機械控制工程基礎(chǔ) 課件 第三章 控制系統(tǒng)的時域分析

第三章控制系統(tǒng)的時域分析第一節(jié)概述第二節(jié)一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

第三節(jié)二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)第三節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差分析與計算核心要點：了解時間響應(yīng)定義和典型輸入信號特點；；掌握一階和二階系統(tǒng)時域分析方法；

掌握一階、二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標的計算；

了解系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響，掌握穩(wěn)態(tài)誤

差的計算方法。第一節(jié)

概述1、時域分析法：

根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，采用拉氏變換法求解系統(tǒng)的時間響應(yīng)，再根據(jù)響應(yīng)的表達式及響應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)的動態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。用時域分析法分析系統(tǒng)性能具有直接、準確、易于接受等特點。2、時間響應(yīng)定義：時間響應(yīng)：在輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間的變化過程稱為系統(tǒng)的時間響應(yīng)。（1）瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在某一輸入信號的作用下，其輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程。（2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：當某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)在時間趨于無窮大時的輸出狀態(tài)。時間響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)3、典型輸入信號正弦0tsinwt第二節(jié)

一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)1、時域分析法的思路：輸入信號Xi(t)系統(tǒng)數(shù)學模型Φ(s)輸出信號Xo(t)2、數(shù)學求解過程：Xi(t)Xi(S)Xo(S)=Φ(s)Xi(S)Xo(t)td、tr、tp、tsMp、N、ess拉氏變換由Φ(s)定義拉氏反變換計算性能指標一、時域分析方法3.時間響應(yīng)分析的步驟：系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)的時域響應(yīng)動態(tài)性能分析穩(wěn)態(tài)性能分析系統(tǒng)的基本性質(zhì)及結(jié)論二、一階系統(tǒng)的數(shù)學模型

凡是能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。其典型形式是慣性環(huán)節(jié)。Ui(S)Uo(S)I

(S)-Uo(S)+微分方程：傳遞函數(shù)：方框圖：Xi(s)Xo(s)例：RC低通濾波電路三、一階系統(tǒng)的典型輸入響應(yīng)1.單位脈沖響應(yīng)脈沖輸入輸入的拉氏變換一階系統(tǒng)脈沖響應(yīng)輸出的拉氏變換脈沖響應(yīng)分析：響應(yīng)的初始值為1/T，當響應(yīng)時間達到時間常數(shù)T時，響應(yīng)的值為0.368/T，只有當t趨近于無窮時，響應(yīng)達到穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)值為0。

2.單位階躍響應(yīng)階躍輸入輸入的拉氏變換階躍響應(yīng)輸出的拉氏變換階躍響應(yīng)分析：當響應(yīng)時間t達到時間常數(shù)T時，響應(yīng)的值為0.632，經(jīng)過時間3T～4T，響應(yīng)值達到穩(wěn)態(tài)值的95%～98%，只有當t趨近于無窮時，響應(yīng)達到穩(wěn)態(tài)值為13.單位速度響應(yīng)速度輸入輸入的拉氏變換輸出的拉氏變換速度響應(yīng)速度響應(yīng)分析：當響應(yīng)時間t達到時間常數(shù)T時，響應(yīng)的值為0.368T，當t趨近于無窮時，響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為T。4、一階系統(tǒng)對典型輸入信號時間響應(yīng)的比較：一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)典型輸入（時域）

時間響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差ess01(t)0tT總結(jié)規(guī)律：（1）三個典型輸入信號之間存在著積分和微分的關(guān)系，因此它們的時間響應(yīng)之間也存在著同樣的積分和微分的關(guān)系；（2）一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線為單調(diào)變化曲線，響應(yīng)滯后，慣性較大，時間常數(shù)T越小，系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，T反映了系統(tǒng)的慣性大小。微分積分微分積分5、時間常數(shù)對時間響應(yīng)的影響分析單位脈沖響應(yīng)單位階躍響應(yīng)單位斜坡響應(yīng)時間常數(shù)T越小，系統(tǒng)慣性越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快；時間常數(shù)T越大，系統(tǒng)慣性越大，系統(tǒng)響應(yīng)越慢。結(jié)論：第三節(jié)

