2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)課后培優(yōu)練（必修一）平面上的距離（課堂培優(yōu)）解析版

1.5平面上的距離

一、單選題

1.兩條平行線/i：3x+4y—7=0和，2：3x+4y—12=0的距離為（）

1

A.3B.2C.1D.—

2

【答案】C

【分析】

直接利用平行線間的距離公式求解即可.

【解析】

兩條平行線/i：3x+4y—7=0和，2：3x+4y—12=0的距離為：

卜乙（-12）］一

故選：c.

2.直線/通過(guò)兩直線7x+5y—24=0和x—y=0的交點(diǎn)，并且點(diǎn)（5,1）到/的距離為屈，則/的方程是

（）

A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0D.-x+3y—4=0

【答案】C

【分析】

求得直線交點(diǎn)后，采用待定系數(shù)法，利用點(diǎn)到直線距離公式構(gòu)造方程可求得結(jié)果.

【解析】

7x+5y—24=0一

由，八得：％=y=2,

x-y=0

?..兩直線71+5y-24=0和彳7=0的交點(diǎn)為（2,2）.

①當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為：y—2=%（x—2）,即日一丁+2-2%=0.

,、|5左一1+2—2月

點(diǎn)（5,1）到/的距離d=^L=J10,解得：k=3.

直線/的方程為3x—y-4=0.

②當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，/：x=2,不滿足題意.

綜上所述：直線/的方程為3x-y-4=0.

故選：C.

3.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)40,3)距離為2,且與點(diǎn)8(4,0)距離為3的直線共有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【分析】

根據(jù)直線是否存在斜率，分類討論，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.

【解析】

當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，設(shè)為x=。，由題意可知：,―0|=2且一4|=3,

沒有實(shí)數(shù)。使得兩個(gè)式子同時(shí)成立；

當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為：y=kx+b^kx-y+b=0,

I—3+b\

點(diǎn)A(0,3)到該直線的距離為2,所以有(二了=2(1),

\4k+h\

點(diǎn)8(4,0)到該直線的距離為3,所以有丞耳7卞=3Q)，

(1)9一區(qū)〃

由冰得：。=8k+9或〃=-----

當(dāng)b=8左+9時(shí)，代入(D中，得15左2+24女+8=0,

該方程的判別式△=24?—4x15x8=96>0，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

9-8*

當(dāng)人=三一時(shí)，代入⑴中，得%2一24%+16=0，

該方程的判別式△=(-24)2-4x9x16=0,該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

所以這樣的直線共有三條，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是解方程組.

4.已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(l,2),8(2,1),C(3,3),若6c夾在兩條斜率為1的平行直線之間,

則這兩條平行直線的距離的最小值是（）

A.女叵B.0C.-D.V5

52

【答案】B

【分析】

分別過(guò)A、B、C三個(gè)點(diǎn)，作斜率為1的三條直線，在坐標(biāo)系中作出草圖，利用數(shù)形結(jié)合，可知AABC夾

在兩條斜率為1的平行直線4和4之間，且此時(shí)兩平行線之間的距離最??；再利用兩條平行直線間的距離公

式，即可求出結(jié)果.

【解析】

分別過(guò)A、B、C三個(gè)點(diǎn)，作斜率為1的三條直線，

Z|Iy—2=x—1,即x—y+l=O；

=

Z2*y-1x-2,B|Jx—y—1=0；

/3:y-3=x-3,BfJx-y=0.

作出草圖，如下圖所示：

顯然，6c夾在兩條斜率為1的平行直線4和4之間，此時(shí)這兩條平行直線的距離最??；

又直線4和L之間的距離為d='=V2,所以這兩條平行直線的距離的最小值是V2.

V1+1

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了點(diǎn)斜式求直線方程，兩條平行直線間的距離公式，以及數(shù)形結(jié)合能力，屬于中檔題.

5.己知A（3,0）,B（0,3）,從點(diǎn)P（0,2）射出的光線經(jīng)x軸反射到直線A8上，又經(jīng)過(guò)直線AB反射回到P

點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為（）

A.2V10B.6c.3指D.V26

【答案】D

【分析】

直線AB的方程為：x+>=3,點(diǎn)P（0,2）關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)6（0,-2）,設(shè)點(diǎn)6（0,-2）關(guān)于直線AB的對(duì)

稱點(diǎn)鳥（。力），可得?x（—『

3,

聯(lián)立解得a,b可得光線所經(jīng)過(guò)的路程|。巴|.

【解析】

直線AB的方程為：x+y=3,

點(diǎn)尸（0,2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)片（0,-2）,

設(shè)點(diǎn)以0,-2）關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)，如圖,

聯(lián)立解得。=5,b=3.

