安徽省蕪湖市2022-2023學年高一上學期期末教學質(zhì)量統(tǒng)測數(shù)學試題

2022-2023學年度第一學期蕪湖市中學教學質(zhì)量統(tǒng)測高一年級數(shù)學試題卷注意事項：1．本試卷滿分為100分，考試時間為120分鐘.2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分.“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁.3．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的.4．考試結(jié)束后，請將“答題卷”交回.一、單選題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的）1.設集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集，可得答案.【詳解】由題意，.故選：A.2.不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法計算可得；【詳解】由，解得，即原不等式的解集為；故選：B.3.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由誘導公式化簡后得結(jié)論．【詳解】．故選：C．4.已知命題，則命題為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】給定命題是全稱量詞命題，由全稱量詞命題的否定的意義即可得解.【詳解】因是全稱量詞命題，則命題為存在量詞命題，由全稱量詞命題的否定意義得，命題：.故選：C5.若，，則下列不等式成立是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A，取特值可判斷B，C，D.【詳解】對于A，因為，，所以，故A正確；對于B，若，則，故B正確；對于C，若，則，故C不正確；對于D，若，則，故D不正確.故選：A.6.折扇是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1，其平面圖如圖2的扇形，其中，，則扇面（曲邊四邊形）的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形面積公式計算（大扇形面積減去小扇形面積）．【詳解】由已知，，扇面面積為故選：B．7.下列說法正確的是（）A.“”是“”的既不充分也不必要條件B.“”是“”的充分不必要條件C.若，則“”是“”的必要不充分條件D.在中，角，均為銳角，則“”是“是鈍角三角形”的充要條件【答案】D【解析】【分析】利用充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件定義進行逐項判定.【詳解】對于A，因為能夠得到，反之不成立，所以“”是“”的必要不充分條件，A錯誤；對于B，因為時，，而當時，，所以“”是“”的必要不充分條件，B錯誤；對于C，當時，，無法得出；當，，所以，C錯誤；對于D，因為角，均為銳角，當時，，由于所以，即，所以是鈍角三角形；反之依然成立，D正確.故選：D.8.已知實數(shù)，，，那么實數(shù)，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法，結(jié)合對數(shù)的運算，以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】，由，則，即，可得；，由，則，即，可得；，由，則，即，可得；綜上，.故選：A.二、多選題（本題共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得4分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下圖為冪函數(shù)的大致圖象，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，以及冪函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對于A、C，，，顯然為奇函數(shù)，且指數(shù)在0到1之間，在第一象限是越增越慢的，故A、C正確；對于B、D，，，顯然為偶函數(shù)，故B、D錯誤.故選：AC.10.下列說法中正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.與的圖象相同C.不等式的解集為D.的圖象對稱中心為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)誘導公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)輔助角公式及正弦函數(shù)的圖象函數(shù)性質(zhì)可判斷C，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A：因為的單調(diào)增區(qū)間為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B：因為，，所以與的圖象相同，故B正確；對于C：由，可得，則，即，所以不等式的解集為，故C正確；對于D：對于函數(shù)的圖象對稱中心為，故D錯誤.故選：ABC.11.已知，，則下列選項一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用等量代換整理函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；對于B，利用基本不等式，可得答案；對于C，利用反例，可得答案；對于D，利用等量代換整理函數(shù)解析式，利用導數(shù)研究其最值，可得答案.【詳解】對于A，由，則，由，則，，，故A正確；對于B，由，即，則，當且僅當時等號成立，故B正確；對于C，當時，，而，故C錯誤；對于D，由，則，由，則，，令，，令，解得，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故D正確；故選：ABD.12.已知函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，且，都有．若不等式，對恒成立，則的取值可以為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題可得的圖象關(guān)于對稱，且在上單調(diào)遞增，進而將不等式轉(zhuǎn)化為，對恒成立，然后利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍，即得.【詳解】因函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，又，都有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為不等式，對恒成立，所以，對恒成立，令，則，則，所以，對恒成立，因為，，，故，所以BC正確，AD錯誤.故選；BC.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.