人教A版必修五1.1.2余弦定理

1.1.2

余弦定理①已知三角形的任意兩角及其一邊；

問(wèn)題1

運(yùn)用正弦定理能解怎樣的三角形？②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角.

問(wèn)題2

如果已知三角形的兩邊及其夾角，能解這個(gè)三角形嗎？

根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.

從量化的角度來(lái)看，如何從已知的兩邊和它們的夾角求三角形的另一邊和兩個(gè)角？

這就是我們這節(jié)課要講的內(nèi)容.探究點(diǎn)1已知兩邊和它們的夾角,求三角形的另一邊

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c.

由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.即：如圖，在△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.已知a,b和C，求邊c.ABCABC三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即探究點(diǎn)2余弦定理注：利用余弦定理，可以從已知的兩邊及其夾角求出三角形的第三條邊.

這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？式子中共有4個(gè)量.已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，當(dāng)然能由三邊求出一角.二、余弦定理的推論：注:由上述推論,可以由三角形的三條邊求出三角形的三個(gè)角.思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.課堂探究已知兩邊及一角解三角形題型一題后反思三角形中,已知兩邊及一角解三角形有以下兩種情況.(1)三角形中已知兩邊和一邊的對(duì)角,有兩種解法.一是利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程,運(yùn)用解方程的方法求出第三邊,這樣可免去判斷取舍的麻煩.二是運(yùn)用正弦定理,先求角再求邊.(2)已知兩邊和兩邊夾角,直接應(yīng)用余弦定理求出第三邊,然后應(yīng)用正弦定理或余弦定理推論求出另外兩角.已知三邊(或三邊關(guān)系)解三角形題型二題后反思(1)已知三角形三邊求角,可先用余弦定理求一個(gè)角,再用正弦定理(也可繼續(xù)用余弦定理)求另一個(gè)角,進(jìn)而求出第三個(gè)角.(2)用正弦定理求角時(shí),要注意根據(jù)大邊對(duì)大角的原理,確定角的大小,防止產(chǎn)生增解或漏解.已知條件定理選用一般解法一邊和二角(如a,B,C)兩邊和夾角(如a,b,C)兩邊和其中一邊的對(duì)角(如a,b,A)三邊(a,b,c)由A+B+C=180°求角A,由正弦定理求出b與c.解三角形的四種基本類型正弦定理余弦定理由余弦定理求出第三邊c，再由正弦定理求出剩下的角.正弦定理由正弦定理求出角B,再求角C,最后求出c邊.可有兩解,一解或無(wú)解.余弦定理先由余弦定理求出其中兩個(gè)角,再利用內(nèi)角和為180°求出第三個(gè)角.利用余弦定理判斷三角形形狀題型三【教師備用】如果知道a2與b2+c2大小關(guān)系,怎樣用余弦定理判斷三角形的形狀?提示:(1)在△ABC中,若a2<b2+c2,則0°<A<90°;反之,若0°<A<90°,則a2<b2+c2.(2)在△ABC中,若a2=b2+c2,則A=90°;反之,若A=90°,則a2=b2+c2.(3)在△ABC中,若a2>b2+c2,則90°<A<180°;反之,若90°<A<180°,則a2>b2+c2.【例3】

在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC,試確定△ABC的形狀.題后反思判斷三角形形狀，需要從“統(tǒng)一”入手，使用轉(zhuǎn)化的思想解決問(wèn)題。一般有兩種途徑.其一是化角為邊,通過(guò)因式分解、配方等方式得出邊的關(guān)系,進(jìn)而判斷三角形的形狀;其二是化邊為角,通過(guò)三角變換,得出各內(nèi)角間的關(guān)系,進(jìn)而判斷三角形的形狀.【變式訓(xùn)練2】

在△ABC中,若(a-c*cosB)sinB=(b-c*cosA)sinA,判斷△ABC的形狀.題型四2.（2013·湖北高考）在△ABC中，角A，B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c.已知.（1）求角A的大小.（2）若△ABC的面積，，求的值.解題指南：三角恒等變換求cosA，用面積公式和正、余弦定理求解.

解:（1）由，得,，即，解得或（舍去）.

因?yàn)?，所?/p>