（滬教版2020選修一）2022年上海高二數(shù)學(xué)同步講義-第5講 圓的方程(核心考點(diǎn)講與練)（教師版）

第5講圓的方程(核心考點(diǎn)講與練)

一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,其中圓心為(。力)，半徑為r；

22

npJn+)7_4F

②圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,圓心坐標(biāo)半徑為-------------。

222

方程表示圓的充要條件是D2+E2-4F>0

2.以4%,y)、B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓方程為(%-%)。-工2)+(了一%)0-%)=0

二、用圓中的幾何關(guān)系及圓系方程

1、過兩圓交點(diǎn)的圓系方程：

圓：f+/+O]X+E[y+￡=0與圓：/+V芻，+工=0相交，過兩圓交點(diǎn)的圓系方

222

程為：x+y+D^+Ety+F}+A(x+/+D2x+E2y+F2)=0(2r—1)

若：2=-l,則是兩圓的相交弦方程.

2、過圓與直線交點(diǎn)的圓系方程；

圓：/+：/+瓜+或+尸=0與直線：4%+4丫+。=0相交，過圓和直線交點(diǎn)的圓系方程為：

(%-+y~+Dx+Ey+/)+A(Ax+By+C)—0.

師點(diǎn)睛

考點(diǎn)一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程

例1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)人"蔭足X2+V+4X-6），+12=0,貝打的最大

值是（）

A.3B.2C.-1D.-3

【答案】C

【分析】首先確定圓的圓心和半徑，再確定x的最大值.

【詳解】方程變形為（x+2y+（y-3）2=l,圓心（-2,3）,半徑r=1,則x的最大值是

-2+l=-l.

故選：C

例2.（2021?上海?高二專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)2=工+討（x,ywR）滿足|z-2|=&,則上的

X

最大值為（）

A.；B.3C.立D.73

232

【答案】D

［分析］根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)z=x+W的軌跡方程再根據(jù)上的幾何意義求解即可.

X

【詳解】因?yàn)镮Z-21=石，故|（x-2）+川=力，即（*-2）2+丁=3.又?的幾何意義為（X,y）到

（0,0）的斜率.故當(dāng)過原點(diǎn)的直線與（x-2y+y2=3切于第一象限時?取得最大值.此時設(shè)切線

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義與根據(jù)斜率的幾何意義求解最值的問題.屬于中檔

題.

例3.（2021?上海市長征中學(xué)高二期中）圓/+y?-2x-3=0的半徑大小為

【答案】2

【分析】直接將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得解.

【詳解】圓/+/-2x-3=0整理為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-l）2+V=4,

所以半徑為2.

故答案為：2.

例4.（2017?上海?高三學(xué)業(yè)考試）圓月+9-6%+10），+30=0的圓心坐標(biāo)為

【答案】（3,-5）

【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

【詳解】由r+V-6*+10曠+30=0可得（*-3丫+（y+5）?=4

所以圓心坐標(biāo)為（3,-5）

故答案為：（3,-5）

例5.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知平面上到兩直線》=彳與丫=丘的距離平方和為1的

點(diǎn)的軌跡是一個圓，則實(shí)數(shù)&=.

【答案】-1

【分析】根據(jù)題意列出方程，再化簡，滿足圓的方程的條件得到關(guān)于上的方程，最后解方程

即可.

【詳解】設(shè)此點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,則依題意有=1,

化簡得（；+,*+?+舟））,、（島+1）孫=1,

此方程要表示圓，則2告k+l=（）n&=-L

k-+1

故答案為：-1.

例6.（2022?上海?高三專題練習(xí)）過圓V+y2-4x=0的圓心且與直線2x+y=0垂直的直

線方程為___________

【答案】x-2y-2=0

【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線垂直斜率乘積為T求出所求直線的斜

率，再由點(diǎn)斜式即可得所求直線的方程.

【詳解】由V+V-4x=0可得（x-2y+丁=4,

所以圓心為（2,0）,

由2x+y=0可得y=-2x,所以直線2x+y=0的斜率為-2,

所以與直線2x+y=0垂直的直線的斜率為3,

所以所求直線的方程為：y-0=i(x-2),即x-2y-2=0,

故答案為：x-2y-2=0.

例7.(2021?上海大學(xué)附屬南翔高級中學(xué)高一階段練習(xí))若。力的半徑為5,圓心力的坐標(biāo)是

(3,4),點(diǎn)門的坐標(biāo)是(5,8),則尸與。｛的位置關(guān)系；

【答案】P在。A內(nèi).

【分析】寫出圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程即可判斷出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

【詳解】因?yàn)閳A的方程為(x-3)2+(y-4)2=25,P(5,8)

則(5-3)2+(8-4)2<25,

所以「在。A內(nèi)，

故答案為：P在。A內(nèi).

例8.(2021?上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二階段練習(xí))直角坐標(biāo)平面中，若定點(diǎn)/

(1.2)與動點(diǎn)夕(x,y)滿足麗.麗=4，則點(diǎn)外勺軌跡方程是.

