2023屆新高考地區(qū)百強名校新高考數(shù)學模擬考試壓軸題卷（一）（新高考通用）解析版

【百強名?！?023屆新高考地區(qū)百強名校

新高考數(shù)學模擬考試壓軸題精編卷（一）（新高考通用）

一、單選題

1.（2023春?河北衡水?高三河北衡水中學?？茧A段練習）《九章算術》是我國古代數(shù)學

名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，其中有很多對幾何體外接球與內(nèi)切球的

研究.其中的一些研究思想啟發(fā)著后來者的研究方向.已知正四棱錐的外接

球半燃為心內(nèi)切球半徑為r,且兩球球心重合，則6=（）

r

A.2B.1+72C.2+0D,2&

【答案】B

【分析】正四棱錐的外接球和內(nèi)接球球心重合，說明其結構特殊，找出結構的特殊性,

再計算.

設底面正方形A8CO的對角線長為2”,高為/?,,正方形的中心為。，外接球的球心為。，

,22

貝！|有r=〃-/?即R=/?-r,在RtOOD中，r?=片——￡①,

''2h

以。為原點，建立空間直角坐標系如上圖,

則有0(0,0,r),P(O,O,/?),C(a,0,0),0(0,“,O),8=(F,a,O),PC=(a,O,-〃),

PO=(0,0,-/7),

,,m-CD=0-ax+ay=0

設平面PCD的?個法向量為加=（zx,y,z）,則石，

m-PC=0ajc-hz=0

令z=a,則x=/z,y=〃,「.利=(〃,〃,々),

設向'flPO與平面PCD的夾角為e,則sine=

HIMyj2h2+a2

球心。,到平面PCD的距離r=|PO'|sin0=R.-j====（/?-r）a

，2力2+/，

族-1

22

ah,?ahh-ann=今~③，

R=—T=T=r，由①得—l=即

a+yj2h-+a-a+y]2h2+a22〃

h

故設/=一，則③可整理成產(chǎn)+1=（『-1”2產(chǎn)+1,兩邊平方得/4-2r-1=0,

a

t2=V2+1，

由①②得幺祟4=1=0+一

rh-at-\

故選：B.

2.（2023春?河北衡水?高三河北衡水中學?？茧A段練習）已知拋物線C：），2=2px（p>0）

過點A（2,4）,動點、M,N為C上的兩點，且直線AM與AN的斜率之和為0,直線/的斜

率為-1,且過C的焦點F,I把-AMN分成面積相等的兩部分,則直線MN的方程為（）

A.x+y-6=0B.x-y+6=0

C.x-y+4忘-6=0D.x+y+4^2-6=0

【答案】D

【分析】由題意求出拋物線方程為y2=8x,設河（項,加）川（馬,%），直線MV:x="+/n,

聯(lián)立直線和拋物線的方程結合韋達定理由原M+%A,V=O，可求出r=-l，再求出直線/

的方程，由題意可轉化為A（2,4）到直線/:x+y-2=0的距離為4（2,4）到直線

MN:x+y-機=0距離的立，代入求解即可得出答案.

2

【詳解】因為拋物線C:y2=2PMp>0）過點4（2,4）,

所以16=4p,解得：p=4,所以>2=8X,

直線MN:x="+m,代入>2=8x中整理得丁-8）_8機=0,

所以X+丫2=8r.%必=-8，”,

-4?%—4=?

所以心M+心.

%-2々_2_2必2_2

888（%+4）+8（y+4）0

-------+--------即%+%+8=。，

Ji+4y2+4（X+4）（%+4）

則弘+必+8=8,+8=。，解得：/=—1,

所以直線MN:x+y-%=0,

直線/的斜率為-1,且過C的焦點尸（2,0）,

所以/:x+y-2=0,則4（2,4）到直線/的距離為d=F弓、=2夜，

所以/把分成面積相等的兩部分，因為直線/與直線MN平行，

所以4（2,4）到直線/：彳+3；-2=0的距離為4（2,4）到直線的:犬+》-m=0距離的變,

2

2艮與3解得:

〃2=6-4右或〃2=6+4應（舍去）.

所以直線MN的方程為x+y+46=0.

故選：D.

