新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章概率2古典概型2.2古典概型的應(yīng)用課后訓(xùn)練北師大版必修第一冊(cè)

2.2古典概型的應(yīng)用課后訓(xùn)練鞏固提升一、A組1.若從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為a,從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b,則b>a的概率是().A.45 B.35 C.25解析:樣本點(diǎn)總數(shù)n=15,我們用(a,b)表示隨機(jī)選取的結(jié)果,事件“b>a”包含(1,2),(1,3),(2,3),共3個(gè)樣本點(diǎn),故所求概率為315答案:D2.袋中裝有大小、質(zhì)地相同的黃球、紅球、白球各一個(gè),每次任取一個(gè),有放回地取3次,則89是下列哪個(gè)事件發(fā)生的概率()A.顏色相同 B.顏色不全相同C.顏色全不同 D.無(wú)紅球解析:有放回地取球3次,共有27種等可能結(jié)果,其中顏色相同的結(jié)果有3種,其概率為327=19;設(shè)事件A表示“顏色不全相同”,則事件A是事件“顏色相同”的對(duì)立事件,故事件A的概率為1-19=89;顏色全不同,即黃、紅、白各一個(gè),則其概率為3×2×答案:B3.在軍訓(xùn)匯報(bào)表演中,A,B,C三個(gè)方陣按一定次序通過(guò)主席臺(tái),若先后順序是隨機(jī)定的,則B先于A,C通過(guò)的概率為().A.16 B.13 C.12答案:B4.(多選題)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,事件A1,A2,A3發(fā)生的概率分別為0.2,0.3,0.5,則下列說(shuō)法不正確的有().A.A1∪A2與A3是互斥事件,也是對(duì)立事件B.A1∪A2∪A3是必然事件C.P(A2∪A3)=0.8D.事件A1,A2,A3的關(guān)系不確定解析:比如在一個(gè)箱子中有白球、黃球和紅球若干,從中任取一球,取到紅球(記為事件A1)的概率為0.2,取到黃球(記為事件A2)的概率為0.3,取到黃球或紅球(記為事件A3)的概率為0.5,顯然A1∪A2與A3既不是互斥事件,也不是對(duì)立事件,故A錯(cuò)誤;A1∪A2∪A3是“取到黃球或紅球”,不是必然事件,故B錯(cuò)誤;P(A2∪A3)=P(A3)=0.5,故C錯(cuò)誤.答案:ABC5.若從集合A={1,2}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為a,從集合B={1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b,確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P(a,b),記“點(diǎn)P(a,b)滿足a+b=n”為事件Cn(2≤n≤5,n∈N).若事件Cn發(fā)生的概率最大,則n的所有可能值為.

解析:分別從集合A和B中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)確定平面上的點(diǎn)P為(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),共6個(gè).滿足a+b=2的點(diǎn)有1個(gè),滿足a+b=3的點(diǎn)有2個(gè),滿足a+b=4的點(diǎn)有2個(gè),滿足a+b=5的點(diǎn)有1個(gè),所以若事件Cn發(fā)生的概率最大,則n的所有可能值為3和4.答案:3和46.從正方形4個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn),則這2個(gè)點(diǎn)距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為.