【答案】x2+y2-x-2y-4=0

【分析】設(shè)點(diǎn)尸(x,y),貝I］而=(x,y),由A(l,2),所以汨5=(x-l,y-2),代入麗?麗=4，即

可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸(xy),

VA(l,2),

OP=(x,y),AP=(x-l,y-2)

"."OPAP=4,

(x,y)-(x-l,y-2)=4,

x(x-l)+y(y-2)=4,

即x2+y2-x-2y-4=0.

因此點(diǎn)那］軌跡方程是犬+V-x-2y-4=0.

故答案為：x~+y2-x-2y-4=0

?J3x+y<4>/3

例9.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知x,"R,且滿足,百x-”0?,若存在6eR使

y>0

得xcos8+(>-2)sin。=2成立，則點(diǎn)尸(x,y)構(gòu)成的區(qū)域面積為

【答案】5鳳.

2

【分析】轉(zhuǎn)化為即一/h21.T1,即

xcos6+(y_2)sin6=2sin(a+9)22

yjx+(>?-2)a+(y-2/

x2+(y-2)2>4,則對?應(yīng)的區(qū)域?yàn)橐訡(0,2)為圓心，廠=2的圓的外部，用三角形面積減去區(qū)

域內(nèi)弓形的面積即可

【詳解】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：對應(yīng)的區(qū)域?yàn)槿切?8

若存在使得xcos6)+(y-2)sinO=2成立，

/\

則+。-2)2/'^=cosl+7,2sin。=2

Y"(一)2J-2)

Xy—2

令sina=.|ji|icosa=.=

、b+(y—2)一人J+(>-2尸

則方程等價為JW+(y-2尸sin(a+。)=2,

2

即sin(a+6)=

7%2+(y-2)2，

存在eG"使得xcos°+(y—2)sin6=2成立,

2

41,即Y+(y—2)224,

ylx2+(y-2)2

則對應(yīng)的區(qū)域?yàn)橐訡(0,2)為圓心，/-2的圓的外部，即如圖所小的陰影部分

x=2

解得,即B(2,29,

y=26

4(4,0),則三角形的解J面積S=；X4X2>/5=4G,

直線y=^x的傾斜角為號,

貝IjZAOB=:.ZCOB=工

36

取。為直線y=交圓所得弦的中點(diǎn)，則8,08

ZDCO=---=-

263

.?.8=1,00=6

因此三角形以嶇域內(nèi)的弓形面積為：1x^x22-lx2x2xsiny=y-^

故陰影部分面積為：4x/3-(y-^)=5V3-y

故答案為：56-與

例10.(2021?上海?高二專題練習(xí))圓拱橋一孔圓拱，如圖所示，該圓拱的跨度A8=20

米，拱高OP=4米，在建造時每隔4米需用一個支柱支撐，求支柱4巴的長度(精確到0.01

【答案】3.86米

【分析】以。為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閄軸方向建立坐標(biāo)系，則圓心在y軸，設(shè)圓心坐標(biāo)，可得圓

弧的方程，將X=-2代入圓方程，可求支柱人修的高度.

【詳解】以。為原點(diǎn)，A8方向?yàn)閤軸方向建立坐標(biāo)系，則圓心在>軸，設(shè)圓心坐標(biāo)為

(0,。)，圓的半徑為「，那么圓的方程為f+。-6)2=,，因?yàn)閛p=4,則有

(4-力2=/+ioo=/，

得6=-10.5,r=14.5,

故圓的方程為/+(y+IOS)?=14S,把點(diǎn)紙j橫坐標(biāo)_2代入上述方程得：

(-2)2+(>+10.5)2=14.52,

例11.(2021?上海市長征中學(xué)高二期中)1972年9月，蘇步青先生第三次來到江南造船

r,這一次他是為解決造船難題、開發(fā)更好的船體數(shù)學(xué)放樣方法而來，他為我國計(jì)算機(jī)輔助

幾何設(shè)計(jì)的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn).造船時，在船體放樣中，要畫出甲板圓弧線，由于這條圓

弧線的半徑很大，無法在鋼板上用圓規(guī)畫出，因此需要先求出這條圓弧線的方程，再用描點(diǎn)

法畫出圓弧線.如圖，已知圓弧AB的半徑r=29米，圓弧AB所對的弦長/=12米，以米為

單位，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求圓弧A8的方程(答案中數(shù)據(jù)精確到0.001米，

^/8(j5?28.373).

【答案】x2+(y+28.373尸=292(-6<x<6,^>0)

【分析】以A8所在直線為x軸，弦A8的垂直平分線為y軸，根據(jù)勾股定理求得圓心坐標(biāo)即

可得解.

【詳解】

如圖，以A8所在直線為x軸，弦AB的垂直平分線為丫軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)圓弧的圓心為C,連接4C,則4O=；/=6,

所以O(shè)C=yjAC2-OC2=V292-62x28.373>

即圓心的坐標(biāo)為C(O,-28.373),

所以圓弧AB的方程為爐+(丫+28.373)2=292(-64x46,y20)

例12.(2020?上海?高二課時練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，曲線y=/-6x+l與坐標(biāo)軸的

交點(diǎn)都在圓。L.

