2024高考復習A版數(shù)學考點考法練習：二項分布與正態(tài)分布

高考

數(shù)學概率與統(tǒng)計二項分布與正態(tài)分布基礎篇考點一條件概率、相互獨立事件及二項分布、全概率公式考向一相互獨立事件、二項分布1.(2018課標Ⅲ,8,5分)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各

成員的支付方式相互獨立.設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人

數(shù),D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),則p=

(

)A.0.7

B.0.6

C.0.4

D.0.3答案

B

2.(2015課標Ⅰ,4,5分)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.

已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則

該同學通過測試的概率為(

)A.0.648

B.0.432

C.0.36

D.0.312答案

A

3.(2023屆江蘇常州一中檢測,7)袋子里裝有形狀、大小完全相同的4個小

球,球上分別標有數(shù)字1,2,3,4,從中有放回地隨機取兩次,每次取1個球,A表

示事件“第一次取出的球上數(shù)字是1”,B表示事件“第二次取出的球上

數(shù)字是2”,C表示事件“兩次取出的球上數(shù)字之和是5”,D表示事件“兩

次取出的球上數(shù)字之和是6”,通過計算,則可以得出

(

)A.B與D相互獨立

B.A與D相互獨立C.B與C相互獨立

D.C與D相互獨立答案

C

4.(多選)(2023屆哈爾濱七十三中月考,9)一個質(zhì)地均勻的正四面體表面上

分別標有數(shù)字1,2,3,4,拋擲該正四面體兩次,記事件A為“第一次向下的數(shù)

字為偶數(shù)”,事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”,則下列說法正確

的是

(

)A.P(A)=

B.事件A和事件B互為對立事件C.P(B|A)=

D.事件A和事件B相互獨立答案

CD

5.(多選)(2023屆浙江“山水聯(lián)盟”聯(lián)考,9)若P(A)=

,P(B)=

,則

(

)A.若A,B為互斥事件,則P(A+B)=

B.P(A+B)≥

C.若A,B相互獨立,則P(

)=

D.若P(B|A)=

,則A,B相互獨立答案

AD

6.(多選)(2022山東質(zhì)量檢測,11)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,觀察向上的面

出現(xiàn)的點數(shù),在下列事件中與事件“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”相互獨立的事

件為

(

)A.“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”B.“出現(xiàn)的點數(shù)大于2”C.“出現(xiàn)的點數(shù)小于4”D.“出現(xiàn)的點數(shù)小于3”答案

BD

7.(2021新高考Ⅰ,8,5分)有6個相同的球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有

放回地隨機取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字

是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取

出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,

則

(

)A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立答案

B

8.(2022全國乙理,10,5分)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤

比賽結(jié)果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,

p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則

(

)A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大答案

D

9.(2022山東濟寧一中開學考試,14)已知隨機變量ξ~B

,則P(ξ=4)=

,D(ξ)=

.(用數(shù)字作答)答案

10.(2015廣東,13,5分)已知隨機變量X服從二項分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,則p=

.答案

11.(2020天津,13,5分)已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為

和

.假定兩球是否落入盒子互不影響,則甲、乙兩球都落入盒子的概率為

;甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為

.答案

12.(2020課標Ⅰ,19,12分)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽,約定賽制

如下:累計負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪

空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽,負者下一場輪空,直至有一

人被淘汰;當一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,

另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設每場比賽

雙方獲勝的概率都為

.(1)求甲連勝四場的概率;(2)求需要進行第五場比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.解析

(1)甲連勝四場的概率為

.(2)根據(jù)賽制,至少需要進行四場比賽,至多需要進行五場比賽.比賽四場結(jié)

束,共有三種情況:甲連勝四場的概率為

;乙連勝四場的概率為

;丙上場后連勝三場的概率為

.所以需要進行第五場比賽的概率為1-

-

-

=

.(3)丙最終獲勝,有兩種情況:比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為

;比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝,則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、

