新教材-人教B版高中數(shù)學(xué)必修第二冊-第五章-統(tǒng)計(jì)與概率-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)及解題方法提煉匯總

第五章統(tǒng)計(jì)與概率TOC\o"1-4"\h\z\u5.1統(tǒng)計(jì) 15.1.1數(shù)據(jù)的收集 1第1課時(shí)總體與樣本、簡單隨機(jī)抽樣 1第2課時(shí)分層抽樣 55.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 85.1.3數(shù)據(jù)的直觀表示 145.1.4用樣本估計(jì)總體 215.3概率 255.3.1樣本空間與事件 255.3.2事件之間的關(guān)系與運(yùn)算 285.3.3古典概型 325.3.4頻率與概率 365.3.5隨機(jī)事件的獨(dú)立性 385.4統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用 425.1統(tǒng)計(jì)5.1.1數(shù)據(jù)的收集第1課時(shí)總體與樣本、簡單隨機(jī)抽樣知識(shí)點(diǎn)總體所考察問題涉及的__對象全體__是總體個(gè)體總體中__每個(gè)對象__都是個(gè)體樣本抽取的部分對象組成總體的一個(gè)樣本樣本容量一個(gè)樣本中包含的__個(gè)體數(shù)目__是樣本容量知識(shí)點(diǎn)普查與抽樣調(diào)查一般地，對總體中__每個(gè)個(gè)體__都進(jìn)行考察的方法稱為普查(也稱全面調(diào)查)，只抽取__樣本__進(jìn)行考察的方法稱為抽樣調(diào)查．知識(shí)點(diǎn)簡單隨機(jī)抽樣(1)定義：一般地，簡單隨機(jī)抽樣(也稱純隨機(jī)抽樣)就是從總體中不加任何__分組__、劃類、__排隊(duì)__等，完全隨機(jī)地抽取個(gè)體．(2)兩種常見方法：①__抽簽法__；②__隨機(jī)數(shù)表法__．思考1：抽簽法與隨機(jī)數(shù)表法的異同點(diǎn)是什么？提示：抽簽法隨機(jī)數(shù)表法不同點(diǎn)①抽簽法比隨機(jī)數(shù)表法簡單；②抽簽法適用于總體中的個(gè)體數(shù)相對較少的情況①隨機(jī)數(shù)表法要求編號(hào)的位數(shù)相同；②隨機(jī)數(shù)表法適用于總體中的個(gè)體數(shù)相對較多的情況相同點(diǎn)①都是簡單隨機(jī)抽樣，并且要求被抽取樣本的總體的個(gè)數(shù)有限；②都是從總體中逐個(gè)不放回地抽取知識(shí)點(diǎn)隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣的步驟思考2：用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣的規(guī)則是什么？提示：(1)定方向：讀數(shù)的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．(2)讀數(shù)規(guī)則：讀數(shù)時(shí)結(jié)合編號(hào)的特點(diǎn)進(jìn)行讀取，編號(hào)為兩位數(shù)則兩位兩位地讀取，編號(hào)為三位數(shù)則三位三位地讀取，若得到的號(hào)碼不在編號(hào)中或已被選用，則跳過，直到選滿所需號(hào)碼為止．題型簡單隨機(jī)抽樣的概念典例剖析典例1下面的抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣嗎？為什么？(1)從無數(shù)個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作為樣本；(2)倉庫中有1萬支奧運(yùn)火炬，從中一次性抽取100支火炬進(jìn)行質(zhì)量檢查；(3)某連隊(duì)從200名黨員官兵中，挑選出50名最優(yōu)秀的官兵趕赴青海參加抗震救災(zāi)工作；(4)一彩民選號(hào)，從裝有36個(gè)大小、形狀都相同的號(hào)簽的盒子中無放回地抽出6個(gè)號(hào)簽；(5)箱子里共有100個(gè)零件，從中選出10個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，在抽樣操作中，從中任意取出1個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后，再把它放回箱子里．[分析]若抽取樣本的方式是簡單隨機(jī)抽樣，它應(yīng)具備哪些特點(diǎn)？[解析](1)不是簡單隨機(jī)抽樣．因?yàn)楹唵坞S機(jī)抽樣要求被抽取的樣本總體的個(gè)數(shù)是有限的．(2)不是簡單隨機(jī)抽樣．雖然“一次性抽取”和“逐個(gè)抽取”不影響個(gè)體被抽到的可能性，但簡單隨機(jī)抽樣要求的是“逐個(gè)抽取”．(3)不是簡單隨機(jī)抽樣．因?yàn)?0名官兵是從中挑出來的，是最優(yōu)秀的，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性不同，不符合簡單隨機(jī)抽樣中“等可能抽樣”的要求．(4)是簡單隨機(jī)抽樣．因?yàn)榭傮w中的個(gè)體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取的，是不放回、等可能的抽樣．(5)不是簡單隨機(jī)抽樣．因?yàn)樗怯蟹呕爻闃樱?guī)律方法：1.如果一個(gè)總體滿足下列兩個(gè)條件，那么可用簡單隨機(jī)抽樣抽取樣本：(1)總體中的個(gè)體之間無差異；(2)總體個(gè)數(shù)不多．2．判斷所給的抽樣是否為簡單隨機(jī)抽樣的依據(jù)是簡單隨機(jī)抽樣的四個(gè)特征：上述四點(diǎn)特征，如果有一點(diǎn)不滿足，就不是簡單隨機(jī)抽樣．題型抽簽法典例剖析典例2要從某汽車廠生產(chǎn)的30輛汽車中隨機(jī)抽取3輛進(jìn)行測試．請選擇合適的抽樣方法，并寫出抽樣過程．[分析]已知N＝30，n＝3.抽簽法抽樣時(shí)編號(hào)1、2、…、30，抽取3個(gè)編號(hào)，對應(yīng)的汽車組成樣本．[解析]應(yīng)使用抽簽法，步驟如下：①將30輛汽車編號(hào)，號(hào)碼是1、2、3、…、30；②將1～30這30個(gè)編號(hào)寫到大小、形狀都相同的號(hào)簽上；③將寫好的號(hào)簽放入一個(gè)不透明的容器中，并攪拌均勻；④從容器中每次抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取3次，并記錄上面的編號(hào)；⑤所得號(hào)碼對應(yīng)的3輛汽車就是要抽取的對象．規(guī)律方法：抽簽法的5個(gè)步驟題型隨機(jī)數(shù)表法典例剖析典例3假設(shè)要考查某企業(yè)生產(chǎn)的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將500袋牛奶按000,001，…，499進(jìn)行編號(hào)，如果從隨機(jī)數(shù)表第8行第26列的數(shù)開始，按三位數(shù)連續(xù)向右讀取，最先檢驗(yàn)的5袋牛奶的號(hào)碼是(下面摘取了某隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行)(B)844217533157245506887704744767217633502583921206766301647859169555671998105071851286735807443952387933211A．455068047447176B．169105071286443C．050358074439332D．447176335025212[解析]第8行第26列的數(shù)是1，依次取三位數(shù)169、555、671、998、105、071、851、286、735、807、443、…，而555、671、998、851、735、807超過最大編號(hào)499，故刪掉，所以最先檢驗(yàn)的5袋牛奶的號(hào)碼依次為：169、105、071、286、443，故選B．規(guī)律方法：用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的步驟：(1)將總體中的每個(gè)個(gè)體編號(hào)(每個(gè)號(hào)碼位數(shù)一樣)．(2)在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為起始號(hào)碼．(3)從選定的數(shù)開始，按一定的方向讀下去，若得到的號(hào)碼在編號(hào)中，則取出；若得到的號(hào)碼不在編號(hào)中或與前面取出的數(shù)重復(fù)，則跳過不取，如此進(jìn)行下去，直到取滿為止．(4)根據(jù)選定的號(hào)碼抽取樣本．易錯(cuò)警示典例剖析典例4一個(gè)布袋中有6個(gè)同樣質(zhì)地的小球，從中不放回地抽取3個(gè)小球，則某一特定小球被抽取的可能性是__eq\f(1,2)__；第三次抽取時(shí)，每個(gè)小球被抽取的可能性是__eq\f(1,4)__．[錯(cuò)解]因?yàn)楹唵坞S機(jī)抽樣時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性均為eq\f(n,N)，所以兩空均填eq\f(1,2)．[辨析]本題解答錯(cuò)誤的原因在于混淆了抽樣中，樣本被抽到的可能性與每次抽取中個(gè)體被抽到的可能性．[正解]因?yàn)楹唵坞S機(jī)抽樣時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性為eq\f(n,N)，所以第一個(gè)空填eq\f(1,2)，而抽樣是無放回抽樣，所以第一次抽取時(shí)，每個(gè)小球被抽取的可能性為eq\f(1,6)，第二次抽取時(shí)，剩余5個(gè)小球被抽取的可能性為eq\f(1,5)，第三次抽取時(shí)，剩余4個(gè)小球，每個(gè)小球被抽取的可能性為eq\f(1,4).因此，第二個(gè)空填eq\f(1,4)．第2課時(shí)分層抽樣知識(shí)點(diǎn)分層抽樣1．定義一般地，如果相對于要考察的問題來說，總體可以分成有__明顯差別__的、__互不重疊__的幾部分時(shí)，每一部分可稱為層，在各層中按__層在總體中所占比例__進(jìn)行隨機(jī)抽樣的方法稱為分層隨機(jī)抽樣(簡稱為分層抽樣)思考1：如何理解“層在總體中所占比例”？提示：從N個(gè)個(gè)體中抽取n個(gè)個(gè)體，若將總體分為A，B，C三層，含有的個(gè)體數(shù)目分別是x，y，z，在A，B，C三層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)目分別是a，b，c，那么eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)＝eq\f(c,z)＝eq\f(n,N)．2．應(yīng)用的廣泛性(1)分層抽樣所得到的樣本，一般更具有代表性，可以更準(zhǔn)確地反映總體的特征，尤其是在層內(nèi)個(gè)體相對同質(zhì)而層間差異較大時(shí)更是如此．(2)分層抽樣在各層中抽樣時(shí)，還可根據(jù)各層的特點(diǎn)靈活地選用不同的隨機(jī)抽樣方法．