二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的數(shù)學模型

能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。其典型形式是振蕩環(huán)節(jié)。微分方程：傳遞函數(shù)：方框圖：-Xi(s)Xo(s)根據(jù)ξ的大小，可將二階系統(tǒng)分為以下類型：jωs2s1[s平面]jωs1=s2二、二階系統(tǒng)的類型二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程2個特征根為（1）ξ>1，有2個不相等的負實根，系統(tǒng)稱為過阻尼系統(tǒng)。（2）ξ=1，有2個相等的負實根，系統(tǒng)稱為臨界阻尼系統(tǒng)。jωs2s1jωs2s1jωs2s1jωs2s1（3）0<ξ<1，有2個共軛復(fù)根，系統(tǒng)稱為欠阻尼系統(tǒng)。（4）ξ=0，有2個共軛虛根，系統(tǒng)稱為無阻尼系統(tǒng)。（5）ξ<0，系統(tǒng)稱負無阻尼系統(tǒng)，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1兩個相等根jωnξ<0ωd=ωnσjωnβξ=0

jω右半平面ξ<0ξ>1兩個不等根0負<-1ξ<-1兩個不等根正穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定ξ不同取值對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響三、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1、欠阻尼狀態(tài)輸入：輸出：有2個共軛復(fù)根有阻尼振蕩角頻率

穩(wěn)態(tài)分量由輸入信號決定；瞬態(tài)分量是一個以ωd為頻率的周期衰減振蕩過程，其衰減的快慢取決于ωn和ξ的大小，指數(shù)ξ，ωn稱為衰減系數(shù)，由系統(tǒng)的極點決定。穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量0[s]

欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線衰減振蕩欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線為衰減振蕩，振幅大小取決于阻尼比ξ，衰減的快慢取決于ωn和ξ的大小。2、無阻尼狀態(tài)這是一條無阻尼的等幅振蕩曲線，二階系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。過渡過程是不收斂的，即不存在。有2個共軛虛根3、臨界阻尼狀態(tài)有2個相等的負實根xo0t1這是一條單調(diào)上升曲線，沒有振蕩，沒有超調(diào)，二階系統(tǒng)處于振蕩與不振蕩的臨界狀態(tài)。但是曲線響應(yīng)很慢，相當于2個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)。4、過阻尼狀態(tài)txo01這是一條無振蕩、無超調(diào)的單調(diào)上升曲線，二階系統(tǒng)的過渡時間較長,也相當于2個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)。有2個不相等的負實根jωs2s1發(fā)散振蕩5、負阻尼狀態(tài)（1）-1<ξ<0，有一對共軛虛根，位于S平面的右邊。輸出表達式與欠阻尼狀態(tài)相同，但是曲線為發(fā)散振蕩，由于指數(shù)的冪–ξωn>0，導致周期振蕩的幅值包絡(luò)線發(fā)散。jωs2s1單調(diào)發(fā)散（2）ξ<-1，有一對不相等的負實根，位于S平面的右邊。

輸出表達式與過阻尼狀態(tài)相同，但是曲線為單調(diào)發(fā)散。jωs2s1jωs1=s2jωs2s1jωs2s1xo01t無阻尼欠阻尼臨界阻尼過阻尼

左極點穩(wěn)定，右極點發(fā)散；復(fù)極點振蕩，實極點不振蕩；極點起慣性延緩的作用，離虛軸越近影響越大；零點起微分加快作用，可抵消最近極點作用；結(jié)論：總結(jié)xo01t衰減振蕩不振蕩不振蕩等幅振蕩jωs2s1jωs2s1負阻尼發(fā)散振蕩單調(diào)發(fā)散

實際系統(tǒng)一般設(shè)計為0.4≤ξ≤0.8的欠阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)可以既快又穩(wěn)的跟蹤輸入信號。在控制工程中，除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、快速的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時間。

例1、求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)例2、求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)第四節(jié)