解析:從5個(gè)點(diǎn)中取2個(gè)點(diǎn)的所有情況有10種,其中距離不小于正方形邊長(zhǎng)的情況有6種,故概率為610答案:37.在一個(gè)不透明的盒子中裝有10個(gè)大小、質(zhì)地相同的球,分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,…,10,從中任取一球,求此球的號(hào)碼為偶數(shù)的概率.解法1:樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故共有10個(gè)等可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn).令A(yù)={所取球的號(hào)碼為偶數(shù)},顯然A中含有5個(gè)樣本點(diǎn),從而P(A)=510解法2:若把一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果取為:所取球的號(hào)碼為奇數(shù),所取球的號(hào)碼為偶數(shù),則它們是等可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn),樣本點(diǎn)總數(shù)為2,令A(yù)={所取球的號(hào)碼為偶數(shù)},則A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,故P(A)=128.袋中裝有大小、質(zhì)地相同的6個(gè)球,其中4個(gè)白球、2個(gè)紅球,從袋中任意取出2個(gè)球,求下列事件的概率:(1)事件A表示“取出的2個(gè)球都是白球”;(2)事件B表示“取出的2個(gè)球中1個(gè)白球,1個(gè)紅球”;(3)事件C表示“取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球”.解:設(shè)4個(gè)白球的編號(hào)分別為1,2,3,4,2個(gè)紅球的編號(hào)分別為5,6.從袋中的6個(gè)小球中任取2個(gè)球,則樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15個(gè)樣本點(diǎn).(1)事件A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共有6個(gè)樣本點(diǎn).所以取出的2個(gè)球都是白球的概率為P(A)=615(2)事件B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共有8個(gè)樣本點(diǎn).所以取出的2個(gè)球中1個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率為P(B)=815(3)方法1因?yàn)镃=A∪B,且A,B為互斥事件,所以P(C)=P(A)+P(B)=1415方法2設(shè)C的對(duì)立事件為C,則C=“取出的2個(gè)球中沒(méi)有白球(全為紅球)”,則C={(5,6)}.P(C)=1-P(C)=1-115二、B組1.從集合A={2,4}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為a,從集合B={1,3}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為b,則f(x)=ax2+2bx+1在區(qū)間(-∞,-1]上單調(diào)遞減的概率為().A.12 B.34 C.16解析:(a,b)的所有取值情況如下:(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),共4種,記“f(x)在區(qū)間(-∞,-1]上單調(diào)遞減”為事件A,由條件可知f(x)的圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為直線x=-ba,則-ba≥-1,即0<ba≤1,則事件A包含情況有(2,1),(4,1),(4,3),共3種,則P(A)答案:B2.從分別寫有A,B,C,D,E的5張卡片中,任取2張,這2張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰的概率為().A.15 B.25 C.310解析:從5張卡片中任取2張,則樣本空間Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)}共10個(gè)樣本點(diǎn).事件“兩個(gè)字母恰好是按字母順序相鄰”包含的樣本點(diǎn)有(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),共4個(gè),因此,所求概率P=410答案:B3.某小組共有5名學(xué)生,其中女生3名,現(xiàn)選舉2名代表,至少有1名女生當(dāng)選的概率為().A.520 B.910 C.110解析:由題意知男生人數(shù)為5-3=2,設(shè)2名男生分別為m1,m2,3名女生分別為w1,w2,w3,則選舉2名代表的所有可能結(jié)果為(m1,m2),(m1,w1),(m1,w2),(m1,w3),(m2,w1),(m2,w2),(m2,w3),(w1,w2),(w1,w3),(w2,w3),共10種.設(shè)事件A表示“至少有1名女生當(dāng)選”,則事件A包含的樣本點(diǎn)為(m1,m2).故所求概率P(A)=1-P(A)=1-110答案:B4.某射手射擊一次,未中靶的概率為0.05,中靶環(huán)數(shù)大于6的概率為0.7,則事件A表示“中靶環(huán)數(shù)大于0且小于或等于6”的概率為.

解析:“未中靶”與“中靶環(huán)數(shù)大于6”是互斥事件,“未中靶或中靶環(huán)數(shù)大于6”的對(duì)立事件是“中靶環(huán)數(shù)大于0且小于或等于6”,設(shè)為事件A,所以P(A)=1-(0.05+0.7)=0.25.答案:0.255.用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給下圖中3個(gè)排列在一起的小矩形隨機(jī)涂色,每個(gè)小矩形只涂一種顏色,求:(1)3個(gè)小矩形顏色都相同的概率;(2)3個(gè)小矩形顏色都不同的概率.解:樣本空間的樣本點(diǎn)共有27個(gè),且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.所有樣本點(diǎn)用樹(shù)狀圖表示,如圖所示.(第6題答圖)(1)記“3個(gè)小矩形都涂同一顏色”為事件A,由圖知,事件A包含的樣本點(diǎn)有3個(gè),故P(A)=327(2)記“3個(gè)小矩形顏色都不同”為事件B,由圖可知,事件B包含的樣本點(diǎn)有2×3=6(個(gè)),故P(B)=6276.某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x,y,z,用綜合指標(biāo)S=x+y+z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí).若S≤4,則該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本,其質(zhì)量指標(biāo)列表如下:產(chǎn)品編號(hào)A1A2A3A4A5質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)產(chǎn)品編號(hào)A6A7A8A9A10質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率;(2)在該樣本的一等品中,隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品.①用產(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果;②設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中,每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”,求事件B發(fā)生的概率.解:(1)計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S,如下表:產(chǎn)品編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中“S≤4”的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故該樣本的一等品率為610=0.6,從而可估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6(2)①在該樣本的一等品中,隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為(A1,A2),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A7),(A1,A9),(A2,A4)