2024屆陜西省漢中市漢臺(tái)區(qū)縣高三下學(xué)期第三次調(diào)研數(shù)學(xué)試題試卷

2024屆陜西省漢中市漢臺(tái)區(qū)縣高三下學(xué)期第三次調(diào)研數(shù)學(xué)試題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，若為等腰三角形，則橢圓的離心率A． B．C． D．2．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的總有恒成立，記的最小值為，則最大值為（）A．1 B． C． D．3．已知集合，，則集合子集的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．4．己知全集為實(shí)數(shù)集R，集合A={x|x2+2x-8>0}，B={x|log2x<1}，則等于（）A．[4,2] B．[4,2) C．(4,2) D．(0,2)5．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作，已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，復(fù)數(shù):滿(mǎn)足.則等于（）A． B． C． D．6．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿(mǎn)足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.17．已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．8．如圖所示點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別在拋物線(xiàn)及圓的實(shí)線(xiàn)部分上運(yùn)動(dòng)，且總是平行于軸，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn).若依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．10．已知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)分別交于點(diǎn)、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線(xiàn)的離心率為2，三角形AOB的面積為，則p=（）．A．1 B． C．2 D．311．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝_____，|z|＝_____．14．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則________.15．若，則______.16．在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，是矩形，的頂點(diǎn)在邊上，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)（的長(zhǎng)度滿(mǎn)足需求）.設(shè)，，，且滿(mǎn)足.（1）求；（2）若，，求的最大值.18．（12分）2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來(lái)的100年，是中國(guó)青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年，是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國(guó)、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來(lái)之際，學(xué)校組織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成，其中6道A類(lèi)題、4道B類(lèi)題，參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答，現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.（1）求甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題的概率；（2）若甲同學(xué)答對(duì)每道A類(lèi)題的概率都是，答對(duì)每道B類(lèi)題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類(lèi)題和1道B類(lèi)題，用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）如圖，⊙的直徑的延長(zhǎng)線(xiàn)與弦的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，為⊙上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．求證：~．20．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的值.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，將曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線(xiàn).在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）說(shuō)明曲線(xiàn)是哪一種曲線(xiàn)，并將曲線(xiàn)的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)是曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，又直線(xiàn)上有兩點(diǎn)和，且，又點(diǎn)的極角為，點(diǎn)的極角為銳角.求：①點(diǎn)的極角；②面積的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)（，），且對(duì)任意，都有.（Ⅰ）用含的表達(dá)式表示；（Ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求出的取值范圍，并證明；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

設(shè)，則，，因?yàn)?，所以．若，則，所以，所以，不符合題意，所以，則，所以，所以，，設(shè)，則，在中，易得，所以，解得（負(fù)值舍去），所以橢圓的離心率．故選B．2、C【解題分析】

對(duì)任意的總有恒成立，因?yàn)?，?duì)恒成立，可得，令，可得，結(jié)合已知，即可求得答案.【題目詳解】對(duì)任意的總有恒成立，對(duì)恒成立，令，可得令，得當(dāng)，當(dāng)，，故令，得當(dāng)時(shí)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.3、B【解題分析】

首先求出，再根據(jù)含有個(gè)元素的集合有個(gè)子集，計(jì)算可得.【題目詳解】解：，，，子集的個(gè)數(shù)為.故選：.【題目點(diǎn)撥】考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運(yùn)算，集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

求解一元二次不等式化簡(jiǎn)A，求解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)B，然后利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算得答案.【題目詳解】解：由x2+2x-8>0，得x＜-4或x＞2，

∴A={x|x2+2x-8>0}＝{x|x＜-4或x＞2}，

由log2x<1，x＞0，得0＜x＜2，

∴B={x|log2x<1}＝{x|0＜x＜2}，

則，

∴.

故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查了對(duì)數(shù)不等式，二次不等式的求法，是基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù)，進(jìn)而得出，由得出可計(jì)算出，由此可計(jì)算出.【題目詳解】由于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，，則，，，因此，.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【題目詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿(mǎn)足,令,.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題以天文學(xué)問(wèn)題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.7、A【解題分析】

先求出函數(shù)在處的切線(xiàn)方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為：，令，它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.8、B【解題分析】

根據(jù)拋物線(xiàn)方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，結(jié)合定義表示出；根據(jù)拋物線(xiàn)與圓的位置關(guān)系和特點(diǎn)，求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，即可由的周長(zhǎng)求得其范圍.【題目詳解】拋物線(xiàn)，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，根據(jù)拋物線(xiàn)定義可得，圓，圓心為，半徑為，點(diǎn)、分別在拋物線(xiàn)及圓的實(shí)線(xiàn)部分上運(yùn)動(dòng)，解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.點(diǎn)、分別在兩個(gè)曲線(xiàn)上，總是平行于軸，因而兩點(diǎn)不能重合，不能在軸上，則由圓心和半徑可知，則的周長(zhǎng)為，所以，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線(xiàn)定義、方程及幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.9、D【解題分析】

