2004考研數(shù)四真題及解析

Borntowin2004年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題一、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.(1)若，則a=，b=.(2)設(shè)，則.(3)設(shè)，則.(4)設(shè)，，其中為三階可逆矩陣,則．(5)設(shè)是實(shí)正交矩陣，且，，則線性方程組的解是．(6)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則.二、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).(7)函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界()(A)(1,0). (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3).(8)設(shè)f(x)在內(nèi)有定義，且，，則()(A)必是的第一類間斷點(diǎn). (B)必是的第二類間斷點(diǎn).(C)必是的連續(xù)點(diǎn).(D)在點(diǎn)處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). (9)設(shè),則()(A)是的極值點(diǎn),但不是曲線的拐點(diǎn).(B)不是的極值點(diǎn),但是曲線的拐點(diǎn).(C)是的極值點(diǎn),且是曲線的拐點(diǎn).(D)不是的極值點(diǎn),也不是曲線的拐點(diǎn).(10)設(shè)，，則() (A)在點(diǎn)不連續(xù). (B)在內(nèi)連續(xù)，但在點(diǎn)不可導(dǎo). (C)在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足. (D)在內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足. (11)設(shè)在上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()(A)至少存在一點(diǎn)，使得>. (B)至少存在一點(diǎn)，使得>. (C)至少存在一點(diǎn)，使得. (D)至少存在一點(diǎn)，使得=0. (12)設(shè)階矩陣與等價(jià),則必有()(A)當(dāng)時(shí),.(B)當(dāng)時(shí),.(C)當(dāng)時(shí),.(D)當(dāng)時(shí),.(13)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,對(duì)給定的,數(shù)滿足,若,則等于()(A).(B).(C).(D).(14)設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且其方差為令，已知是該方程組的一個(gè)解，試求(I)方程組的全部解，并用對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示全部解；(II)該方程組滿足的全部解．(21)(本題滿分13分)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的秩為2，是的二重特征值．若,,,都是的屬于特征值6的特征向量．(I)求的另一特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；(II)求矩陣．(22)(本題滿分13分)設(shè),為兩個(gè)隨機(jī)事件,且,,,令求：(I)二維隨機(jī)變量的概率分布;(II)與的相關(guān)系數(shù);(III)的概率分布.(23)(本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)服從均勻分布，在的條件下，隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，求(I)隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率密度；(II)的概率密度；(III)概率．2004年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題解析一、填空題(1)【答案】【詳解】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問(wèn)題.方法1：根據(jù)結(jié)論：＝，(1)若，則；(2)若，且，則因?yàn)?，且，所?否則根據(jù)上述結(jié)論(2)給極限是0，而不是5)，由得a=1.極限化，得b=4.因此，a=1，b=4.方法2：由極限與無(wú)窮小的關(guān)系，有，其中，解出上式兩端求極限，把a(bǔ)=1代入，再求，，兩端同時(shí)對(duì)取極限，得因此，a=1，b=4.(2)【答案】.【詳解】因?yàn)橛?，得，所以，所?(3)【答案】【詳解】方法1：作積分變換，令，則所以＝.(也可直接推出，因?yàn)榉e分區(qū)間對(duì)稱，被積函數(shù)是關(guān)于是奇函數(shù)，則積分值為零)方法2：先寫出的表達(dá)式即：所以.(4)【答案】【詳解】因?yàn)椋瑸閷?duì)角陣，故有所以所以.(5)【答案】【詳解】方法1：設(shè)，是正交矩陣，故的每個(gè)行(列)向量都是單位向量所以有，，得故，又由正交矩陣的定義知是可逆矩陣，且.則，有唯一解.方法2：同方法1，求得的正交陣為是正交陣，由正交矩陣的性質(zhì)可知，不等于零，故，即有，則原方程為解得，即方程組有唯一解.(其中，由及齊次線性方程組只有零解的充要條件是，可知，方程組只有零解，故.進(jìn)而的解為.)(6)【答案】【詳解】本題應(yīng)記住常見指數(shù)分布等的期望與方差的數(shù)字特征，而不應(yīng)在考試時(shí)再去推算.指數(shù)分布的概率密度為，其方差.