3.（2023?吉林?東北師大附中校考二模）函數(shù)〃x）=sin（3+協(xié)（3＞0,0＜"＜兀）的部

7T

分圖象如圖，8C〃x軸，當xe0,-時，不等式〃x）Nm-sin2x恒成立，則，”的取值

范圍是（）

【答案】A

【分析】利用三角函數(shù)的圖象性質和三角恒等變換求解.

兀27r

【詳解】因為BC〃x軸，所以圖象最低點的橫坐標為"十可.77t,

2~12

所以=￡，所以7=空=兀解得①=2,

41234co

又因為/圖=sin傳+夕卜一1,

7冗3元71

所以——+夕=—+2kii,攵￡Z,即夕=—+2E,Z￡Z,

623

TT

又因為0＜夕＜兀，所以e=彳，

所以〃x）=sin（2x+g）,

山/（x）>m-sin2x可得sin[2x+1j2機一sin2x,

BP—sin2x+—cos2x>m-sin2xtilBP—sin2x+-cos2x>m,

2222

令（x）=-|sin2x+cos2x=y/3sin（2x+,

因為1￡0。,所以2工+^￡，所以g（x）￡一■，百，

46632

因為g。）之加恒成立，所以加工立.

2

故選:A.

4.（2023?吉林?東北師大附中校考二模）直線/的方程為

（/l+2）x+（/l—l）y—34=0（2eR）,當原點。到直線/的距離最大時一，彳的值為（）

A.—1B.—5C.1D.5

【答案】B

【分析】求出直線（2+2卜+（2-1）丁-3/1=0（/1€對所過定點人的坐標，分析可知當

OA_L/時，原點。到直線,的距離最大，利用兩直線垂直斜率的關系可求得實數(shù)；I的值.

【詳解】直線方程（字+2）x+（4-l）y—32=0（；leR）可化為幾（x+y—3）+（2x—y）=0,

fx+y-3=0fx=1

由?？傻?/p>

=0n（y=2

所以，直線（，+2）x+（；lT）y-3汽=0（3eR）過定點A（l,2）,

當OA_U時，原點。到直線/的距離最大，且%A=2,

又因為直線/的斜率為％=-泮=-!，解得力=-5.

故選：B.

5.（2023?湖南長沙?雅禮中學?？寄M預測）已知雙曲線/-丁=425>0）的左、右焦

點分別為"，6,過點工作斜率為G的直線交雙曲線的右支于A,B兩點，則

的內(nèi)切圓半徑為（）

A.gB.C.凡D.&

2636

【答案】C

【分析】不妨設4在第一象限，過點4作軸于點M.由已知可求得

\AF2\=（2+42）a,忸用=（2-0）a,再利用等面積法和雙曲線的定義可求得內(nèi)切圓半

徑.

不妨設4在第一象限，A（x“X）,過點A作40_Lx軸于點M.得巴（3。,0）,

則|4段~=（&_a“）+y；=（x]-貶a）+x；_/=2x；_2應011+/=（正為-a）,所以

|A鳥卜亞百一a（*）.

又4代〃=60。，則|A周cos6（）o=|用叫=再—缶，即玉=g|Ag|+伍，

代入（*）式得|。|=及《|伍|+夜a）-a,得依用=（2+⑹%同理忸用=（2-逝”，

則|AB|=4a,

“加8=夕片瑪?I4卻sin60。=,故8的內(nèi)切圓半徑「滿足

」（由A|+|空|+|A即r=Sw

又恒川+陽3|=|明+4a=8a,所以;xl2axr=2#],得“半〃

故選：C.

6.（2023?湖南長沙?雅禮中學校考模擬預測）甲、乙兩人各有一個袋子，且每人袋中均

裝有除顏色外其他完全相同的2個紅球和2個白球，每人從各自袋中隨機取出一個球，

若2個球同色，則甲勝，且將取出的2個球全部放入甲的袋子中；若2個球異色，則乙

勝，且將取出的2個球全部放入乙的袋子中.則兩次取球后，甲的袋子中恰有6個球的

概率是（）

A.—B.—C.—D.—

30156020

【答案】A

【分析】先根據(jù)取球規(guī)則分析得到兩次取球后甲的袋子中有6個球時，兩次取球均為同

色，然后分第一次取球甲、乙都取到紅球和白球兩種情況求解即可.

