2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題(本大題共8小題，共40分，在每小題給出得四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的)1．（5分）如圖，空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=cA．12a→-C．23a→2．（5分）已知圓x2+y2+2x﹣2y+a＝0截直線x+y+2＝0所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣83．（5分）已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD=52A．30° B．45° C．90° D．150°4．（5分）已知方程x25-m+y2A．4 B．5 C．7 D．85．（5分）若數(shù)列{2an+1}是等差數(shù)列，a1＝l，a3=-1A．-79 B．79 C．36．（5分）已知拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)為F，P點(diǎn)在拋物線上，Q點(diǎn)在圓C：（x﹣6）2+（y﹣2）2＝4上，則|PQ|+|PF|的最小值為（）A．4 B．6 C．8 D．107．（5分）已知f(x)=exx，若f'(xA．12 B．2 C．1e 8．（5分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，已知a1＝a，（19＜a＜217），an+1=aA．0＜S5＜12 B．12＜S5＜1 C．1＜S5＜32二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．（5分）已知點(diǎn)A（﹣1，1）、B（3，1），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，3）且與線段AB相交，則直線l與圓（x﹣6）2+y2＝2的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相離 C．相切 D．不好確定（多選）10．（5分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2的雙曲線C：xA．雙曲線C的離心率為2 B．當(dāng)P在雙曲線左支時(shí)，|PF1|C．點(diǎn)P到兩漸近線距離之積為定值 D．雙曲線C的漸近線方程為y=±（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）=13x3﹣4A．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增 B．x＝﹣2是f（x）的極大值點(diǎn) C．f（x）有三個(gè)零點(diǎn) D．f（x）在[0，3]上的最大值是4（多選）12．（5分）等比數(shù)列{an}中，a1＜0，公比0＜q＜1，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列{an}中的所有偶數(shù)項(xiàng)可以組成一個(gè)公比為q2的等比數(shù)列 B．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)?n＞2，n∈N*，Sn＜an+a1恒成立 C．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{lg（﹣an）}是首項(xiàng)和公差都小于0的等差數(shù)列三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知空間向量a→=（λ+1，1，λ），b→=（6，μ﹣1，4），若a→∥b14．（5分）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S2=34，a5+a6＝12，則S4＝15．（5分）若曲線y＝lnx在點(diǎn)P（e，1）處的切線也是曲線y＝eax的一條切線，則a＝．16．（5分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，點(diǎn)P為底面ABCD上一點(diǎn)則PA→?PC1四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（10分）直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，1），（6，3）．（1）求直線l的方程；（2）圓C的圓心在直線l上，并且與x軸相切于（2，0）點(diǎn)，求圓C的方程．18．（12分）已知直線l1：（m+2）x+（m2﹣3m）y+4＝0和直線l2：2mx+2（m﹣3）y+m+2＝0（m∈R）．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1和l2平行？（2）當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1和l2重合？19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，BC=2，M為BC（Ⅰ）求證：PB⊥AM；（Ⅱ）求平面PAM與平面PDC所成的角的余弦值．20．（12分）已知等差數(shù)列{an}的公差d＝2，且a1+a3＝8，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為12的等比數(shù)列，且滿足b1，2b2，4b3（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=12anbn21．（12分）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1與y軸垂直的直線交橢圓C于M、（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：y＝kx+m與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓C交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ，使得OP→=122．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lnx-12mx﹣1，m∈（1）若該函數(shù)在x＝1處的切線與直線2x+y+1＝0垂直，求m的值；（2）若函數(shù)g（x）＝xf（x）在其定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2．①求m的取值范圍；②證明：x1x2＞e2．

