新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第5章函數(shù)應(yīng)用1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性課后訓(xùn)練北師大版必修第一冊(cè)

1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性課后訓(xùn)練鞏固提升一、A組1.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,則f(x)在區(qū)間(1,2)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為().A.至多有一個(gè) B.有一個(gè)或兩個(gè)C.有且僅有一個(gè) D.一個(gè)也沒(méi)有解析:若a=0,則f(x)=bx+c是一次函數(shù),由f(1)·f(2)<0得零點(diǎn)只有一個(gè);若a≠0,則f(x)=ax2+bx+c為一元二次函數(shù),若f(x)在區(qū)間(1,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),則必有f(1)·f(2)>0,與已知矛盾.故f(x)在區(qū)間(1,2)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).答案:C2.函數(shù)y=x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及其零點(diǎn)分別是().A.-1,(-1,0) B.(-1,0),0C.(-1,0),-1 D.-1,-1解析:由y=x+1=0,得x=-1,故交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),零點(diǎn)是-1.答案:C3.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),且α,β(α<β)是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a,b,α,β的大小關(guān)系是().A.a<α<b<β B.a<α<β<bC.α<a<b<β D.α<a<β<b解析:設(shè)g(x)=(x-a)(x-b)(a<b),作出g(x)的大致圖象.則f(x)的圖象可看作由g(x)的圖象向下平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度得到,如圖所示.由圖象可知,α<a<b<β,故選C.答案:C4.函數(shù)f(x)=2x-3的零點(diǎn)在區(qū)間(k,k+1)內(nèi),則整數(shù)k的值為.

解析:由題意得f(k)f(k+1)=(2k-3)(2k-1)<0,解得12<k<3又因?yàn)閗為整數(shù),故k=1.答案:15.已知函數(shù)f(x)=3mx-4,若在區(qū)間[-2,0]上存在x0,使f(x0)=0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

解析:因?yàn)樵趨^(qū)間[-2,0]上存在零點(diǎn)x0使f(x0)=0,且f(x)單調(diào),所以f(-2)·f(0)≤0,即(-6m-4)×(-4)≤0,解得m≤-23所以,實(shí)數(shù)m的取值范圍是-∞答案:-6.若方程ax-x-a=0(a>0,且a≠1)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析:在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=ax與函數(shù)y=x+a的圖象(圖略),可知,當(dāng)a>1時(shí),它們有兩個(gè)交點(diǎn),即方程ax-x-a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.當(dāng)0<a<1時(shí),它們有一個(gè)交點(diǎn),即方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).答案:(1,+∞)7.已知關(guān)于x的方程x2-2x+a=0.求當(dāng)a為何取值范圍時(shí):(1)方程的一根大于1,另一根小于1;(2)方程的一個(gè)根在區(qū)間(-1,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(2,3)內(nèi);(3)方程的兩個(gè)根都大于零.解:(1)結(jié)合對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象知,當(dāng)方程的一根大于1,另一根小于1時(shí),f(1)<0.由f(1)<0,得1-2+a<0,解得a<1.故a的取值范圍為(-∞,1).(2)由方程一個(gè)根在區(qū)間(-1,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(2,3)內(nèi),得f(-1)>0,f(1)<0,(3)由方程的兩個(gè)根都大于零,得Δ=4-4a≥0故a的取值范圍為(0,1].8.已知函數(shù)f(x)=x2-|x|+3+a有4個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:設(shè)g(x)=x2-|x|+3,則g(x)=x畫(huà)出其圖象如圖.(第8題答圖)函數(shù)f(x)有4個(gè)零點(diǎn),即方程g(x)+a=0有4個(gè)實(shí)根,即函數(shù)y=g(x)與y=-a的圖象有4個(gè)交點(diǎn),由圖知114<-a<3,解得-3<a<-11故實(shí)數(shù)a的取值范圍為-3二、B組1.已知a是函數(shù)f(x)=3x-log13x的零點(diǎn),若0<x0<a,則f(x0)的值滿(mǎn)足(A.f(x0)<0 B.f(x0)>0 C.f(x0)=0 D.f(x0)的符號(hào)不確定解析:因?yàn)閒(x)=3x-log13x=3x+log3所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).又因?yàn)?<x0<a,所以f(x0)<f(a)=0.故選A.答案:A2.函數(shù)y=f(x)=x2+2x-3A.1 B.2 C.3 D.4解析:畫(huà)出函數(shù)f(x)=x2+2由圖可知,f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.答案:B3.函數(shù)y=f(x)與y=2x-3的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng),則函數(shù)y=f(x)的圖象與直線(xiàn)y=x在第一象限的交點(diǎn)位于區(qū)間()內(nèi).A.(-2,-1) B.(2,3) C.(1,2) D.(-1,0)解析:y=2x-3的反函數(shù)為y=log2(x+3)(x>-3),即函數(shù)y=f(x)=log2(x+3)(x>-3).在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)f(x)=log2(x+3)(x>-3)和y=x的圖象,如圖,由圖可得,兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別位于區(qū)間(-3,-2]與區(qū)間(2,3)內(nèi),故選B.答案:B4.已知函數(shù)f(x)=x,x≤0,x2-x,x>0,若函數(shù)g(x)=f解析:令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m.由題意知,函數(shù)f(x)與y=m的圖象有3個(gè)交點(diǎn).在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)f(x)與y=m的大致圖象,如圖.由圖可知,當(dāng)-14<m<0時(shí),兩函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn),故實(shí)數(shù)m的取值范圍為-答案:-5.已知y=f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)=x2-2x.(1)寫(xiě)出函數(shù)y=f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=a恰有3個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),-x∈(0,+∞),因?yàn)閥=f(x)是奇函數(shù),所以當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,所以f(x)=x(2)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值為-1;當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值為1.所以據(jù)此可畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的大致圖象,如圖所示.由圖可得,若方程f(x)=a恰有3個(gè)不同的解,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1,1).6.已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)為偶函數(shù).(1)求k的值;(2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且僅有一個(gè)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x).即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,所以log44x+14x-log4(4x+1)所以(2k+1)x=0,因?yàn)閤不恒為0,所以k=-12(2)由(1)知,f(x)=log4(4x+1)-12x所以f(x)=log4(a·2x-a),即log4(4x+1)-12x=log4(a·2x-a整理得log4(4x+1)=log4[(a·2x-a)2x],所以4x+1=(a·2x-a)·2x,(*)令t