新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1平均變化率與瞬時變化率1.1平均變化率課件北師大版選擇性必修第二冊

1.1平均變化率第二章內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解函數(shù)平均變化率的概念,會求函數(shù)的平均變化率.2.了解平均變化率的實際意義,會利用平均變化率解決或說明生活中的一些實際問題.3.體會數(shù)學(xué)抽象的過程,加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)平均變化率【問題思考】1.有甲、乙兩個水龍頭,甲從0min到4min流出50L的水,乙從2min到5min流出45L的水,請問哪個水龍頭流出的水多?哪個水龍頭流水快些?提示:甲;乙.2.函數(shù)的平均變化率對一般的函數(shù)y=f(x)來說,當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時,函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2),它在區(qū)間[x1,x2]的平均變化率=.通常我們把自變量的變化x2-x1稱作自變量x的改變量,記作Δx,函數(shù)值的變化f(x2)-f(x1)稱作函數(shù)值y的改變量,記作Δy.這樣,函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比,即

.用它來刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢.3.在平均變化率中,Δx,Δy,是否可以為0?當(dāng)平均變化率為0時,是否說明函數(shù)在該區(qū)間上一定為常數(shù)函數(shù)?提示:在平均變化率中,Δx可正可負(fù),但Δx不可以為0;Δy可以為0;可以為0.當(dāng)

=0時,并不能說明函數(shù)在該區(qū)間上一定為常數(shù)函數(shù),如f(x)=x2在區(qū)間[-2,2]上的平均變化率是0,但它不是常數(shù)函數(shù).解析:由平均變化率的定義可知,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均變化率分別為

,結(jié)合圖象可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=f(x)的平均變化率最大的一個區(qū)間是[x3,x4].答案:[x3,x4]4.如圖2-1-1,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上,平均變化率最大的一個區(qū)間是

.

圖2-1-1【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數(shù)的平均變化率可為正值、負(fù)值,也可為0.(√

)(2)表示曲線y=f(x)上兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))連線的斜率.(√)(3)物體在某段時間內(nèi)的平均速度為0,則物體始終處于靜止?fàn)顟B(tài).(×)`合作探究釋疑解惑探究一求函數(shù)值的改變量【例1】

已知函數(shù)f(x)=x2-4x,當(dāng)自變量x從2變?yōu)?時,函數(shù)值的改變量為(

).A.4 B.-4 C.2 D.-2解析:函數(shù)值的改變量為f(4)-f(2)=(42-4×4)-(22-4×2)=4.答案:A函數(shù)值的改變量是指變化后的函數(shù)值減去變化前的函數(shù)值,函數(shù)值的改變量一般用Δy來表示,即Δy=y2-y1=f(x2)-f(x1).【變式訓(xùn)練1】

當(dāng)一個正方體的棱長由1變化到3時,求其體積的改變量ΔV.解:V1=13=1,V2=33=27,所以ΔV=V2-V1=27-1=26.探究二求函數(shù)的平均變化率并比較大小【例2】

一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動,其位移s(單位:m)與時間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系為s(t)=t2+1,求該質(zhì)點(diǎn)在t0=1,2,3附近,當(dāng)Δt=時的平均速度,并比較在哪一時刻附近的平均速度最大.求函數(shù)平均變化率的步驟(1)求自變量的改變量Δx=x2-x1.(2)求函數(shù)值的改變量Δy=f(x2)-f(x1).本例中若該質(zhì)點(diǎn)在2s到(2+Δt)(Δt>0)s之間的平均速度不大于5m/s,則Δt的取值范圍是什么?當(dāng)t0=2

s時,由題意,得4+Δt≤5,解得Δt≤1.又因為Δt>0,所以Δt的取值范圍為(0,1].【變式訓(xùn)練2】

已知函數(shù)f(x)=x+,分別計算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率,并比較函數(shù)在哪個區(qū)間上變化得快.探究三平均變化率的應(yīng)用【例3】

泰山為我國的五岳之首,有“天下第一山”的美譽(yù),在當(dāng)?shù)赜小熬o十八,慢十八,不緊不慢又十八”的俗語來形容爬泰山十八盤時的感受.圖2-1-2是一段登山路線圖.同樣是登山,但是從A處到B處會感覺比較輕松,而從B處到C處會感覺比較吃力.想想看,為什么?你能用數(shù)學(xué)語言來量化AB段、BC段曲線的陡峭程度嗎?圖2-1-2函數(shù)的平均變化率

表示點(diǎn)(x0,f(x0))與點(diǎn)(x1,f(x1))連線的斜率,是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”,其值可粗略地表示函數(shù)的變化趨勢.(1)當(dāng)比較函數(shù)平均變化率的大小時,可以先求出函數(shù)在每個自變量附近的平均變化率,然后比較大小.(2)識圖時,要結(jié)合題意弄清圖形所反映的量之間的關(guān)系,圖象在點(diǎn)x0附近的圖象越“陡峭”,函數(shù)值變化就越快.【變式訓(xùn)練3】

水經(jīng)過虹吸管從容器甲流向容器乙,容器甲中水的體積V(單位:cm3)與時間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系為V(t)=5×2-0.1t,計算第一個10s內(nèi)V的平均變化率.=-0.25(cm3/s),即第一個10

s內(nèi)體積V的平均變化率是-0.25

cm3/s.【規(guī)范解答】

求函數(shù)的平均變化率【典例】

求函數(shù)y=f(x)=2x2+1在區(qū)間[x0,x0+Δx]上的平均變化率,并求當(dāng)x0=1,Δx=時平均變化率的值.正確理解Δy和Δx的含義,Δx并非Δ與x的積,而是一個整體;(Δx)2不能寫成Δx2,Δx代表x的改變量.解:(1)因為函數(shù)f(x)=3x2+5,所以函數(shù)f(x)從0.1

到0.2的平均變化率為

【變式訓(xùn)練】

已知函數(shù)f(x)=3x2+5.(1)求函數(shù)f(x)從0.1到0.2的平均變化率;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0,x0+Δx]上的平均變化率.隨堂練習(xí)1.將半徑為R的球加熱,若球的半徑增加ΔR,則球的表面積增加(

).A.8πR·ΔR

B.8πR·ΔR+4π(ΔR)2C.4πR·ΔR+4π(ΔR)2 D.4π(ΔR)2解析:根據(jù)球的表面積公式S=4πR2,可得ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πR·ΔR+4π(ΔR)2.答案:B2.已知函數(shù)y=f(x)=x2+1的圖象上一點(diǎn)P(1,2)及鄰近一點(diǎn)Q(1+Δx,2+Δy),則

的值為

.

答案:2+Δx3.函數(shù)f(x)=x2-x在區(qū)間[-2,t]上的平均變化率是2,則t=

.

解析:因為函數(shù)f(x)=x2-x在區(qū)間[-2,t]上的平均變化率是2,即t2-t-6=2t+4,從而t2-3t-10=0,解得t=5或t=-2(舍去).答案:54.蜥蜴的體溫與陽光的照射有關(guān),其關(guān)系式為T(t)=+