??.P2（5,3）,光線所經(jīng)過(guò)的路程為歸身=舟+（3-2）2=而.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線的方程、兩點(diǎn)之間的距離公式、光線反射的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬中檔題.

6.兩條平行直線”2分別過(guò)點(diǎn)尸（-L3）,（2（2,-1）,它們分別繞P,Q旋轉(zhuǎn),但始終保持平行，則W2之間的距

離的取值范圍是

A.(0,+oo)B.[0,5]C.(0,5]D.[O,網(wǎng)

【答案】C

【分析】

先判斷當(dāng)兩直線伍/2與直線PQ垂直時(shí)，兩平行直線八/2間的距離最大，計(jì)算得到最大值，進(jìn)而得到范

圍.

【解析】

當(dāng)兩直線/2與直線PQ垂直時(shí)，兩平行直線/1,/2間的距離最大

最大距離為|PQ|=J(—1—2)2+[3—(—1)丁=5

所以/i,/2之間的距離的取值范圍是(0,5].

故答案選C

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線間的距離，判斷垂直時(shí)距離最大是解題的關(guān)鍵.

7.已知?jiǎng)又本€/：ox+by+C-2=0(。>0,c>0)恒過(guò)點(diǎn)P(l,m)且Q(4,0)到動(dòng)直線/的最大距離為3,則

12

——?—的最小值為()

2ac

99

A.-B.-C.1D.9

24

【答案】B

【分析】

由題意可得：可得a+Zwi+c—2=0.又Q(4,0)到動(dòng)直線/的最大距離為3,可得再工薪'=3,解

得加=0,從而得到a+c=2.再利用“乘1法''與基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【解析】

動(dòng)直線/:以+b+c-2=0(a>0,c>0)恒過(guò)點(diǎn)P(l,〃?)，.?.。+而+。一2=().

又Q(4,0)到動(dòng)直線I的最大距離為3,

???7(4-1)2+W2=3)解得加=0.

「.Q+C=2?

121、,12、15c2。、15-/c2a、9、口n皿△4.^

則nil一+—=—(z〃+c)(—+—)=—(z—+—+—)...一(z一+2J—?—)=一,當(dāng)且僅當(dāng)c=2。=不時(shí)取等

2ac22ac222ac22\2ac43

號(hào).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)之間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)

算能力，屬于中檔題.

8.坐標(biāo)原點(diǎn)0(0,0)在動(dòng)直線，加+翅―2機(jī)—2〃=。上的投影為點(diǎn)尸，若點(diǎn)。(―1,-1),那么|PQ|的取值

范圍為()

A.[V2,3^]B.[后,2行]C.[2夜,3向D.[1,3夜]

【答案】A

【分析】

先判斷直線〃式+〃y-2加-2〃=0所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【解析】

直線znx+ny-2加—2〃=0,可化為加(x-2)+〃(y-2)=0,

故直線過(guò)定點(diǎn)M(2,2),

坐標(biāo)原點(diǎn)在動(dòng)直線皿+町一2機(jī)—2〃=0上的投影為點(diǎn)p,

故NOPM=90°,所以P在以O(shè)M為直徑的圓上，

圓的圓心為(等,等)，即(1,1),半徑為;J(2-0)2+(2—0)2=叵,

根據(jù)點(diǎn)與圓的關(guān)系，|0Q|=J(1+1)2+(1+1)2=2行,

故&=2近-廊J|PQ|立+2夜=3&,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)題意得到P在以O(shè)M為直徑的圓上、動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

9.已知點(diǎn)43,-1),3(5,-2),點(diǎn)2在直線》+尸0上，若使1PAi+|PB|取得最小值，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為

()

A.(/Tl,)\B.(/c3,-3C)、C.卜(二13，二13、)D.(二13,一1向3、

【答案】D

【分析】

首先根據(jù)圖形算出A關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)為C,求出直線BC,再聯(lián)立直線和直線x+y=0即

可求出P點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】

如圖所示:

設(shè)A(3,-l)關(guān)于直線x+y=Q的對(duì)稱點(diǎn)為C(x,y),

211.1

—x=1

得到《,即C(l,—3).

工匕1=01y=-3

22

_-3-(-2)_1

怎c=-TT-="

直線8C為：y+3=-(x-l),即x—4y—13=0.