(1)求圓亦方程；

(2)若圓占直線x-y+4=O交于4曬點(diǎn)，且。求a的值.

【答案】(1)(x-3)2+(y-l)2=9(2)-1

【分析】(1)求出曲線y=x?-6x+l與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)，根據(jù)這三個交點(diǎn)在圓上可求出圓

心坐標(biāo)和半徑，從而可得圓的方程；

(2)設(shè)4%/),6(々,必)，聯(lián)直線與圓的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得玉+%=4-4，

a22a+l

xtx2=~,根據(jù)04,05得工出+,%=0，化為2飛當(dāng)+q(&+xj+/=0,進(jìn)而可解得

6Z=-1.

【詳解】⑴曲線y=1-6x+l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,1),(3±2&,0)，

由題意可設(shè)圓微圓心坐標(biāo)為(3,/),

；?舊+?_1)2=J(±2近)2+戶,解得f=l,

圓C的半徑為6+(1-1)2=3,

二圓亦方程為&-3尸+(丫-1)2=9.

(2)設(shè)點(diǎn)從8的坐標(biāo)分別為8仇,必)，其坐標(biāo)滿足方程組］：［；；：；；_］＞=榮消

去V得至IJ方程2x2+(2〃-8)x+a?-2〃+1=0,

由已知得，判別式△=56-16a-4/＞。①，

由根與系數(shù)的關(guān)系得%+々=4-。，②,

由OA_LOB得x,x2+y(y2=0.

又?.?％=為+0,yt=x2+a,演々+乂必=0可化為2%吃+4(百+xj+/=0③，

將②代入③解得a=T,經(jīng)檢驗(yàn)，。=-1滿足①，即A＞0,

/.6T=—1.

【點(diǎn)睛】本題考查了由圓上三個點(diǎn)的坐標(biāo)求圓的方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系、根與系

數(shù)的關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

例13.(2020?上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí))已知圓經(jīng)過點(diǎn)41,0)和且圓心在直

線/:x-y+l=0上.

(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若線段CO的端點(diǎn)。的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)C在圓C上運(yùn)動，求CO的中點(diǎn)M的軌跡方

程.

【答案】(1)(x+l)2+y2=4；(2)(x-|j+L-|j=1.

【分析】(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為(小+1),由圓的性質(zhì)列方程可得/=-1,計(jì)算出圓的半徑后即

可得解；

(2)設(shè)線段CO中點(diǎn)M(x,y),C(x“J,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得(2x-4+iy+(2y-3『=4,化

簡即可得解.

【詳解】⑴設(shè)圓心的坐標(biāo)為(9+1)，則有(—)2+(,+1)2=(「+1)2+(/+3『，

整理求得r=-l,

故圓心為(TO),半徑7滿足[=(.1)2+(f+l)2=4,

則圓的方程為(X+I)'+9=4;

(2)設(shè)線段C￡>中點(diǎn)"(x,y),C(A,,y),

由￡)(4,3)可知再=2x-4,yt=2y-3,

?.?點(diǎn)C在圓(x+l『+y2=4上運(yùn)動，(2x-4+l)2+(2y-3)2=4,

.??加的軌跡方程為(工一()-+(丫一^)=1

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程的確定及動點(diǎn)軌跡的求解，考查了運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸思

想，屬于中檔題.

例14.(2021?上海?高二專題練習(xí))已知圓C過三個點(diǎn)M(L0),N(3,2),R(5.0).

(1)求圓C的方程；

(2)過原點(diǎn)。的動直線/與圓C相交于不同的A、B兩點(diǎn)，求線段A8的中點(diǎn)。的軌跡.

【答案】(1)(x-3)?+y2=4；(2)M的軌跡是以，,0)為圓心，萬為半徑的圓(點(diǎn)M在圓

C內(nèi)，不與邊界重合).

【分析】(1)設(shè)出圓的一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)后可求解；

(2)根據(jù)圓的弦中點(diǎn)性質(zhì)求出Q的軌跡方程后可得軌跡.

【詳解】(1)設(shè)圓方程為f+/+瓜+甘+尸=0,

1+￡>+F=0D=-6

則<9+4+3￡>+2E+F=0,解得\E=0,

25+5D+F=0[F=5

所以圓方程為x2—6x+y2+5=0,即(4-3)2-f-y2=4；

(2)由(1)C(3,0),設(shè)Q(x,y),則由OQ_LQC得，OQCQ=0,即(x,y)?(x-3,y)=0,

x2-3x+y2=0,（x-1）2+y2.

又。在圓C內(nèi)部，

33

所以。的軌跡是以（5,0）為圓心，3為半徑的圓（點(diǎn)。在圓c內(nèi)部）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求圓的方程，考查動點(diǎn)軌跡.已知圓過三點(diǎn)時一般可設(shè)出圓的

一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)求出圓的方程，再化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可.平面解析幾何中的軌跡問

題，可通過求出動點(diǎn)軌跡方程，由方程判斷軌跡.當(dāng)然也可由幾何性質(zhì)判斷軌跡.

