福建省廈門市湖里實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

福建省廈門市湖里實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題（每題4分，共48分）1．下列因式分解結(jié)果正確的是（）A．2a2﹣4a=a（2a﹣4） B．C．2x3y﹣3x2y2+x2y=x2y（2x﹣3y） D．x2+y2=（x+y）22．一個(gè)三角形的三邊長2、3、4，則此三角形最大邊上的高為（）A． B． C． D．3．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A． B．a(chǎn)﹣1 C．a(chǎn) D．14．某科普小組有5名成員，身高分別為（單位：cm）：160，165，170，163，1．增加1名身高為165cm的成員后，現(xiàn)科普小組成員的身高與原來相比，下列說法正確的是（）A．平均數(shù)不變，方差不變 B．平均數(shù)不變，方差變大C．平均數(shù)不變，方差變小 D．平均數(shù)變小，方差不變5．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．|a|<1<|b| B．1<–a<b C．1<|a|<b D．–b<a<–16．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折疊△CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處．若∠A=22°，則∠BDC等于A．44° B．60° C．67° D．77°7．用圖象法解方程組時(shí)，下圖中正確的是（）A． B．C． D．8．在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，補(bǔ)充條件后仍不一定保證△ABC≌△A′B′C′，則補(bǔ)充的這個(gè)條件是()A．BC=B′C′ B．AC=A′C′ C．∠A=∠A′ D．∠C=∠C′9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(-3，5)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四10．如圖，下列圖案是我國幾家銀行的標(biāo)志，其中軸對(duì)稱圖形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)11．下列式子是分式的是（）A． B． C． D．12．如圖，點(diǎn)C、B分別在兩條直線y＝﹣3x和y＝kx上，點(diǎn)A、D是x軸上兩點(diǎn)，若四邊形ABCD是正方形，則k的值為（）A．3 B．2 C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．對(duì)于任意不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b（a>b）定義一種新運(yùn)算a※b=，如3※2=，那么12※4=______14．如圖，已知BE和CF是△ABC的兩條高，∠ABC=48°，∠ACB=76°，則∠FDE=_____．15．分析下面式子的特征，找規(guī)律，三個(gè)括號(hào)內(nèi)所填數(shù)的和是____________．，，7＋（），15＋（），（），…16．如圖所示，是將長方形紙牌ABCD沿著BD折疊得到的，圖中包括實(shí)線、虛線在內(nèi)共有全等三角形______對(duì)17．比較大小:_____3(填:“>”或“<”或“=”)18．因式分解：____.三、解答題（共78分）19．（8分）已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是AC上一點(diǎn)且∠1+∠2＝90°．求證：DE∥BC．20．（8分）探究應(yīng)用：（1）計(jì)算：___________；______________．（2）上面的乘法計(jì)算結(jié)果很簡(jiǎn)潔，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律（公式）？用含字母的等式表示該公式為：_______________．（3）下列各式能用第（2）題的公式計(jì)算的是（）A．B．C．D．21．（8分）某商店準(zhǔn)備購進(jìn)一批電冰箱和空調(diào)，每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)比每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)多400元，商店用6000元購進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用4800元購進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等．（1）求每臺(tái)電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價(jià)分別是多少？（2）已知電冰箱的銷售價(jià)為每臺(tái)2100元，空調(diào)的銷售價(jià)為每臺(tái)1750元．若商店準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種家電共100臺(tái)，現(xiàn)有兩種進(jìn)貨方案①冰箱30臺(tái)，空調(diào)70臺(tái)；②冰箱50臺(tái)，空調(diào)50臺(tái)，那么該商店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨？22．（10分）進(jìn)入冬季，空調(diào)再次迎來銷售旺季，某商場(chǎng)用元購進(jìn)一批空調(diào)，該空調(diào)供不應(yīng)求，商家又用元購進(jìn)第二批這種空調(diào)，所購數(shù)量比第一批購進(jìn)數(shù)量多臺(tái)，但單價(jià)是第一批的倍.(1)該商場(chǎng)購進(jìn)第一批空調(diào)的單價(jià)多少元？