負、輪空結(jié)果有三種情況:勝勝負勝,勝負空勝,負空勝勝,概率分別為

,

,

.因此丙最終獲勝的概率為

+

+

+

=

.13.(2023屆江蘇百校聯(lián)考,19)近年來,師范專業(yè)是高考考生填報志愿的熱

門專業(yè).某高中隨機調(diào)查了本校2022年參加高考的90位文科考生首選志

愿(第一個院校專業(yè)組的第一個專業(yè))填報情況,經(jīng)統(tǒng)計,首選志愿填報與

性別情況如表:(單位:人)

首選志愿為師范專業(yè)首選志愿為非師范專業(yè)女性2535男性525(1)根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,能否認為首選志愿為師范專業(yè)與

性別有關(guān)?(2)用樣本估計總體,用本次調(diào)研中首選志愿樣本的頻率代替首選志愿的

概率,從2022年全國文科考生中隨機抽取3人,設被抽取的3人中首選志愿

為師范專業(yè)的人數(shù)為X,求X的分布列、數(shù)學期望E(X)和方差D(X).附:χ2=

,n=a+b+c+d.α0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析

(1)零假設為H0:首選志愿為師范專業(yè)與性別無關(guān).根據(jù)題表中數(shù)據(jù)

可得χ2=

=5.625>3.841=x0.05,根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為首選志愿為師

范專業(yè)與性別有關(guān),此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.(2)某個考生首選志愿為師范專業(yè)的概率P=

=

,X的所有可能取值為0,1,2,3,X~B

.P(X=0)=

=

,P(X=1)=

×

×

=

,P(X=2)=

×

×

=

,P(X=3)=

=

,∴X的分布列為X0123P

E(X)=3×

=1,D(X)=3×

×

=

.考向二條件概率、全概率公式1.(2023屆廣東普寧華美實驗學校月考,3)從5名男生2名女生中任選3人參

加學校組織的“喜迎二十大,奮進新征程”的演講比賽,則在男生甲被選

中的條件下,男生乙和女生丙至少一人被選中的概率是

(

)A.

B.

C.

D.

答案

C

2.(2022廣東清遠陽山中學月考,5)根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料,某地四月份吹

東風的概率為

,下雨的概率為

,既吹東風又下雨的概率為

,則在吹東風的條件下下雨的概率為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

A

3.(2022長沙市明德中學二模,4)學校從高一3名男數(shù)學老師和3名女數(shù)學

老師中選派4人,承擔本次模擬考試數(shù)學閱卷任務,則在選派的4人中至少

有2名男老師的條件下,有2名女老師的概率為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

B

4.(2023屆湖北應城第一高級中學熱身考試,14)兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品,第一