4

-11

x-4y-13=05

〈n〈

%+y=013

即當(dāng)時(shí)，|PA|+|PB|取得最小值.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題，數(shù)形結(jié)合為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

10.費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與

三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等均為120°.根據(jù)以上性

質(zhì)，z=+y2+J(x+1)-+V+J.2+(y—2)2的最小值為()

A.2B.73C.2-73D.2+6

【答案】D

【分析】

易得z的幾何意義為點(diǎn)M（x,y）到點(diǎn)A（—1,O）,6（1,O）,C（O,2）的距離之和的最小值.此時(shí)點(diǎn)M（x,y）為費(fèi)

馬點(diǎn),再根據(jù)24暇8=120。求解加（乂月的坐標(biāo)，進(jìn)而求得最小值即可.

【解析】

由題z的幾何意義為點(diǎn)M（x,y）到點(diǎn)A（—l,0）,B（l,0）,C（0,2）的距離之和的最小值.

由題可知，此時(shí)ZAMB=120°，且M（x,y）在>軸上.

故OM=.AM=BM=2OM=2心,CM=2--

G333

故z的最小值為述x2+2-正=2+6

33

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)距離公式數(shù)形結(jié)合求解最小值的問題，需要根據(jù)題意畫出坐標(biāo)系，再結(jié)合所給費(fèi)馬點(diǎn)的

定義求解.屬于中檔題.

二、多選題

11.已知平面上一點(diǎn)M（5,0）,若直線上存在點(diǎn)P使|PM|=4,則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切

割型直線”的是（）

4

A.y=x+\B.y=2C.y=—xD.y=2x+\

【答案】BC

【分析】

根據(jù)切割型直線的定義，由點(diǎn)〃(5,0)到直線距離不大于4求解.

【解析】

6

A.點(diǎn)M(5,0)到直線y=x+l的距離為：d次=3啦〉4,故錯(cuò)誤;

B.點(diǎn)”(5,0)到直線y=2的距離為：d=3<4,故正確;

4

C.點(diǎn)”(5,0)到直線y=]X的距離為:故正確;

,2x5+11175.

D.點(diǎn)例(5,0)到直線y=2x+l的距離為：d=?=一三一>4,故錯(cuò)誤;

p?R)

故選：BC

【點(diǎn)睛】

本題主要考查點(diǎn)到直線的距離以及存在問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.(多選題)對(duì)于Jd+2x+5,下列說(shuō)法正確的是()

A.可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(1,2)的距離

B.可看作點(diǎn)(樂0)與點(diǎn)(—1,一2)的距離

C.可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(一1,2)的距離

D.可看作點(diǎn)(x,—l)與點(diǎn)(-1,1)的距離

【答案】BCD

【分析】

化簡(jiǎn)正+2X+5=J(X+1『+(O±2)2=7(-r+l)2+(-l-l)2-結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解?

【解析】

由題意，可得JY+2X+5=J(x+lp+4=J(x+iy+(0±2)2=J(x+Ip+(—1—1)2,

可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(一1,一2)的距離，可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(-1,2)的距離，可看作點(diǎn)(％—1)與點(diǎn)(一1,1)的

距離，故選項(xiàng)4不正確，

故答案為：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面上兩點(diǎn)間的距離公式及其應(yīng)用，其中解答中熟記平面上兩點(diǎn)間的距離公式是解答的關(guān)鍵,

屬于基礎(chǔ)題.

13.已知直線4："-y+l=O,l2:x+ay+\=G,a&R,以下結(jié)論正確的是（）

A.不論。為何值時(shí)，4與4都互相垂直;

B.當(dāng)a變化時(shí)，4與4分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)4（0」）和3（-1，。）

C.不論a為何值時(shí)，4與，2都關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱

D.如果4與《交于點(diǎn)”，則的最大值是行

【答案】ABD

【分析】

由兩直線垂直的判定方法可知A正確：根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的求解方法可知B正確；設(shè)4上一點(diǎn)（x,ax+l）,其

關(guān)于X+y=0對(duì)稱的點(diǎn)不在4上,知C錯(cuò)誤;聯(lián)立兩直線方程可求得M，利用兩點(diǎn)間距離公式表示出\MO\,

根據(jù)函數(shù)最值的求法可求得|加。|的最大值，知D正確.

【解析】

對(duì)于A,?.?axl+（-l）xa=0恒成立，恒成立，A正確；

對(duì)于B,對(duì)于直線4,當(dāng)x=0時(shí)，y=l恒成立，則4過(guò)定點(diǎn)（0,1）；對(duì)于直線4,當(dāng)丁=。時(shí)，x=-l恒

成立，則4恒過(guò)定點(diǎn)（O，T），B正確;

對(duì)于C,在4上任取點(diǎn)（x,ar+1）,關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為

代入乙方程知：（一儂一1,一力不在/2上，C錯(cuò)誤;

-a-\

ax-y+l=0/+1-a-i一。+1

對(duì)于D,聯(lián)立《解得:,即M

x+ay+l=0一Q+1/+1'/+1

a2+1

<V2,即的最大值是正，D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)考查了兩點(diǎn)間距離最值的求解，解題基本思路是能夠?qū)牲c(diǎn)間的距離表示為關(guān)于某

一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)最值的求解方法求得結(jié)果.