(2)若兩批空調(diào)按相同的標(biāo)價(jià)出售，春節(jié)將近，還剩下臺(tái)空調(diào)未出售，為減少庫存回籠資金，商家決定最后的臺(tái)空調(diào)按九折出售，如果兩批空調(diào)全部售完利潤率不低于(不考慮其他因素)，那么每臺(tái)空調(diào)的標(biāo)價(jià)至少多少元？23．（10分）如圖，∠AFD=∠1，AC∥DE，(1)試說明：DF∥BC；(2)若∠1=68°，DF平分∠ADE，求∠B的度數(shù)．24．（10分）如圖，已知為等邊三角形，為上一點(diǎn)，為等邊三角形．（1）求證：；（2）與能否互相垂直？若能互相垂直，指出點(diǎn)在上的位置，并給予證明；若與不能垂直，請(qǐng)說明理由．25．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，B(2，2)，以O(shè)B為一邊作等邊△OAB（點(diǎn)A在x軸正半軸上）．（1）若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在第二象限時(shí)，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點(diǎn)M是FB一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是OB一動(dòng)點(diǎn)，且OM+NM的值最小，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出點(diǎn)M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．26．已知2是的平方根，是的立方根，求的值．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據(jù)因式分解的方法對(duì)各式進(jìn)行判斷即可得出答案．【詳解】A、2a2-4a=2a（a-2），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、-a2+2ab-b2=-（a-b）2，此選項(xiàng)正確；C、2x3y-3x2y2+x2y=x2y（2x-3y+1），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、x2+y2無法分解因式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練掌握乘法公式是解題關(guān)鍵．2、C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，最長邊BC上的高將BC分為BD和DC兩部分，設(shè)BD=x，則DC=4-x，根據(jù)Rt△ABD和Rt△ADC有公共邊AD，利用勾股定理構(gòu)建方程，解之即可求得BD的長度，從而可求得AD的長度．【詳解】解：如下圖，AB=2，AC=3，BC=4，AD為邊BC上的高，設(shè)BD=x，則DC=4-x，在Rt△ABD和Rt△ADC中根據(jù)勾股定理，，即，解得，，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用勾股定理解直角三角形．一般已知三角形的三邊，求最長邊上的高，先判斷該三角形是不是直角三角形，如果是直接利用等面積法即可求得；如果不是直角三角形，那么我們可借助高把原三角形分成兩個(gè)有公共邊（公共邊即為高）的直角三角形，借助勾股定理構(gòu)建方程即可解決．需注意的是設(shè)未知數(shù)的時(shí)候不能直接設(shè)高，這樣構(gòu)建的方程現(xiàn)在暫時(shí)無法求解．3、B【解析】分析：根據(jù)同分母分式加減法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求出答案．詳解：原式=，=，=a﹣1故選B．點(diǎn)睛：本題考查同分母分式加減法的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．4、C【解析】解：=（160+165+170+163+1）÷5=165，S2原=，=（160+165+170+163+1+165）÷6=165，S2新=，平均數(shù)不變，方差變小，故選C．5、A【解析】試題分析：由圖可知：故A項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確；故B、D項(xiàng)正確．故選A．考點(diǎn)：1、有理數(shù)大小比較；2、數(shù)軸．6、C【解析】分析：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，∴∠B=90°－∠A=68°．由折疊的性質(zhì)可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°．∴．故選C．7、C【解析】將方程組的兩個(gè)方程，化為y=kx+b的形式；然后再根據(jù)兩個(gè)一次函數(shù)的解析式，判斷符合條件的函數(shù)圖象．【詳解】解方程組的兩個(gè)方程可以轉(zhuǎn)化為：y=和y=,只有C符合這兩個(gè)函數(shù)的圖象．故選：C．【點(diǎn)睛】一般地，每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)一次函數(shù)，也就是兩條直線．從“數(shù)”的角度看，解方程組就是求使兩個(gè)函數(shù)值相等的自變量的值以及此時(shí)的函數(shù)值．從“形”的角度看，解方程組就是相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．8、B【分析】全等三角形的判定可用兩邊夾一角，兩角夾一邊，三邊相等進(jìn)行判定，做題時(shí)要按判定全等的方法逐個(gè)驗(yàn)證．【詳解】解：A、若添加BC=BˊCˊ，可利用SAS進(jìn)行全等的判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、若添加AC=A'C'，不能進(jìn)行全等的判定，故本選項(xiàng)正確；