(3)想同時(shí)獲取總體的信息和各層的內(nèi)部信息時(shí)，常采用分層抽樣．思考2：簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣的聯(lián)系和區(qū)別是什么？提示：類別簡單隨機(jī)抽樣分層抽樣各自特點(diǎn)從總體中逐個(gè)抽取將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取相互聯(lián)系在各層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣適用范圍總體中的個(gè)體數(shù)較少總體由存在明顯差異的幾部分組成共同點(diǎn)①抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等②每次抽出個(gè)體后不再放回，即不放回抽樣題型分層抽樣的概念典例剖析典例1下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是(B)A．從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)B．某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶．為了了解生活購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100戶的樣本C．從1000名工人中抽取100人調(diào)查上班途中所用的時(shí)間D．從生產(chǎn)流水線上抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量[分析]根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)選?。甗解析]A中總體所含個(gè)體無差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡單隨機(jī)抽樣；C和D中總體所含個(gè)體無差異且個(gè)數(shù)較多，不適合用分層抽樣；B中總體所含個(gè)體差異明顯，適合用分層抽樣．規(guī)律方法：分層抽樣的依據(jù)(1)適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況．(2)樣本能更充分地反映總體的情況．(3)等可能抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都相等．題型分層抽樣中的有關(guān)計(jì)算典例剖析典例2(1)某校有高級(jí)教師26人，中級(jí)教師104人，其他教師若干人．為了了解該校教師的工資收入情況，若按分層抽樣從該校的所有教師中抽取56人進(jìn)行調(diào)查，已知從其他教師中共抽取了16人，則該校共有教師__182__人．(2)某網(wǎng)站針對“2020年法定節(jié)假日調(diào)休安排”提出的A，B，C三種放假方案進(jìn)行了問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：支持A方案支持B方案支持C方案35歲以下的人數(shù)20040080035歲以上(含35歲)的人數(shù)100100400①從所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取n人，已知從支持A方案的人中抽取了6人，求n的值．②從支持B方案的人中，用分層抽樣的方法抽取5人，這5人中在35歲以上(含35歲)的人數(shù)是多少？35歲以下的人數(shù)是多少？[解析](1)設(shè)該校其他教師有x人，則eq\f(16,x)＝eq\f(56,26＋104＋x)，解得x＝52，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝52是原方程的根，故全校教師共有26＋104＋52＝182人．(2)①由題意得eq\f(6,100＋200)＝eq\f(n,200＋400＋800＋100＋100＋400)，解得n＝40．②35歲以下的人數(shù)為eq\f(5,500)×400＝4人，35歲以上(含35歲)的人數(shù)為5－4＝1人．[母題探究]將本例的條件改為“A，B，C三種放假方案人數(shù)之比為2∶3∶5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A方案有16人”，求樣本的容量n．[解析]由于A，B，C三種放假方案人數(shù)之比為2∶3∶5，樣本中A方案有16人，則eq\f(2,10)＝eq\f(16,n)，解得n＝80．規(guī)律方法：分層抽樣中的求解技巧(1)eq\f(樣本容量n,總體的個(gè)體數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個(gè)體數(shù),該層的個(gè)體數(shù))．(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．題型分層抽樣的方案設(shè)計(jì)典例剖析典例3一個(gè)單位有職工160人，其中有業(yè)務(wù)人員112人，管理人員16人，后勤服務(wù)人員32人，為了了解職工的某種情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，寫出用分層抽樣的方法抽取樣本的過程．[分析]分層抽樣中各層抽取個(gè)體數(shù)依各層個(gè)體數(shù)之比來分配，確定各層抽取的個(gè)體數(shù)之后，可采用簡單隨機(jī)抽樣在各層中抽取個(gè)體．[解析]三部分所含個(gè)體數(shù)之比為112∶16∶32＝7∶1∶2，設(shè)三部分各抽個(gè)體數(shù)為7x，x,2x，則由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤服務(wù)人員抽取個(gè)體數(shù)分別為14,2和4．對112名業(yè)務(wù)人員進(jìn)行編號(hào)，用隨機(jī)數(shù)表法抽樣抽取14人．再用抽簽法可抽出管理人員和服務(wù)人員的號(hào)碼．將以上各層抽出的個(gè)體合并起來，就得到容量為20的樣本．規(guī)律方法：分層抽樣的注意事項(xiàng)分層抽樣是當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)采用的抽樣方法，進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異要小，各層之間的樣本差異要大，且互不重疊．(2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層應(yīng)采用同一抽樣比，等可能抽樣．(3)在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣．[特別提醒]保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣是簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣共同的特征，為了保證這一點(diǎn)所有層按同一抽樣比，等可能抽樣．易錯(cuò)警示典例剖析抽樣方法選擇不當(dāng)導(dǎo)致所得樣本不具有代表性典例4某單位有職工120人，欲從中抽取20人調(diào)查職工的身體狀況．領(lǐng)導(dǎo)安排工會(huì)某干部負(fù)責(zé)抽樣，他應(yīng)該怎樣做？[錯(cuò)解]將120名職工編號(hào)，用隨機(jī)數(shù)表法抽樣抽取20人作為樣本．[辨析]年齡對人的身體狀況有較大影響，這種不考慮年齡抽取的樣本不能準(zhǔn)確反應(yīng)單位職工的身體狀況．[正解]先將這120名職工根據(jù)年齡分為老年組、中年組、青年組，再按eq\f(1,6)的比例在各組中抽取相應(yīng)的人數(shù)，即用分層抽樣的方法抽取樣本．5.1.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征知識(shí)點(diǎn)最值一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反映的是這組數(shù)最極端的情況．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．知識(shí)點(diǎn)平均數(shù)1．定義：如果給定的一組數(shù)是x1，x2，…，xn，則這組數(shù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．這一公式在數(shù)學(xué)中常簡記為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i．2．求和符號(hào)∑具有的性質(zhì)(1)eq\i\su(i＝1,n,)(xi＋yi)＝eq\i\su(i＝1,n,x)i＋eq\i\su(i＝1,n,y)i．(2)eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝keq\i\su(i＝1,n,x)i．(3)eq\i\su(i＝1,n,t)＝nt．3．如果x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，且a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數(shù)是aeq\o(x,\s\up6(－))＋B．思考1：(1)x5＋x6＋…＋x15如何用符號(hào)∑表示？(2)如何證明eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝keq\i\su(i＝1,n,x)i?提示：(1)x5＋x6＋…＋x15＝eq\i\su(i＝5,15,x)i．(2)eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝kx1＋kx2＋…＋kxn＝k(x1＋x2＋…＋xn)＝keq\i\su(i＝1,n,x)i．知識(shí)點(diǎn)中位數(shù)1．如果一組數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù)，并按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數(shù)的中位數(shù)．2．如果一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱eq\f(xn＋xn＋1,2)為這組數(shù)的中位數(shù)．知識(shí)點(diǎn)百分位數(shù)1．定義：一組數(shù)的p%(p∈(0,100))分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個(gè)數(shù)值：至少有p%的數(shù)據(jù)不大于該值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)不小于該值．2．計(jì)算方法：設(shè)一組數(shù)按照從小到大排列后為x1，x2，…，xn，計(jì)算i＝np%的值，如果i不是整數(shù)，設(shè)i0為大于i的最小整數(shù)，取xi0為p%分位數(shù)；如果i是整數(shù)，取eq\f(xi＋xi＋1,2)為p%分位數(shù)．