2022年貴州省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)大聯(lián)考試卷（理科）（3月份）（附答案詳解）

2022年貴州省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)大聯(lián)考試卷（理科）（3

月份）

一、單選題（本大題共20小題，共100.0分）

1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線/經(jīng)過點(diǎn)（0,0）,（1,3）,則直線/的斜率為（）

A.-gB.：C.—3D.3

2.在等差數(shù)列｛斯｝中，若44+。8=16,則=（）

A.4B.±4C.8D.±8

3.拋物線y2=2x的準(zhǔn)線方程是（）

A.x=B.%=-1C.y=-：:

2z2

4.如圖，在長方體48。。一4181。1。1中，「是線段8。1中點(diǎn)，若

AP=xAB+yAD+"4，

則x+y+z=()

A-

8

B.1

C-1

D.3

5.空間中兩條不同的直線九和平面a,則下列命題中正確的是（）

A.若?n_La,n1a,貝B.若n//a9則m〃九

C.若THJ■九,n1a,則m_LaD.若?nln,n//a,則m1a

6.已知函數(shù)fQ）的導(dǎo)函數(shù)y=（（乃圖象如圖所示，則函數(shù)y=

f（x）圖象是（）

7.已知三棱錐S-ABC中，SC=2V3,AB=2,E,F分別是

S4BC的中點(diǎn)，EF=1,貝與48所成的角大小為（）

「271

CT

D.多

4

8.在數(shù)列{an},{%}中，滿足{瓦,b2,…)={akEZ\ak=y/4k+1,keN*},且％<

b“+「若瓦00=am(m6N*)，則加=()

A.5050B.5100C.10050D.10100

9.復(fù)數(shù)z=i（l+2i3）的實(shí)部為（）

A.-2B.0C.1D.2

10.sin(-^)cos^==()

A.-]B.心

C.；4

11.定義集合A-B={x\xe4且x€B}.已知集合U=[xeZ|-2<%<6},A=

{0,2,4,5},B={-1,0.3）,則Cu（A-B）中元素的個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

12.曲線y=”—x在點(diǎn)（1,0）處的切線方程為（）

A.y=4x—4B.y=5x—5C.y=6x—6D.y=7x-7

13.某公司為了確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)》（單位：萬元）對

年銷售量y（單位：千件）的影響.現(xiàn)收集了近5年的年宣傳費(fèi)x（單位：萬元）和年銷

售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)如下表所示，且y關(guān)于x的線性回歸方程為丫=

bx—8.2,則下列結(jié)論錯誤的是（）

第2頁，共38頁

X4681012

y1571418

A.%,y之間呈正相關(guān)關(guān)系

B-匕=2.15

C.該回歸直線一定經(jīng)過點(diǎn)(8,7)

D.當(dāng)此公司該種產(chǎn)品的年宣傳費(fèi)為20萬元時，預(yù)測該種產(chǎn)品的年銷售量為34800

件

14.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，P41底面ABCC,S.PA=AB,AD=

WAB，則二面角P-CD-B的大小為()

A.75°B.45°C.60°D.30°

15.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S=0,則輸入的實(shí)

數(shù)x的取值共有()

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

16.已知函數(shù)/(%)=lgx,現(xiàn)有下列四個命題:

①/'(2),/'(國)，f(5)成等差數(shù)列；

/(4),/(8)成等差數(shù)列；

(3)/(2),/(12),/(72)成等比數(shù)列；

④f(2)，/(4),/(16)成等比數(shù)列?

其中所有真命題的序號是()

A.①②B.②③C.①②③D.①②④

17.已知|列|=|而|=2，|話|=1,則|市+3麗|=()

A.2B.4C.VToD.V15

18.函數(shù)/(%)=Asin(a)x+(p)(71>0,co>0,|@|VTT)的部分圖象如圖所示，現(xiàn)將/(%)

的圖象向右平移濘單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則g（x）在區(qū)間哈，手上

的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[―V2,2]D.[0,2]

19.為有效阻斷新冠肺炎疫情傳播徐徑，構(gòu)筑好免疫屏障，從2022年1月13日開始，某

市啟動新冠病毒疫苗加強(qiáng)針接種工作，凡符合接種第三針條件的市民，要求盡快接

種.該市有3個疫苗接種定點(diǎn)醫(yī)院，現(xiàn)有8名志愿者將被派往這3個醫(yī)院協(xié)助新冠疫

苗接種工作，每個醫(yī)院至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2940種B.3000種C.3600種D.5880種

20.已知4B是曲線因一1=1產(chǎn)上兩個不同的點(diǎn),C（0,l）,貝力。4|+|CB|的

最大值與最小值的比值是（）

A.V3B.V2C.漁D.越

25

二、多選題（本大題共4小題，共20?0分）

21.如圖，一縷陽光從圓形的窗孔射入，在水平地面上形成橢圓

形光斑（輪廓為橢圓），若光線與水平地面所成的角為40。<

a<90°）,則下列說法正確的是（）

A.橢圓的離心率e=sina

B.橢圓的離心率e=cosa

C.橢圓的離心率e隨a的增大而減小

D.橢圓的離心率e隨a的增大而增大

22.已知Sn是等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和，且m,nEN*,下列結(jié)論一定成立的是（）