C、若添加∠A=∠A'，可利用ASA進(jìn)行全等的判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、若添加∠C=∠Cˊ，可利用AAS進(jìn)行全等的判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定，要認(rèn)真確定各對(duì)應(yīng)關(guān)系．9、A【分析】利用關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求對(duì)稱點(diǎn)，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置求解．【詳解】解：點(diǎn)P（-3，5）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，5）．在第一象限故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．10、C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．據(jù)此可知只有第三個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：第一個(gè)圖形和第二個(gè)圖形有2條對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形，符合題意；第三個(gè)圖形找不到對(duì)稱軸，則不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意．第四個(gè)圖形有1條對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形，符合題意；軸對(duì)稱圖形共有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．11、B【解析】解：A、C、D是整式，B是分式．故選B．12、D【分析】設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，﹣3m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣，﹣3m），根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得出關(guān)于k的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，∵點(diǎn)C在直線y=-3x上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，﹣3m），∵四邊形ABCD為正方形，∴BC∥x軸，BC=AB，又點(diǎn)B在直線y＝kx上，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣，﹣3m），∴﹣﹣m＝﹣3m，解得：k＝，經(jīng)檢驗(yàn)，k＝是原方程的解，且符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及解分式方程等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】按照規(guī)定的運(yùn)算順序與計(jì)算方法化為二次根式的混合運(yùn)算計(jì)算即可．【詳解】解：12※4＝故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，理解規(guī)定的運(yùn)算順序與計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．14、124°【解析】試題解析：在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°﹣48°﹣76°=56°，在四邊形AFDE中，∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠FDE=360°，又∵∠AFC=∠AEB=90°，∠A=56°，∴∠FDE=360°﹣90°﹣90°﹣56°=124°.15、11.1【分析】分別找到這列算式中的整數(shù)部分的規(guī)律與分式部分的規(guī)律即可求解.【詳解】這列算式中的整數(shù)部分：1，1，7，15…1×2＋1＝1；1×2＋1＝7；7×2+1＝15；后一個(gè)整數(shù)是前一個(gè)整數(shù)的2倍加上1；∴括號(hào)內(nèi)的整數(shù)為15×2+1=11，÷2＝；÷2＝驗(yàn)證：÷2＝；要填的三個(gè)數(shù)分別是：，，11，它們的和是：++11=11=11.1．故答案為：11.1．【點(diǎn)睛】本題分出整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分，各自找出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律進(jìn)行求解．16、4【分析】共有四對(duì)，分別是△ABD≌△CDB，△ABD≌△C'DB，△DCB≌△C'DB，△AOB≌△C'OD.【詳解】∵四邊形ABCD是長方形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AD=BC，∴△ABD≌△CDB(HL)，∵△BDC是將長方形紙牌ABCD沿著BD折疊得到的，∴BC'=AD，BD=BD，∠C'=∠A，∴△ABD≌△C'DB(HL)，同理△DCB≌△C'DB，∵∠A=∠C'，∠AOB=∠C'OD，AB=C'D，∴△AOB≌△C'OD(AAS)，所以共有四對(duì)全等三角形．故答案為4.【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．17、<【分析】依據(jù)被開放數(shù)越大對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根越大可估算出的大小，故此可求得問題的答案．【詳解】∵6＜9，∴＜1．故答案為＜．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是比較實(shí)數(shù)的大小，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18、x(x-1)【分析】提取公因式x進(jìn)行因式分解.【詳解】x(x-1).故答案是：x(x-1).【點(diǎn)睛】考查了提公因式法分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、見解析【分析】依據(jù)同角的余角相等，即可得到∠3＝∠2，即可得出DE∥BC．【詳解】解：證明：∵CD⊥AB（已知），∴∠1+∠3＝90°（垂直定義）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠3＝∠2（同角的余角相等）．∴DE∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，解題時(shí)注意：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．20、（1）；（2）；（3）C【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算以后，合并同類項(xiàng)即可；（2）根據(jù)上面兩題得出公式即可；（3）根據(jù)歸納的公式的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）（x+1）（x2-x+1）=x3-x2+x+x2-x+1=x3+1，（2x+y）（4x2-2xy+y2）=8x3-4x2y+2xy2+4x2y-2xy2+y3=8x3+y3，（2）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（3）由（2）可知選（C）；故答案為：（1）x3+1；8x3+y3；（2）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（3）C.