規(guī)定：0分位數(shù)是x1(即最小值)，100%分位數(shù)是xn(即最大值)．思考2：中位數(shù)和百分位數(shù)的關(guān)系是什么？提示：中位數(shù)是50%分位數(shù)．知識(shí)點(diǎn)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中，某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．知識(shí)點(diǎn)極差一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差．知識(shí)點(diǎn)方差與標(biāo)準(zhǔn)差(1)如果x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則方差s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差．(2)如果x1，x2，…，xn的方差為s2，且a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，……，axn＋b的方差是a2s2．思考2：(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？方差、標(biāo)準(zhǔn)差為0的含義是什么？(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差是如何反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的？提示：(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：[0，＋∞)．標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度．(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。}型最值、平均數(shù)、眾數(shù)的確定典例剖析典例1某公司員工的月工資情況如表所示：月工資/元80005000400020001000800700員工/人125820122(1)分別計(jì)算該公司員工月工資的最值、平均數(shù)、和眾數(shù)；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)數(shù)來代表該公司員工的月工資更合理？[解析](1)該公司員工月工資的最大值為8000元，最小值為700元，眾數(shù)為1000元．平均數(shù)為eq\f(1,50)(8000×1＋5000×2＋4000×5＋2000×8＋1000×20＋800×12＋700×2)＝1700(元)．(2)用眾數(shù)，因?yàn)樽畲笾禐?000元且只有一個(gè)，無法代表該公司員工的月工資，平均數(shù)受到最大值的影響，也無法代表該公司員工的月工資，每月拿1000元的員工最多，眾數(shù)代表該公司員工的月工資最合理．規(guī)律方法：1.把數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)定義即可確定最值和眾數(shù)．2．平均數(shù)的求法(1)用定義式；(2)用平均數(shù)的性質(zhì)；(3)在容量為n的一組數(shù)據(jù)中，若數(shù)據(jù)x1有n1個(gè)，x2有n2個(gè)，…，xk有nk個(gè)，且n＝n1＋n2＋…＋nk，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,n)(n1x1＋n2x2＋…＋nkxk)＝eq\f(n1,n)x1＋eq\f(n2,n)x2＋…＋eq\f(nk,n)xk．題型中位數(shù)、百分位數(shù)的計(jì)算典例剖析典例2(1)已知一組數(shù)據(jù)8,6,4,7,11,6,8,9,10,5，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__7.5__；(2)甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在隨機(jī)抽取的12場比賽中的得分情況如下：甲運(yùn)動(dòng)員得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49．乙運(yùn)動(dòng)員得分：8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51．求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分的25%分位數(shù)，75%分位數(shù)和90%分位數(shù)．[解析](1)已知數(shù)據(jù)從小到大排列為：4,5,6,6,7,8,8,9,10,11，共10個(gè)數(shù)，所以中位數(shù)是eq\f(7＋8,2)＝7.5．(2)兩組數(shù)據(jù)都是12個(gè)數(shù)，而且12×25%＝3,12×75%＝9,12×90%＝10.8，因此，甲運(yùn)動(dòng)員得分的25%分位數(shù)為eq\f(x3＋x4,2)＝eq\f(20＋25,2)＝22.5，甲運(yùn)動(dòng)員得分的75%分位數(shù)為eq\f(x9＋x10,2)＝eq\f(37＋39,2)＝38，甲運(yùn)動(dòng)員得分的90%分位數(shù)為x11＝44．乙運(yùn)動(dòng)員得分的25%分位數(shù)為eq\f(x3＋x4,2)＝eq\f(14＋16,2)＝15，乙運(yùn)動(dòng)員得分的75%分位數(shù)為eq\f(x9＋x10,2)＝eq\f(31＋38,2)＝34.5，乙運(yùn)動(dòng)員得分的90%分位數(shù)為x11＝39．規(guī)律方法：1.求中位數(shù)的一般步驟(1)把數(shù)據(jù)按大小順序排列．(2)找出排列后位于中間位置的數(shù)據(jù)，即為中位數(shù)．若中間位置有兩個(gè)數(shù)據(jù)，則求出這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)．2．求百分位數(shù)的一般步驟(1)排序：按照從小到大排列：x1，x2，…，xn．(2)計(jì)算：求i＝np%的值．(3)求值：分?jǐn)?shù)p%分位數(shù)i不是整數(shù)xi0，其中i0為大于i的最小整數(shù)i是整數(shù)eq\f(xi＋xi＋1,2)題型極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算典例剖析典例3已知一組數(shù)據(jù)：2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6．(1)求極差；(2)求方差；(3)求標(biāo)準(zhǔn)差．[解析](1)最大值為6，最小值為2，極差為4．(2)可將數(shù)據(jù)整理為x23456頻數(shù)34562每一個(gè)數(shù)都減去4可得x－4－2－1012頻數(shù)34562這組數(shù)的平均數(shù)與方差分別為eq\f(1,20)×[(－2)×3＋(－1)×4＋0×5＋1×6＋2×2]＝0，eq\f(1,20)×[(－2)2×3＋(－1)2×4＋02×5＋12×6＋22×2]＝eq\f(3,2)．因此，所求平均值為4，方差為eq\f(3,2)．(3)由(2)知標(biāo)準(zhǔn)差為eq\f(\r(6),2)．規(guī)律方法：求方差的基本方法(1)先求平均值，再代入公式s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，或s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2．(2)用性質(zhì)．(3)當(dāng)一組數(shù)據(jù)重復(fù)數(shù)據(jù)較多時(shí)，可先整理出頻數(shù)表，再計(jì)算s2．題型分層抽樣的方差典例剖析典例4甲、乙兩班學(xué)生參加了同一考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績?yōu)?0.5分，方差為500；乙班的平均成績?yōu)?5分，方差為360.那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績和方差分別是多少？[解析]設(shè)甲班50名學(xué)生的成績分別是a1，a2，…，a50，那么甲班的平均成績和方差分別為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(a1＋a2＋…＋a50,50)＝80.5(分)，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(a1－\o(x,\s\up6(－))甲2＋a2－\o(x,\s\up6(－))甲2＋…＋a50－\o(x,\s\up6(－))甲2,50)＝500．設(shè)乙班40名學(xué)生的成績分別是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成績和方差分別為eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(b1＋b2＋…＋b40,40)＝85(分)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(b1－\o(x,\s\up6(－))乙2＋b2－\o(x,\s\up6(－))乙2＋…＋b40－\o(x,\s\up6(－))乙2,40)＝360．如果不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙兩班的平均成績、方差及甲、乙兩班的人數(shù)，那么根據(jù)前面的分析，全部90名學(xué)生的平均成績應(yīng)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(50\o(x,\s\up6(－))甲＋40\o(x,\s\up6(－))乙,50＋40)＝eq\f(50×80.5＋40×85,90)＝82.5(分)，方差s2＝eq\f(50[s\o\al(2,甲)＋\o(x,\s\up6(－))甲－\o(x,\s\up6(－))2]＋40[s\o\al(2,乙)＋\o(x,\s\up6(－))乙－\o(x,\s\up6(－))2],50＋40)＝eq\f(50×[500＋80.5－82.52]＋40×[360＋85－82.52],90)＝eq\f(50×500＋50×4＋40×360＋40×6.25,90)≈442.78．規(guī)律方法：若樣本中有兩層，第一層有m個(gè)數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；第二層有n個(gè)數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))，方差為t2，則樣本的均值為eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，方差為eq\f(m[s2＋\o(x,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2]＋n[t2＋\o(y,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2],m＋n)．