【詳解】由題，若兩次取球后，甲的袋子中恰有6個球，則兩次取球均為甲勝，即兩次

取球均為同色.

若第一次取球甲、乙都取到紅球，概率為=則第一次取球后甲的袋子中有3

個紅球和2個白球，乙的袋子中有1個紅球和2個白球，第二次取同色球分為取到紅球

31227

或取到白球，概率為+，故第一次取球甲、乙都取到紅球且兩次取球后，

7

甲的袋子中有6個球的概率為二.同理，第?次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后,

6()

7

甲的袋子中有6個球的概率為二.

6()

777

故所求概率為丁丁方

故選：A.

7.(2023春?湖南長沙?高三長郡中學?？茧A段練習)若。=log?⑼2022,Z,=log20222023,

C=9097?"=而？’則“‘°，C,"中最大的是（）

A.aB.bC.cD.d

【答案】c

【分析】先將a，b,c,d變換為：4=1+108202/1+焉[，^=l+log2（c2[l+-^—\

c=2022=1+ld=磔=1+;得到"構造函數(shù)q）=x—]（i+x）,

2021202120222022V'迎、7

8（x）=x—log2M（l+x）,xe（O,l）,結合導數(shù)和作差法得到">打，c>a,從而得出0,

b,c,d中最大值.

【詳解】因為a=log必2022=10828（202必需）=l+log2⑼（1+貴

b=bgg2023=log皿（2022、霆）=l+log2022^l+/），

2022?1,2023?1山”,

c=------=1+-------,d=-------=1+-------,所以c〉d：

2021202120222022

d-b=\Id--------1+log2022I---------------|=-----------bg2022---------|，

（2022JL2022（2022）\2022202212022J

設g（x）=xTog2022（l+%），］￡（。』），

則g(x)=l_(］+二2022,當°<X<1時，g'(x)>0，

所以g(x)在(0,1)上單調遞增，貝心(焉)>g(0),即焉-1*2。22(1+焉］>0,

所以d-b>0,即d>6；

設*（x）=x-log2G2i（l+x）,xe（0,l）,

則*'3=71+枷2。2廣當。。<1時，c’(耳>0，

所以e(x)在(0,1)上單調遞增，則4焉卜9(0),即焉-10g2(41+焉)>0，

所以。一。>0,即c>“；

綜上：c>d>b,c>a,即°,b,c,d中最大的是c.

故選：C.

8.(2023春?湖南長沙?高三長郡中學?？茧A段練習)已知的,K是雙曲線C的兩個焦點，

P為C上一點，且4尸舄=60。，「用=引尸司(/1>1),若C的離心率為，，則/I的值

為()

A.3B.GC.2D.72

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出|3|,|尸聞，結合余弦定理可得答案.

【詳解】因為|居|=囚尸思|,由雙曲線的定義可得|WHP閭=(2-1)仍聞=2。,

所以I明=黑，閥1=箸;

A—1A—1

4a2+4幾2〃22x2a?2Aa?cos60°

因為4年二60。,由余弦定理可得4c2

(if

)24a2+4A2a2-4Aa22C21+22-27

整理可得4c-=————2——所以《=

(兒一1)(1)24

即3分-l(H+3=0,解得2=3或4=；，又因為;1>1,即2=3.

故選：A

9.(2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中?？计谥?在數(shù)列｛%｝中給定G，且函數(shù)

/(x)=-a,l+lsinx+(an+2)x+l的導函數(shù)有唯一零點，函數(shù)

n?

g(x)=12x+^-sin(7tx)-5COS(7tr)且g(4)+g(%)++g(49)=18,則生=().

A.-B.-C.-D.—

4369

【答案】C

【分析】求導利用函數(shù)零點定義即可求得4-4=2,得到數(shù)列｛%｝是公差為2的等差

數(shù)列.再利用引入輔助角公式對g(x)化筒，構造新函數(shù)，利用導數(shù)判斷新函數(shù)的單調性

并結合題意進而求解即可.

【詳解】因為/'（耳=/一4m85了+（4+2）有唯一的零點，/'（X）為偶函數(shù)，

則r（O）=O,可得%-4=2,〃eN*,所以數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列.

則4-4=2,所以數(shù)列｛6｝是公差為2的等差數(shù)列.