于是，由一維概率計(jì)算公式，，有==二、選擇題(7)【答案】(A)【詳解】方法1：如果在內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)在內(nèi)有界.當(dāng)x0,1,2時(shí)連續(xù)，而，，，，，所以，函數(shù)f(x)在(1,0)內(nèi)有界，故選(A).方法2：因?yàn)榇嬖?，根?jù)函數(shù)極限的局部有界性，所以存在，在區(qū)間上有界，又如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有界，根據(jù)題設(shè)在上連續(xù)，故在區(qū)間上有界，所以在區(qū)間上有界，選(A).(8)【答案】(D)【詳解】考查極限是否存在，如果存在，是否等于g(0)，通過(guò)換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.因?yàn)?a，又，所以，當(dāng)時(shí)，，即在點(diǎn)處連續(xù)，當(dāng)時(shí)，，即是的第一類間斷點(diǎn)，因此，在點(diǎn)處的連續(xù)性與的取值有關(guān)，故選(D).(9)【答案】C【詳解】由于是選擇題，可以用圖形法解決，也可用分析法討論.方法1：由于是選擇題，可以用圖形法解決,令，則，是以直線為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開口向上的一條拋物線，與軸相交的兩點(diǎn)坐標(biāo)為，的圖形如圖.點(diǎn)是極小值點(diǎn)；又在點(diǎn)左側(cè)鄰近曲線是凹的，右側(cè)鄰近曲線是凸的，所以點(diǎn)是拐點(diǎn)，選C.方法2：寫出的分段表達(dá)式：,從而,,，所以時(shí)，單調(diào)增，，所以時(shí)，單調(diào)減，所以為極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí),，為凹函數(shù)；當(dāng)時(shí),，為凸函數(shù),于是為拐點(diǎn).(10)【答案】(B)【詳解】先求分段函數(shù)的變限積分，再討論函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性即可.方法1：關(guān)于具有跳躍間斷點(diǎn)的函數(shù)的變限積分，有下述定理：設(shè)在上除點(diǎn)外連續(xù)，且為的跳躍間斷點(diǎn)，又設(shè)，則(1)在上必連續(xù)；(2)，當(dāng)，但；(3)必不存在，并且直接利用上述結(jié)論，這里的，即可得出選項(xiàng)(B)正確.方法2：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.即，顯然，在內(nèi)連續(xù)，排除選項(xiàng)(A)，又，，所以在點(diǎn)不可導(dǎo).故選(B).(11)【答案】(D)【詳解】利用介值定理與極限的保號(hào)性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，或應(yīng)用舉例法找出錯(cuò)誤選項(xiàng).方法1：舉例說(shuō)明(D)是錯(cuò)誤的.例：，.但在上.方法2：證明(A)、(B)、(C)正確.由已知在上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得，所以選項(xiàng)(C)正確；另外，由導(dǎo)數(shù)的定義，根據(jù)極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)使得，即，所以選項(xiàng)(A)正確.同理，，根據(jù)極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)使得.所以選項(xiàng)(B)正確，故選(D).(12)【答案】(D)【詳解】方法1：矩陣等價(jià)的充分必要條件：矩陣與等價(jià),是同型矩陣且有相同的秩,故由與等價(jià)，知與有相同的秩.因此，當(dāng)時(shí),,則有,即,故選(D).方法2：矩陣等價(jià)的充分必要條件：與等價(jià)存在可逆，使得.兩邊取行列式，由矩陣乘積的行列式等于行列式的積，得.可逆，由矩陣可逆的充分必要條件：，故，但不知具體數(shù)值.由，知時(shí)，不能確定.但有.故應(yīng)選(D).方法3：由經(jīng)過(guò)若干次初等變換變?yōu)榫仃嚨某醯茸儞Q對(duì)矩陣的行列式的影響有：(1)中某兩行(列)互換得，則.(2)中某行(列)乘得，則.(3)中某行倍加到另一行得，則.又由與等價(jià)，由矩陣等價(jià)的定義：矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣，則稱與等價(jià)，知故當(dāng)時(shí)，，雖仍不等于0，但數(shù)值大、小、正負(fù)要改變，但，則，故有結(jié)論：初等變換后，矩陣的行列式的值要改變，但不改變行列式值的非零性，即若，若.故應(yīng)選(D).(13)【答案】(C)【詳解】利用正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖形的對(duì)稱性，對(duì)任何有.或直接利用圖形求解.方法1：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對(duì)稱性知，，于是即有，可見根據(jù)分位點(diǎn)的定義有，故應(yīng)選(C).方法2：OOOO圖一圖二如圖一所示題設(shè)條件.圖二顯示中間陰影部分面積，.兩端各余面積，所以，答案應(yīng)選(C).(14)【答案】A.【詳解】由于隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，所以必有：又下面求和.而故本題的關(guān)鍵是將中的分離出來(lái)，再用獨(dú)立性來(lái)計(jì)算.對(duì)于選項(xiàng)(A)：所以(A)對(duì)，(B)不對(duì).為了熟悉這類問(wèn)題的快速、正確計(jì)算.可以看本題(C),(D)選項(xiàng).因?yàn)榕c獨(dú)立時(shí)，有.