2022年人教A版高中數學 第四章 指數函數與對數函數 單元檢測卷（基礎卷）（學生版+解析版）

第四章指數函數與對數函數單元檢測卷（基礎卷）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.）

1.（2019?長沙市明德中學高二期中）設a=log。；，，c=2°b=（；J貝小、b、c的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

2.（2021.全國高一專題練習）函數y=log0（x-l）的圖象必過的點是（）

A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,0)D.(2,0)

3.（2021?湖南高一期末）已知Q=3°3,,c=ln2,則。，b,c的大小關系為（)

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<h<aD.b<c<a

4.（2021?全國高一課時練習）設/（x）=3'+3x—8,用二分法求方程3'+3x—8=0在（1/$）內的近似

解的過程中，有了⑴<0,/（1.5）>0,/（1.25）<0,則該方程的根所在的區(qū)間為（）

A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）

C.（1.5,2）D.不能確定

5.（2018?天津河東?高一期中）函數y=/（x）的圖象是一個連續(xù)不斷的曲線，部分對應關系如下表所示，則

該函數的零點個數至少為（）

X123456

y126.115.15-3.9216.78-45.6-232.64

A.2B.3C.4D.5-

6.（2021.寧波市北侖中學高三開學考試）函數丫=2用-1的圖象大致為（）

7.（2021?黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中高三月考（理））函數y=a'-'（a>0,的圖象可能是（）

C.④D.①

-x2-2x,x<0

8.（2021?湖南邵陽市?高一期末）已知函數/（力=，若函數g（%）=/（x）+2-〃2有4個零點，

10g?X,X>U

2

則機的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（-1,0）C.（1,3）D.（2,3）

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.）

9.（2021?全國高一專題練習）下列指數式與對數式互化正確的一組是（）

_1111

A.[00=]與lg]=0B.273與log當=_§

C.log；=2與；D.log；=1與5=5

9乙=3

10.（2020?衡陽市田家炳實驗中學高一月考）函數/（幻=2,-3/的零點所在的區(qū)間是（）.

A.（-2,-1）B.（—1,0）

C.（0,1）D.（1,2）

11.（2021?廣東）若函數=f-奴+"的兩個零點是2和3,則函數g（x）=bf-奴-1的零點是（）

A.1B.士C.--D.--

236

12.（2020?江蘇省平潮高級中學高一月考）在數學中，布勞威爾不動點定理可應用到有限維空間，并構成

一般不動點的基石，它得名與荷蘭教學家魯伊茲?布勞威爾，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數

/?-,存在一個點%，使得/（無。）=%,那么我們稱該函數為“不動點”函數，下列為“不動點'’函數的是（）

A.f（x）=2x+xB.^（x）=x2-x-3

c./（x）=/+[D./（x）=|log2^-l

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分。）

13.（2022?全國高三專題練習）已知x+x-=3,則%+J3的值為_

14.（2021?廣東）用二分法研究函數/*）=1+38一1的零點時，第一次經計算/（0）＜0J⑴＞0,可得

其中一個零點X。6（0,1）,那么經過下一次計算可得X。€（填區(qū)間）.

16.（2021?沙坪壩區(qū)?重慶八中高三開學考試）函數y=log3（-Y+5X+6）的單調遞增區(qū)間是

2"-16,比N4

13.（2020?大連市第一中學高一期中）已知/leR,函數/"）=當4=2時，不等式/（x）＜0

x2-4x+3,x<2

的解集是;若函數,f（x）恰有2個零點，則2的取值范圍是.

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應寫出文字

說明、證明過程或演算步驟。）

17.（2020?福建三明一中高一期中）不用計算器求下列各式的值

+/x正+(次X揚6_

(1)1.53X

(2)lg25+lg4+7喻2+21og3G.

⑻（2021?江蘇吳江中學高一期中）已知函數?。?1-"

（1）證明：函數/㈤是（-8,+8）上的增函數;

（2）xe[-1,2]時，求函數“X）的值域.

19.（2021?河北高三月考）（1）求/（x）=＞?。?2的定義域;

lgx

（2）若/（2x-l）=/+4x-l,求f（x）的解析式.

20.（2021.合肥百花中學高一期末）設。＞0且"1,函數/（幻=1幅,（1+幻+1唱,（3-為的圖像過點（1,2）.

（1）求。的值及Ax）的定義域；

（2）求Ax）在區(qū)間0,|上的最大值.

21.（2021?寧夏銀川市?銀川一中高三月考（理））已知定義域為R的函數，〃x）=a'-（"l）aT（a＞0且

awl）是奇函數.