又g（x）=12x+^-sin7tr-；cosjLv=12x+sin7t（x-3）=12（x-'）+sinn（x-，）+2,

令丸⑺=12/+sin加,則〃（f）為奇函數(shù)，

因為/?'（r）=12+7tcosm＞0,所以〃（/）在R上單調遞增，

由題意得[g（q）-2]+[g（叼）-2]+…+|＞（佝）-2]=0,則

〃（4一｝+處%—、）+…+力（％-：）=0,

V數(shù)列｛〃〃｝是公差為2的等差數(shù)列，其中％…V%，

則《一\＜4一tv…，假設（4-：）+（%一＞＞0，

因為M/）T2f+sinm是奇函數(shù)且2）在R上單調遞增，則〃*-；）在R上單調遞增,

所以（4一工）＞一（%一:）=%（4—T）＞一〃（出一工）=一工）+〃（%-工）＞。,

666666

???〃（4一〉+〃（〃2-》+—+〃（%-，）＞0，與已知矛盾，故不成立;

假設（4一1）+（。9一1）＜°，同理可得〃（4一3+人（冬一：）+…+〃（4-3＜0,與已知矛盾，

OOOOO

故不成立；

綜上，（^,——）+（?,——）=0=^-aI+a=—=＞?,=—.

6639o

故選：C.

【點睛】關鍵點睛：數(shù)列與函數(shù)的綜合問題的解決關鍵是應用函數(shù)的解析式和性質得到

數(shù)列的通項或遞推公式.

1.利用具體函數(shù)的解析式得到遞推關系.

2.利用抽象函數(shù)的性質得到遞推關系.

10.（2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中校考期中）在正四棱臺ABC。-A4GR中，

AB=2AlBi,懼=2百，例為棱的中點，當正四棱臺的體積最大時，平面”8。截

該正四棱臺的截面面積是（）.

A.軍B.C.10&D.6夜

42

【答案】C

【分析】根據(jù)iE四棱臺的體積公式、結合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面

積公式進行求解即可.

【詳解】設48=2AM=4x,上底面和卜底面的中心分別為。一0,過4作Ae，AC,

該四棱臺的高。。=力，

在上卜底面由勾股定理可知，='J(2x)2+(2x)2=&x,A0=；"(4x)2+(4x)2=2&x.

在梯形A00A中，AT=AH2+47/2=12=(2缶一缶產(chǎn)+〃2nzz2=]2_2d,

所以該四棱臺的體積為V=g(16d+716x2-4x2+4x2)//=yx2/1,

所以它=%―/?=國-(12-2號4出卜2+八12-2門[

999[3

當且僅當f=12-2f,即x=2時取等號，此時A8=8,A4=4,0t0=h=2.

取CQ.8c的中點N,E,連接NM.NO,顯然有“N//RBJ/QB,

由于MN。平面ABC￡),8￡)u平面ABC。，所以MN〃平面ABCQ,因此平面“%)N

就是截面.

顯然MN=；BQ|=2?B￡>=80,

22

在直角梯形O|ME0中，ME=y]h+(OE-OtM)=>/4+4=2>/2,

因此在等腰梯形8cle3中，MB=-JME-+EB2=V8+16=276,

同理在等腰梯形AG。中，DN=2瓜,

在等腰梯形MBOV中，設MFUDN,MGVBD,

則MF=2瓜BF=8O-2近=6五,

MG=?2屈2-(；x6夜了=",

所以梯形MBDN的面積為2、,號幾=106，

故選：C.

【點睛】解決與幾何體截面的問題，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題

思維流程如下：

(1)根據(jù)空間中的線面關系，找到線線平行或者垂直，進而確定線面以及面面關系，

(2)作截面：選準最佳角度做出截面(要使這個截面盡可能多的包含幾何體的各種元

素以及體現(xiàn)這些元素的關系),達到空間問題平面化的目的；

(3)求長度下結論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關于長度的方程，并求解.

二、多選題

11.(2023?湖南長沙?雅禮中學校考模擬預測)已知函數(shù)/(x)=sin(3x+9)[-]<9<]

的圖象關于直線x=?對稱，那么()

O

A.函數(shù)/(x-為奇函數(shù)

B.函數(shù)f(x)在一盤上單調遞增

C.若|/(與)-〃々)|=2,則|占一百的最小值為g

D.函數(shù)/(x)的圖象向右平移學個單位長度得到函數(shù)y=-cos3x的圖象

8

【答案】AC

【分析】利用，(幻=$111(3%+9)的圖象關于直線工=9對稱，即可求出。的值，從而得出

O

/(X)的解析式，再利用三角函數(shù)的性質逐一判斷四個選項即可.