A.若m+九為偶數(shù)，貝bm?an>0B.若m+九為奇數(shù)，貝!］。利?斯>0

C.若m?幾為偶數(shù)，則九>0D.若m?幾為奇數(shù)，則Qm?Sn>0

23.已知函數(shù)/（%）=a（x—a）2（x—b）（aH0）的極大值點(diǎn)為％=a,則（）

A.a2<b2

B.a2<ab

第4頁，共38頁

c.若r（%i）=r（%2）=0,則％i+外>o

D.若—（%1）=f'（%2）=0，則％1%2>0

24.如圖，在正四棱柱4BCD-A/iC/i中，AB=3,\-----

=2遍,P是該正四棱柱表面或內(nèi)部一點(diǎn),直線PB,

PC與底面/BCD所成的角分別記為a,B，且siQ?=\；,

2sina,記動點(diǎn)P的軌跡與棱BC的交點(diǎn)為Q,則下列說\；/》

法正確的是（）17r

A.Q為BC中點(diǎn)產(chǎn)廠

B.線段P4長度的最小值為5

C.存在一點(diǎn)P,使得PQ〃平面4當(dāng)5

D.若P在正四棱柱4BCD—&BiGDi表面，則點(diǎn)P的軌跡長度為山兀

三、填空題（本大題共10小題，共50.0分）

25.已知訪=（1,0,2k-l）,n=（-1,0,2）,若/〃知則k=.

26.已知圓G：x2+y2=1與圓C2：x2+y2+2x-4y=0,則圓心距IQC2I=___.

27.我國南北朝著名數(shù)學(xué)家祖眶提出了祖胞原理：“塞勢既同，則積（一二

不容異”.即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩「'、/口

個平面的任何平面所截，若截得的兩個截面面積都相等，則這兩'一二5」

個幾何體的體積相等.在數(shù)學(xué)上運(yùn)用祖曬原理推導(dǎo)球的體積公式時，構(gòu)造了一個底

面半徑與高都為R的圓柱內(nèi)挖掉一個等高的圓錐的幾何體（如圖所示），則該幾何體

的體積為.

28.已知小尸2分別是雙曲線捻一3=1（￡1>0*>0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上有一點(diǎn)

M,滿足|MF/=川MF21GWAS》，且4居“尸2=60°,則該雙曲線離心率的取值

范圍是.

29.在第七十五屆聯(lián)合國大會一般性辯論上，習(xí)近平主席表示，中國將提高國家自主貢

獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，

努力爭取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.某地2020年共發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型

汽車牌照10萬張，電動型汽車2萬張，從2021年起，每年發(fā)放的電動型汽車牌照按

前一年的50%增長，燃油型汽車牌照比前一年減少0.5萬張，同時規(guī)定，若某年發(fā)

放的汽車牌照超過15萬張，以后每年發(fā)放的電動車牌照的數(shù)量維持在這一年的水平

不變.那么從2021年至2030年這十年累計(jì)發(fā)放的汽車牌照數(shù)為萬張.

30.已知函數(shù)f(x)=”。一/(%>0月。>0)有兩個不同的零點(diǎn)，貝b的取值范圍是

31.已知/(%)為奇函數(shù)，當(dāng)％>0時，々.2,則%?=

32.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知4s譏2c=siM/l,cosB=—工

16

則R——?

33.設(shè)P為橢圓M：<+y2=i和雙曲線N：/一211=i的一個公共點(diǎn)，且p在第一象限,

86

F是M的左焦點(diǎn)，則M的離心率為,\PF\=.

34.如圖，某款酒杯容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面為面積是16Hcm2的正三角

形.若在該酒杯內(nèi)放置一個圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過酒杯口高度，則酒杯

可放置圓柱冰塊的最大體積為cm3.

四、解答題(本大題共12小題，共142.0分)

35.已知圓C的圓心為點(diǎn)(1,2),且與x軸相切.

(I)求圓C的方程；

(口)求直線心2x—y+2=0被圓C所截得的弦長.

第6頁，共38頁

36.已知三棱柱4BC—DEF中，^.BAC=90°,AB=AC=AD,乙DAB=KDAC.

(I)求證：BC1AD；

(D)若二面角4-BC-E的大小為135。，求直線DB與平面BEFC所成角的大小.

37.已知函數(shù)/(x)=詈，X6[0,兀].注：e=2.71828...是自然對數(shù)的底數(shù).

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(口)記函數(shù)/(乃的導(dǎo)函數(shù)為尸(無)，求證：

38.已知數(shù)列｛幾與｝是以1為首項(xiàng)，涉公比的等比數(shù)列，數(shù)列也｝滿足：瓦=2,nbn+1-

(n+l~)bn=n(n+l)dn,ne/V*.

