5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（5大題型）精講（原卷版）

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系重點(diǎn)：同角三角函數(shù)關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用．難點(diǎn)：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與恒等式的證明。一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、平方關(guān)系：，文字表述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于12、商數(shù)關(guān)系：，文字表述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切注意以下三點(diǎn)：（1）“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，即與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．（2）sin2α是(sinα)2的簡(jiǎn)寫(xiě)，讀作“sinα的平方”，不能將sin2α寫(xiě)成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，兩者是不同的，要弄清它們的區(qū)別，并能正確書(shū)寫(xiě)．（3）注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，sin2α＋cos2α＝1對(duì)一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)僅對(duì)α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．二、三角函數(shù)求值問(wèn)題處理方法1、同角三角函數(shù)的關(guān)系揭示了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三個(gè)值之間，知道其中一個(gè)可以求其余兩個(gè)．解題時(shí)要注意角α的象限，從而判斷三角函數(shù)值的正負(fù)．2、已知三角函數(shù)值之間的關(guān)系式求其它三角函數(shù)值的問(wèn)題，我們可利用平方關(guān)系或商數(shù)關(guān)系求解，其關(guān)鍵在于運(yùn)用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等價(jià)轉(zhuǎn)化，分析解決問(wèn)題的突破口．三、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)技巧①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的．②對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．③對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造＋＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．四、三角函數(shù)恒等式證明證明三角恒等式的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是化異為同的過(guò)程，證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡(jiǎn)．②證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子(左、右歸一)．③比較法：即證左邊－右邊＝0或eq\f(左邊,右邊)＝1(右邊≠0)．④證明與已知等式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立．題型一sina、cosa、tana知一求二【例1】（2023·甘肅定西·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知，，則（）A．B．C．D．【變式11】（2023·四川宜賓·高一?？计谥校┮阎?，其中，的值為（）A．－B．－C．D．【變式12】（2023下·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）若，，則（）A．B．C．D．【變式13】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列命題是真命題的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則題型二正、余弦齊次式的應(yīng)用【例2】（2023·廣西·高二廣西大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，則的值為（）A．B．1C．D．【變式21】（2023·廣東·高三廣州市第十六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則（）A．B．C．D．【變式22】（2023·遼寧·高一大連八中?？茧A段練習(xí)）已知，則.【變式23】（2022下·高一課時(shí)練習(xí)）已知，求：（1）；（2）.題型三sina±cosa、sinacosa關(guān)系應(yīng)用【例3】（2023·北京·高一北京二十中?？茧A段練習(xí)）已知，則（）A．B．C．D．【變式31】（2023·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則的值為（）A．B．C．D．或【變式32】（2023·江蘇揚(yáng)州·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知，則下列選項(xiàng)正確的是()A．B．C．D．【變式33】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根（）（1）求a的值；（2）求的值；（3）求的值．題型四利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)求值【例4】（2023·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）若，則α不可能是（）A．B．C．D．【變式41】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的值為．【變式42】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）．【變式43】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：．題型五利用同角關(guān)系證明三角恒等式【例5】（2023·上海浦東新·高一進(jìn)才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)