【詳解】因為/(X)=sin(3x+9)的圖象關于直線X=J對稱,

O

TFTT

所以3*丁+9=彳+&乃仕wZ),

o2

得S=g+z乃，keZ,因為所以々=0，e=g,

8228

所以/(x)=sin(3x+?J,

對于A：/卜一攝卜sin-盤J+5=sin3x,所以/(x-司為奇函數(shù)成立，故選

項A正確；

,jr4TT*i77"7Tj7T

對于B：xe--、時，3x+ge0,一，函數(shù)在一石可上不是單調函數(shù)；

故選項B不正確；

對于C：因為〃x)2=l，/(xtn=-l,又因為|/(%)-〃毛)|=2,所以歸―司的最

小值為半個周期，即暮x；=5，故選項C正確；

對于D：函數(shù)/(X)的圖象向右平移一個單位長度得到

O

JT

+—=sin（3x—;r）=—sin3x,故選項D不正確;

O

故選：AC

12.(2023?湖南長沙?雅禮中學校考模擬預測)已知函數(shù)/(x)=xe",則()

A.曲線y=/(x)在點(0,0)處的切線方程為y=x

B.函數(shù)f(x)的極小值為-e

21

C.當夏W”五時，/(x)<a(x—l)僅有一個整數(shù)解

D.當2/<八芝時，/(x)<a(x-l)僅有一個整數(shù)解

【答案】AC

【分析】選項A，利用導數(shù)的幾何意義求解；選項B,利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性求極值

即可；選項C/(x)<a(x-1)僅有一個整數(shù)解可以轉化為函數(shù)f(x)=xe、在直線

y=a(x-1)下方的橫坐標為整數(shù)的點只有一個，畫出了(x)的圖象，利用數(shù)形結合即可

解決.

【詳解】對于選項A,/'(x)=(x+l)e、，則切線的斜率為左=/(0)=1,則曲線y=〃x)

在點(0,0)處的切線方程為》=X，故A正確；

對于選項B,f(x)=Jte，在(T”)上單調遞增，在(f,T)上單調遞減，則當時，

f(x)有極小值,即f(-l)=—eT,故B不正確;

對于選項C,由于"x)=xe*在(T,”)上單調遞增，在(3,-1)上單調遞減，則當4-1

時，y(x)有最小值，即/'(-l)=-eT,當X<-1時，把，<0,則函數(shù)圖象在X軸下方,

當x>—1B寸，/(0)=0,則函數(shù)存在一個零點x=0,故f(x)=xe”的圖象如下圖所示,

函數(shù)/(力=朧、在直線y=a(x-1)下方的橫坐標為整數(shù)的點只有一個，

點A（-B（-2,-2e）其中％=]=￡,

故選：AC.

13.(2023春?湖南長沙?高三長郡中學校考階段練習)已知O為坐標原點，過拋物線

C:y2=2px(p>0)焦點廠的直線與C交于A,B兩點，其中A在第一象限，點M(p,O),

若貝IJ()

A.直線A8的斜率為26B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<\80°

【答案】ACD

(分析］由|4/|=|40|及拋物線方程求得A(雪，季)，再由斜率公式即可判斷A選項；

表示出直線A8的方程，聯(lián)立拋物線求得8(1,-率)，即可求出|。叫判斷B選項；由

拋物線的定義求出|k署即可判斷C選項；山Q4.OB<0，<0求得ZAOB,

ZAMB為鈍角即可判斷D選項.

【詳解】對于A,易得嗎,0),山|AF|=|4⑷可得點A在的垂直平分線上，則A點

P

橫坐標為2+0p=3p,

2一4

戈p

代入拋物線可得產(chǎn)=20?￥=|獷，則4￥，字），則直線48的斜率為赤七=2#,

T-2

A正確；

P

對于B,由斜率為2#L可得直線A3的方程為x=］石1＞+；,聯(lián)立拋物線方程得

y2-j^py-p2,

設則逅p+y=逅0,則乂=-翅，代入拋物線得

得百苦，貝1」8（爭-平），

對于C,由拋物線定義知：|陽=￥+0+〃=答＞2/?=4|陽，c正確；

對于D,04。八邛片）咚_冬當勺當卜等/冬＜0,則

ZAOB為鈍角，

又=（/丹）.（一,一季）1第+字卜率卜平＜0,則

Z4A7B為鈍角，

又ZAOB+AAMB+ZOAM+ZOBM=360,則ZOAM+NOBM＜180.D正確.