（1）求實數上的值：

（2）若判斷函數單調性，并求不等式/，+可+〃4-x）＜0恒成立時f的取值范圍；

22.（2021?長豐縣鳳麟中學高二期中（理））某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券

等穩(wěn)健型產品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比，已知

投資1萬元時兩類產品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元（如圖）.

（1）分別寫出兩種產品的收益和投資的函數關系；

（2）該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大的收益，其最大

收益為多少萬元?

第四章指數函數與對數函數單元檢測卷（基礎卷）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.）

1.（2019?長沙市明德中學高二期中）設a=,c=202匕=,則。、b、c的

大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<h

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】A

【分析】

計算”，再利用指數函數的性質比較b,c,即可判斷選項.

【詳解】

1

a-log2-^=-2<0,6=（3）=2°>1.

c=2n2>1.且2°,<2%即a<b<c.

故選：A

2.（2021?全國高一專題練習）函數y=log〃（x-l）的圖象必過的點是（）

A.（-1,0）B.（1,0）C.（0,0）D.（2,0）

【答案】D

【分析】

根據對數函數的性質，考察x取何值時y的值是與。無關的定值可求得定點.

【詳解】

y=logo（x-l）.則當x-1=1,即x=2時，y=0是與。的值無關的定值，

故函數y=logu（x-1）的圖形必過的點是（2,0）.

故選：D.

3.（2021?湖南高一期末）己知a=3°3,b=,c=ln2,則a,6,c的大小關系為（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】C

【分析】

利用指數函數單調性、對數的知識確定正確選項.

【詳解】

依題意c=ln2＜lne=l＜b=3°2＜3M=a,

所以c＜6＜a.

故選：C

4.（2021?全國高一課時練習）設/（x）=3'+3x-8,用二分法求方程3*+3x—8=0在

（1,1.5）內的近似解的過程中，有/（1）＜0,/（1.5）＞0,/（1.25）＜0,則該方程的根所在

的區(qū)間為（）

A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）

C.（1.5,2）D.不能確定

【答案】B

【分析】

根據零點存在性定理即可判斷零點所在區(qū)間.

【詳解】

7/1.25）^1.5）＜0,且"）是單調增函數，...該方程的根所在的區(qū)間為（1.25,1.5）.

故選：B.

5.（2018?天津河東?高一期中）函數y=/（x）的圖象是一個連續(xù)不斷的曲線，部分對應關系

如下表所示，則該函數的零點個數至少為（）

X123456

y126.115.15-3.9216.78-45.6-232.64

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

根據零點的存在性定理結合表中數據即可得出答案.

【詳解】

解：由表可知，

/（2）./（3）＜0,

/（3）/（4）＜0,

/（4）./（5）＜0,

???函數〃x）在區(qū)間［1,6］上至少有3個零點.

故選：B.

6.（2021?寧波市北侖中學高三開學考試）函數），=2兇-1的圖象大致為（）

【分析】

根據絕對值的性質，結合函數的奇偶性、指數型函數的性質進行判斷即可.

【詳解】

設y=f(x)=2.一1,因為/(-%)=2'-v|-l=2w-l=f(x),

所以函數y=2兇-1是偶函數，圖象關于y軸對稱，

當X20時，/(x)=2f-l,此時函數單調遞增,所以有/(x)＞/(0)=0,

所以選項B符合，

故選：B

7.(2021?黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中高三月考(理))函數＞=優(yōu)-」(。＞0,axl)的圖

yy

A.①③B.②①

C.(4)D.①

【答案】C

【分析】

根據指數函數圖像的性質，函數過定點(7,0),結合討論。>1兩種情況，從而判

斷對應的圖像即可.

【詳解】

根據指數函數圖像的性質知，函數過定點(7,0),故①②③均錯誤，

且過點(0,1-3,對于④，此時0<”1,函數單減，且4>1,故滿足條件,

aaa

故選：C

-x2-2x,x<0

8.(2021?湖南邵陽市.高一期末)已知函數=h，若函數g(x)=/(x)+2-相

logjx,x>0

2

有4個零點，則用的取值范圍為()

A.(0,1)B.(-1,0)C.(1,3)D.(2,3)

【答案】D

【分析】

山g(x)=/(x)+2=0,得/(x)=m-2,所以問題轉化為函數/(x)的圖象與直線y=a-2

有4個不同的交點，所以畫出函數圖象，利用圖象求解即可

【詳解】

山g(x)=/(x)+2—w=0,得/(x)=w-2,所以問題轉化為函數f(x)的圖象與立線y=m-2

有4個不同的交點，

函數“X)的圖象如圖所示，

所以0<，”一2<1,得2<，w<3,

所以m的取值范圍為（2,3）,

故選：D

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）

9.（2021?全國高一專題練習）下列指數式與對數式互化正確的一組是（）

111?