14.一條斜率不為0的直線/:以+公+。=0,令/(x,y)=av+8y+c,則直線/的方程可表示為

/(x,y)=O.現(xiàn)光線沿直線/射到x軸上的點(diǎn)A(p,O),反射后射到y(tǒng)軸上的點(diǎn)8(0,幻，再經(jīng)反射后沿直線

g(x,y)=0射出.若f(x,y)=0和g(x,y)=0中*和y的系數(shù)相同,則下列結(jié)論正確的是()

A.qf(p1)+pg(l,q)=0：

B.2/(p,y)+2g(x,q)=f(x,y)+g(x,y)

222

C.4(p+<7)=[/(l,l)+,g(l,l)]

D.\f(x,y)-g(x,y)\<\f(p,q)+g(p,q)\

【答案】AB

【分析】

首先利用對(duì)稱性，先求出/(x,y)="-網(wǎng)=0,和g(x,y)=q_r-py+pq=0,再根據(jù)選項(xiàng)，代入點(diǎn)的

坐標(biāo)，判斷選項(xiàng).

【解析】

由題意知/(x,y)=0的圖象過(guò)點(diǎn)(0，-。)和(P，0)，所以直線/：y="(x-P),f{x,y)=qx-

P

py-pq=o,又/(x,y)=0和g(x,y)=0中X和y的系數(shù)相同,且g(x,y)=O的圖象過(guò)(0應(yīng)),所以

g(x,y)=qx-py+pq=0.

對(duì)于Aqf(p,l)+pgQ,q)=q(qxp-pxl-pq)+p(qxl-pxq+pq)=0,所以A正確;

對(duì)于8,2/(p,y)+2g(x,q)=2(pq-py-pq)+2{qx-pq+pq)=-2py+2qx,

/(x，y)+g(x，y)=qx-py-pq+qx-py+pq=2qx-2py,所以2/(，？)+28(*，4)=/(羽丫)+8(%?),選項(xiàng)8

正確；

對(duì)于C,+=[(q-p-pq)+(q-p+pq)f=4(q-pfw4(p?+q?),所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，If(x,y)-g(x,y)H-2pq\,\f(p,q)+g{p,q)|=0,所以。錯(cuò)誤.

故選AB.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查有關(guān)直線的對(duì)稱性，本題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱性，分別求入射光線和反射光線所在直

線的方程.

三、填空題

15.已知兩條平行直線3x+4y+l=0與6x+ay+12=0間的距離為d,則9的值為.

d

【答案】8

【解析】

試題分析：直線6x+ay+12=0化為：3x+-|y+6=0.由于兩條平行直線3x+4y+l=0與6x+ay+12=0間的距離為

33

d,-1=-a，解得a.再利用兩條平行線之間的距離公式即可得出.

4—

2

解：直線6x+ay+12=0化為：3x+-|y+6=0.

:兩條平行直線3x+4y+l=0與6x+ay+12=0間的距離為d,

3衛(wèi)/

-a?解得a=8.

4-

.,號(hào)8.

故答案為8.

考點(diǎn)：兩條平行直線間的距離.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)度為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M是直線x+y-4=0

上的動(dòng)點(diǎn)，則|M4|+|MB|的最小值為.

【答案】4

【分析】

設(shè)點(diǎn)A（a,0）,3（0，。），則/+^二以求出點(diǎn)B關(guān)于直線x+y—4=0的對(duì)稱點(diǎn)為笈（x，y）,問題轉(zhuǎn)化

為要使|MA|+|M8|最短，則需|A8'|最短，再由兩點(diǎn)的距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.

【解析】

設(shè)點(diǎn)A30）,B（0,b）,則片+尸=9,點(diǎn)B關(guān)于直線x+y—4=。的對(duì)稱點(diǎn)為3（司,y），

?=1r…

貝“石，解得卜-一，

五+2比4=03=4

[22

所以要使|M4|+|MB|最短，則需|AB'|最短，

而|AB|=J（a-4+bJ+42=J（a+「）2-8（a+b）+32，

又a2+b?=9，設(shè)。=3（?。58,/?=35抽8,所以。+〃=3$拘夕+3（：0$8=35/^5m1（夕+7],所以

—3^2?a+/??3\/2>

所以當(dāng)a+Z?=4時(shí)（滿足一3及4a+/??3&），IA8'|取得最小值，最小值為|AB'|=,42-8x4+32=4,

所以|M4|+|M8|的最小值為4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查兩距離和的最小值問題，常采用求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，利用對(duì)稱的性質(zhì)解決線段

和的最小值問題.