(I)求數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式；

(II)(團(tuán))若d”=1,記％=冊+1%，求數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和及；

111?

(ii)若dn=2n+1,證明：-+—+

39.如圖，橢圓Ei：9+3=1的右焦點(diǎn)為F(b,0),橢圓E2：9+3=t(0<t<1),

橢圓E2的切線MN、MP交橢圓邑于M、N、P三點(diǎn)，

切點(diǎn)分別為Q、R.

(I)求實(shí)數(shù)m的值；

(口)求證：點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn)；

(HI)求四邊形。QMR面積的最大值.

40.一機(jī)械制造加工廠的某條生產(chǎn)線設(shè)備在正常運(yùn)行的情況下，生產(chǎn)的零件尺寸z(單位:

nun)服從正態(tài)分布N(200,(T2),且p(z<210)=0.9.

(1)求z<190的概率；

(2)若從該條生產(chǎn)線上隨機(jī)選取2個零件，設(shè)X表示零件尺寸小于190mm的零件個數(shù),

求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

第8頁，共38頁

222

41.已知1?+2H------1-n=^n(n+l)(2n+1),數(shù)列｛冊｝滿足an+i-an=n+2n4-

1,Qi=1.

(1)求｛a九｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)心=磊，求數(shù)歹￡白的前n項(xiàng)和

Z/IT1UJI

42.如圖，在三棱柱中，點(diǎn)名在底面4BC內(nèi)

的射影恰好是點(diǎn)C,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，月刀4=DB.

(1)證明：AB1CCj.

(2)已知4c=4,BC=2,B、C=2同求直線8當(dāng)與

平面8DC1所成角的正弦值.

43.已知函數(shù)/(%)=%2—(a+l)/nx(aW—1).

(1)當(dāng)Q=0時，求f(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若/(%)>(a2-a)bix對％G(1,+8)恒成立，求a的取值范圍.

44.在直角坐標(biāo)系％0y中，拋物線C：y2=2p%(p>0)與直線八%=4交于2，Q兩點(diǎn)，

且。P10Q.拋物線C的準(zhǔn)線與％軸交于點(diǎn)M,G是以M為圓心，10Ml為半徑的圓上的

一點(diǎn)(非原點(diǎn))，過點(diǎn)G作拋物線。的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B.

(1)求拋物線C的方程；

(2)求44BG面積的取值范圍.

45.在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中著名的有

笛卡爾心型曲線.如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，

%軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心xJNsJ

型曲線，其極坐標(biāo)方程為p=1-s(0W。<2/r,p30),

M為該曲線上一動點(diǎn).

(1)當(dāng)|0陽=：時，求M的直角坐標(biāo)；

(2)若射線OM逆時針旋轉(zhuǎn)5后與該曲線交于點(diǎn)N,求△OMN面積的最大值.

第10頁，共38頁

46.已知正數(shù)Q,b,c,d滿足小+爐+c?+=1,證明:

(1)0VCLC+bd45；

1144

(2)4+^+4z+^2>36.

\/Q2b?Cd

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：直線/經(jīng)過點(diǎn)(0,0),(1,3),

則直線/的斜率1=衿=3,

故選：D.

利用斜率計(jì)算公式直接求解即可.

本題考查了斜率計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：???{/?}是等差數(shù)列,

,*?2。6=+@8=16,

???a6=8.

故選：C.

由題意，利用2a6=。4+他即可求解?

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：拋物線y2=2x的開口向右，p=l,所以拋物線的準(zhǔn)線方程是％=

故選：A.

直接利用拋物線方程求出準(zhǔn)線方程即可.

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，基本知識的考查.

4.【答案】C

【解析】解：在長方體4BCD—4B1GD1中，P是線段3D1中點(diǎn)，

---?---?--->--->1----->--->1------?,.......?............?

AP=AB+BP=AB+-BD1=48+嚴(yán)。+CG+G”

第12頁，共38頁

=AB+-~BC+-CCl+-C7Dl=-AB+-AD+-AAi，

2212112221

...叩■,一..?’一一,.,1

VAP=xAB-\-yAD^-zAAvx=y=z=-,

3

則x+y+z=

故選：C.

利用向量運(yùn)算法則直接求解.

本題考查向量的運(yùn)算，考查向量運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：空間中兩條不同的直線小，n和平面a,

對于4,若zn_La,n1a,則由線面垂直的性質(zhì)得?n〃n,故A正確；

對于B,若m〃a,n〃a,則m與n相交、平行或異面，故8錯誤；

對于C,若m_Ln,n1a,則m〃a或mua,故C錯誤；

對于D,若m1ri,n//a,則?n與a相交、平行或mua,故。錯誤.

故選：A.