例15.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知aeN’,在平面直角坐標(biāo)系中，“ABC的三個頂

點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（a,0）,8（-2,2）,C（-3,3）.設(shè)AABC的外接圓為

（1）若。=2,求「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求2面積最小時。的值.

【答案】（1）（x-4）2+（y-9）2=85；（2）。=3或a=4.

【分析】（1）由三角形三個頂點(diǎn)坐標(biāo)求其外接圓，應(yīng)利用“三角形三邊中垂線交點(diǎn)是其外

接圓的圓心”來求解；

（2）思路基本與第（1）問相同，在計(jì)算圓面積時利用基本不等式進(jìn)行分析并求取最值時〃

的值.

【詳解】解：（1）;"Z,.IA（2,0）,

又C（-3,3）,

,AB中點(diǎn)0（0,1）,8c中點(diǎn)

線段AB的中垂線乙：y=2x+l,

線段8c的中垂線小y=x+5,

“fy二=2+x+5l叱fx==49即圓心『（/49、）,

而=J（4+2）2+（9-2）2=屏，

「的標(biāo)準(zhǔn)方程：（XT?+（y-9）2=85.

（2）VA（a,0）,B（-2,2）,

AA8中點(diǎn),1）,

線段AB的中垂線4：y=—X--,

24

由（1）知線段BC的中垂線4：y=x+5,

a2+12

a+2a2—8x=--------

2aHnM、"+12?2+10fl+12

1丁一丁即.即圓心

+10。+12

y=x+5ci~

y=—2o—a

(/+12)2+10〃(/+12)+26/

???半徑

2^

：.S=iiBr2[+")+10(a+U)+26

而a+竺246,當(dāng)且僅當(dāng)”=2百時，等號成立，

a

1712

aeN*,3<<4,113+§=4+1，

12

二當(dāng)。=3或a=4時，“+一有最小值，此時S最小.

a

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知一個圓經(jīng)過兩點(diǎn)A(2,-3)和B(-2,-5),且圓心在直線/:x—2y—3=0上，求此圓

的方程.

【難度】★

【解析】解：解法一：設(shè)點(diǎn)C為圓心，?.?點(diǎn)C在直線/:x-2y-3=0上，

可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2a+3,a).又二,該圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，/.|CA|=|CB|.

7(2a+3-2)2+(a+3)2=7(2a+3+2)2+(a-5)2解得a=-2

：.圓心坐標(biāo)為C(一1,-2),半徑r=M

故所求圓的方程為(x+1)2+(y+2):IO.

2x+y+4=0x=—1

解法二：AB的中垂線方程為2尢+y+4=0,于是由《‘解得《，故圓心坐標(biāo)為

x-2y-3=0[y=-2

(-1,-2),半徑r=|Aq=JI5,所以圓的的方程為(x+1)2+(y+2)2=10.

2.已知兩點(diǎn)R(4,9)、Pz(6,3),求以PR為直徑的圓的方程.

【難度】★

【解析】解法1：設(shè)圓心為C(a,b),半徑為r.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得a=5,b=6

22

：.C(5,6),再由兩點(diǎn)間距離公式，得r=\CPt\=V(4-5)-t-(9-6)=VTo".

所求的圓的方程為(x-5)°+(y-6)2=10.

解法2：設(shè)P(x,y)是圓上任意一點(diǎn)，且圓的直徑的兩端點(diǎn)為R(4,9)、P2(6,3),

圓的方程為(x-4)(x-6)+(y-9)(y-3)=0,

化簡得(x-5)2+(y-6)2=10,即為所求.

解法3：設(shè)P(x,y)是圓上任意一點(diǎn).由圓的性質(zhì)有三角形PP1P2為直角三角形，

.1I印內(nèi)|丹*=|「制2,

A(x-4)2+(y-9)2+(x-6)2+(y-3)2=(4-6)2+(9~3)2,

化簡得x2+y2-10x—12y+51=0.(x—5)2+(y—6)2=10,即為所求的圓的方程.

解法4：設(shè)P(x,y)是圓上不同于Pi、Pt的任意一點(diǎn).

,/直徑上的圓周角為直角，/.PPi_LPP%(可以用向量)

(1)當(dāng)PPi、PP2的斜率都存在時，

設(shè)為樂、用，貝U有&r&2=-1，，弓?W~=T，

x-o

：,^-\Qx-\2y+5\=Qr

即&-5沁(y6)2=]0(*)

(2)當(dāng)PPi、PPz的斜率有一個不存在時，PP1,PP?的方程為x=4或x=6,

這時點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,3)或(6,9),均滿足方程(*).

又R(4,9)、Pz(6,3)也滿足方程(*),所以，所求圓的方程為(x-5)2+(y-6)2=10.

3.ZXABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1,5)、B(-2,-2)、C(5,5),求其外接圓的方程.

