人教B版（新）必修三 三角函數(shù) 任意角的概念與弧度制 弧度制及其與角度制的換算

《弧度制及其與角度制的換算》課件課題弧度制產(chǎn)品介紹Productintroduction添加標(biāo)題引入對飛行高度的描述中國：一般的民航飛機(jī)的飛行高度為8000～10000米。1、弧度制國際：飛機(jī)正常飛行高度在26000英尺至33000英尺之間。產(chǎn)品介紹Productintroduction引入對面積的描述天安門廣場是世界上最大的廣場，面積約44萬平方米，合660畝．1、弧度制引入關(guān)于度量的描述1、弧度制量單位長度千米、米、分米、厘米、毫米、尺、寸、公里、里……面積平方千米、平方米、平方分米、平方厘米、平方毫米、公頃、畝……體積立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米、升、毫升……重量噸、千克、克、公斤、斤……角度角度制（度、分、秒）同一個(gè)量可以有不同度量方式這些方式均先規(guī)定1個(gè)基本單位不同度量方式可能有不同進(jìn)制（國際單位以十為進(jìn)制），不同方式之間可以相互轉(zhuǎn)化回顧角度制1、弧度制將圓周平均分成360份，其中每1份所對的圓心角為1度，記作：1°1°進(jìn)制：1°=60’，1’=60″這種用度作單位來度量角的制度稱作：“角度制”。產(chǎn)品介紹Productintroduction新課1、弧度制閱讀書P8產(chǎn)品介紹Productintroduction回顧角度制1、弧度制將圓周平均分成360份，其中1份所對的圓心角為1°能否用“測量長度”來代替“等分”？O1°1°的大小與圓的半徑大小無關(guān)。新課1、弧度制OAA1A2BB1B2ll1l2α幾何畫板演示新課1、弧度制可以發(fā)現(xiàn)：同心圓中，半徑不同，同一個(gè)圓心角所對的弧長不等，但弧長與半徑的比值不變。OAA1A2BB1B2ll1l2α新課1、弧度制OAA1A2BB1B2ll1l2α事實(shí)上，根據(jù)弧長公式：

有:當(dāng)圓心角度數(shù)(n)為定值時(shí)，比值為常值。定義1、弧度制我們稱弧長與半徑比值的這個(gè)常數(shù)為圓心角的“弧度數(shù)”。這種以弧度為單位度量角的制度，稱作“弧度制”。當(dāng)弧長與半徑相等時(shí)比值為1，此時(shí)的圓心角叫做“1弧度的角”，記作:“1rad”rα=1rABO定義的注釋1、弧度制O1°OAA1A2BB1B2ll1l21rad用弧度制定義的角的大小與半徑的大小無關(guān)。1、弧度制OABlαrOlβrOl=r

時(shí)，l=2r

時(shí)，α=1radβ=2radlθrOl=πr

時(shí)，θ=πrad01請用弧度制表示下列圖中的角度例題01請用弧度制表示下列圖中的角度lβrOlαrO1、弧度制例題α=

rad

π2α=

rad

l

rlαrO1、弧度制定義弧長公式l=

α·r“弧度”或“rad“可省略不寫α=

rad

l

r思考1、弧度制如何區(qū)分上面的兩個(gè)角？lOrαlOrβα=2l=2rβ=-2定義的注釋1、弧度制lαrABO我們稱弧長與半徑比值的這個(gè)常數(shù)為圓心角的“弧度數(shù)”。當(dāng)我們強(qiáng)調(diào)角的旋轉(zhuǎn)方向時(shí)，上面的“弧度數(shù)”相當(dāng)于“弧度的絕對值”。

α=

l

r

∣α

∣=

l

r定義的注釋1、弧度制lαrABO當(dāng)我們強(qiáng)調(diào)角的旋轉(zhuǎn)方向時(shí)，上面的“弧度數(shù)”相當(dāng)于“弧度的絕對值”。

∣α

∣=

l

r用弧度制表示的角是一個(gè)實(shí)數(shù)（比值），按旋轉(zhuǎn)的方向分為正、負(fù)、零，即：正角是一個(gè)正數(shù)、負(fù)角是一個(gè)負(fù)數(shù)、零角是零。定義的注釋1、弧度制用弧度制定義的角的大小與半徑的大小無關(guān)。角的集合與實(shí)數(shù)集之間是一一對應(yīng)的關(guān)系。用弧度制表示的角是一個(gè)實(shí)數(shù)（比值），按旋轉(zhuǎn)的方向分為正、負(fù)、零，即：正角是一個(gè)正數(shù)、負(fù)角是一個(gè)負(fù)數(shù)、零角是零。例題lαrOlθrOlβrO180°=