對于4,由線面垂直的性質(zhì)得m〃n；對于B,zn與n相交、平行或異面；對于C,m〃a或

mua；對于D,m與a相交、平行或mua.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考

查推理論證能力，是中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：由f'(x)圖象知，第一部分/'(%)>0,且/'(%)是個常數(shù)，此時/(%)為增函

數(shù)，且等速度增長，對應(yīng)圖象為直線，排除C,D,

第二部分「(x)>0,此時f(x)為增函數(shù)，

第三部分，/'(%)<0,此時函數(shù)為減函數(shù)，排除B,

故選：A.

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷是解決本

題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

解：取4C中點(diǎn)D,連接DE、DF,

由E,F分別是S4,BC的中點(diǎn)，

貝i」DE〃SC,DF//AB,

則E尸與4B所成的角的平面角為4EFD(或其補(bǔ)角),

由SC=2百，AB=2,

則DE=M，DF=1,

又EF=1,

。產(chǎn)+￡產(chǎn)-?！?_1+1-3

貝kosNEFD一1,

2xDFxEF2x1x12

即㈤叨=y,

即E尸與4B所成的角大小為以

故選：B.

先作出EF與所成的角的平面角，然后利用余弦定理求解即可.

本題考查了異面直線所成角的求法，重點(diǎn)考查了異面直線平面角的作法，屬基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解:因｛瓦,電33,…｝=｛縱€2|縱不CN*｝,如〈匕+i，

則數(shù)列｛匕｝是由4k+l(fcGN*)計(jì)算而得的完全平方數(shù)的算術(shù)平方根由小到大排列而成,

因4x2+1=32,4x6+1=52,4x12+1=72,4x20+1=92,4X30+1=II2,

4x42+1=132,…，

=

即瓦=3,b2=5.b3=7,b49,b5=11,b6=13,1?,,

即數(shù)列｛砥｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，

所以刈=2n+1,

第14頁，共38頁

反之，當(dāng)bn=2n+l時，由V4k+1=2n+l,neN*得k=n(n+1),

因此，k=n(n+l),n6W*,V4fc+1GN\

于是得匕=2n+l,nGN*,則a?t=b100=201,

所以m=100(100+1)=10100.

故選：D.

根據(jù)給定條件探求出數(shù)列{匕}的通項(xiàng)公式，將瓦°。代入計(jì)算作答.

本題涉及給出遞推公式探求數(shù)列規(guī)律的問題，按條件寫出數(shù)列前幾項(xiàng)，利用觀察法寫出

通項(xiàng)公式，再代入驗(yàn)證解決問題，屬于中檔題.

9.【答案】D

【解析】解：z=i(l+2i3)=i+2i4=2+i,

z的實(shí)部為2.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)實(shí)部的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，即可求解.

本題考查了復(fù)數(shù)實(shí)部的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式,

屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】4

【解析】解：sin(-^)cos^；=-7x2sin^-cos^-=-；sin^=-；x1=-i

故選：4.

利用誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦公式化簡即可求解.

本題考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想,

屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】B

【解析】解：由定義集合4-B={x|xe4且x￡B},

又A={0,2,4,5},B={-1,0,3},

則4-B={2,4,5},

又集合u=[xez\-2<x<6],

則Cu(A-B)={-1,0,1,3},

即Cu(4-B)中元素的個數(shù)為4,

故選:B.

由集合A-B的定義，結(jié)合集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算求解即可.

本題考查了集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

12.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閥'=6x5—i,

所以曲線y=x6-x在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率為6-1=5,

故所求切線方程為、=5工一5.

故選：B.

求出導(dǎo)函數(shù)，求解切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程.

本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線的斜率以及切線方程的求法，是中檔題.

13.【答案】C

【解析】解：由表中數(shù)據(jù)可得，￡=gx(4+6+8+10+12)=8,歹=：x(1+5+7+

14+18)=9,

故回歸直線一定經(jīng)過點(diǎn)(8,9),

故9=8b-82，解得b=215，故正確，C錯誤，

將％=20代入y=2.15X-8,2,解得y=34,8'

故當(dāng)此公司該種產(chǎn)品的年宣傳費(fèi)為20萬元時，預(yù)測該種產(chǎn)品的年銷售量為34800件，故

O正確.

故選：C.

根據(jù)已知條件，求出x,y的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可依次求解.

本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】D

第16頁，共38頁

【解析】解：因?yàn)镻21底面ABCD,CDu平面ABCD,所以P4_LCD,

又40ICO,PAHAD=A,所以CD_L平面PAD,

因?yàn)镻Du平面PAD,貝IJCD_LPD,所以二面角P-CD-B的平面角為NPZM.

在Rt△PAD中，tan^PDA=—=則4PzM=30°.

AD3

故二面角P-CD-B的大小為30。.

故選：D.

證明線面垂直，線線垂直，找到二面角P-CD-B的平面角，再進(jìn)行求解.