【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，同時(shí)考查學(xué)生的觀察歸納能力，屬于基礎(chǔ)題型．21、（1）每臺(tái)電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價(jià)分別是2000元，1600元；（2）該商店要獲得最大利潤應(yīng)購進(jìn)冰箱30臺(tái)，空調(diào)70臺(tái)【分析】（1）根據(jù)每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)比每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)多400元，商店用6000元購進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用4800元購進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等，可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以解答本題；（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以計(jì)算出兩種方案下獲得的利潤，然后比較大小，即可解答本題．【詳解】解：（1）設(shè)每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)件為x元，則每臺(tái)電冰箱的進(jìn)件為（x+400）元，，解得，x＝1600，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1600是原分式方程的解，則x+400＝2000元，答：每臺(tái)電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價(jià)分別是2000元，1600元；（2）當(dāng)購進(jìn)冰箱30臺(tái)，空調(diào)70臺(tái)，所得利潤為：（2100﹣2000）×30+（1750﹣1600）×70＝13500（元），當(dāng)購進(jìn)冰箱50臺(tái)，空調(diào)50臺(tái)，所得利潤為：（2100﹣2000）×50+（1750﹣1600）×50＝12500（元），∵13500＞12500，∴該商店要獲得最大利潤應(yīng)購進(jìn)冰箱30臺(tái)，空調(diào)70臺(tái)．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用分式方程的知識(shí)解答，注意分式方程一定要檢驗(yàn)．22、（1）該商場(chǎng)購進(jìn)第一批空調(diào)的單價(jià)2500元；（2）每臺(tái)空調(diào)的標(biāo)價(jià)至少為4000元.【分析】（1）設(shè)購進(jìn)第一批空調(diào)的單價(jià)為元，則第二批空調(diào)的單價(jià)為元，用總價(jià)除以單價(jià)分別得到兩批購買的數(shù)量，再根據(jù)第二批比第一批多15臺(tái)得到方程求解即可；（2）設(shè)標(biāo)價(jià)為元，用表示出總的銷售額，然后根據(jù)利潤率不低于列出不等式求解.【詳解】解：（1）設(shè)購進(jìn)第一批空調(diào)的單價(jià)為元，則第二批空調(diào)的單價(jià)為元，由題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解.答：該商場(chǎng)購進(jìn)第一批空調(diào)的單價(jià)2500元.（2）設(shè)每臺(tái)空調(diào)的標(biāo)價(jià)為元，第二批空調(diào)的單價(jià)為元，第一批空調(diào)的數(shù)量為臺(tái)，第二批空調(diào)的數(shù)量為臺(tái)，由題意得，解得答：每臺(tái)空調(diào)的標(biāo)價(jià)至少為4000元.【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)總價(jià)除以單價(jià)等于數(shù)量得出方程是關(guān)鍵，分式方程要注意驗(yàn)根.23、（1）證明見解析；（2）68°.【解析】試題分析：（1）由AC∥DE得∠1=∠C，而∠AFD=∠1，故∠AFD=∠C，故可得證；（2）由（1）得∠EDF=68°，又DF平分∠ADE，所以∠EDA=68°，結(jié)合DF∥BC即可求出結(jié)果．試題解析：（1）∵AC∥DE，∴∠1=∠C，∵∠AFD=∠1，∴∠AFD=∠C，∴DF∥BC；（2）∵DF∥BC，∴∠EDF=∠1=68°，∵DF平分∠ADE，∴∠EDA=∠EDF=68°，∵∠ADE=∠1+∠B∴∠B=∠ADE-∠1=68°+68°-68°=68°.24、（1）見解析；（2）AQ與CQ能互相垂直，此時(shí)點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠CAQ，根據(jù)SAS證△ABP≌△ACQ，推出∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，根據(jù)平行線的判定推出即可．

（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠BAP=30°，求出∠BAQ=90°，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠AQC=90°，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△APQ是等邊三角形，

∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，

∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC，

在△ABP和△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS），

∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，

∴AB∥CQ；（2）AQ與CQ能互相垂直，此時(shí)點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)，

證明：∵當(dāng)P為BC邊中點(diǎn)時(shí)，∠BAP=∠BAC=30°，

∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=30°+60°=90°，

又∵AB∥CQ，

∴∠AQC=90°，

即AQ⊥CQ．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．25、（1）①見解析；②點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，﹣4)或(0，4)；（2）2【分析】（1）①證明△ABD≌△AOC（SAS），得出∠ABD＝∠AOC＝90°即可；②存在兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D落在第二象限時(shí)，作BM⊥OA于M，由等邊三角形的性質(zhì)得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，則C（0，﹣4）；當(dāng)點(diǎn)D落在第一象限時(shí)，作BM⊥OA于M，由等邊三角形的性質(zhì)得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，則BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，則C（0