三、填空題（本題共4小題，每題4分，共16分）13.已知為第三象限角，，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)商式關(guān)系以及平方和關(guān)系，可得答案.【詳解】由，則，，由，則，由為第三象限角，，，則.故答案為：.14.函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則時，___________．【答案】【解析】【分析】由偶函數(shù)的定義求解．【詳解】時，，是偶函數(shù)，∴，故答案為：．15.科學家通過生物標本中某種放射性元素的存量來估算該生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為1620年（即：每經(jīng)過1620年，該元素的存量為原來的一半），某生物標本中該元素的初始存量為，經(jīng)檢測生物中該元素現(xiàn)在的存量為，（參考數(shù)據(jù)：）請推算該生物距今大約___________年．【答案】3780【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)模型求解．【詳解】設放射性元素的存量模型為，由已知，所以，，，設題中所求時間為，則，，，，∴，．故答案為：3780.16.定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的所有零點之和為___________．【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)與圖象，根據(jù)對稱性以及對數(shù)函數(shù)的運算得出零點之和.【詳解】令，即，故函數(shù)的零點就是函數(shù)與圖象交點的橫坐標，當時，，函數(shù)與在上圖象如圖所示：設與圖象交點的橫坐標分別為，由對稱性可知，，.由，結(jié)合奇偶性得出，即解得，即.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共44分）17.計算：（1）；（2）．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運算與指數(shù)運算，可得答案.【小問1詳解】原式．【小問2詳解】原式18.小明家院子中有塊不規(guī)則空地，如圖所示．小明測量并計算得出空地邊緣曲線擬合函數(shù)，小明的爸爸打算改造空地，用家中現(xiàn)有的8米長的柵欄如圖圍一面靠墻矩形空地用來鋪設草皮，請問小明的爸爸需要購買多少平方米的草皮才能鋪滿矩形草地？（不考慮材料的損耗）【答案】.【解析】【分析】設，進而可得，根據(jù)條件可得方程，然后結(jié)合條件即得.【詳解】設，因為，則，所以，解得，即，，此時矩形的面積為，即小明的爸爸需要購買6平方米的草皮才能鋪滿矩形草地．19.已知集合，．（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解分式不等式可得集合，后根據(jù)并集的定義運算即可；（2）由題可得，然后分類討論，結(jié)合子集的定義即得.【小問1詳解】因為，故；【小問2詳解】若，則，，，，符合；②，，不符合，舍去；③，，則；綜上，實數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)奇偶性并證明；（2）設函數(shù)，若函數(shù)與的圖象沒有公共點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）偶函數(shù)，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，可得答案；（2）根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【小問1詳解】函數(shù)定義域為，，，是偶函數(shù).【小問2詳解】等價于方程沒有實數(shù)根．令，則沒有大于的根，令．①時，符合；②時，對稱軸，，無正根符合；③時，對稱軸，，有一根大于，不符合．綜上，．21.三角函數(shù)變形化簡中常用“切割化弦”的技巧．其中“弦”指正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，“切”指正切函數(shù)與余切函數(shù)，“割”指正割函數(shù)與余割函數(shù)．設是一個任意角，如圖所示它的終邊上任意一點（不與原點重合）的坐標為，與原點的距離為，則的正割函數(shù)定義為．（1）已知函數(shù)，寫出的定義域和單調(diào)區(qū)間；（2）方程在所有根的和為，求的值．【答案】（1）詳見解析；（2）1.【解析】【分析】（1）利用正割函數(shù)的定義可得函數(shù)的定義域及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；或使用轉(zhuǎn)化思想，將對正割函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為已學的余弦函數(shù)，進而即得；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得，進而即得.【小問1詳解】解法一：根據(jù)正割函數(shù)定義，是一個任意角，它的終邊上任意一點（不與原點重合）的坐標為，因為，顯然，因此角的終邊不能落在軸上，結(jié)合終邊相同的角的表示，正割函數(shù)的定義域為，且因為，是該函數(shù)的一個周期．為大于0的定值，當時，此時越大即弧度制下的角越大，因此角終邊上的點的橫坐標越小，與橫坐標的比值就越大，所以為函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合該函數(shù)的周期，為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，同理為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，和為的單調(diào)減區(qū)間；解法二：，，，，，定義域為，當時，在區(qū)間和單調(diào)遞減，所以的單調(diào)增區(qū)間為和；在區(qū)間和單調(diào)遞增，所以的單調(diào)減區(qū)間為和；【小問2詳解】因為，，，，故兩函數(shù)均為偶函數(shù)，所以它們函數(shù)圖象的交點關(guān)于軸對稱，因此方程的根的和為0，也即，所以．22.已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值8，有最小值0，設．（1）求，值；（2）不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；（3）若方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合條件可得關(guān)于的方程，進而即得；（2）由題可得存在,使得成立，然后根據(jù)參變分離結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得；（3）根據(jù)條件結(jié)合