本題主要考查二面角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】C

【解析】解：由程序框圖可知，該循環(huán)需循環(huán)2次輸出結(jié)果，

則輸出S=(x2-l)2-l,令。2一1)2一1=0,解得X=0或X=+V2,

故輸入的實(shí)數(shù)x的取值共有3個.

故選：C.

由程序框圖可知，0=(/一1)2一1,解出工,即可求解.

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的

結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】D

【解析】解：對于①，/'(2)+/■⑸=國2+1g5=[gio=1,2/(-/10)=2lgV10=1.

故/(2),/(V10)>f(5)成等差數(shù)列，故是真命題；

對于②,f(2)+/(8)=lg2+lg8=lgl6,2/(4)=21g4=lgl6,

故f(2),f(4),f(8)成等差數(shù)列,故是真命題；

對于③,/(2)/(72)=lg2-lg72<(史詈當(dāng)2=lg212=產(chǎn)①)，

故f(2),/(12),/"(72)不成等比數(shù)列,故是假命題;

對于④，/(2)/(16)=lg2lgl6=4lg22=(2lg2)2=lg24=用(4),

故f(2)，f(4),f(16)成等比數(shù)列,故是真命題;

故選：D.

由對數(shù)運(yùn)算及等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)依次判斷即可.

本題考查了等比數(shù)列及等差數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】B

【解析】解：由題意，可得|而|=|荏|=|布-而

22

即刀?=(05-04)2=OB_2O/i.OB+O7，

又I西=2,\OB\=1,

代人可得4=1-204-0B+4，解得瓦？-=1,

所以|市+3而J(OA+3OB)2=JoA2+60A0B+9Ofi2=14+6xg+9=

4,

故選：B.

^|^4|=\AB\=\OB-OA\,兩邊平方可得萬？?布=：,再由向量I次+3萬|=

J(65+3被》展開代人求解即可.

本題考查了向量的線性運(yùn)算和模的求法，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】C

【解析】解：根據(jù)函數(shù)f(%)=Asin(a)x+(p)(A>

0,3>0,|卬|<TT)的部分圖象,

—1.zral27r117T7nc

可得鼠；7=玄—運(yùn)，;3=3.

結(jié)合五點(diǎn)法作圖，3x工+9=2兀，0=%故

/(x)=Asin(3x+

第18頁，共38頁

再把點(diǎn)G，T)代入，可得一1=Asin(^+》

A=金，/(x)=V2sin(3x+》

現(xiàn)將/(%)的圖象向右平移三個單位長度，

得到函數(shù)y=g(x)=V2sin(3x-q的圖象，

在區(qū)間比,勻上，3X-2G[0,7T],

g(x)=V2sin(3x-^)6[0,V2],

故選：c.

由周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出9的值，由特殊點(diǎn)坐標(biāo)求出4,可得函數(shù)的解析式.再

根據(jù)函數(shù)y=4s譏(3X+R)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查由函數(shù)丫=4$譏(3%+0)的部分圖象求解析式，由周期求出3,由五點(diǎn)法

作圖求出0的值，由特殊點(diǎn)坐標(biāo)求出4函數(shù)y=Zsin(3x+9)的圖象變換規(guī)律，正弦函

數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

19.【答案】A

c|cc|c

【解析】解：根據(jù)題意不同的安排方法共有(竿+岑1)41=2940(種)?

故選：A.

根據(jù)題意派往3個醫(yī)院的人數(shù)分配有2種情況：2、2、4,3、3、2.以此可解決此題.

本題考查排列組合應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】D

【解析】解：由|x|—l=J4—吐一1)2,得(因-+(y—l)2=4,

|x|-1>0,Ax<—1或%>1.

當(dāng)xs-l時，原方程化為(x+l)2+(y-1)2=4,當(dāng)x21時，原方程化為(％-1)2+

(y—I)2=4.

畫出方程所表示的曲線如圖：

y

當(dāng)4、B與圖中。、E中一點(diǎn)重合時，|。4|+|CB|取最大值為6,

當(dāng)4、B與圖中F、G、K、，中一點(diǎn)重合時，|C4|+|CB|取最小值為2b,

\CA\+|CB|的最大值與最小值的比值是親=誓.

故選：D.

把已知曲線方程變形，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合求解.

本題考查曲線與方程，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

21.【答案】BC

窗孔的圓心為0,圓心在水平面的投影即橢圓的中心為0,光線與水平面的交點(diǎn)為力、B,

光線與水平地面所成的角為a（0。<a<90。）即NB00',連接0。'，

過B作。。'的垂線交。于C,交。。'于D,

由題意可知，窗孔在平面內(nèi)的投影橢圓，故|4B|為橢圓的長軸長，即|4B|=2a,

|BC|為橢圓的短軸長，即|8C|=2b,

所以|0B|=a,\BD\=^\BC\=b,

第20頁，共38頁

故|0D|=yl\OB\2-\BD\2=y/a2-b2=c,

而cosa=cos乙BOO'=—=-=e,

OBa

故橢圓的離心率0=cosa,所以選項(xiàng)A錯誤，選項(xiàng)B正確；

e=cosa,因?yàn)閏osa在0。<。<90。是單調(diào)遞減的，所以桶圓的離心率e隨a的增大而減

小，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)。錯誤.