π360°=

2π請分別用“角度制”和“弧度制”表示下列圖中的角度90°=

π21、弧度制02lαrOlθrOlβrO180°=

π360°=

2π90°=

π21、弧度制“弧度制”與“角度制”之間如何進(jìn)行換算呢？思考弧度制與角度制的換算lαrOlθrOlβrO180°=

π360°=

2π90°=

π2新課2、弧度制與角度制的換算lαrOn°=

？radlαrO180°=

πn°αrad180°πradα=

？°例題2、弧度制與角度制的換算03把30°，45°，60°化成弧度（用π

表示），并在平面直角坐標(biāo)系中作出它們的終邊。解：∵180°=π

∴

∴α=30°=rad

30°αrad180°πrad

π

603

π

4

π

3同理：60°=45°=n°αrad180°πrad0

π

2

π

20<<<<

π

4

π

3

π

6例題2、弧度制與角度制的換算03把30°，45°，60°化成弧度（用π

表示），并在平面直角坐標(biāo)系中作出它們的終邊。思考：1rad角的終邊位置？

根據(jù)可知：45°<1rad<60°

π

360°=≈1.05>1

π

445°=≈0.79<11rad03例題2、弧度制與角度制的換算03延申思考思考：1rad大約為多少度？

1rad設(shè)1rad=n°則有所以：1=()°≈57.3°=1

πn°180°180

π03例題2、弧度制與角度制的換算請把化成角度數(shù)。8π

5解：設(shè)

=n°

∴

∴n=180×=288

即：=288°n°180°π8π

58π

5858π

504n°αrad180°πrad公式2、弧度制與角度制的換算弧度制與角度制之間的換算依據(jù)n°αrad180°πrad練習(xí)01填表（弧度數(shù)用含π

的代數(shù)式表示）2、弧度制與角度制的換算角度0°30°45°60°90°弧度

角度180°150°135°120°270°弧度

角度360°?30°225°300°?90°弧度

0

π2π

π23π2

π2

π32π35π3

π43π45π4

π65π6

π6n°αrad180°πrad練習(xí)012、弧度制與角度制的換算

0

π

π65π6

π630°150°-30°練習(xí)012、弧度制與角度制的換算

135°

π

π43π45π4225°

π4

π4練習(xí)02將下列各弧度化為角度：2、弧度制與角度制的換算k·2π4π3（1）5π12（2）-

π3（3）2kπ-，k∈Z

?75°240°

k·360°?60°，k∈Z2kπ例題2、弧度制與角度制的換算03推導(dǎo)扇形面積的弧度制公式。05lrO解：設(shè)扇形的圓心角為αrad則S扇形

=·S圓

=·

πr2

=αr2

α2π

α2π

12弧長公式l=

α·r例題2、弧度制與角度制的換算03利用弧度制推導(dǎo)扇形面積公式。05lrO弧長公式l=

α·r解：設(shè)扇形的圓心角為αrad則S扇形

=·S圓

=·

πr2=αr2

=lr

α2π

α2π

12

12公式2、弧度制與角度制的換算扇形的弧長與面積公式lrS

角度制面積弧長

l=

α·r弧度制

S=

α·r2=

l·r

12

12練習(xí)03求：周長為8，面積為4的扇形的圓心角的弧度數(shù).2、弧度制與角度制的換算

S=

α·r2=

l·r

12

12lrα

l=

α·r解：設(shè)扇形的圓心角為αrad則C扇形

=l+2r=α·r+2r=8①

S扇形

=α·r2=4②由①②可解得：α=r=212思考：2rad角有多大？終邊落在第幾象限？

用信息技術(shù)進(jìn)行弧度制與角度制的換算A弧度制B弧度制與角度制的換算小結(jié)

∣α

∣=

l

rn°αrad180°πradC用弧度制表示扇形的弧長與面積

l=

α·r

S=

α·r2=

l·r

12

121、角度制與弧度制之間的互化：自我檢測（1）-216°（2）

π5（3）k·360°+210°，k∈Z6π536°7π62kπ+，k∈Z自我檢測（1）β的終邊與α的終邊關(guān)于x軸對稱（2）β的終邊與α的終邊關(guān)于y軸對稱2、若α=，請寫出滿足下列條件的角β：2π3（3）β的終邊與α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱2π3β=

2kπ

，k∈Z

π3β=

2kπ+，k∈Z

π3β=

2kπ

，k∈Z自我檢