A.10°=1與lgl=。B.27'=g與log：7=一§

C.log；=2與！D.log；=1與5：5

=3

【答案】ABD

【分析】

根據指數式與對數式互化的結論逐個分析可得答案.

【詳解】

對于A,10<>=lolgl=0,A正確；

-1I11

對于B,273=2=log上=一士，B正確；

3,33

2

對于C,log39=2^3=9,C不正確：

1

對于D,log55=1<=>5=5,D正確.

故選：ABD.

10.（2020.衡陽市田家炳實驗中學高一月考）函數/*）=2*-3/的零點所在的區(qū)間是（）

A.（-2,-1）B.（—1,0）

C.（0,1）D.（1,2）

【答案】BC

【分析】

把函數f(x)=2'-31的零點問題轉化為函數y=2"和y=3x2的圖象的交點問題，數形結合

即可得解.

【詳解】

如圖，作出函數y=2，,y=3Y的圖象，

觀察交點可得交點在(-1,0)和(。,1)區(qū)間上.

故選：BC.

11.(2021?廣東)若函數/(x)=f-以+匕的兩個零點是2和3,則函數8(同=加-奴-1的

零點是()

A.IB.gC.—D,—

236

【答案】AD

【分析】

由一(X)的零點求參數“、b,寫出g(x)的解析式，進而可求其零點.

【詳解】

由題設知：2,3是f-6+6=0的兩個根，

a=2+3=5,0=2x3=6,

.?.g(x)=61—5x-l,若g(x)=0,可得零點為》=1或x=-，.

6

故選：AD.

12.(2020?江蘇省平潮高級中學高一月考)在數學中，布勞威爾不動點定理可應用到有限

維空間，并構成一般不動點的基石，它得名與荷蘭教學家魯伊茲?布勞威爾，簡單的講就是

對于滿足一定條件的連續(xù)函數/*),存在一個點％，使得f(X。)=X。,那么我們稱該函數為“不

動點”函數，下列為“不動點'’函數的是()

A.f(x)=2X+xB.g(x)=x2-x-3

I

D./(x)=|logx|-l

c.f（x）=X2+12

【答案】BCD

【分析】

根據題中所給定義，只需判斷/（m）=xo是否有解即可.

【詳解】

解：對于A：2&+%=%無解，所以A不滿足；

對于8：-x0-3=x0,解得：%=3或%=-1,所以8滿足題意；

對于Cxj+l=x。，解得：々=等5>0,所以C滿足題意；

對于。：|log2%|-l=不，在同一直角坐標系下畫出函數Ax）以及y=x的圖像，可確定兩個

函數的圖像有交點，即方程有解，所以。滿足題意；

故選：BCD.

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分,

第二空3分。）

-13

13.（2022?全國高三專題練習）已知x+x'=3,則爐+/1的值為.

【答案】2y/5

【分析】

根據指數的嘉運算，先求出1+xT,再由立方和公式，將所求式子因式分解，進而可得出

結果.

【詳解】

因為X+X」=3,

——II

22

所以x4-x=x+2+x=5,.,*x~2—，

\7

33/2_1\

‘戶+”=x2+x2（x—i+/7）=石（3—i）=2遙,

\/

故答案為：20.

14.（2021?廣東）用二分法研究函數/。）=/+3元一1的零點時，第一次經計算

/（0）<0,/（1）>0,可得其中一個零點后￡（0,1）,那么經過下一次計算可得不￡

___________（填區(qū)間）.

【答案】（0，；）

【分析】

根據零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間.

【詳解】

嗎H{!+嗎-1*0,40）■嗎）<0，

所以下一次計算可得七€（0，；）.

故答案為：

16.（2021.沙坪壩區(qū).重慶八中高三開學考試）函數），=1嗝（-/+5》+6）的單調遞增區(qū)間是

【答案】b1，|

【分析】

根據復合函數單調性的性質，結合對數函數的性質進行求解即可.

【詳解】

由一X2+5犬+6>0得一l<x<6.設"（X）=-X2+5X+6=-（X-'1）+9（-1<x<6）,貝lj"（x）

在區(qū)間,號上單調遞增，在區(qū)間|,6）上單調遞減.又卜=11在（0,+8）上單調遞增,

所以函數y=bg3（-f+5x+6）的單調遞增區(qū)間是1-1,|.

故答案為：［-1，|

⑶（2。2。?大連市第一中學高一期中）已知&R,函數?。?"；+h”當X

時，不等式/（司<0的解集是；若函數f（x）恰有2個零點，則2的取值范圍是

【答案】｛x|l<x<4｝（1,3]U（4,4W）

【分析】

當;1=2時，可確定函數/（X）,再分X22和x<2解不等式〃x）<0：

先確定函數y=2、-16與函數y=f一4%+3的零點，再根據函數/（X）恰有2個零點分情況討

論.