故選：BC.

可由題意做出平面圖，利用投影關(guān)系，分別對應(yīng)出橢圓的長軸和短軸，利用橢圓a、氏

c結(jié)合夾角即可做出判斷.

本題考查了投影的關(guān)系，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

22.【答案】AD

【解析】解：由題意知，設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則-an=。初m+n-2,

m+n2

若m4-n為偶數(shù)時，m+n-2為偶數(shù)，所以“血+八菖>0,所以*-an=alq~>0,

若m+n為奇數(shù)時，m+n-2為奇數(shù)，若q<0,則qm+"-2<0,所以(^，即二

a2qm+n-2<0,

若q>0,則qm+n-2>0,

m+n2

所以am-an=alq~>0,

若q=1時，dm?an=后>0,

故此時無法判斷斯,正負(fù)，故A正確，B錯誤；

若nm為偶數(shù)時，則m,n為兩偶或一奇一偶，

當(dāng)m,n為兩偶數(shù)時，則m—l為奇數(shù)，

若q6(0,1)U(l,4-oo),

則qMT〉。，守>0,此時am-Sn=a；qm-i.f>0,

1—q1—Q

若qe(—l,o),則守>0,此時即,?S”=。打吁1?守<0,

1—Q1—Q

若qe(-8,-1),則守<0,此時am-Sn=a紜aT?守>0,

若q=1時，a.0=nal>0,若q=-1時，am-Sn=0,故無法判斷?S九的正負(fù);

同理，當(dāng)小，九為一奇一偶時，也無法判斷。巾?S幾的正負(fù)，故C錯誤；

當(dāng)mn為奇數(shù)時，m,九都為奇數(shù)，則zn-1為偶數(shù)，

若qk-l且qMO且qHl時，q^T>0,言>。，所以%??S.=居4巾一】?號>0,

若q=1時，am-Sn=nal>0,若q=一1時,am-Sn=a1>0,

所以am-SnuagqmT?守>0,故。正確.

故選：AD.

1m+n2

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得麗-an=aiqm-i?a^-=alq-,分別討論m+頻的奇

偶對9機(jī)+吁2值的影響，即可判斷選項(xiàng)A、B；

根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得a.?5「=談qmT?瑞，分別討論m,n的奇偶對q"1-1值

的影響，即可判斷選項(xiàng)C、D.

本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式,也考查了分類討論思想,分類情況較復(fù)雜，

屬于難題.

23.【答案】ABD

【解析】解：令/'(x)=0,解得x=a或x=b,即x=a及x=b是/'(%)的兩個零點(diǎn)，

當(dāng)a>0時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x=a是/(%)的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致

圖象如下圖所示，

則0<a<b；

當(dāng)a<0時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x=a是/(x)的極大值點(diǎn)，則函數(shù)/Q)的大致

圖象如下圖所示，

第22頁，共38頁

則b<a<0；

綜上，b2>ab>a2.

故選：ABD.

分a>0及a<0,結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)及題意，通過圖象發(fā)現(xiàn)a,b的大小關(guān)系，進(jìn)而得

出答案.

本題考查三次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔

題.

24.【答案】8。

【解析】解：力選項(xiàng)：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系4—xyz,設(shè)P(x,y,z),

過點(diǎn)P作P。L平面ABC。，垂足為。，連接OB,OC,

則NPBO=a,乙PCO=0,由題意可知sinB=*=2s譏a=若今，

所以|PB|=2|PC|,因?yàn)?(3,0,0),C(3,3,O),

所以(x—3)2+y2+z2=4(%—3)2+4(y-3)2+4z2,

即(x-3)2+(y-4)2+z2=4,

所以點(diǎn)P的軌跡是以(3,4,0)為球心，以2為半徑的球再正四棱柱內(nèi)部(含表面)的部分，

由題意得當(dāng)Q為BC中點(diǎn)時不滿足題意，故A錯誤；

B選項(xiàng)：設(shè)球心％(3,4,0),

則|014/=J(3-0)2+(4-0)2+(2通/=1,

所以線段P①長度的最小值為7-2=5,故B正確；

QN仁平面4當(dāng)。1，4。<=平面481。1，

所以QN〃平面Z81D1，同理MN〃平面4a仇，

又QNCMN=N,QN,MNu平面QMN,所以平面QMN〃平面4^名，

所以|CN|=：*2乃=手，設(shè)球與棱CG的交點(diǎn)為G,與CD的交點(diǎn)為H,

\CG\=V22-I2=V3>|CN|=￥，|C"|=V3>\CM\=1.