2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題(本大題共8小題，共40分，在每小題給出得四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的)1．（5分）如圖，空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=cA．12a→-C．23a→【解答】解：∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段BC上，且CN＝2NB，且OA→∴MA→=1∴MN→故選：D．2．（5分）已知圓x2+y2+2x﹣2y+a＝0截直線x+y+2＝0所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【解答】解：圓x2+y2+2x﹣2y+a＝0即（x+1）2+（y﹣1）2＝2﹣a，故弦心距d=|-1+1+2|再由弦長(zhǎng)公式可得2﹣a＝2+4，∴a＝﹣4，故選：B．3．（5分）已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD=52A．30° B．45° C．90° D．150°【解答】解：設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為α，由題意得CD→∴CD→2=CA→2+AB→∴（52）2＝25+9+16﹣2×3×4×cosα，解得cosα＝0，∴α＝90°．∴這個(gè)二面角的度數(shù)為90°．故選：C．4．（5分）已知方程x25-m+y2A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：方程x25-m+∴m﹣2＞5﹣m＞0并且m﹣2﹣5+m＝1，解得m＝4，故選：A．5．（5分）若數(shù)列{2an+1}是等差數(shù)列，a1＝l，a3=-1A．-79 B．79 C．3【解答】解：數(shù)列{2a設(shè)其公差為d，則2d=2∴2a5+1=2a3故選：D．6．（5分）已知拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)為F，P點(diǎn)在拋物線上，Q點(diǎn)在圓C：（x﹣6）2+（y﹣2）2＝4上，則|PQ|+|PF|的最小值為（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：圓：（x﹣6）2+（y﹣2）2＝4的圓心為C（6，2），半徑為2，過(guò)點(diǎn)C作拋物線y2＝16x準(zhǔn)線x＝﹣4的垂線，垂足為N，如圖所示：由拋物線的定義可知：|PF|＝|PN|，當(dāng)P、A、N經(jīng)過(guò)圓C的圓心時(shí)，|PA|+|PF|取得最小值，圓心（6，2），半徑為2，∴|PA|+|PF|最小值為：10﹣2＝8．故選：C．7．（5分）已知f(x)=exx，若f'(xA．12 B．2 C．1e 【解答】解：f'(x)=e∴f'(x∴x0＝2．故選：B．8．（5分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，已知a1＝a，（19＜a＜217），an+1=aA．0＜S5＜12 B．12＜S5＜1 C．1＜S5＜32【解答】解：∵an+1=a∴1an+1=an2-∴1a2-1a1=a1﹣1，1a3-1a2=a將以上各式相加得1a6-∵a6=15，a1＝a（∴S5=1a6∴﹣9＜-1∴1＜S5＜3故選：C．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．（5分）已知點(diǎn)A（﹣1，1）、B（3，1），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，3）且與線段AB相交，則直線l與圓（x﹣6）2+y2＝2的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相離 C．相切 D．不好確定【解答】解：直線AC的斜率為kAC=3-11-(-1)=1，k∴直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，3）且與線段AB相交，∴直線l的斜率的范圍為（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），直線BC的方程為y﹣3＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣4＝0，由圓（x﹣6）2+y2＝2，可得圓心D（6，0），r=2圓心D的直線BC的方程的距離為d=|6-4|2故直線l與圓相切或相離．故選：BC．（多選）10．（5分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2的雙曲線C：xA．雙曲線C的離心率為2 B．當(dāng)P在雙曲線左支時(shí)，|PF1|C．點(diǎn)P到兩漸近線距離之積為定值 D．雙曲線C的漸近線方程為y=±【解答】解：由雙曲線x2-y23=1，得a2∴雙曲線C的離心率為e=ca=當(dāng)P在雙曲線左支時(shí)，|PF1|≥c﹣a＝1，|PF2|＝2a+|PF1|＝|PF1|+2，|PF當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝2時(shí)等號(hào)成立，∴|PF1||PF設(shè)P（x0，y0），則x02-y0則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離乘積為|x0-雙曲線的漸近線方程為y=±3x，故故選：AC．（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）=13x3﹣4A．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增 B．x＝﹣2是f（x）的極大值點(diǎn) C．f（x）有三個(gè)零點(diǎn) D．f（x）在[0，3]上的最大值是4【解答】解：f′（x）＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），令f′（x）＝0，解得x＝﹣2或x＝2，f′（x）與f（x）隨x的變化情況如下表：x（﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗極大值↘極小值↗因此函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣2，2）上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；x＝﹣2是f（x）的極大值點(diǎn)，故B正確；因?yàn)閒（﹣6）＝﹣44＜0，f（﹣2）=283＞0，f（2）=-由函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可知f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，故C正確；當(dāng)f（x）的定義域?yàn)閇0，3]時(shí)，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，在（2，3]上單調(diào)遞增，又f（0）＝4，f（3）＝1，所以f（x）在[0，3]上的最大值是4，故D正確．故選：BCD．（多選）12．（5分）等比數(shù)列{an}中，a1＜0，公比0＜q＜1，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列{an}中的所有偶數(shù)項(xiàng)可以組成一個(gè)公比為q2的等比數(shù)列 B．