【難度】★★

【解析】解：設(shè)所求圓的方程為x'+y'+Dx+Ey+Fu。，

"-O+5E+F+26=()

由題意得方程組<-2￡>-2￡+F+8=0

5O+5E+F+5()=0

解得D=—4,E=—2,F=-20.

，AABC的外接圓方程為x2+y2-4x-2y-20=0.

4.圓V+丁=1關(guān)于直線x+y-1=0的對稱圓的方程為

【難度】★★

【解析】兩圓C和C關(guān)于直線，對稱，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)對稱問題(即圓心。和。'關(guān)于直線，對稱且

半徑相等)，也可以用相關(guān)點(diǎn)法來處理，后一種方法更有推廣價值

方法L原點(diǎn)關(guān)于直線x+y—1=0的對稱點(diǎn)為(1,1),所以圓=1關(guān)于直線x+y—l=o

的對稱圓的方程為(x-I)2+(y-Ip=I

方法2：設(shè)法(x',y')是圓'+y2=1上一動點(diǎn),它關(guān)于直線x+y—1=0的對稱點(diǎn)為P(x,>),

衛(wèi)+0一1=0

則22=尸

0.(—1)=—16I

^x-x1

在圓f+j?=1,（1_xy+（i_y）2=j

圓f+y2=1關(guān)于直線X+y_1=0的對稱圓的方程為(X-I)2+(y-i)2=l

5.求過兩圓(X+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交點(diǎn)，且圓心在直線y=x—4上的圓的方程。

【難度】★★

【解析】解：已知圓可化為爐+丫2+6%一4=0和/+y2+6y—28=0,設(shè)所求圓的方程為

x2+y2+6y-28+A(x2+y2+6x-4)=0,它的圓心坐標(biāo)為。(—二二,一——),且圓心在直線

1+A1+A

y=x-4±,可得；l=—于是所求圓的方程為V+y2-x+7y-32=0

6、方程。/+。、2一4(4一1卜+4曠=()表示圓，求a的取值范圍，并求出其中半徑最小的圓的方

程.

【難度】★★

【解析】解：(1)?.N#()時，方程為［x—"S］'+(廣2)2=4"-2"+2),

aaa

由于a2-2a+2>0恒成立，

a^O且aGR時方程表示圓.

,c、".a--2r1->/1］、21T

(2)/=4?-----1-a--+--=4［2(-,

a2a22

3~21時,Zmii|2=2.

此時圓的方程為(X—I)2+(y-1)-=2.

考點(diǎn)二：用圓中的幾何關(guān)系及圓系方程

例1.設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長之比為3：1,在滿足條

件①、②的所有圓中，求圓心到直線/:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

【難度】★★

［答案］(x_l『+(y_l)2=2或(x+l)2+(y+l『=2.

例2.一圓與y軸相切，圓心在直線x—3產(chǎn)0上，且直線產(chǎn)x截圓所得弦長為2近，求此圓的方

程.

【難度】★★

【解析】因題目條件與圓心、半徑關(guān)系密切，選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與弦長有關(guān)的問題，一般要利

用弦心距、半徑、半弦長構(gòu)成的“特征三角形”

因圓與y軸相切，且圓心在直線x-3片0上，故設(shè)圓方程為(x—36)■(7-?2=9一.

又因?yàn)橹本€產(chǎn)x截圓得弦長為2萬,

則有(⑶？I)：+(77)J9/九

解得為±1.故所求圓方程為

2

(x-3)?+(y-1)2=9或(A+3)+(7+1)'=9.

注：在求圓的方程時，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn):

(1)確定用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程;

(2)運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)(如本例的相切、弦長等)建立方程求得a、b、r或"E、A；

(3)在待定系數(shù)法的應(yīng)用上，列式要盡量減少未知量的個數(shù).

例3.過直線：2x+y+4=0,且與已知圓/+y2+2x-4y+l=0交點(diǎn)的圓中，求:

(1)過圓點(diǎn)的圓的方程;

(2)有最小面積的圓的方程.

【難度】★★

1317

【解析】(1)圓系方程：k=--,答案：x2+y2+-x-—y=0(2)圓系方程進(jìn)行配方:

424f

2

卜+(1+k)了+y-(2-1)=；5左2_4左+4,無=?時，r最小，最小值為2q得出答案:

455

I+G6

例4.設(shè)圓上的點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線廣2戶0的對稱點(diǎn)仍在這個圓上，且與直線『戶1=0相交的弦長

為2友,求圓的方程.

【難度】★★

【答案】(x-14)2+(>+7)2=244,(x-6)2+(y+3)2=52,

【鞏固訓(xùn)練】

1、已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+V—4x+l=0.求

(1)上的最大值和最小值；

X

(2)y—x的最小值；

(3)/+J/的最大值和最小值.