易錯(cuò)警示典例剖析典例5下面是某賽季甲、乙兩名籃球隊(duì)員每場比賽得分情況：甲：4141424253132353636394549乙：812151823272532333441則甲、乙得分的中位數(shù)之和是(B)A．56分 B．57分C．58分 D．59分[錯(cuò)解]D因?yàn)榧椎闹形粩?shù)是32，乙的中位數(shù)是27，所以甲、乙得分的中位數(shù)之和是59．[辨析]本題易忽視求乙得分的中位數(shù)時(shí)，沒有將數(shù)據(jù)從小到大排列起來，將原始數(shù)據(jù)中的中間一個(gè)數(shù)誤認(rèn)為就是乙得分的中位數(shù)而導(dǎo)致錯(cuò)誤．因此理解樣本的數(shù)字特征的含義較為重要．[正解]由題可知甲得分的中位數(shù)為32分，乙得分的數(shù)據(jù)從小到大排列為：8,12,15,18,23,25,27,32,33,34,41，故乙得分的中位數(shù)為25分，因此甲、乙兩人得分的中位數(shù)之和為57分．5.1.3數(shù)據(jù)的直觀表示柱形圖(也稱為條形圖)知識(shí)點(diǎn)作用形象地比較各種數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系特征(1)一條軸上顯示的是所關(guān)注的數(shù)據(jù)類型，另一條軸上對應(yīng)的是數(shù)量、個(gè)數(shù)或者比例．(2)每一矩形都是__等寬__的折線圖知識(shí)點(diǎn)作用形象地表示數(shù)據(jù)的變化趨勢特征一條軸上顯示的通常是時(shí)間，另一條軸上是對應(yīng)的__數(shù)據(jù)__扇形圖(也稱為餅圖、餅形圖)知識(shí)點(diǎn)作用形象地表示出各部分?jǐn)?shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中所占的__比例__特征每一個(gè)扇形的圓心角以及弧長，都與這一部分表示的數(shù)據(jù)大小成__正比__莖葉圖知識(shí)點(diǎn)作用(1)如果每一行的數(shù)都是按從大到小(或從小到大)順序排列，則從中可以方便地看出這組數(shù)的__最值__、__中位數(shù)__等數(shù)字特征(2)可以看出一組數(shù)的分布情況，可能得到一些額外的信息(3)比較兩組數(shù)據(jù)的集中或分散程度特征所有的莖都豎直排列，而葉沿__水平__方向排列思考1：(1)重復(fù)的數(shù)據(jù)在莖葉圖中是如何表示的？(2)莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是什么？提示：(1)應(yīng)用莖葉圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時(shí)，注意重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏．(2)莖葉圖能保留原始數(shù)據(jù)，并方便隨時(shí)添加記錄數(shù)據(jù)．知識(shí)點(diǎn)畫頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖的步驟(1)找出最值，計(jì)算極差．(2)合理分組，確定區(qū)間．(3)整理數(shù)據(jù)．(4)作出有關(guān)圖示.頻數(shù)分布直方圖縱坐標(biāo)是頻數(shù)，每一組數(shù)對應(yīng)的矩形的__高度__與頻數(shù)成正比頻率分布直方圖縱坐標(biāo)是__eq\f(頻率,組距)__，每一組數(shù)對應(yīng)的矩形高度與頻率成正比，每個(gè)矩形的面積等于這一組數(shù)對應(yīng)的頻率，所有矩形的面積之和為1思考2：頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖有什么不同？提示：頻數(shù)分布直方圖能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù)，而頻率分布直方圖則是從各小組數(shù)據(jù)在所有數(shù)據(jù)中所占的比例大小的角度來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律．知識(shí)點(diǎn)頻數(shù)分布折線圖和頻率分布折線圖把頻數(shù)分布直方圖和頻率分布直方圖中每個(gè)矩形上面一邊的__中點(diǎn)__用線段連接起來，且畫成與橫軸相交．題型柱形圖與折線圖典例剖析典例12020年1月6日的《中國青年報(bào)》報(bào)道：“根據(jù)調(diào)查，有擔(dān)當(dāng)(76.3%)和踏實(shí)(74.5%)的年輕人最被受訪者欣賞．奮進(jìn)(54.7%)、堅(jiān)毅(54.1%)、有夢想(50.2%)、有闖勁兒(40.1%)、沉穩(wěn)(36.7%)、直率(34.6%)、幽默(33.4%)、活潑(27.2%)、莊重(20.3%)、灑脫(20%)也是受訪者欣賞的品質(zhì)．”為形象地表示這一調(diào)查結(jié)果．(1)作出柱形圖；(2)作出折線圖．[解析](1)柱形圖如圖①．(2)方法一：取圖①中各小矩形上面的中點(diǎn)用線段連接起來(圖略)，即得折線圖．方法二：直接作出折線圖如圖②其中橫軸上的1,2,3，…，12分別表示“有擔(dān)當(dāng)”，“踏實(shí)”，…，“灑脫”．規(guī)律方法：1.柱形圖中，各小矩形寬相等．2．注意橫、縱軸的意義．3．由柱形圖可以作出折線圖：取各小矩形上邊的中點(diǎn)，再用線段連接，取各小矩形下邊的中點(diǎn)并標(biāo)注上數(shù)字，要說明標(biāo)注數(shù)字所對應(yīng)的數(shù)據(jù)類型．題型扇形圖典例剖析典例2某企業(yè)三個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個(gè)分廠的產(chǎn)量分布如圖所示，現(xiàn)在用分層隨機(jī)抽樣方法從三個(gè)分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中共抽取100件進(jìn)行使用壽命的測試，則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為__50__；測試結(jié)果為第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均使用壽命分別為1020小時(shí)，980小時(shí)，1030小時(shí)，估計(jì)這個(gè)企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均使用壽命為__1_015__小時(shí)．[解析]由分層隨機(jī)抽樣可知，第一分廠應(yīng)抽取100×50%＝50(件)，該產(chǎn)品的平均使用壽命為eq\f(50×1020＋20×980＋30×1030,100)＝1015(小時(shí))．規(guī)律方法：在扇形圖中，部分?jǐn)?shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中的比例等于對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)與360°之比，等于對應(yīng)扇形的弧長與周長之比，也等于對應(yīng)扇形面積與圓面積之比．題型莖葉圖的畫法及應(yīng)用典例剖析典例3下面是甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員某賽季一些場次得分的莖葉圖：(1)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的最高得分各是多少？(2)哪名運(yùn)動(dòng)員的成績好一些？[解析](1)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的最高得分分別為51分，52分．(2)從莖葉圖可以看出，甲運(yùn)動(dòng)員得分大致對稱，乙運(yùn)動(dòng)員的得分除一個(gè)52分以外，也大致對稱．而甲運(yùn)動(dòng)員的平均得分高于乙運(yùn)動(dòng)員的平均得分，因此甲運(yùn)動(dòng)員的成績更好．規(guī)律方法：1.利用莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)，通常從莖葉圖中各個(gè)“葉”上的數(shù)字多少來分析該組數(shù)據(jù)的分布對稱性、穩(wěn)定性等．2．如果莖葉圖中的數(shù)據(jù)大致集中在某一行附近，那么說明這組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定．3．莖葉圖只適用于樣本數(shù)據(jù)較少的情況．題型頻率分布表和頻率分布直方圖典例剖析典例4從高一學(xué)生中抽取50名參加調(diào)研考試，成績的分組及各組的頻數(shù)如下(單位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)成績在[70,80)的學(xué)生占總體的百分比．[分析]計(jì)算頻率、列表與繪圖．[解析](1)頻率分布表如下：成績分組頻數(shù)頻率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.2[70,80)150.3[80,90)120.24[90,100]80.16合計(jì)501.00(2)繪制頻率分布直方圖如圖，由題意知組距為10，取小矩形的高為eq\f(頻率,組距)，計(jì)算得到如下的數(shù)據(jù)表：成績分組頻率小矩形的高[40,50)0.040.004[50,60)0.060.006[60,70)0.20.02[70,80)0.30.03[80,90)0.240.024[90,100]0.160.016合計(jì)1.00根據(jù)表格畫出如下的頻率分布直方圖：(3)由頻率分布直方圖可知成績在[70,80)分的學(xué)生所占總體的百分比是0.03×10＝0.3＝30%．規(guī)律方法：繪制頻率分布直方圖的方法：(1)先制作頻率分布表，然后作直角坐標(biāo)系．(2)把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個(gè)組．(3)在上面標(biāo)出的各點(diǎn)中，分別以相鄰兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為底作長方形，它的高等于該組的eq\f(頻率,組距).每個(gè)長方形的面積恰好是該組的頻率，這些長方形構(gòu)成了頻率分布直方圖．易錯(cuò)警示典例剖析典例5某中學(xué)同年級(jí)40名男生的體重?cái)?shù)據(jù)如下(單位：kg)：61605959595858575757575656565656565655555555545454545353535252525251515150504948列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖．[錯(cuò)解](1)極差61－48＝13．(2)取組距2，分組eq\f(13,2)＝6.5分7組．(3)分點(diǎn)及分組如下：48～50,50～52,52～54,54～56,56～58,58～60,60～62．