2004年全國高考數學試題理科數學(天津)卷

2004年普通高等學校招生全國統一考試（天津）卷數學(理工農醫(yī)類)本試卷分第一卷（選擇題）和第二卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘第一卷（選擇題共60分）注意事項：1.答第一卷前，考生務必將自己的姓名、準考號、科目涂寫在答題卡上2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號答在試卷上的無效參考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互獨立，那么柱體（棱柱、圓柱）的體積公式其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.i是虛數單位，=（）A. B. C. D.2.不等式的解集為（）A. B.C. D.3.若平面向量與向量的夾角是，且，則＝（）A. B. C. D.4.設P是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為、F2分別是雙曲線的左、右焦點，若，則（）A.1或5 B.6 C.7 D.95.若函數在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，則a=（）A. B. C. D.6.如圖，在棱長為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是、AD的中點，那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于（）A. B.C. D.7.若為圓的弦AB的中點，則直線AB的方程是（）A. B.C. D.8.已知數列，那么“對任意的，點都在直線上”是“為等差數列”的（）A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.函數為增函數的區(qū)間是（）A. B.C. D.10.如圖，在長方體中，AB=6，AD=4，分別過BC、的兩個平行截面將長方體分成三部分，其體積分別記為，，若，則截面的面積為（）A. B. C. D.1611.函數（）的反函數是（）A. B.C. D.19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F（1）證明PA//平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小20.（本小題滿分12分）已知函數在處取得極值（1）討論和是函數的極大值還是極小值；（2）過點作曲線的切線，求此切線方程21.（本小題滿分12分）已知定義在R上的函數和數列滿足下列條件：，，其中a為常數，k為非零常數（1）令，證明數列是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）當時，求22.（本小題滿分14分）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（c，0）（）的準線與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；（3）設（），過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，證明參考解答一.選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分1D2A3A4C5A6B7A8B9二.填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分13.80 14. 15.2004 16.300 三.解答題：17.本小題考查兩角和正切線，倍角的正弦、余弦公式等基礎知識，考查基本運算能力，滿分12分（1）解：由，有解得（2）解法一：解法二：由（1），，得∴∴于是，代入得18.本小題考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力滿分12分（1）解：可能取的值為0，1，2所以，的分布列為012P（2）解：由（1），的數學期望為（3）解：由（1），“所選3人中女生人數”的概率為19.本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力，滿分12分方法一：（1）證明：連結AC，AC交BD于O，連結EO∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點在中，EO是中位線，∴PA//EO而平面EDB且平面EDB，所以，PA//平面EDB（2）證明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴①同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC而平面PDC，∴②由①和②推得平面PBC而平面PBC，∴又且，所以PB⊥平面EFD（3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角由（2）知，設正方形ABCD的邊長為a，則，在中，在中，，∴所以，二面角C—PB—D的大小為方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設（1）證明：連結AC，AC交BD于G，連結EG依題意得∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點G的坐標為且∴，這表明PA//EG而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB（2）證明；依題意得，又，故∴由已知，且，所以平面EFD（3）解：設點F的坐標為，，則從而所以由條件知，，即，解得∴點F的坐標為，且，∴即，故是二面角C—PB—D的平面角∵，且，，∴∴所以，二面角C—PB—D的大小為20.本小題考查函數和函數極值的概念，考查運用導數研究函數性質和求曲線切線的方法，以及分析和解決問題的能力滿分12分（1）解：，依題意，，即解得∴令，得若，則，故在上是增函數，在上是增函數若，則，故在上是減函數所以，是極大值；是極小值（2）解：曲線方程為，點不在曲線上設切點為，則點M的坐標滿足因，故切線的方程為注意到點A（0，16）在切線上，有化簡得，解得所以，切點為，切線方程為21.本小題主要考查函數、數列、等比數列和極限等概念，考查靈活應用數學知識分析問題和解決問題的能力，滿分12分（1）證明：由，可得由數學歸納法可證由題設條件，當時因此，數列是一個公比為k的等比數列（2）解：由（1）知，當時，當時，而所以，當時上式對也成立所以，數列的通項公式為當時上式對也成立，所以，數列的通項公式為，（2）解：當時22.本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力滿分14分