【難度】★★

【答案】(1)knm=y/3,knin=-V3(2)-2-V6(3)7-473,7+473

2、已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線/,使/被圓C截得的弦AB為

直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出直線/的方程;若不存在說明理由。

【難度】★★

【答案】見解析

【解析】圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-1)2+(y+2)2=32

假設(shè)存在以AB為直徑的圓M,圓心M的坐標(biāo)為(a,b)

由于CMJ_1,.*.kcwk/=-1kcM=----=—1?即a+b+l=O,得b=-aT①

a-\

,、(|力一。+3|

直線1的方程為y-b=x-a,即x-y+b-a=OCM=---產(chǎn)——

V2

???以AB為直徑的圓M過原點(diǎn)，.?.=|加百^\OM\

|Affi|2=|CB|2-|CM|2二9-3一丁),|0M|2=a2+b2

...9_S…3尸/+/②

2

3

把①代入②得2〃2—Q—3=0,???。=^或。二一1

2

35

當(dāng)a=—，時。=——,直線1的方程為x-y-4=0：

22

當(dāng)。=一1,時力=0,直線/的方程為x-y+l=0

故這樣的直線1是存在的，方程為x-y-4=0或x-y+l=0

3、在直角坐標(biāo)系xOy中，以0為圓心的圓與直線：x—Hy=4相切

(1)求圓0的方程

(2)圓0與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|、|P0|、|PB|成等比數(shù)列，求西?麗

的取值范圍.

【難度】★★

【解析】(1)依題設(shè)，圓0的半徑r等于原點(diǎn)0到直線X—百>=4的距離，

即/'二「—二？，得圓。的方程為V+y2=4

V1+3.

(2)不妨設(shè)4%,0),8(々,0),西<%2由父=4即得A(-2,0),B(2,0).

設(shè)P(x,y),由|PA|,|P0|,PB成等比數(shù)列，得J(x+2)2+.-2丫+/=爐+到

即x2_y2=2,~PA~PB=(-2-x,-y)(2-x-y)=x2-4+/=2(/-1)

x+y<4

由于點(diǎn)P在圓。內(nèi)，故《。、

x+>=2

由此得V<1

所以西?麗的取值范圍為［-2,0）.

考點(diǎn)三：圓的方程綜合

例1.已知圓G：（x+l）2+（y-l）2=l,圓G與圓C關(guān)于直線x-y—l=0對稱，則圓G的方程

為.

【難度】★★

【答案】（x-2）2+（y+2）2=l

例2.求與圓V+V=5外切于點(diǎn)p（_i,2）,且半徑為2后的圓的方程

【難度】★★

（4+1）2+（。-2）2=（2⑹2

【解析】設(shè)所求圓的圓心為C（a,。），則《62

解得：C=~3，所求圓的方程為（x+3>+（y—6>=20

h=6

解法2：設(shè)所求圓的圓心為C（a,。），由條件知而=：反：.（一1,2）=：（4,份

一=一3,所求圓的方程為（x+3）2+（y-6/=20

b=6

注：（1）本題采用待定系數(shù)法求圓心的坐標(biāo)，步驟是：尋找圓心滿足的條件；列出方程組求解（2）

解法2利用向量溝通兩個圓心的位置關(guān)系，既有共線關(guān)系又有長度關(guān)系，顯得更簡潔明快，值得

借鑒。

例3.如圖，已知圓心坐標(biāo)為（、回,1）的圓M與x軸及直線丁=JIx分別相切于A、B兩點(diǎn)，另

一圓N與圓M外切、且與x軸及直線丁=分別相切于C、。兩點(diǎn).

（1）求圓M和圓N的方程；

（2）過點(diǎn)8作直線MN的平行線/,求直線/被圓N截得的弦的長度.

【難度】★★★

【解析】(1)由于OM與NBOA的兩邊均相切，故M到0A及0B的距離均為0M的半

徑，則M在/BOA的平分線上，同理，N也在/BOA的平分線上，

即0,M,N三點(diǎn)共線，且OMN為NB0A的平分線，

VM的坐標(biāo)為(J5,l),AM到x軸的距離為1,即。M的半徑為1,

則。卜1的方程為(工一省)2+。-1)2=1，

設(shè)。N的半徑為r,其與左軸的的切點(diǎn)為C,連接MA、MC,

由Rtz^OAMsRt/XOCN可知，0M：ON=MA：NC,

即——r=±1nr=3,

3+rr

則0C=3百，則。N的方程為(x-3石尸+(>—3尸=9；

(2)由對稱性可知，所求的弦長等于過A點(diǎn)直線MN的平行線被ON截得的弦的長度，此弦的方

程是y=*(x—6),即：x-V3y-V3=O.圓心\到該直線的距離d=立，則弦長=

2“-d?=回.

【鞏固訓(xùn)練】

1、已知點(diǎn)—(1,4)在圓C：V+/+2ax—4y+6=0上，點(diǎn)2關(guān)于直線x+y—3=0的對稱點(diǎn)也在圓

,上，貝ija=,b=.