(4)列頻率分布表：分組頻數(shù)頻率48～5020.0550～5250.12552～5470.17554～5680.2056～58110.27558～6050.12560～6220.05合計(jì)401.00(5)畫出頻率分布直方圖如圖所示：[辨析]據(jù)畫頻率分布直方圖的要求，分組的分點(diǎn)應(yīng)比實(shí)際數(shù)多一位小數(shù)，故分點(diǎn)及分組應(yīng)為47.5開始至61.5結(jié)束．[正解](1)計(jì)算最大值與最小值的差：61－48＝13．(2)決定組距與組數(shù)，取組距為2．eq\f(最大值－最小值,組距)＝eq\f(13,2)＝6eq\f(1,2)，∴共分成7組．(3)決定分點(diǎn)，使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并把第1小組的分點(diǎn)減小0.5，即分成如下7組：47．5～49.5,49.5～51.5,51.5～53.5,53.5～55.5，55.5～57.5,57.5～59.5,59.5～61.5(4)列出頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率47.5～49.520.0549.5～51.550.12551.5～53.570.17553.5～55.580.2055.5～57.5110.27557.5～59.550.12559.5～61.520.05合計(jì)401.00(5)繪出頻率分布直方圖．5.1.4用樣本估計(jì)總體知識(shí)點(diǎn)用樣本估計(jì)總體(1)前提樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法合理．(2)必要性①在容許一定誤差存在的前提下，可以用樣本估計(jì)總體，這樣能節(jié)省人力和物力．②有時(shí)候總體的數(shù)字特征不可能獲得，只能用__樣本__估計(jì)總體．(3)誤差估計(jì)一般是有__誤差__的．但是，大數(shù)定律可以保證，當(dāng)樣本的容量__越來越大__時(shí)，估計(jì)的誤差很小的可能性將越來越大．思考：用樣本估計(jì)總體出現(xiàn)誤差的原因有哪些？提示：樣本抽取的隨機(jī)性；樣本抽取的方法不合適，導(dǎo)致代表性差；樣本容量偏少等．知識(shí)點(diǎn)用樣本的數(shù)字特征來估計(jì)總體的數(shù)字特征(1)一般來說，在估計(jì)總體的數(shù)字特征時(shí)，只需直接算出樣本對應(yīng)的__數(shù)字特征__即可．(2)樣本是用分層抽樣得到的，由每一層的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．以分兩層抽樣的情況為例.條件假設(shè)第一層有m個(gè)數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；第二層有n個(gè)數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))，方差為t2結(jié)論如果記樣本的平均值為a，樣本方差為b，則eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，b2＝eq\f(1,m＋n)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ms2＋nt2＋\f(mn,m＋n)\o(x,\s\up6(－))－\o(y,\s\up6(－))2))知識(shí)點(diǎn)用樣本的分布來估計(jì)總體的分布如果總體在每一個(gè)分組的頻率記為π1，π2，…，πn，樣本在第一組對應(yīng)的頻率記為p1，p2，…，pn，一般來說，eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(πi－pi)2不等于零．當(dāng)樣本的容量__越來越大__時(shí)，上式很小的可能性將越來越大．題型用樣本的特征數(shù)估計(jì)總體的特征數(shù)角度1簡單隨機(jī)抽樣的數(shù)字特征典例剖析典例1甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100．seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1．(2)兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．規(guī)律方法：(1)利用樣本的原始數(shù)據(jù)求得的樣本數(shù)字特征是準(zhǔn)確值，可用以估計(jì)總體．(2)此類問題需計(jì)算樣本的平均值和方差來估計(jì)總體．角度2分層抽樣的數(shù)字特征典例剖析典例2在對樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高(單位：cm)的調(diào)查中，采用分層抽樣的方法，抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62，你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出樣本的方差，并對高一年級(jí)全體學(xué)生身高的方差作出估計(jì)嗎？[解析]把樣本中男生的身高記為x1，x2，…，x23，其平均數(shù)記為eq\o(x,\s\up6(－))，方差記為seq\o\al(2,x)；把樣本中女生的身高記為y1，y2，…，y27，其平均數(shù)記為eq\o(y,\s\up6(－))，方差記為seq\o\al(2,y)，把樣本的平均數(shù)記為eq\o(a,\s\up6(－))，方差記為s2．則eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(23×170.6＋27×160.6,23＋27)＝165.2，s2＝eq\f(23×[s\o\al(2,x)＋\o(x,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2]＋27×[s\o\al(2,y)＋\o(y,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2],23＋27)＝eq\f(23×[12.59＋170.6－165.22]＋27×[38.62＋160.6－165.22],50)＝51.4862，即樣本的方差為51.4862．因此估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生身高的方差為51.4862．規(guī)律方法：1.求分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)的步驟(1)求樣本中不同層的平均數(shù)；(2)應(yīng)用分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)公式進(jìn)行求解．2．求分層隨機(jī)抽樣的方差的步驟(1)求樣本中不同層的平均數(shù)；(2)求樣本中不同層的方差；(3)應(yīng)用分層隨機(jī)抽樣的方差公式進(jìn)行求解．題型用樣本的分布估計(jì)總體的分布典例剖析典例3我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估計(jì)x的值，并說明理由．[解析](1)由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06，0.04，0.02．由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30．(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12．由以上樣本的頻率，可以估計(jì)全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12＝36000．(3)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，而前5組的頻率之和為：0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x＜3，由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，所以x＝2.9，所以估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)．規(guī)律方法：(1)由于頻率分布表、頻率分布直方圖丟失了樣本的原始數(shù)據(jù)，以此求得數(shù)字特征都是樣本數(shù)字特征的估計(jì)值．(2)可用樣本的分布估計(jì)總體的分布．易錯(cuò)警示典例剖析典例4在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績?nèi)绫硭荆撼煽?m1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．[錯(cuò)解]根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得眾數(shù)為1.75，中位數(shù)為eq\f(1.70＋1.75,2)＝1.725，平均數(shù)為1.69．[辨析]所求數(shù)據(jù)要注意單位問題，另外中位數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤．[正解]在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75m．表中的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70m；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝eq\f(28.75,17)≈1.69(m)．故17名運(yùn)動(dòng)員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75m,1.70m,1.69m．5.3概率5.3.1樣本空間與事件知識(shí)點(diǎn)隨機(jī)現(xiàn)象與必然現(xiàn)象(1)隨機(jī)現(xiàn)象(或偶然現(xiàn)象)：一定條件下，發(fā)生的結(jié)果__事先不能確定__的現(xiàn)象．(2)必然現(xiàn)象(或確定性現(xiàn)象)：一定條件下，發(fā)生的結(jié)果__事先能夠確定__的現(xiàn)象．知識(shí)點(diǎn)樣本點(diǎn)和樣本空間(1)樣本點(diǎn)：把隨機(jī)試驗(yàn)中每一種__可能出現(xiàn)__的結(jié)果，都稱為樣本點(diǎn)．(2)樣本空間：把由__所有樣本點(diǎn)__組成的集合稱為樣本空間(通常用大寫希臘字母Ω表示)．思考：樣本點(diǎn)是雜亂無章出現(xiàn)的嗎？提示：不是雜亂無章出現(xiàn)的，是有一定規(guī)律可循的．知識(shí)點(diǎn)隨機(jī)事件(1)不可能事件：在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，始終__不會(huì)發(fā)生__的結(jié)果．