所以球與矩形BCGBi的交線為弧GQ,球與矩形CDDiG的交線為弧G”，所以△QMN與

球沒有交點(diǎn)，

所以不存在點(diǎn)P,使得PQ〃面4為。1，故C錯誤；

。選項(xiàng)：因?yàn)榍蚺c矩形BCGBi的交線為弧GQ,球與矩形CODiG的交線為弧GH,球與正

方形ZBCD的交線為弧QH,

由于|GQ|=IQ。/=IGO/=\CH\=2,

所以NQOIG=4GOIH=M

所以弧GQ=弧(2"=；x2=￡,

弧GH=-x27rxV3=^

42

所以點(diǎn)P在正四棱柱48co-&8忑山1表面，

則點(diǎn)P的軌跡的長度為史X2+包=網(wǎng)越兀，故。正確.

326

故選：BD.

4選項(xiàng)：建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,設(shè)P(x,y,z),求出點(diǎn)P的軌跡是以(3,4,0)為球心，

以2為半徑的球再正四棱柱內(nèi)部(含表面)的部分，進(jìn)而可判斷力選項(xiàng)；

B選項(xiàng)：設(shè)球心％(3,4,0),則|0i4J=](3—0,+(4-0)2+(2遍9=7＞所以線段P公

長度的最小值為7-2=5,從而可判斷8正確；

C選項(xiàng)：證得球與矩形BCGBi的交線為弧GQ,球與矩形CDDiG的交線為弧GH,所以△

QMN與球沒有交點(diǎn)，進(jìn)而可判斷C選項(xiàng)；

D選項(xiàng)：證得球與矩形BCGBi的交線為弧GQ,球與矩形CODiG的交線為弧GH,球與正

方形2BCD的交線為弧QH,進(jìn)而求出弧長，即可判斷D選項(xiàng).

本題考查棱錐的幾何特征，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于難題.

25.【答案】-i

第24頁，共38頁

【解析】解：???m=（1,0,2k-l）,n=（一1,0,2）且沅〃記，

???^=等，解得卜=一也

故答案為：-

根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量平行的公式，即可求解.

本題主要考查空間向量平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

26.【答案】V5

【解析】解：圓Q：/+丫2=1的圓心為C］（o,o）,

圓C2：x2+y2+2x-4y=0的圓心為C2（-l,2）,

所以圓心距IC1C2I=V（-l-0）2+（2-0）2=V5.

故答案為：V5.

求出兩圓的圓心坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.

本題主要考查圓的方程，兩點(diǎn)間的距離公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

27.【答案】爭3

【解析】解：圓柱的體積為匕圓錐的體積為彩=3兀/?3,

所以所求的幾何體的體積為匕-％=兀R3_扣腔=|兀/?3.

故答案為：|〃R3.

圓柱的體積減去圓錐的體積可得答案.

本題主要考查空間幾何體體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

28.【答案】除何

【解析】解：因?yàn)閨Ma|=RMF21G<A<1）,可得M在雙曲線的左支上，設(shè)IMF2I=m,

則|M&|=Am,

再由雙曲線的定義可得IPF2I-|P&l=2a,所以可得m-4m=2a,可得m=三，

|MF1『+|MF2『-|aF2|2

在三角形時居尸2中，立月同尸2=60°,由余弦定理可得：8SN&MF2=

2\MF1\-\MF2\

可得1=業(yè)竽上,整理可得：m2.(l+A2-A)=4c2,

22Am-m

所以4a2(]+"_&

入1+A2-2A=4c2,

22

-r/n2c21+A-AA-2A+1+A..Ad.1

可得e=后二27門=1+1^77=1+干，

設(shè)y=4+\所以函數(shù)單調(diào)遞減,

A3N

所以”[|號，可得y_2eg,$,

所以展e?2],

所以e2e[1,3],

即ec管㈣.

故答案為：[1,遍].

由|M&|=川”尸2|(，式4w｝,可知M在雙曲線的左支上，設(shè)IMF2I=m,可得|M0|=2血,

再由雙曲線的定義可得e與a的關(guān)系，在三角形中由余弦定理可得離心率的表達(dá)式，換

元，由函數(shù)的單調(diào)性可得離心率的范圍.

本題考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用及余弦定理和換元法的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中

檔題.

29.【答案】134

【解析】解：設(shè)每年發(fā)放燃油型汽車牌照為｛an｝，發(fā)放電動型車牌照數(shù)為｛%｝，發(fā)放牌

照數(shù)為｛7｝，

則｛即｝成等差數(shù)列，｛%｝前四項(xiàng)成等比數(shù)列，第五項(xiàng)為常數(shù)列，cn=an+bn,

%=9.5,an=10—0.5九，

｛即｝的前n項(xiàng)和Si。=9.5xl0+|xl0x9x(-0.5)=72.5,

瓦=2x1.5=3,&2=3x1.5=4.5,b3—4.5x1.5=6.75,

??,C3=%+力3=8.5+6.75=15.25>15,

:，匕4=為=?,,=瓦o=6.75,

｛b｝的前10項(xiàng)和Bio=3+4.5+6.75x8=61.5,

故從2021年至2030年這十年累計(jì)發(fā)放的汽車牌照數(shù)為134萬張.