批占30%,次品率為5%;第二批占70%,次品率為4%,將兩批產(chǎn)品混合,從混

合產(chǎn)品中任取1件,則取到這件產(chǎn)品是合格品的概率為

.答案

0.9575.(2023屆遼寧鞍山質(zhì)量監(jiān)測,15)根據(jù)以往的臨床記錄,某種診斷癌癥的試

驗具有如下的效果:若以A表示事件“試驗反應為陽性”,以C表示事件

“被診斷者患有癌癥”,則有P(A|C)=0.9,P(

|

)=0.9.現(xiàn)在對自然人群進行普查,設被試驗的人患有癌癥的概率為0.01,即P(C)=0.01,則P(C|A)=

.答案

6.(2023屆遼寧渤海大學附中月考,14)某考生回答一道四選一的考題,假設

他知道正確答案的概率為0.5,知道正確答案時,答對的概率為100%,而不

知道正確答案時猜對的概率為0.25,那么他答對題目的概率為

.答案

0.6257.(2023屆福建漳州質(zhì)檢,20)漳州某地準備建造一個以水仙花為主題的公

園.在建園期間,甲、乙、丙三個工作隊負責采摘及雕刻水仙花球莖.雕刻

時會損壞部分水仙花球莖,假設水仙花球莖損壞后便不能使用,無損壞的

全部使用.已知甲、乙、丙工作隊所采摘的水仙花球莖分別占采摘總量

的25%,35%,40%,甲、乙、丙工作隊采摘的水仙花球莖的使用率分別為

0.8,0.6,0.75

水仙花球莖的使用率=

.(1)從采摘的水仙花球莖中有放回地隨機抽取三次,每次抽取一顆,記甲工

作隊采摘的水仙花球莖被抽取到的次數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列及期

望;(2)已知采摘的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用,求它是由丙工作隊所采

摘的概率.解析

(1)在采摘的水仙花球莖中,任取一顆是由甲工作隊采摘的概率是

.依題意,ξ的所有取值為0,1,2,3,且ξ~B

,所以P(ξ=k)=

,k=0,1,2,3,即P(ξ=0)=

,P(ξ=1)=

,P(ξ=2)=

,P(ξ=3)=

,所以ξ的分布列為ξ0123P

所以E(ξ)=3×

=

.(2)用A1,A2,A3分別表示水仙花球莖由甲,乙,丙工作隊采摘,B表示采摘的水

仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用,則P(A1)=0.25,P(A2)=0.35,P(A3)=0.4,且P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.75,故P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.8+0.35×0.6+0.4×0.75=0.71,所以P(A3|B)=

=

=

=

.即采摘出的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用,它是由丙工作隊所采摘的

概率為

.考點二正態(tài)分布1.(2023屆廣東東莞四中月考,4)某地組織普通高中數(shù)學競賽.初賽共有20000名學生參賽,統(tǒng)計得考試成績X(滿分150分)服從正態(tài)分布N(110,100).

考試成績140分及以上者可以進入決賽.本次考試可以進入決賽的人數(shù)大

約為

(

)附:P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9973A.27

B.52

C.456

D.13答案

A

2.(2011湖北,5,5分)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ<2)=

(

)A.0.6

B.0.4

C.0.3

D.0.2答案

C

3.(2021新高考Ⅱ,7,5分)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),則下

列結(jié)論中不正確的是

(

)A.σ越小,該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大B.該物理量一次測量結(jié)果大于10的概率為0.5C.該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等D.該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.2)內(nèi)的概率與落在(10,10.3)內(nèi)的概

率相等答案

D

4.(2015山東,8,5分)已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N

(0,32),從中隨機取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為

(

)(附:若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ

<μ+2σ)=95.44%)A.4.56%

B.13.59%

C.27.18%

D.31.74%答案

B

5.(2022新高考Ⅱ,13,5分)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(2<X≤

2.5)=0.36,則P(X>2.5)=

.答案

0.14綜合篇考法一條件概率的求法1.(2023屆湖北應城第一高級中學熱身考試,6)將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生

隨機派往①,②,③三個村莊進行義診,每個村莊至少派1名醫(yī)生,A表示事

件“醫(yī)生甲派往①村莊”;B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”;C表示事件

“醫(yī)生乙派往②村莊”,則

(

)A.事件A與B相互獨立B.事件A與C相互獨立C.P(B|A)=

D.P(C|A)=

答案

D

2.(2023屆廣州仲元中學月考,7)為了提升全民身體素質(zhì),學校十分重視學

生體育鍛煉.某校一籃球運動員進行投籃練習.如果他前一球投進則后一

球投進的概率為

;如果他前一球投不進則后一球投進的概率為

.若他第1球投進的概率為

,則他第2球投進的概率為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

B

3.(多選)(2022湖北開學考,10)已知P(A)=

,P(

A)=

,P(

|

)=

,則下列結(jié)論正確的是

(

)A.P(

|A)=

B.P(

)=

C.P(

)=

D.P(

|B)=

答案

AD

4.(多選)(2022廣東階段練,10)英國數(shù)學家貝葉斯在概率論研究方面成就

顯著,根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論,隨機事件A、B存在如下關(guān)系:P(A|B)=

.某高校有甲、乙兩家餐廳,王同學第一天去甲、乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.如果他第一天去甲餐廳,那么第二天去甲餐