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)?n＞2，n∈N*，Sn＜an+a1恒成立 C．?dāng)?shù)列{an}是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{lg（﹣an）}是首項(xiàng)和公差都小于0的等差數(shù)列【解答】解：由a2(m+1)a2m=q由a1＜0，公比0＜q＜1，可知an＜0，∴當(dāng)n＞2，n∈N*時(shí)，Sn＝a1+a2+???+an＜an+a1恒成立，∴B對(duì)；由a1＜0，公比0＜q＜1，可知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，∴C對(duì)；∵﹣an與1無(wú)法比較大小，∴數(shù)列{lg（﹣an）}是首項(xiàng)無(wú)法和0比較，∴D錯(cuò)．故選：ABC．三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知空間向量a→=（λ+1，1，λ），b→=（6，μ﹣1，4），若a→∥b【解答】解：空間向量a→=（λ+1，1，λ），b→=（6，則a→=xb→，x即λ+1=6x1=x(μ-1)λ=4x，解得λ＝2，所以λ+μ＝5．故答案：5．14．（5分）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S2=34，a5+a6＝12，則S4＝15【解答】解：因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，S2＝a1+a2=34，a5+a6＝（a1+a2）q所以q4＝16，所以q＝2，a1=1則S4=a故答案為：15415．（5分）若曲線y＝lnx在點(diǎn)P（e，1）處的切線也是曲線y＝eax的一條切線，則a＝e﹣2．【解答】解：由y＝lnx，得y′=1x，∴∴曲線y＝lnx在點(diǎn)P（e，1）處的切線方程為y=1e(x-e)+1，即設(shè)y=1ex與y＝eax相切于點(diǎn)（由y＝eax，得y′＝aeax，∴aeax0=1解得x0=e2，∴a故答案為：e﹣2．16．（5分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，點(diǎn)P為底面ABCD上一點(diǎn)則PA→?PC1【解答】解：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，點(diǎn)P為底面ABCD上一點(diǎn)，則PA→?PC1→=PA≥﹣|PA→||PC→|當(dāng)且僅當(dāng)PA→與PC→反向，且|PA→|＝|PC故答案為：﹣2．四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（10分）直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，1），（6，3）．（1）求直線l的方程；（2）圓C的圓心在直線l上，并且與x軸相切于（2，0）點(diǎn)，求圓C的方程．【解答】解：（1）∵直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，1），（6，3），∴直線l的斜率k=3-1∴所求直線的方程為y﹣1=12（即直線l的方程為x﹣2y＝0．（5分）（2）由（1）知，∵圓C的圓心在直線l上，∴可設(shè)圓心坐標(biāo)為（2a，a），（6分）∵圓C與x軸相切于（2，0）點(diǎn)，∴圓心在直線x＝2上，∴a＝1，（9分）∴圓心坐標(biāo)為（2，1），半徑r＝1，（11分）∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．（12分）18．（12分）已知直線l1：（m+2）x+（m2﹣3m）y+4＝0和直線l2：2mx+2（m﹣3）y+m+2＝0（m∈R）．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1和l2平行？（2）當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1和l2重合？【解答】解：（1）由題意，2(m-3)(m+2)-2m(得(m-3)(m-2)(m+1)=0(m-2)2≠0，解得故當(dāng)m＝3或m＝﹣1時(shí)，直線l1和l2平行．（2）由題意，2(m-3)(m+2)-2m(得(m-3)(m-2)(m+1)=0(m-2)2當(dāng)m＝2時(shí)，直線l1和l2重合．19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，BC=2，M為BC（Ⅰ）求證：PB⊥AM；（Ⅱ）求平面PAM與平面PDC所成的角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）證明：連接AM交BD于點(diǎn)O，BD→∴BD→∴BD⊥AM，又PD⊥底面ABCD，AM?平面ABCD，∴PD⊥AM，又BD∩PD＝D，BD?平面PBD，PD?平面PBD，∴AM⊥平面PBD，又PB?平面PBD，∴AM⊥PB；（Ⅱ）依題意，S△PCD=12×1×1=∴在△PAM中，由余弦定理可得，cos∠PMA=P∴sin∠PMA=1-(∴S△PAM設(shè)平面PAM與平面PDC所成的銳二面角為θ，則cosθ=S故平面PAM與平面PDC所成的角的余弦值為14720．（12分）已知等差數(shù)列{an}的公差d＝2，且a1+a3＝8，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為12的等比數(shù)列，且滿足b1，2b2，4b3（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=12anbn【解答】解：（1）因?yàn)閐＝2，a1+a3＝8，所以2a1+4＝8，解得a1＝2，所以an＝2+2（n﹣1）＝2n，因?yàn)閧bn}為等比數(shù)列，b1=12，且b1，2b2所以4b2＝b1+4b3，設(shè)公比為q，則4q2﹣4q+1＝0，所以q=1所以bn所以an＝2n，bn證明：（2）由（1）得cn所以Tn=1×12T①﹣②得：12所以Tn21．（12分）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1與y軸垂直的直線交橢圓C于M、（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：y＝kx+m與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓C交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ，使得OP→=1【解答】解：（1）由題意可得F1（0，c），則c2a2+x∴△MNF2的面積S=12×2b2∵橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，∴a＝2b，②，∵a2＝b2+c2，③，由①②③解得a＝2，b＝1，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程x2+y（2）當(dāng)m＝0時(shí)，則P（0，0），由橢圓的對(duì)稱