14.（2023春?河北衡水?高三河北衡水中學校考階段練習）圓0：》2+丁=/任＞0）與雙

2

曲線E：f—2_=1交于A,B,C,。四點，則（）

2

A.廠的取值范圍是［1,+oo)

B.若r=6，矩形48co的面積為竽

C.若r=g,矩形48。的對角線所在直線是E的漸近線

D.存在r＞0,使四邊形A8C￡＞為正方形

【答案】BD

【分析】苜先求出雙曲線的頂點坐標與漸近線方程，即可判斷A,對于B、C,求出交

點坐標，即可判斷B、C,設A(，",〃z),(加＞1)求出，*、r,即可判斷D.

【詳解】雙曲線E:%?一1=1的頂點坐標為仕1,0),漸近線方程為y=±0x,

因為圓。：/+9=，(r＞0)與雙曲線E：X24=1交于A,B,C,O四點,

所以廠＞1,故A錯誤；

，+9=3y2=^

當r=6時圓O：X2+V=3,由《，丫2,解得｛＜,

X--=1/_5

岳V15,V15715

X=---x=-----x=------x=-------

3仁或?3T3十3

所以，?義《「火＜

2V32G-2+2#>'

y=----

131y=----3---1y=---3--13

所以|明二華，|明二季，所以52=竽＞＜半=竽，

4乖＞

則怎0=5方=半，所以AC:)，=竽x,故不是雙曲線的漸近線，即B正確，C錯

誤;

若四邊形ABC。為正方形，不妨設A為第一象限內(nèi)的交點，設A(見〃?)，(w＞l),

2

則％2=，目.,解得帆=夜，所以井=2,

2

所以當r=2時，使四邊形A8CD為正方形，故D正確；

故選：BD

15.(2023?吉林?東北師大附中?？级?已知函數(shù)J'(x)=“'lna,g(x)=aln(x-l),

其中a＞0且awl.若函數(shù)/?(x)=/(x)—g(x),則下列結論正確的是()

A.當0<〃<1時，〃⑺有且只有一個零點

B.當時，有兩個零點

c.當時，曲線y=/(x)與曲線y=g(x)有且只有兩條公切線

D.若〃(x)為單調函數(shù)，則尸4"1

【答案】BCD

【分析】A/(x)=a'lna-aln(x-1),通過舉特例說明該選項錯誤；B.考慮尸(x)=xlnx,

Q(x)=『，求出函數(shù)的單調性，分析圖象得到力⑴有兩個零點；C.求出兩曲線的切線

方程，再建立方程組，轉化為零點個數(shù)問題分析得解；D.分九(x)單調遞增和單調遞減

討論，從而求出e-ew“<l得解.

xxx]

【詳解】對A,/?(%)=alna-aln(x-1),/?(x)=0,a\na=aln(x-1),/.a~=logu(x-1),

令〃=上，不一1=9，或〃=上，]一1=!，優(yōu)t=k)gQ-l)都成立，妝工)有兩個零點，故

164162

A錯誤；

對B,ax~l\na=ln(x-1),令ax~l=/,/.(x-\)\na=Int,t-=In(x-I),

x-1

/.rInr=(x-1)ln(x-1),(r>i),^j,gy=xlnx=F(x),Fr(x)=lnx4-l=0,

.??x=L.?.尸(az)=F(x—1),所以函數(shù)尸(x)在(0,3單調遞減，在(L+8)單調遞增，

eee

F(a'-')=F(x-1),ai=x-1,r.Ina=皿1)

x-1

化—八/、Inx八,/、1-lnx八

ij店Q(x)=,??Q(x)=7=O,..x=e,

XX

所以函數(shù)。(X)在(0,e)單調遞增，在(e,+8)單調遞減，Q(e)=L當。d)=—F=-e<0,

ee￡

e

x->+8時，Q(x)>0,所以當0<lna<L時，有兩個零點.