(2)必然事件：在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，每次試驗(yàn)中__一定會(huì)發(fā)生__的結(jié)果．(3)隨機(jī)事件：在__同樣的__條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的結(jié)果．思考：事件的分類是確定的嗎？提示：事件的分類是相對于條件來講的，在不同的條件下，必然事件、隨機(jī)事件、不可能事件可以相互轉(zhuǎn)化．知識(shí)點(diǎn)隨機(jī)事件的概率不可能事件?的概率為0，必然事件Ω的概率為1；任意事件A的概率為：__0≤P(A)≤1__．思考：事件A的概率可能大于1嗎？提示：根據(jù)隨機(jī)事件的概率知道，任意事件A的概率為：0≤P(A)≤1，不可能出現(xiàn)概率大于1的事件．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型事件類型的判斷典例剖析典例1判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件．(1)“拋一石塊，下落”；(2)“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度低于0℃時(shí)，冰融化”；(3)“某人射擊一次，中靶”；(4)“如果a＞b，那么a－b＞0”；(5)“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”；(6)“導(dǎo)體通電后，發(fā)熱”；(7)“從分別標(biāo)有號(hào)數(shù)1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號(hào)簽”；(8)“某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫”；(9)“沒有水分，種子能發(fā)芽”；(10)“在常溫下，焊錫熔化”．[分析]根據(jù)在一定條件下必然事件必然發(fā)生，不可能事件不可能發(fā)生，隨機(jī)事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生判斷．[解析]事件(1)(4)(6)是必然事件；事件(2)(9)(10)是不可能事件；事件(3)(5)(7)(8)是隨機(jī)事件．規(guī)律方法：事件類型的判斷方法要判定某事件是何種事件，首先要看清條件，因?yàn)槿N事件都是相對于一定條件而言的．其次再看它是一定發(fā)生，是不一定發(fā)生，還是一定不發(fā)生．一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一定不發(fā)生的是不可能事件．絕對不會(huì)沸騰的，故D是不可能事件．故選C．題型樣本點(diǎn)與樣本空間典例剖析典例2(1)一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩，則樣本空間Ω是(C)A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}(2)同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤甲得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為y，結(jié)果為(x，y)．①寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；②求這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)；③“x＋y＝5”這一事件包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？“x＜3，且y＞1”呢？④“xy＝4”這一事件包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？“x＝y(tǒng)”呢？[分析]解答本題要根據(jù)日常生活的經(jīng)驗(yàn)，有條不紊地逐個(gè)列出所要求的結(jié)果．[解析](1)兩個(gè)小孩有男、女之分，所以(男，女)與(女，男)是不同的基本事件．故選C．(2)①Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．②樣本點(diǎn)的總數(shù)為16．③“x＋y＝5”包含以下4個(gè)樣本點(diǎn)：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．“x＜3，且y＞1”包含以下6個(gè)樣本點(diǎn)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．④“xy＝4”包含以下3個(gè)樣本點(diǎn)：(1,4)，(2,2)，(4,1)．“x＝y(tǒng)”包含以下4個(gè)樣本點(diǎn)：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．規(guī)律方法：隨機(jī)事件的結(jié)果是相對于條件而言的，要確定樣本空間，(1)必須明確事件發(fā)生的條件；(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出所有樣本點(diǎn)．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏．題型隨機(jī)事件的概率典例剖析典例3袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號(hào)為a，b的2個(gè)黑球和編號(hào)為c，d，e的3個(gè)紅球，從中任意摸出2個(gè)球．(1)寫出該試驗(yàn)的樣本空間；(2)用集合表示A：恰好摸出1個(gè)黑球和1個(gè)紅球；B：至少摸出1個(gè)黑球；(3)從直觀上判斷P(A)和P(B)的大小；(4)集合表示C：一定抽到c小球，則集合C怎么表示呢，并判斷P(A)和P(C)的大小？[解析](1)用樹狀圖表示所有的結(jié)果為：所以該試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de}．(2)A＝{ac，ad，ae，bc，bd，be}；B＝{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be}．(3)因?yàn)榧螦中包含6個(gè)樣本點(diǎn)，集合B中包含7個(gè)樣本點(diǎn)，所以從直觀上看，P(A)＜P(B)．(4)C＝{ac，bc，cd，ce}；因?yàn)榧螦中包含6個(gè)樣本點(diǎn)，集合C中包含4個(gè)樣本點(diǎn)，所以從直觀上看，P(A)＞P(C)．規(guī)律方法：概率意義的理解(1)概率是事件固有的基礎(chǔ)，可以通過大量重復(fù)的試驗(yàn)得到其近似值．但在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生與否都是有可能的．(2)概率反映了事件發(fā)生的可能性，可以看作是頻率在理論上的期望值．易錯(cuò)警示典例剖析典例4已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，從集合A中選取不相同的兩個(gè)數(shù)，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)，觀察點(diǎn)的位置，則事件“點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上”包含的樣本點(diǎn)共有(C)A．9個(gè) B．10個(gè)C．18個(gè) D．19個(gè)[錯(cuò)解]D[辨析]錯(cuò)誤的原因是把題意理解成所有可能的坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，連同(0,0)計(jì)算在內(nèi)，沒有看清從A中選取不相同的兩個(gè)數(shù)．[正解]C5.3.2事件之間的關(guān)系與運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)事件的包含與相等(1)包含關(guān)系一般地，如果事件A__發(fā)生__時(shí)，事件B一定發(fā)生，則稱“A包含于B”(或“B包含A”)，記作A?B(或B?A)．用圖形表示為：(2)相等關(guān)系如果事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定發(fā)生；而且事件B發(fā)生時(shí)，事件A也一定發(fā)生，則稱“__A與B相等__”，記作A＝B．思考：如果兩個(gè)事件相等，則這兩個(gè)事件的樣本點(diǎn)有什么關(guān)系？提示：如果兩個(gè)事件相等，則它們的樣本點(diǎn)完全相同．即：A＝B?A?B且B?A?A與B有相同的樣本點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)和事件與積事件(1)事件的和(并)給定事件A，B，由__所有__A中的樣本點(diǎn)與B中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A與B的和(或并)，記作A＋B(或A∪B)．事件A與B的和可以用如圖中的陰影部分表示．(2)事件的積(交)給定事件A，B，由A與B中的__公共樣本點(diǎn)__組成的事件稱為A與B的積(或交)，記作AB(或A∩B)．事件A與事件B的積可以用如圖中的陰影部分表示．思考：“A∩B＝?”的含義是什么？提示：在一次試驗(yàn)中，事件A、B不可能同時(shí)發(fā)生．知識(shí)點(diǎn)事件的互斥與對立給定事件A，B，若事件A與B__不能同時(shí)__發(fā)生，則稱A與B互斥，記作AB＝?(或A∩B＝?)．互斥事件的概率加法公式：若A與B互斥(即A∩B＝?)，則：P(A＋B)＝__P(A)＋P(B)__．若A∩B為__不可能__事件，A∪B為__必然__事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生．事件A的對立事件記為：eq\o(A,\s\up6(－))，則：P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝__1__．題型事件關(guān)系的判斷典例剖析典例1在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件．例如，事件C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，事件C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，事件C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，事件C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，事件D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事件D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事件D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事件E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事件F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事件G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請根據(jù)上述定義的事件，回答下列問題：(1)請列舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件．