【難度】★★

【答案】片T,b=l

2、已知圓。、的方程為/+/十(m-2)x+(m+1)y+m-2=0,根據(jù)下列條件確定實(shí)數(shù)m的取值，并寫出相

應(yīng)的圓心坐標(biāo)和半徑。

(1)圓的面積最??；

(2)圓心距離坐標(biāo)原點(diǎn)最近

【難度】★★

【答'案'?：(HL2)，+(in+l)、4(口】-2)=2而-6m+13>0恒成立,無論勿為何值，方程總表示圓。圓心坐

2-mm+1、…1r~;-

標(biāo)-----,-------,圓的半徑為r=—>j2m~-6771+13。

I22J2

22

I員］的半徑最小時，面積最小。廣—\12/??—6/71+13—A^2(/??—)+—■->當(dāng)且僅當(dāng)/〃二一

22V2242

時，等號成立，此時面積最小。圓心坐標(biāo)為半徑尸'更。

圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離//(tn占+22逑當(dāng)且僅當(dāng)赤J■時,距離最近。此時，圓心坐

2V2242

3、若0。1：/+丁2=5與。。2：(》—，〃)2+：/=20(機(jī)€/?)相交于八、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處

的切線互相垂直，則線段AB的長度是

【難度】★★★

【解析】【考點(diǎn)定位】本小題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩直線的位置關(guān)系等知識，綜合題。

解析：由題知。1(0,0),。2(叫0)，且又014_1_4。2，所以有

m2=(Vs)2+(2^5)2=25=>zn=±5,；.AB=2?如=4

4、己知。。方程為x2+>2=4,定點(diǎn)/(4,0),求過點(diǎn)力且和。。相切的動圓圓心的軌跡

【難度】★★★

【解析】分析：兩圓外切，連心線長等于兩圓半徑之和，兩圓內(nèi)切，連心線長等于兩圓半徑之差，

由此可得到動圓圓心在運(yùn)動中所應(yīng)滿足的幾何條件，然后將這個幾何條件坐標(biāo)化，即得到它的軌

跡方程.

解法r設(shè)動圓圓心為戶(x,y),因?yàn)閯訄A過定點(diǎn)4所以|用|即動圓半徑，

當(dāng)動圓〃與。。外切時，|/犯=|例+2；

當(dāng)動圓月與。。內(nèi)切時，\PO\=\PA\-2.

綜合這兩種情況,得|^|-|^||=2.

將此關(guān)系式坐標(biāo)化，得

在+y2-,(尤―4)2+丁|=2,

2

化簡可得(x-2)2—工=1,

3

解法二：由解法一可得動點(diǎn)/，滿足兒何關(guān)系

|\OP\-PA\|=2,

即〃點(diǎn)到兩定點(diǎn)。、力的距離差的絕對值為定值2,所以/，點(diǎn)軌跡是以0、力為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長的

雙曲線，中心在的中點(diǎn)(2,0),實(shí)半軸長年1,半焦距c=2,虛半軸長夕de?-a?=也，所以

軌跡方程為期-2)?一2=1

3

能力提升

一、單選題

1.(2018?上海?華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二期中)已知圓的方程是

(X-2)2+(^-3)2=4,則點(diǎn)尸(3,2)()

A.在圓心B.在圓上

C.在圓內(nèi)D.在圓外

【答案】C

【分析】把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由(%-4+(%-4與/的大小關(guān)系判斷

【詳解】因?yàn)?3-2y+(2-3)2=2<4,所以點(diǎn)睢圓內(nèi).

故選：C.

2.(2016?上海?華師大二附中高三期中)圓工2+丁-2》-8'+13=0的圓心至IJ直線

ar+y-l=O的距離為1,則。=

B-4C.至)D.2

【答案】A

試題分析：由f+y2_2x_8y+i3=0配方得(X-1)2+()，-4)2=4,所以圓心為(1,4),因?yàn)閳A

|?+4-1|

x」+y2-2x-8y+13=O的圓心至I」直線ax+y-l=O的距離為1,所以解得

\la2+12

4

?=,故選A.

【考點(diǎn)】圓的方程，點(diǎn)到直線的距離公式

【名師點(diǎn)睛】直線與圓的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切和相離.已知直線與圓的位置關(guān)

系時，常用幾何法將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系，以此來確定參

數(shù)的值或取值范圍.

3.(2018?上海?西外高二期末)圓心在軸上，半徑為2,且過點(diǎn)(2,4)的圓的方程為

()

A.x2+(y-l)2=4B.x2+(y-2)2=4

C.x2+（y-3）2=4D.x2+（y-4）2=4

【答案】D

【分析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為（OS）,由圓過點(diǎn)（2,4）可列出關(guān)于b的方程，解可得6的值，將6的

值代入圓的方程即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓心的坐標(biāo)為（。力），

則有（0-2『+（6-4）2=4,解可得b=4,

則圓的方程為l+（y-4）2=4；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出圓心的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2021?上海市控江中學(xué)三模）設(shè)三角形ABC是位于平面直角坐標(biāo)系宜刀的第一象限中

的一個不等邊三角形，該平面上的動點(diǎn)P滿足：|P4『+|pB『+|pc|2=|Q4『+|o8|2+|oc/，

己知動點(diǎn)P的軌跡是一個圓，則該圓的圓心位于三角形ABC的

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】可設(shè)P（x，y）,A（%，x）8（々,%），由

|PA|2+|PB|2+|PCf=|OA|2+1OB『+1oc『列出關(guān)系式,由尸的軌跡為圓,求出圓心坐標(biāo)即可

【詳解】設(shè)P（x,y）,A（%,y）/和%）,c（%%）,由

+|戶8『+|PC|2=|OA|2+|OB『+|。丁得：

22222222222

（x-x,）+（y-y,）+（x-x2）+（y-y2）+（x-x3）+（y-y3）=jf,+y,+V+y,+Jf3+y3

展開整理,得3/+3/-2（±+毛+三）8-2（%+%+〉3）y=°?

