探究下面問題）(1)

已知直線l經(jīng)過O(0,0),P(,1),α與O,P

的坐標(biāo)有什么關(guān)系?(2)類似地，如果直線l經(jīng)過P1(-1,1),P2(,0),α與P1,P2的坐標(biāo)又有什么關(guān)系?OyxαOyxαα??探究

在兩點(diǎn)確定一條直線，接下來探究直線傾斜角與直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)有何關(guān)系：平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α，（請(qǐng)用向量法探究下面問題）(1)

已知直線l經(jīng)過O(0,0),P(,1),α與O,P

的坐標(biāo)有什么關(guān)系?(2)類似地，如果直線l經(jīng)過P1(-1,1),P2(,0),α與P1,P2的坐標(biāo)又有什么關(guān)系?(3)

一般地，如果直線l經(jīng)過P1(x1,y1),P2(x2,y2),（其中

x1≠x2）α與P1,P2的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系嗎？探究

在兩點(diǎn)確定一條直線，接下來探究直線傾斜角與直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)有何關(guān)系：平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α，（請(qǐng)用向量法探究下面問題）(3)

一般地，如果直線l經(jīng)過P1(x1,y1),P2(x2,y2),（其中

x1≠x2）α與P1,P2的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系嗎？Oyxα??OxyP1P2αOxyPP2P1思考1

上述式子與P1,P2的順序有關(guān)嗎?思考2

當(dāng)直線P1P2與x軸平行或重合時(shí)，上述式子還成立嗎?思考3

當(dāng)直線P1P2與y軸平行或重合時(shí)，上述式子還成立嗎?1.定義：我們把一條直線的傾斜角

的正切值叫做這條直線的斜率，用小寫字母k表示，即k=tanα.α∈[0°

,90°

)

∪(90°

,180°

)2.公式：直線過P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,（x1≠x2）二、直線的斜率延時(shí)符傾斜角α0°30°45°90°120°150°斜率k3.常見角對(duì)應(yīng)的斜率：

延時(shí)符傾斜角α0°30°45°60°90°120°135°150°斜率k3.常見角對(duì)應(yīng)的斜率：

不存在xyoP(2,2)問題5

如圖，當(dāng)直線l繞點(diǎn)P(2,2)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線l的傾斜角如何變化，

其斜率如何變化？l

診斷自測(cè)

×診斷自測(cè)×××√××

例1

如圖,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.OyxA(3,2)B(-4,1)C(0,-1)1-1-2類型二

直線的斜率變式

若點(diǎn)D在BC（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí),求直線AD的斜率的變化范圍例1如圖示,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.OyxA(3,2)B(-4,1)C(0,-1)1-1-2例2已知兩點(diǎn)A(－3,4)，B(3,2)，過點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的斜率k的取值范圍；類型二

直線的斜率(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.例2已知兩點(diǎn)A(－3,4)，B(3,2)，過點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的斜率k的取值范圍；要使直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又直線PB的傾斜角是45°，直線PA的傾斜角是135°，所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.

例3

經(jīng)過A(0,2),

B(-1,0)兩點(diǎn)的直線的方向向量為(1,k)，求k的值.類型二

直線的斜率變式

已知直線l的一個(gè)方向向量為求直線l的傾斜角和斜率.

例3

經(jīng)過A(0,2),

B(-1,0)兩點(diǎn)的直線的方向向量為(1,k)，求k的值.類型二

直線的斜率變式

已知直線l的一個(gè)方向向量為求直線l的傾斜角和斜率.

是直線l的一個(gè)方向向量,即又∴直線l的傾斜角為，斜率為解:【提升訓(xùn)練】已知經(jīng)過A(m,2),B(-m,2m-1)的直線的傾斜角為α,且45°<α<135°,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.類型二

直線的斜率【提升訓(xùn)練】已知經(jīng)過A(m,2),B(-m,2m-1)的直線的傾斜角為α,且45°<α<135°,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：A(0,2),B(0,-1),當(dāng)m=0時(shí)，直線AB傾斜角α=90°.符合題意.直線AB⊥x軸，直線AB的斜率為當(dāng)m≠0時(shí)，或或解得