e

此時leave；，故B正確;

對C,設％=歷。>,,/'(*)=爐j2,g，(x)=-^,t=x-\.

ex-\

設切點a,/a)),(w,g(x2y-/(x,)=f\x,)(x-xl),y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),

ra)=g'(x2)

)-xjXxt)=g(x2)-x2g'(x2)'

①〃周42=￡,?aXi~lk2=-5—,at}k2=—

/一]X2-13

②a*k----(4+1)=。In-----G+1),小k——=In/2—1,

，2'2’2

---------=In一1,1—kt、—kt-,(Inq-D,

kt?Z?

+21nz=-InZ2,/.1+Inr2+2InZ:-kt2Int2+kt2=0,

設S=l+lnf+21nA-bln/+"(f>0),

iik

所以S'(/)=—k\nt—P(t),...P\t)=------<0,

ttt

所以函數(shù)p⑺在(0,y)單調遞減，因為pd)=l+e+Z>0,P(e)=』-Z<0,

ee

,

所以加e(1,e),S'。。)=0,.?./e(O,/o),S(z)>0,/e(Zo,+a>),S'(f)<0,

e

所以S(/)=0有兩解，所以當時，曲線y=F(x)與曲線y=g(x)有且只有兩條公切

線，所以該選項正確；

對D,若％0單調遞增,則"(x)20,.?.屋In%2/一,.?.(x-l)aI2.

x-1Ina

■■ma'"=x-l>0).考慮y=mam,y->0,不滿足.

In-amin

若&(x)單調遞減，則

h'(x)<0,/.a'In2a<'一(x-l)a'-1>——，二ma'"<—―.(/n=%-1>0).

x-1In'aIn'a

所以。加"')海474—，考慮y="",y'=(l+"?lna)"=0,.」=-J-不滿足.

ln-aIntz

當a>1時，ma"'->+oo,不滿足.

]|—L|—LJ

當a<1時，m=—--?a,na<---r,:.alna<---,

tInaIna(Ina)Ina

Ina'(------)4ln(--------),/.—1<ln(-------),/.0>Ina2—e,e，4a<1.故D止確.

InaInaIna

故選：BCD

【點睛】關鍵點睛：本題主要有四個關鍵，其一，是邏輯思維，證明命題是錯誤的，只

要舉出反例即可：其二，要熟練掌握利用導數(shù)討論函數(shù)的零點個數(shù)：其三，是理解掌握

曲線公切線的研究方法；其四，要會根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù)的范圍.

16.(2023?吉林?東北師大附中?？级?直四棱柱ABC。-ABCR中，底面ABC。為

菱形，ZBAD=60°,AB=AD=AA,=2,P為cq中點，點。在四邊形C￡>￡)c內(nèi)(包括

邊界)運動，下列結論正確的是()

aG

AB

A.若DQ=8DC+〃DR,且X+〃=；，則四面體A8PQ的體積為定值

B.若AQ〃平面A8P,則A。的最小值為不

C.若△ABQ的外心為0,則A*A。為定值2

D.若4。=近，則點。的軌跡長度為。

【答案】AB

【分析】對于A,取OR,DC的中點分別為M,N,,由條件確定。的軌跡，結合錐體體

積公式判斷A；對于B,由面面平行的判定定理可得平面ABP〃平面A的V,從而可得

AQ//平面A/P,進而可求得AQ的最小值：對于C,由三角形外心的性質和向量數(shù)量

積的性質可判斷，對于D,由條件確定點Q的軌跡為圓弧44,利用弧長公式求軌跡長

度即可判斷.