廳的概率為0.6;如果第一天去乙餐廳,那么第二天去甲餐廳的概率為0.5,

則王同學

(

)A.第二天去甲餐廳的概率為0.54B.第二天去乙餐廳的概率為0.44C.第二天去了甲餐廳,則第一天去乙餐廳的概率為

D.第二天去了乙餐廳,則第一天去甲餐廳的概率為

答案

AC

5.(2023屆安徽十校聯(lián)考,15)現(xiàn)有5名同學站成一排拍畢業(yè)照留念,在“甲

不站最左邊,乙不站最右邊”的前提下,丙站最左邊的概率為

.答案

6.(2022新高考Ⅰ,20,12分)一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當

地居民的衛(wèi)生習慣(衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該

疾病的病例中隨機調(diào)查了100例(稱為病例組),同時在未患該疾病的人群

中隨機調(diào)查了100人(稱為對照組),得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣

有差異?(2)從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良

好”,B表示事件“選到的人患有該疾病”,

與

的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標,記該指標為R.(i)證明:R=

·

;(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出P(A|B),P(A|

)的估計值,并利用(i)的結(jié)果給出R的估計值.附:K2=

,P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析

(1)由題中數(shù)據(jù)可知K2=

=24>6.635,所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.(2)(i)證明:因為R=

·

=

·

·

·

=

,且

·

=

·

·

·

=

,所以R=

·

.(ii)由題表中數(shù)據(jù)可知P(A|B)=

=

,P(A|

)=

=

,P(

|B)=

=

,P(

|

)=

=

,所以R=

·

=

×

=6.考法二

n重伯努利試驗及二項分布問題的求解方法1.(2022山東質(zhì)量檢測,5)現(xiàn)有3道四選一的單選題,學生李明對其中的2道

題有思路,1道題完全沒有思路,有思路的題答對的概率為0.8,沒有思路的

題只好任意猜一個答案,猜對答案的概率為0.25,若每題答對得5分,不答

或答錯得0分,則李明這3道題得分的期望為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

B

2.(2023屆湖北“宜荊荊恩”起點考,8)一個袋子中裝有形狀、大小完全

相同的4個小球,其中2個黑球,2個白球.第一步:從袋子里隨機取出2個球,

將取出的白球涂黑后放回袋中,取出的黑球直接放回袋中;第二步:再從袋

子里隨機取出2個球,記第二步取出的2個球中白球的個數(shù)為X,則E(X)=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

D

3.(多選)(2022山東濟寧一中開學考,11)某單位舉行建黨100周年黨史知識

競賽,在必答題環(huán)節(jié)共設置了5道題,每道題答對得20分,答錯扣10分(每道

題都必須回答,但相互不影響).設某選手每道題答對的概率均為

,其必答題環(huán)節(jié)的總得分為X,則

(

)A.該選手恰好答對2道題的概率為

B.E(X)=50C.D(X)=

D.P(X>60)=

答案

BD

4.(多選)(2022福建莆田一中模擬,9)甲、乙兩位同學做紙牌游戲(紙牌除

了顏色有不同,沒有其他任何區(qū)別),他們手里先各持4張牌,其中甲手里有

2張黑牌,2張紅牌,乙手里有3張黑牌,1張紅牌,現(xiàn)在兩人都各自隨機地拿

出一張牌進行交換,交換后甲、乙手中的紅牌數(shù)分別為X、Y,則

(

)A.P(X=2)=

B.P(X=3)=

C.E(X)=E(Y)

D.D(X)=D(Y)答案

AD

5.(2022福州一中三模,15)產(chǎn)品質(zhì)量檢驗過程主要包括進貨檢驗(IQC),生

產(chǎn)過程檢驗(IPQC),出貨檢驗(OQC)三個環(huán)節(jié).已知某產(chǎn)品IQC單獨通過率

為

,IPQC單獨通過率為p(0<p<1),規(guī)定上一類檢驗不通過則不進入下一類檢驗,未通過可修復后再檢驗一次(修復后無需從頭檢驗,通過率不變且

每類檢驗最多兩次),且各類檢驗間相互獨立.若該產(chǎn)品能進入OQC的概率

為

,則p=

.答案

6.(2017課標Ⅱ理,13,5分)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次

隨機取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則D(X)=

.答案

1.967.(2022廣東清遠陽山中學月考,13)隨機變量X的概率分布列為X01mP

n

且E(X)=1.1,則D(X)=

.答案

0.498.(2023屆山東高密三中月考,18)某校為了緩解高三學子復習壓力,舉行

“趣味數(shù)學”闖關(guān)活動,規(guī)定每人從10道題中至少隨機抽3道回答,至少

答對2題即可闖過第一關(guān).某班有5位同學參加闖關(guān)活動,假設每位同學都

能答對10道題中的6道題,且每位同學能否闖過第一關(guān)相互獨立.(1)求B同學闖過第一關(guān)的概率;(2)求這5位同學闖過第一關(guān)的人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.解析