[x-：（X[+三+三）「+[y—：（%+y2+%）「=%1（玉+%+巧）~+（耳+y2+%廠1?

,j39

???圓的圓心坐標(biāo)為（ga+電+&），g（X+%+%）），為三角形A8C的重心.

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查圓的軌跡方程的求法，重心坐標(biāo)公式的應(yīng)用，計(jì)算量偏大，化簡時需進(jìn)行

整體代換，簡化運(yùn)算難度，屬于中檔題

5.（2020?上海?高二課時練習(xí)）由直線y=x+l上的點(diǎn)向圓（*-3）2+y2=i作切線，則切線

長的最小值為（）

A.1B.y/lC.2播D.3

【答案】B

【分析】先求圓心到直線的距離，此時切線長最小，由勾股定理不難求解切線長的最小值.

【詳解】切線長的最小值是當(dāng)直線y=x+i上的點(diǎn)與圓心距離最小時取得,

圓心（3,0）到直線的距離為"=坦關(guān)」=2上,

圓的半徑為1,

故切線長的最小值為序，=后斤=后，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線方程，點(diǎn)到直線的距離，是基礎(chǔ)題.

二、填空題

6.（2020?上海市市北中學(xué)高二階段練習(xí)）圓（x-2『+y2=4關(guān)于原點(diǎn)對稱的圓的方程為

【答案】（X+2）2+/=4

【分析】由圓的方程確定圓心和半徑，求得圓心關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)即為所求圓的圓心，半徑

不變，由此可得所求圓方程.

【詳解】由圓的方程知其圓心為（2,0）,半徑/'=2；

則其關(guān)于原點(diǎn)對稱的圓的圓心為（-2,0）,半徑為2，

所求圓的方程為："+2）2+丁=4.

故答案為：（x+2y+y2=4.

7.（2021?上海市延安中學(xué)高二期末）圓x2+V+2x=0的圓心坐標(biāo)是

【答案】（-1,0）

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式即可得到圓心坐標(biāo).

【詳解】由/+產(chǎn)+2》=0,可得（x+iy+y2=]

所以其圓心坐標(biāo)為（-1,0）

故答案為：（-L0）

8.（2020?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）圓心在直線y=-x+】上，且與直線x+y-2=0相切

于點(diǎn)（1,1）的圓的方程是

【答案】（Tj+（），一步；

【分析】假設(shè)圓心坐標(biāo)，利用切點(diǎn)可構(gòu)造方程求得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定半徑，由此得到圓的

方程.

【詳解】設(shè)所求圓的圓心為（a,-a+i）,則圓心與（1」）連線與直線x+y-2=o垂直，

故答案為:

9.（2020?上海?華師大二附中高二期中）已知三角形的三邊所在直線為x+y=-l,

2x-y=l,2x+y=3,則三角形的外接圓方程為

【答案】%2+/-7x+3y+2=0

【分析】先由三條直線兩兩聯(lián)立，求出三角形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)所求圓的?般方程，根

據(jù)待定系數(shù)法，即可求出結(jié)果.

x+y=—1x=Ox+y=—1,x=4

【詳解】由解得;由2'二3解得

)=T)=一5

2x—y=]x=l

由解得

2x+y=3)=1

根據(jù)題意,可得所求圓的方程過點(diǎn)（0,-1）,（4,-5）,（1,1）,

設(shè)所求圓的方程為丁+丁+6+同+F=O,

l-￡+F=()D=-7

則416+25+4Q-5E+F=0,解得＜E=3,

1+1+O+E+尸=0F=2

即所求圓的方程為￡+y-7x+3y+2=0.

故答案為：X2+/-7X+3>-+2=0.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓的方程時，可用待定系數(shù)求解，先設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或?般方程，根

據(jù)題中條件（圓心與半徑滿足的條件；圓所過點(diǎn)的坐標(biāo)等）列出方程，求出待定系數(shù)，即可

得出所求圓的方程.

10.（2018?上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二階段練習(xí)）直徑的兩個端點(diǎn)是（3,2）、（-1,4）的

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【答案】（x-l）2+（y-3）2=5.

【分析】根據(jù)兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，即可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由題意，兩個端點(diǎn)是（3,2）、（-1,4）,

可得中點(diǎn)坐標(biāo)為（當(dāng)