二階系統(tǒng)的性能指標性能指標是時域分析方法中對系統(tǒng)性能的定量描述，包括：穩(wěn)定性指標、穩(wěn)態(tài)性指標、動態(tài)性指標。a收斂性b振蕩次數(shù)N穩(wěn)定性指標c延遲時間td動態(tài)性指標d上升時間tre峰值時間tpf調(diào)節(jié)時間tsg超調(diào)量Mp穩(wěn)態(tài)性指標h穩(wěn)態(tài)誤差ess快穩(wěn)準在時域分析法中約定在單位階躍信號作用下測定系統(tǒng)的性能。1、性能指標定義收斂性①穩(wěn)定性指標：收斂是指系統(tǒng)從一個狀態(tài)運動到另一個狀態(tài)，在其動態(tài)響應(yīng)過程中，振蕩逐漸減弱并穩(wěn)定在某一狀態(tài)。反之則稱為發(fā)散。振蕩次數(shù)N①穩(wěn)定性指標：振蕩次數(shù)N是指在ts內(nèi)輸出量h（t）達到穩(wěn)態(tài)前，穿越穩(wěn)態(tài)值h（∞）次數(shù)的一半，反映了控制系統(tǒng)的阻尼特性。ts延遲時間td②動態(tài)性指標：延遲時間td是單位階躍響應(yīng)第一次達到其穩(wěn)態(tài)值h（∞）的50％所需的時間。ts②動態(tài)性指標：上升時間tr上升時間tr是響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10％上升到90％所需的時間；對有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為從0到第一次達到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。ts②動態(tài)性指標：峰值時間tp峰值時間tp是響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值h（∞）到達第一個峰值所需的時間。ts調(diào)節(jié)時間ts調(diào)節(jié)時間是響應(yīng)到達并停留在穩(wěn)態(tài)值的允許誤差范圍內(nèi)（±5%或±2%）所需的最小時間。ts②動態(tài)性指標：②動態(tài)性指標：超調(diào)量Mp超調(diào)量Mp是在動態(tài)過程中，輸出量的最大值h（tp）超出穩(wěn)態(tài)值h（∞）的百分比。定義為Mpts②動態(tài)性指標：ts③

穩(wěn)態(tài)性指標：穩(wěn)態(tài)誤差ess穩(wěn)態(tài)誤差：期望值與穩(wěn)態(tài)值之差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。響應(yīng)曲線從0上升到穩(wěn)態(tài)值的100%所用時間響應(yīng)曲線達到第一個峰值所用時間在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值上，用穩(wěn)態(tài)值的絕對百分數(shù)做一個允許誤差范圍，響應(yīng)曲線達到并且永遠保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所用的最小時間10t這些點已被確定0.05或0.022、性能指標推導不可能為0！04.39.416.325.437.252.772.910010.70.60.50.40.30.20.10表1不同阻尼比的最大超調(diào)量最大超調(diào)量與阻尼比成反比10t另一種求解方法：阻尼比0.707為最佳阻尼比總結(jié)：當ξ一定時，tr，tp，ts均與ωn成反比，提高ωn可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，因此tr，tp，ts反映時間響應(yīng)的快速性；當ωn一定時，若ξ增大，則tr，tp增大，系統(tǒng)響應(yīng)速度降低，但振蕩幅度Mp和振蕩次數(shù)N減小，Mp和N反映時間響應(yīng)的平穩(wěn)性；響應(yīng)速度和振蕩幅度矛盾，應(yīng)折衷選取ξ和ωn；(1)對于二階振蕩環(huán)節(jié)，決定了振蕩衰減的快慢。極點離虛軸越遠，該環(huán)節(jié)響應(yīng)曲線衰減越快。(2)若某極點附近有零點，則該極點對系統(tǒng)響應(yīng)的影響大大減小。（偶極子相消）Xi(s)Xo(s)-例1：某數(shù)控機床的位置隨動系統(tǒng)為單位負反饋系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，試求系統(tǒng)的。解：首先計算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與二階系統(tǒng)的標準形式相比較，得例2：控制系統(tǒng)框圖如圖所示。若要求單位階躍響應(yīng)超調(diào)量調(diào)節(jié)時間，試確定的值。解：首先計算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與二階系統(tǒng)的標準形式相比較，得Xi(s)Xo(s)-由性能指標，可以求得系統(tǒng)的特征參數(shù)將系統(tǒng)的特征參數(shù)帶入，可以求得例3：已知機械系統(tǒng)如圖，在質(zhì)量塊上施加8.9N的階躍力作用，測得其時間響應(yīng)如圖。求系統(tǒng)參數(shù)m，B，ktxo(t)00.030.00292解：首先求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。xiＢxomK聯(lián)立三式求出m、c、k。第五節(jié)