[解析](1)因?yàn)槭录﨏1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3．同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F(xiàn)，G；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．且易知事件C1與事件D1相等，即C1＝D1．(2)因?yàn)槭录﨑2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G．規(guī)律方法：事件間運(yùn)算方法1．利用事件間運(yùn)算的定義．列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算．2．利用Venn圖，借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算．題型互斥事件與對立事件的判斷典例剖析典例2從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從1～10各4張)中，任取一張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．[解析](1)是互斥事件，不是對立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件．(2)既是互斥事件，又是對立事件．理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．(3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件．規(guī)律方法：互斥事件、對立事件的判定方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生；②對立事件首先是互斥事件，且必須有一個(gè)要發(fā)生．(2)利用集合的觀點(diǎn)來判斷設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A，B．①事件A與B互斥，即集合A∩B＝?；②事件A與B對立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，即A＝?IB或B＝?IA．題型互斥事件概率加法公式的應(yīng)用典例剖析典例3某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.計(jì)算這個(gè)運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；(2)至少射中7環(huán)的概率．[解析]設(shè)運(yùn)動(dòng)員射擊一次，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下分別記為A，B，C，D，E，則P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，P(D)＝0.3，P(E)＝0.1．(1)∵A，B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3，即射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.3．(2)記F＝A＋B＋C＋D，∵E，F(xiàn)對立，∴P(F)＝1－P(E)＝1－0.1＝0.9，即P(A＋B＋C＋D)＝0.9，即至少射中7環(huán)的概率為0.9．規(guī)律方法：(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有當(dāng)A，B兩事件互斥時(shí)才能使用，如果A，B不互斥，就不能應(yīng)用這一公式．(2)利用對立事件的概率公式求解時(shí)，必須準(zhǔn)確判斷兩個(gè)事件確實(shí)是對立事件時(shí)才能應(yīng)用．易錯(cuò)警示典例剖析典例4拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)的概率都是eq\f(1,6)，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事件B為“向上的點(diǎn)數(shù)不超過3”，求P(A＋B)．[錯(cuò)解]設(shè)向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)分別記為事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，則它們兩兩是互斥事件，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3．P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝eq\f(1,6)．則P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)．P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)．故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1．[辨析]錯(cuò)解的原因在于忽視了“事件和”概率公式應(yīng)用的前提條件，由于“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”與“朝上一面的數(shù)不超過3”這二者不是互斥事件，即出現(xiàn)1或3時(shí)，事件A，B同時(shí)發(fā)生，所以不能應(yīng)用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解．[正解]記事件“出現(xiàn)1點(diǎn)”“出現(xiàn)2點(diǎn)”“出現(xiàn)3點(diǎn)”“出現(xiàn)5點(diǎn)”分別為A1，A2，A3，A4，由題意知這四個(gè)事件彼此互斥．則A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4．故P(A＋B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)．5.3.3古典概型知識(shí)點(diǎn)古典概型一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是__有限的__，而且可以認(rèn)為每個(gè)只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件發(fā)生的__可能性大小都相等__，則稱這樣的隨機(jī)試驗(yàn)為古典概率模型，簡稱古典概型．知識(shí)點(diǎn)古典概型的計(jì)算公式試驗(yàn)的樣本空間包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件C包含有m個(gè)樣本點(diǎn)，則事件C發(fā)生的概率為：P(C)＝__eq\f(m,n)__思考：若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的基本事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，則該試驗(yàn)是古典概型嗎？提示：不是，還必須滿足每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．題型樣本點(diǎn)的計(jì)數(shù)典例剖析典例1袋中有紅、白、黃、黑四種顏色且大小相同的四個(gè)小球．(1)從中任取一球；(2)從中任取兩球；(3)先后各取一球．寫出上面試驗(yàn)的樣本空間，并指出樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)．[解析](1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為{(紅)，(白)，(黃)，(黑)}，樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4．(2)一次取兩球，如記(紅，白)代表一次取出紅球、白球兩個(gè)球，則本試驗(yàn)的樣本空間為{(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)}，樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6．(3)先后取兩球，如記(紅，白)代表先取一紅球，后取一白球．因此本試驗(yàn)的樣本空間為{(紅，白)，(白，紅)，(紅，黃)，(黃，紅)，(紅，黑)，(黑，紅)，(白，黃)，(黃，白)，(白，黑)，(黑，白)，(黃，黑)，(黑，黃)}，樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是12．規(guī)律方法：列樣本點(diǎn)的三種方法及注意點(diǎn)(1)列舉法：一一列出所有樣本點(diǎn)的結(jié)果，一般適用于較簡單的問題．(2)列表法：一般適用于較簡單的試驗(yàn)方法．(3)樹狀圖法：一般適用于較復(fù)雜問題中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)的探求．注意點(diǎn)：取兩個(gè)球時(shí)，有無順序；依次取兩球時(shí)，取球是否放回．題型古典概型的判斷典例剖析典例2袋中有大小相同的5個(gè)白球，3個(gè)黑球和3個(gè)紅球，每球有一個(gè)區(qū)別于其他球的編號(hào)，從中摸出一個(gè)球．(1)有多少種不同的摸法？如果把每個(gè)球的編號(hào)看作是一個(gè)基本事件概率模型，該模型是不是古典概型？(2)若按球的顏色為基本事件，有多少個(gè)基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？[分析]根據(jù)判斷一個(gè)概率模型是否為古典概型的依據(jù)“有限性”和“等可能性”進(jìn)行求解．[解析](1)由于共有11個(gè)球，且每個(gè)球有不同的編號(hào)．故共有11種不同的摸法，又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?，因此每個(gè)球被摸中的可能性相等，故以球的編號(hào)為基本事件的概率模型為古典概型．(2)由于11個(gè)球共有3種顏色，因此共有3個(gè)基本事件，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”，因?yàn)樗星虼笮∠嗤?，所以一次摸球每個(gè)球被摸中的可能性均為eq\f(1,11)．因?yàn)榘浊蛴?個(gè)，所以一次摸球摸中白球的可能性為eq\f(5,11)．