【詳解】

v

當片時…‘〃，/x)、="2x-+136,,xx>2<2

當x22時，由〃%）=2'-16<0,得2、<24，

因為y=2,為R匕的增函數，所以24x<4.

當x<2時，由/（力=￡-4x+3<0,得1cx<2.

所以當;I=2時，不等式“X）<0的解集是k|1<x<4｝.

因為y=2*-16有唯一零點4；函數y=f-4x+3的零點為1和3.

若函數”X）恰有2個零點，

當這兩個零點為1和3時，有力>4：當這兩個零點為1和4時，Wl</L<3；

綜上可知，2的取值范圍是（1,3川（4,田>）.

故答案為：｛x[l<x<4｝；（1,3]U（4,-H?）.

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解

答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

17.（2020?福建三明一中高一期中）不用計算器求下列各式的值

⑴1.5旬（一￡）+8、出+（必揚6_

10872

（2）lg25+lg4+7+21og3y/3.

【答案】（1）110（2）5

【分析】

（1）原式化簡為分數指數累，計算結果；（2）根據對數運算公式化簡求值.

【詳解】

X板+(癢揚6一

=(|)3*1+2、2；+22、33-停)3

=(滬2+108一市

=110

log72

(2)Ig25+lg4+7+21og3^=lg(25x4)+2+2x1=2+3=5

2

18.(2021?江蘇吳江中學高一期中)已知函數=

5+1

(1)證明：函數/(X)是(7O,+OO)上的增函數；

(2)XG|-1,2］時，求函數/(x)的值域.

【答案】(1)證明見解析；(2)

【分析】

(I)根據函數單調性的定義，令為＜三，結合函數解析式判斷/但),/(七)的大小關系，即

可證結論.

(2)由(1)知/(T)4/(x)4/(2),即可得xe[-1,2]上的值域.

【詳解】

222(5*'-5*2)

(1)令再〈電,/(X,)-/(X)1---(1--)=

M2=(512+1)(5"+1)

由(5*2+1)(53+1)>(),5*,-5丐<0,即/(5)-/(工2)<0，有f(x1)<f@2).

，函數/(X)是(TO,+8)上的增函數；

(2)由(1)知：xe"l,2］上有f(-l)4/(x)4/⑵，

.../3的值域為［-宗2白12.

19.(2021?河北高三月考)(1)求〃x)=+4的定義域;

(2)若/(2x—l)=d+4x—1,求/(x)的解析式.

【答案】⑴(0,1);(2)/(x)=lx2+|x+^.

【分析】

(1)根據函數的形式，列不等式，求函數的定義域；

(2)首先換元2x-l=f,轉化為關于f的二次函數，即可求得函數的解析式.

【詳解】

-X2-3X+4>0

解：(1)由,3中0

x>0

得xe(O,l),即/(x)的定義域為(0,1).

(2)令2x-l=f,則》=t-,

2

故〃x)=；V+gx+j

20.(2021?合肥百花中學高一期末)設a>0且a#l,函數/(如=現“(1+表+1咆,(3一期的

圖像過點(1,2).

(1)求。的值及/*)的定義域；

(2)求〃x)在區(qū)間。,|上的最大值.

【答案】(1)a=2,定義域為(-L3)；(2)最大值為2.

【分析】

(1)根據函數的圖像過點(L2)得到。的值，利用真數大于零得到函數的定義域;

(2)求出內層二次函數的最大值，即可得到所求函數的最大值.

【詳解】

(1)???函數F㈤=log”(1+x)+log,,(3-x)的圖像過點(1,2),

?Jog”(1+1)+logq(3-1)=2,

：.logn4=2,即〃2=4,

又。>0且。工1,

；?a=2,

要使/(x)=Iog2(l+x)+log2(3-x)有意義，

fl+x>0

則上=-1<尢<3,

[3—x>0

?,."6的定義域為(7,3)；

(2)f(x)=log2(1+x)(3-x),

^/=(14-X)(3-X)=-(X-1)~+4

3

V0<x<-,

2

，r=-(x-l)2+4的最大時為4,此時x=l,

'3一

.?./(x)在區(qū)間。，5上的最大值為2.

21.(2021?寧夏銀川市?銀川一中高三月考(理))已知定義域為R的函數，

f[x}=ax-[k-\)ax(。>0且4/1)是奇函數.

(I)求實數k的值：

(2)若/⑴<0,判斷函數單調性，并求不等式/卜2+枕)+/(4-0<0恒成立時/的取值

范圍；

【答案】(I)k=2-.(2)在R上單調遞減，(-3,5).

【分析】

(I)由題意利用,(0)=0求解即可；

(2)利用/