【詳解】對于A,取QQQC的中點分別為M,N,連接AV,AN,MN,DQ,則DD、=2DM,

DC=2DN.MNHD,C,

因為OQ=2DC+〃D￡)1,2+〃=g,所以DQ=22DN+2〃OM,22+2〃=l,

所以Q,M,N:.點共線，所以點Q在MN,因為RC//AB,MN//DtC,

所以仞V〃AB.MNU平面ABP，A8u平面ABP,所以MN〃平面4乃尸，

所以點。到平面4田戶的距離為定值，因為的面積為定值，

所以四面體ABPQ的體積為定值，所以A正確；

對于B,因為因為期。平面48尸，BPu平面ABP,

所以4W〃平面ABP,又AQ，平面A3P,AQAM=M,AQ,AMu平面AMQ,

所以平面AVQ〃平面ABP,取的中點￡，連接PE,則PE〃￡>C，D、C"AB,

所以PE//AB,所以A，8,四點共面，所以平面AMQ〃平面A8PE,

即。在MN上，當4Q_LMN時，AQ取最小值，

因為N8A￡)=60,AB=AD=AAI=2,所以AM=逐,MN=五,

AN=\lAD2+DN2-2ADDNcos\20°=j4+l-2x2xlx(-g)=",所以

AM2+MN2=AN2,所以Q,M幣：合，所以AQ的最小值為逐，所以B正確;

對于C,若△AB。的外心為0，過。作于H,

因為百=2&,

所以ABAO=AB(4〃+HO)=AB-A〃=g48'=4,所以c錯誤;

對于D,過4作AK^GR,垂足為K,因為。平面ABCQ,

4/<=平面4及a〃，所以DR_LAK,

因為G。/平面?！?gt;￡C,所以4KL平面。QCC，

因為KQu平面。QGC,所以AKLK。，

7EIT

又在4KA中，AtDl=2,ZA]KDl=-^DlK=-,

所以KR=ARCOS/=1,AK=A4sin]=6,

在，AKQ中，AK=6AQ=a，NAKQ=],所以KQ=2,

則Q在以K為圓心，2為半徑的圓上運動,

在。A，。］G上取點4,4,使得AA=百,04=1,則K4=KA2=2,

所以點。的軌跡為圓弧44，因為〃K=I，A4=百，所以N&K&=。,

則圓弧&A等丁等，所以D錯誤；

故選：AB

【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵在于根據(jù)所給條件結合線面位置關系確定點的軌跡，

再結合錐體體積公式，空間圖形與平面圖形的轉化解決問題.

17.（2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中?？计谥校┮阎惷嬷本€。與6所成角為60,

平面a與平面夕的夾角為80,直線。與平面a所成的角為20，點尸為平面a、夕外一

定點，則下列結論正確的是（）

A.過點尸且與直線〃、方所成角都是60的直線有4條

B.過點P且與平面a、尸所成角都是30的直線有4條

C.過點P且與平面a、/所成角都是40的直線有3條

D.過點尸與平面a成60角，且與直線。成60的直線有3條

【答案】BC

【分析】根據(jù)選項60=毀，在利用圖形，可知A有3條；根據(jù)30<—=40,

22

30<180-80=50,可知B有4條；根據(jù)地-=40,40<暨二^~=50可知C有3

222

條；做以尸為頂點，且與圓錐中軸線夾角為30，可知該直線條數(shù)，判斷D即可.

【詳解】時于A選項，因為異面直線。與直線b所成角為60，

在空間中的點P作直線a'、小，使得a'〃a,b'Hb,設直線,、〃確定平面了,如下圖

所示：

因為直線“、匕所成角為60,則直線a'、"所成角為60,

在宜線a'、6'上分別取點A、B,使得44PB=120,

則在平面/內(nèi)NAP8的角平分線所在直線4與直線"、少所成角均為60，

過點P在平面7外能作兩條直線4、、使得這兩條直線與直線"、少所成角均為60，

綜上所述，過點P且與直線〃、6所成角都是60的直線有3條，A錯；

對于BC選項，因為平面a與平面尸的夾角為80，

則過點尸與平面a、4所成角都是阻=40和四二史■=50的直線各有一條也、”，

22

若過點尸與平面a、夕所成角都是30,則在m、〃的兩側各有一條，

所以共2x2=4條，故B正確，

若過點尸且與平面a、/所成角都是40,其中一條直線為直線機，在直線〃的兩側各

有一條，

所以共3條，C對：

對于D選項，過點尸作與平面a成60角的直線，

形成以尸為頂點，與圓錐中軸線夾角為30，且底面在aHl勺圓錐的母線，

設所求直線與a的交點為Q.不妨假設尸在。上，設直線。與a的交點為Z,

設點尸在底面的射影點為點O,直線ZO交圓錐底面圓于2、2兩點，

易知NQEQ?=60,又因為PQt=PQ2,則△PQ&為等邊三角形，

所以，NPQiQ?=