高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)t01二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)：1xot0一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)：

二階以上的高階微分方程所描述的系統(tǒng)叫做高階系統(tǒng)。大多數(shù)實際控制系統(tǒng)都屬于高階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)響應(yīng)二階系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)論：高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)是由一些一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)函數(shù)疊加組成的。因此高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)包含指數(shù)函數(shù)分量和衰減正弦函數(shù)分量。

距離虛軸最近的極點對（或極點）對時間響應(yīng)起主導作用，稱之為主導極點。1、主導極點

高階系統(tǒng)各閉環(huán)極點產(chǎn)生的分量對系統(tǒng)時間響應(yīng)的影響程度是不同的。工程上當極點對S3,4，S5,6距離虛軸的距離大于5倍的極點對S1,2距虛軸的距離時，分析時可忽略S3,4，S5,6。即若ai

≥5an

，sn稱為主導極點。

閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果零、極點數(shù)值上相近（零、極點靠得很近），則可將該零點和極點一起消去，這對靠得很近的零、極點稱為偶極子。

偶極子的概念對控制系統(tǒng)的綜合設(shè)計很有用，利用偶極子相消，可以消去對系統(tǒng)性能有不利影響的極點，使系統(tǒng)性能得到改善。2、偶極子

對于高階系統(tǒng)的研究和分析，一般是比較復(fù)雜的。高階系統(tǒng)通過合理的簡化，可以用低階系統(tǒng)近似。3.6穩(wěn)態(tài)誤差分析與計算1、穩(wěn)定性

2、準確性

3、快速性誤差動態(tài)誤差：誤差隨時間變化的過程值；穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后實際輸出量和希望輸出量之間的相差程度。對控制系統(tǒng)的基本要求：1、誤差：輸出量的希望值和實際值之差。3、偏差：系統(tǒng)的輸入和主反饋信號之差。2、穩(wěn)態(tài)誤差：當t→∞時的系統(tǒng)誤差，即誤差的穩(wěn)態(tài)分量。3.6.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-B(s)Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-B(s)-Xor(s)Er(s)+4、誤差與偏差的關(guān)系：控制系統(tǒng)在理想工作狀態(tài)下，偏差E(s)=0，控制系統(tǒng)無控制作用，此時系統(tǒng)的輸出為理想輸出對于單位反饋系統(tǒng)H(s)=1，誤差即為偏差。3.6.2穩(wěn)態(tài)誤差計算單位反饋系統(tǒng)H(s)=1Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-B(s)G(s):前向通道傳遞函數(shù)H(s):反饋通道傳遞函數(shù)3.6.3系統(tǒng)的類型與典型信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳函為1、系統(tǒng)的類型K-開環(huán)增益；(注意一定是開環(huán)傳函尾1形式對應(yīng)的K)

v-開環(huán)傳遞函數(shù)中包含積分環(huán)節(jié)的數(shù)目；T-時間常數(shù)；（尾1形式）稱為0型系統(tǒng)稱為I型系統(tǒng)稱為II型系統(tǒng)系統(tǒng)的型別以來劃分：Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-B(s)2、典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差（1）單位階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差位置誤差系數(shù)單位反饋系統(tǒng)H(s)=1Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-B(s)（2）單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差速度誤差系數(shù)單位反饋系統(tǒng)H(s)=1（3）單位加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差加速度誤差系數(shù)單位反饋系統(tǒng)H(s)=1輸入誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別3、典型輸入作用下，單位反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差表結(jié)論：（1）提高系統(tǒng)型次，或增加前向通道中積分環(huán)節(jié)數(shù)目，可減小或消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（2）增大系統(tǒng)開環(huán)增益K，有利于減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。例題：單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試求求輸入信號分別為

，時的穩(wěn)態(tài)誤差解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)為0型,開環(huán)增益K=2注意K一定是開環(huán)傳函尾1形式對應(yīng)的K時時例題：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

當輸入為單位速度（斜坡）函數(shù)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為的K值。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)化成尾1形式為：則:K=500

例題：考慮下圖所示的電纜卷線機控制系統(tǒng)，已知輸入信號即電纜的預(yù)