如圖所示，設(shè)依次構(gòu)成等差數(shù)列，其公差為.根據(jù)橢圓定義得，又，則，解得，.所以，，，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故選D．10、C【解題分析】試題分析：拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，雙曲線(xiàn)的離心率為2，則，，漸近線(xiàn)方程為，求出交點(diǎn)，，，則；選C考點(diǎn)：1.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)和離心率；2.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程；11、C【解題分析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】A：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；B：在上不單調(diào)，不符合題意；C：為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意；D：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)出，即可得出虛部.【題目詳解】解：=，故虛部為-2.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、11【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算復(fù)數(shù)z，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和模長(zhǎng)公式計(jì)算得解.【題目詳解】復(fù)數(shù)z，∵復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，∴，解得a＝1，∴z＝i，∴|z|＝1，故答案為：1，1．【題目點(diǎn)撥】此題考查復(fù)數(shù)的概念和模長(zhǎng)計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解，計(jì)算模長(zhǎng)，關(guān)鍵在于熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.14、【解題分析】

利用正弦定理將邊化角，即可容易求得結(jié)果.【題目詳解】由正弦定理可知，，即.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，屬基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù)，進(jìn)一步求出的值．【題目詳解】解：若，則，即，所以．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：定積分的應(yīng)用，被積函數(shù)的原函數(shù)的求法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

由題意可得，又，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，分別求出，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題目詳解】解：∵，∴①，②，①﹣②得：，又∵，∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則為奇數(shù)，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題關(guān)鍵是由已知遞推關(guān)系得出，從而確定數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式后再由已知求出偶數(shù)項(xiàng)，要注意結(jié)果是分段函數(shù)形式．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）利用正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)勾股定理逆定理求得.（2）設(shè)，由此求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【題目詳解】（1）設(shè)，，，由，根據(jù)正弦定理和余弦定理得.化簡(jiǎn)整理得.由勾股定理逆定理得.（2）設(shè)，，由（1）的結(jié)論知.在中，，由，所以.在中，，由，所以.所以，由，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為.【題目點(diǎn)撥】本小題考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函數(shù)性質(zhì)及其三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)換思想，應(yīng)用意識(shí).18、（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，期望為．【解題分析】

（1）甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題包含兩個(gè)事件：一個(gè)抽到2道B類(lèi)題，一個(gè)是抽到3個(gè)B類(lèi)題，計(jì)算出抽法數(shù)后可求得概率；（2）的所有可能值分別為，依次計(jì)算概率得分布列，再由期望公式計(jì)算期望．【題目詳解】（1）令“甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題”為事件，則抽到2道類(lèi)題有種取法，抽到3道類(lèi)題有種取法，∴；（2）的所有可能值分別為，，，，，∴的分布列為：0123【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．解題關(guān)鍵是掌握相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式．19、證明見(jiàn)解析【解題分析】

根據(jù)相似三角形的判定定理,已知兩個(gè)三角形有公共角,題中未給出線(xiàn)段比例關(guān)系,故可根據(jù)判定定理一需找到另外一組相等角,結(jié)合平面幾何的知識(shí)證得即可.【題目詳解】證明：∵，所以，又因?yàn)?，所以．在與中，，，故~.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面幾何中同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合思想;分析圖形，找出角與角之間的關(guān)系是證明本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）把轉(zhuǎn)化成，令，由題意得，即證明恒成立，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求證即可（2）直接求導(dǎo)可得，，令，得或，故根據(jù)0與的大小關(guān)系來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論即可【題目詳解】證明：（1）令，則.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以當(dāng)時(shí)，.所以，即，所以.所以當(dāng)時(shí)，.解：（2）因?yàn)?，所?討論：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，故此時(shí)函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)為0；②當(dāng)時(shí)，令，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極大值，所以極小值.當(dāng)時(shí)，有.又，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極小值，所以極大值.若，則，得，所以，所以當(dāng)且時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.綜上，所求實(shí)數(shù)的值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式的恒成立問(wèn)題和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，本題的難點(diǎn)在于把導(dǎo)數(shù)化成因式分解的形式，如，進(jìn)而分類(lèi)討論，本題屬于難題21、（1）曲線(xiàn)為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為（2）①②【解題分析】

（1）求得曲線(xiàn)伸縮變換后所得的參數(shù)方程，消參后求得的普通方程，判斷出對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)，并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）①將的極角代入直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，由此求得點(diǎn)的極徑，判斷出為等腰三角形，求得直線(xiàn)的普通方程，由此求得，進(jìn)而求得，從而求得點(diǎn)的極角.②解法一：利用曲線(xiàn)的參數(shù)方程，求得曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得的最小值和最大值，由此求得面積的取值范圍.解法二：根據(jù)曲線(xiàn)表示的曲線(xiàn)，利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值和最小值，進(jìn)而求得面積的取值范圍.【題目詳解】（1）因?yàn)榍€(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），因?yàn)閯t曲線(xiàn)的參數(shù)方程所以的普通方程為.所以曲線(xiàn)為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.所以的極坐標(biāo)方程為，即.（2）①點(diǎn)的極角為，代入直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程得點(diǎn)極徑為，且，所以為等腰三角形，又直線(xiàn)的普通方程為，又點(diǎn)的極角為銳角，所以，所以，所以點(diǎn)的極角為.②解法1：直線(xiàn)的普通方程為.曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.當(dāng)，即（）時(shí)，取到最小值為.當(dāng)，即（）時(shí)，取到最大值為.所以面積的最大值為；所以面積的最小值為；故面積的取值范圍.解法2：直線(xiàn)的普通方程為.因?yàn)閳A的半徑為2，且圓心到直線(xiàn)的距離，因?yàn)椋詧A與直線(xiàn)相離.所以圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大值為，最小值為.所以面積的最大值為；所以面積的最小值為；故面積的取值范圍.【題目點(diǎn)撥】本小題考查坐標(biāo)變換，