(1)B同學闖過第一關(guān)的情況有答對2題和答對3題,故B同學闖過第

一關(guān)的概率P=

=

.(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,且X服從二項分布,即X~B

.P(X=0)=

=

,P(X=1)=

×

×

=

,P(X=2)=

×

×

=

,P(X=3)=

×

×

=

,P(X=4)=

×

×

=

,P(X=5)=

=

.故X的分布列為X012345P

所以E(X)=0×

+1×

+2×

+3×

+4×

+5×

=

.9.(2023屆南京雨花臺中學調(diào)研,20)某企業(yè)擁有3條相同的生產(chǎn)線,每條生

產(chǎn)線每月至多出現(xiàn)一次故障.各條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)故障相互獨立,且出現(xiàn)

故障的概率均為

.(1)求該企業(yè)每月有且只有1條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障的概率;(2)為提高生產(chǎn)效益,該企業(yè)決定招聘n名維修工人及時對出現(xiàn)故障的生產(chǎn)

線進行維修.已知每名維修工人每月只有及時維修1條生產(chǎn)線的能力,且

每月固定工資為1萬元.此外,統(tǒng)計表明,每月在不出故障的情況下,每條生

產(chǎn)線創(chuàng)造12萬元的利潤;如果出現(xiàn)故障能及時維修,每條生產(chǎn)線創(chuàng)造8萬

元的利潤;如果出現(xiàn)故障不能及時維修,該生產(chǎn)線將不創(chuàng)造利潤,以該企業(yè)

每月實際獲利的期望值為決策依據(jù),在n=1與n=2之中選其一,應選哪個?

(實際獲利=生產(chǎn)線創(chuàng)造利潤-維修工人工資)解析

(1)設3條生產(chǎn)線中出現(xiàn)故障的條數(shù)為X,則X~B

,因此P(X=1)=

=

.(2)①當n=1時,設該企業(yè)每月的實際獲利為Y1萬元,若X=0,則Y1=12×3-1=35;

若X=1,則Y1=12×2+8×1-1=31;若X=2,則Y1=12×1+8×1+0×1-1=19;若X=3,則Y1=8×1+0×2-1=7,又P(X=0)=

=

,P(X=1)=

·

=

,P(X=2)=

=

,P(X=3)=

=

,此時,實際獲利Y1的均值E(Y1)=35×

+31×

+19×

+7×

=

(萬元).②當n=2時,設該企業(yè)每月的實際獲利為Y2萬元,若X=0,則Y2=12×3-2=34;若X=1,則Y2=12×2+8×1-2=30;若X=2,則Y2=12×1+8×2-2=26;若X=3,則Y2=8×2+0×1-2=14.E(Y2)=34×

+30×

+26×

+14×

=

(萬元),因為E(Y1)<E(Y2),所以以該企業(yè)每月實際獲利的期望值為決策依據(jù),在n=1與n=2之中選其

一,應選n=2.10.(2023屆廣西北海一模,19)某校為了了解學生每天完成數(shù)學作業(yè)所需

的時間收集了相關(guān)數(shù)據(jù)(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方

圖(如圖),其中,學生完成數(shù)學作業(yè)時間的范圍是(0,100](單位:分鐘).其統(tǒng)

計數(shù)據(jù)分組區(qū)間為(0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].