第26頁，共38頁

故答案為:134.

根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔題.

30.【答案】(l,e)U(e,+8)

【解析】解：因x>0,a>0,

InxIna

貝!|f(x)=0=x。=a*=alnx—xlna=丁=三'

l-lnx

求導(dǎo)得g'(x)=

當(dāng)OVxVe時，g'(x)>0；當(dāng)％>e時，g'(x)V0,

因此g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，gMmax=g(e)=

而當(dāng)%>e時，g(x)>0恒成立，g⑴=0,

函數(shù)/(X)有兩個不同的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=詈有兩個公共點(diǎn),

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=*如圖，

咻

v=—

:…4

\y=g(H)

觀察圖象得：函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=詈有兩個公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)0〈詈<：，

即。⑴<g(a)<9(e),

于是得1<a<e或a>e,

所以a的取值范圍是：(l,e)U(e,+8).

故答案為：(1,e)U(e,+oo).

由f(x)=O可得%a=a，取對數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討零點(diǎn)即可推理計(jì)算作答.

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

31.【答案】-3

【解析】解：根據(jù)題意，當(dāng)久>0時，/(%)=f2；0/X4

八，(X+2,x>2,

則“1)=21=2,/(4)=4+2=6,

又由f(x)為奇函數(shù),則/(一4)=一/(4)=-6,

故答案為：一3.

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出/(I)和f(4)的值，結(jié)合奇偶性求出/(-4)的值，進(jìn)而計(jì)

算可得答案.

本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

32.【答案】|

【解析】解：因?yàn)?s譏2c二因/4,

所以由正弦定理可得4c2=Q2,可得Q=2C,

因?yàn)镃OSB=0+'-b=

Zac16

所以空鏟=_三，

4c216

解得3=|.

b5

故答案為：|.

由已知利用正弦定理可得a=2c,進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可求解(的值.

本題考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

33.【答案】任1+2企

4

【解析】解：M的離心率6=1-1=^;

q84

設(shè)M的右焦點(diǎn)為F',因?yàn)?-1=1+6,且M與N的焦點(diǎn)都在x軸上,

所以橢圓M與雙曲線N的焦點(diǎn)相同，

所以|PF|+\PF'\=2我=4V2,\PF\-\PF'\=2，

解得|PF|=1+2近,

故答案為：—；1+2V2.

4

第28頁，共38頁

根據(jù)橢圓方程直接求離心率即可，根據(jù)橢圓與雙曲線的方程可得其共焦點(diǎn)，再根據(jù)橢圓

和雙曲線的定義即可得出答案.

本題考查了橢圓與雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

34【答案】也包

27

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為rem,圓柱形冰塊的底面半徑為xcm,高為hem,

由已知可得，|xyx(2r)2=16V3，解得r=4cm,

h<(r-x)-tan60°=V3(4-%),0<x<4.

設(shè)圓柱形冰塊的體積為V,則1/4百加工2(4一外，0<x<4.

令/(%)=V5TT%2(4—0<%<4.

則f'(X)=V3TTX(8—3%),

則當(dāng)％e(0,9時，尸(無)>0,當(dāng)xe(|,4)時，r(x)<o,

.f(\-后

??八町xS以―/卬—一25627'

???酒杯可放置圓柱冰塊的最大體積為空包CH?.

27

故答案為：陋包.

27

設(shè)圓錐的底面半徑為rem,圓柱形冰塊的底面半徑為xcm,高為八cm,由三角形面積求

得r=4cm,可得hs(r-%)-tan60o=b(4—x),0<%<4,進(jìn)一步得到冰塊體積

7<V3TTX2(4-X),0<X<4,令/'(x)=百兀/科-為，0<%<4,再由導(dǎo)數(shù)求最值

即可.

本題考查圓柱、圓錐體積公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是

中檔題.

35.【答案】解：(I)???圓C的圓心為點(diǎn)(1,2),且與x軸相切，

???圓C的半徑圓r=2,

故圓C的方程為(x-I/+(y-2)2=4.

(口)???圓C的圓心C(l,2),

???點(diǎn)C到直線八2x-y+2=0的距離為器等=4=--

JV22+lV55

???所求的弦長為2#-(哥=

【解析】(/)圓C的圓心為點(diǎn)(1,2),且與x軸相切，則圓C的半徑圓r=2,即可求解.

(〃)根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，以及垂徑定理，即可求解.

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

36.【答案】（I）證明：取的中點(diǎn)M,連接力M,"AB^AC,ABCLAM,

又???，N￡MB=miC.40=4￡）,與△04C全等，貝膽8=DC,

SDM,而AMClDM=M,于是BC1平面4DM,而4Du面力DM,故BC14D；

(〃)取EF的中點(diǎn)N,連接DN,M