所以，這兩個(gè)選項(xiàng)的方差也可直接計(jì)算得到：=，=所以本題選(A)三、解答題(15)【詳解】求“”型極限的首要步驟是通分，或者同乘、除以某一式以化簡(jiǎn)..(16)【詳解】利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)計(jì)算.方法1：令，根據(jù)二重積分的極坐標(biāo)變換：，則：化為極坐標(biāo)：所以；化為極坐標(biāo)：所以所以區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，中被積函數(shù)為的奇函數(shù)，根據(jù)區(qū)域?qū)ΨQ性與被積函數(shù)的奇偶性：設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)為奇函數(shù)，則，所以所以.方法2：.(17)【詳解】求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，求一階線性微分方程的解方法1：由，兩邊對(duì)求導(dǎo)有，已知，即，則.因此，滿足下述一階微分方程為.由一階線性微分方程通解公式：這里，代入上式得：(為任意常數(shù)).方法2：由有(1)已知滿足(2)這是一個(gè)偏微分方程，當(dāng)時(shí)(2)式變?yōu)橐?1)代入，有，即，化簡(jiǎn)得，由通解公式得(為任意常數(shù)).(18)【詳解】(I)由于需求量對(duì)價(jià)格的彈性>0，所以；(II)由，得要說(shuō)明在什么范圍內(nèi)收益隨價(jià)格降低反而增加，即收益為價(jià)格的減函數(shù)，，即證，換算成為，解之得：，又已知，所以，此時(shí)收益隨價(jià)格降低反而增加.(19)【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，同理：當(dāng)時(shí)，，所以，所以是關(guān)于軸對(duì)稱的偶函數(shù).又，，所以軸與曲線圍成一無(wú)界區(qū)域，面積可用廣義積分表示.圖形如下：(I)表示矩形，的面積，所以，因此，.(II)由于，令，得的唯一駐點(diǎn)為，又，，所以為極小值，它也是最小值.(20)【詳解】已知是該方程組的一個(gè)解，故可將代入方程組，有解得．代入原方程，并對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換,得當(dāng)時(shí)，有，故.定理：設(shè)是矩陣，方程組，則，(1)有唯一解；(2)有無(wú)窮多解；(3)無(wú)解：，故方程組有無(wú)窮多解.所以，該方程組有無(wú)窮多解，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組同解方程組為由于此方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，則基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為，故有1個(gè)自由未知量.選為自由未知量，取，得方程組的基礎(chǔ)解系為，取非齊次方程的一個(gè)特解為，故方程組的全部解為(為任意常數(shù))．當(dāng)時(shí)，有，可知，，所以該方程組有無(wú)窮多解，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的同解方程組為則基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為2，故有2個(gè)自由未知量.選為自由未知量，將兩組值：代入，得方程組的基礎(chǔ)解系為，，取非齊次方程的一個(gè)特解為，故方程組的全部解為(為任意常數(shù))．當(dāng)時(shí)，方程組的通解為若，即得，故原方程組滿足條件的全部解為.當(dāng)時(shí)，方程組的通解為=若，即，得，代入通解，得滿足條件的全部解為(21)【分析】由矩陣的秩為2,立即可得的另一特征值為0.再由實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交可得相應(yīng)的特征向量,此時(shí)矩陣也立即可得.【詳解】的秩為2，于是，所以，因此的另一特征值．特征值的性質(zhì)：若是矩陣的重特征值，則矩陣屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不超過(guò)個(gè)又是的二重特征值，故的屬于特征值6的線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù).因此必線性相關(guān).由題設(shè)知，為的屬于特征值6的線性無(wú)關(guān)的兩個(gè)特征向量.定理：實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)與不同特征值的特征向量是正交的.設(shè)所對(duì)應(yīng)的特征向量為,所以，，，即則基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為，故有個(gè)自由未知量.選為自由未知量，取得方程組的基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值全部特征向量為(為任意不為零的常數(shù))．令矩陣，求則，，所以．(22)【分析】本題盡管難度不大，但考察的知識(shí)點(diǎn)很多，綜合性較強(qiáng).通過(guò)隨機(jī)事件定義隨機(jī)變量或通過(guò)隨機(jī)變量定義隨機(jī)事件，可以比較好地將概率論的知識(shí)前后連貫起來(lái)，這種命題方式值得注意。先確定的可能取值，再求在每一個(gè)可能取值點(diǎn)上的概率，而這可利用隨機(jī)事件的運(yùn)算性質(zhì)得到，即得二維隨機(jī)變量的概率分布；利用聯(lián)合概率分布可求出邊緣概率分布，進(jìn)而可計(jì)算出相關(guān)系數(shù).【詳解】(=1\*ROMANI)由于，所以，，=(或)，故的概率分布為0101(=2\*ROMANII)的概率分布分別為所以的概率分布為01