同理可知，摸中黑球、紅球的可能性均為eq\f(3,11)．顯然這三個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，所以以顏色為基本事件的概率模型不是古典概型．規(guī)律方法：(1)一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于是否具有兩個(gè)特征：有限性和等可能性．(2)并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型，下列三類試驗(yàn)都不是古典概型；①基本事件個(gè)數(shù)有限，但非等可能．②基本事件個(gè)數(shù)無限，但等可能．③基本事件個(gè)數(shù)無限，也不等可能．題型古典概型的概率典例剖析典例3某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)．參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；②若xy≥8，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻．小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)．(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．[解析]用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一對應(yīng)．因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4＝16，所以樣本點(diǎn)總數(shù)n＝16．(1)記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的樣本點(diǎn)共5個(gè)，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16)．(2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C．則事件B包含的樣本點(diǎn)共6個(gè)，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)．事件C包含的樣本點(diǎn)共5個(gè)，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(C)＝eq\f(5,16)，因?yàn)閑q\f(3,8)＞eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．規(guī)律方法：求古典概型概率應(yīng)按下面四個(gè)步驟進(jìn)行：(1)仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意．(2)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A．(3)分別求出樣本點(diǎn)的總數(shù)n與所求事件A中所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)m．(4)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事件A的概率．易錯(cuò)警示典例剖析典例4某校從A、B、C、D四名同學(xué)中隨機(jī)選派兩人分別去參觀甲、乙兩個(gè)工廠，求學(xué)生A被選中的概率．[錯(cuò)解]從A、B、C、D四名同學(xué)中隨機(jī)選兩人所得的樣本點(diǎn)有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6個(gè)．記“學(xué)生A被選中”為事件M，事件M包含的樣本點(diǎn)有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，共3個(gè)，∴P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)．[辨析]錯(cuò)解中忽視了從A、B、C、D四名學(xué)生中隨機(jī)選兩人分別去參觀甲、乙兩個(gè)工廠是有順序的．[正解]從A、B、C、D四名同學(xué)中隨機(jī)選派兩人分別去參加甲、乙兩個(gè)工廠所得的樣本空間Ω＝{(A，B)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，(B，C)，(C，B)，(B，D)，(D，B)，(C，D)，(D，C)}，共12個(gè)樣本點(diǎn)．記“學(xué)生A被選中”為事件M，事件M包含的樣本點(diǎn)有：(A，B)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，共6個(gè)．∴P(M)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)．5.3.4頻率與概率知識(shí)點(diǎn)頻率與概率在大量重復(fù)的試驗(yàn)過程中，一個(gè)事件發(fā)生的頻率會(huì)很接近于這個(gè)事件發(fā)生的概率，而且，試驗(yàn)的次數(shù)越多，頻率與概率之間差距很小的可能性越大．思考1：同一個(gè)隨機(jī)事件在相同條件下，每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都一樣嗎？提示：概率是從數(shù)量上反映隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生可能性的大小的一個(gè)量，是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān)；同一個(gè)隨機(jī)事件在相同條件下，每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的．知識(shí)點(diǎn)頻率和概率之間的聯(lián)系在多次重復(fù)試驗(yàn)中，同一事件發(fā)生的頻率在某一個(gè)數(shù)值附近擺動(dòng)，事件的頻率是概率的一個(gè)近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率．思考：怎樣根據(jù)頻率求事件發(fā)生的概率？提示：在實(shí)踐中，在大量的重復(fù)試驗(yàn)后，人們經(jīng)常采用頻率估計(jì)概率．題型概率概念的理解典例剖析典例1下列說法正確的是(D)A．由生物學(xué)知道生男生女的概率約為0.5，一對夫婦先后生兩小孩，則一定為一男一女B．一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)概率為0.2，則摸5張票，一定有一張中獎(jiǎng)C．10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎(jiǎng)票的可能性大D．10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1[解析]一對夫婦生兩小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎(jiǎng)概率為0.2是說中獎(jiǎng)的可能性為0.2，當(dāng)摸5張票時(shí)，可能都中獎(jiǎng)，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎(jiǎng)，所以B不正確；10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1，所以C不正確，D正確．規(guī)律方法：對概率的深入理解1．概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事件發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率的近似值．2．由概率的定義我們可以知道隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．3．正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系．對具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗(yàn)或某一個(gè)具體的事件．題型概率與頻率的關(guān)系及求法典例剖析典例2下面是某批乒乓球質(zhì)量檢查結(jié)果表：抽取球數(shù)5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)45921944709541902優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率(1)在上表中填上優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率；(2)估計(jì)該批乒乓球優(yōu)等品的概率．[解析](1)抽取球數(shù)5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)45921944709541902優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率0.90.920.970.940.9540.951(2)從表中數(shù)據(jù)估計(jì)這批乒乓球優(yōu)等品的概率是0.95．規(guī)律方法：頻率與概率的認(rèn)識(shí)1．理論依據(jù)：頻率在一定程度上可以反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，在大量重復(fù)試驗(yàn)的條件下可以近似地作為這個(gè)事件的概率．2．計(jì)算頻率：頻率＝eq\f(頻數(shù),試驗(yàn)次數(shù))．3．得出概率：從頻率估計(jì)出概率．[母題探究1]例2中若抽取乒乓球的數(shù)量為1700只，則優(yōu)等品的數(shù)量大約為多少？[解析]由優(yōu)等品的概率的估計(jì)值為0.95，可知抽取1700只乒乓球時(shí)，優(yōu)等品數(shù)量大約為1700×0.95＝1615．[母題探究2]例2中若檢驗(yàn)得到優(yōu)等品數(shù)量為1700只，則抽取數(shù)量大約為多少？[解析]由優(yōu)等品概率的估計(jì)值為0.95，可知抽取數(shù)量大約為1700÷0.95≈1789．題型概率的應(yīng)用典例剖析典例3為了估計(jì)水庫中魚的條數(shù)，可以使用以下的方法：先從水庫中捕出2000條魚，給每條魚做上記號(hào)，不影響其存活，然后放回水庫．經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓其和水庫中的其他魚充分混合，再從水庫中捕出500條，查看其中有記號(hào)的魚，有40條，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)水庫中魚的條數(shù)．[解析]設(shè)水庫中魚的條數(shù)是n，現(xiàn)在要估計(jì)n的值，假定每條魚被捕的可能性是相等的，從水庫中任捕一條魚，設(shè)事件A＝{帶記號(hào)的魚}，則P(A)＝eq\