(1)求直方圖中x的值;(2)以直方圖中的頻率作為概率,從該校學生中任選4人,這4名學生中完成

數(shù)學作業(yè)所需時間少于20分鐘的人數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學期望.解析

(1)由直方圖中小矩形面積之和為1,可得20x+0.025×20+0.0065×20

+0.003×2×20=1,解得x=0.0125.(2)X的可能取值為0,1,2,3,4.由直方圖可知,每位學生完成數(shù)學作業(yè)所需時間少于20分鐘的概率為

,則P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

,P(X=2)=

=

,P(X=3)=

=

,P(X=4)=

=

,所以X的分布列為X01234P

E(X)=4×

=1.11.(2018課標Ⅰ,20,12分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱

產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格

品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對

余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且

各件產(chǎn)品是不是不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0.(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作

為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則

工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗,這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的

和記為X,求E(X);(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的

所有產(chǎn)品作檢驗?解析

(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=

p2(1-p)18.因此f'(p)=

[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2

p(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1,當p∈(0,0.1)時,f'(p)>0;當p∈(0.1,1)時,f'(p)<0.所以f(p)的最大值點為p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),X

=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗,則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.由于E(X)>400,故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗.考法三正態(tài)分布問題的求解方法1.(2022重慶二模,4)已知某批零件的尺寸X(單位:mm)服從正態(tài)分布N(10,

4),其中X∈[8,14]的產(chǎn)品為“合格品”,若從這批零件中隨機抽取一件,則

抽到合格品的概率約為(

)(附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,

P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.3414

B.0.4773

C.0.512

D.0.8186答案

D

2.(多選)(2023屆重慶南開中學質(zhì)檢,9)已知隨機變量X~N(1,22),且P(X≤0)

+P(1≤X<m)=

,則下列說法正確的是

(

)A.m=2B.m=4C.函數(shù)y=x(m-x)的最大值為1D.X的正態(tài)曲線關(guān)于直線x=2對稱答案

AC

3.(2023屆河北河間一中開學考,16)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生

產(chǎn)過程,檢驗員每天從生產(chǎn)線上隨機抽取10個零件,并測量其尺寸(單位:

cm).根據(jù)長期的生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零

件的尺寸服從正態(tài)分布N(200,150).現(xiàn)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)

抽取的10個零件中尺寸在(187.8,212.2)之外的零件數(shù),則E(X)=

.(附:

≈12.2,P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9545)答案

3.1734.(2023屆湖北應城第一高級中學熱身考試,21)數(shù)學建模是高中數(shù)學核心

素養(yǎng)的一個組成部分,數(shù)學建模能力是應用意識和創(chuàng)新意識的重要表現(xiàn).

為全面推動數(shù)學建?；顒拥拈_展,某學校舉行了一次數(shù)學建模競賽活動,

已知該競賽共有60名學生參加,他們成績的頻率分布直方圖如圖.

(1)為了對數(shù)據(jù)進行分析,將60分以下的成績定為不合格,60分以上(含60分)的成績定為合格.為科學評估該校學生數(shù)學建模水平,決定利用分層隨

機抽樣的方法從這60名學生中選取10人,然后從這10人中抽取4人參加座

談會.記ξ為抽取的4人中,成績不合格的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學期望;(2)已知這60名學生的數(shù)學建模競賽成績X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ可

用樣本平均數(shù)近似代替,σ2可用樣本方差近似代替(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中

點值作代表),若本次數(shù)學建模競賽滿分為100分,成績在46分以上的學生

均能得到獎勵,試估計此次競賽中得到獎勵的人數(shù).(結(jié)果根據(jù)四舍五入保

留到整數(shù)位)附:若隨機變量X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈

0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.解析

(1)由題中頻率分布直方圖和分層隨機抽樣的方法,可知抽取的10

人中合格的人數(shù)為(0.01+0.02)×20×10=6,不合格的人數(shù)為10-6=4.因此,ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4,P(ξ=0)=

=

,P(ξ=1)=

=

,P(ξ=2)=

=

,P(ξ=3)=

=

,P(ξ=4)=

=

.故ξ的分布列為ξ01234P

所以ξ的數(shù)學期望E(ξ)=0×

+1×

+2×

+3×

+4×

=

.(2)由題意可知,μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64,σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18.由X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),得P(64-18<X≤64+18)=P(46<X≤82)≈0.6827,

則P(X>82)=

×(1-0.6827)=0.15865,P