17.若點(diǎn)P在直線x—2y+l=0上，點(diǎn)。在直線x-2y+3=0上，線段尸。的中點(diǎn)為加（事,先），且

-l<x0+y0<2,則總的取值范圍是.

[答案]1-8,-；U[2,+OO）

【分析】

先求出M的軌跡方程，結(jié)合-1<玉,+為42可求.

【解析】

設(shè)尸（為,凹），。（々,%），則%-2y+1=0,%-2必+3=0,

兩式相加可得玉+/-2（乂+%）+4=0,

由于PQ的中點(diǎn)為“（玉）,%）,所以與-2%+2=0,

且滿足不等式-14%+為42,

故M的軌跡是一條線段A3，

團(tuán)表示點(diǎn)M與原點(diǎn)連線的斜率,

由圖可知，或

%xo

x+y=2

由s“

[x-2y+2=0'

x+y=-1

由《，

[x-2y+2=0

￡

所以自A=2，kOH

4

所以妨個(gè)！

的取值范圍是(一8,一；U

所咤[2,+oo)

故答案為：^-00，--u[2,+oo).

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線的斜率，解題的關(guān)鍵是求出”的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為為或名■4%加，

/尤0

考查了數(shù)形結(jié)合的思想以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

x2+bx+2,x<0

18.設(shè)函數(shù)/(x)=(,,、，若兩條平行直線6x+8y+a=0與3x+外+11=0之間的距離為

|a-x|,x>0

a,則函數(shù)y=/(x)-ln(x+2)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

【答案】4

【分析】

利用兩條直線平行求出匕，利用兩平行直線之間的距離求出。，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可求得結(jié)果.

【解析】

因?yàn)橹本€6x+8y+a=0與3x+by+l1=0平行，

6311—

所以一一=一一，則匕=4,又2_,得。=2,

8b

x2+4x+2,x<0

則/(x)=<

12-x|㈤0

作出函數(shù)y=/(x)與y=ln(x+2)的圖象:

由圖可知，函數(shù)y=/(X)與)，=ln(x+2)的圖象有4個(gè)交點(diǎn),

所以函數(shù)y=/(%)—ln(x+2)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè).

故答案為：4

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(%)與y=ln(x+2)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解是解題關(guān)鍵.

四、解答題

19.己知直線4:6一2y+A-8=0依eR),/2:2x+y+l=0.

(I)若“〃2,求4，4間的距離；

(II)求證：直線4必過(guò)第三象限.

【答案】(I)也;(II)證明見解析.

【分析】

(I)根據(jù)"〃2,求出參數(shù)2=7,再根據(jù)平行線間的距離公式求出距離；

(II)求出直線4恒過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)在第三象限即可.

【解析】

(I)若“〃2，直線4：區(qū)一2y+Z-8=0(k€R),4：2x+y+l=0,

則有］k=學(xué)-9二k_平義，求得左=T,故直線4即：2x+y+6=0,

故4，4間的距離為3”=百.

(II)證明：直線《：依一2y+k-8=0(keR),即Z(x+l)-2y-8=0,

必經(jīng)過(guò)直線x+1=0和直線-2y-8=0的交點(diǎn)(-1,-4),而點(diǎn)(-1,-4)在第三象限,

直線4必過(guò)第三象限.

【點(diǎn)睛】

兩直線平行求參數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)直線是否有重合的情況.

20.求下列點(diǎn)到直線的距離：

(1)A(-2,3),113x+4y4-3-0；

(2)B(l,0),/：6r+y-6=0；

(3)C(l,-2),/:4x+3y=0.

97

【答案】(1)g;(2)0;(3)y

【分析】

由點(diǎn)到直線的距離公式對(duì)各小題進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】

|-2x3+3x4+3|9

(1)d=---.---——

5

|lxV3+O-V3|

(2)d==0；

|4xl+3x(-2)|_2

(3)cl

>/32+4r=5

21.如圖，已知直線4：x-2y+l=0與直線，2：x-2y+4=0,在4上任取一點(diǎn)A,在乙上任取一點(diǎn)2,

連接AB,取的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作4的平行線4,求4與4間的距離.

【答案】—

5

【分析】

APAQ1

過(guò)A做AC_U,于交&于E,根據(jù)三角形相似及題干條件，可得——=—=；,利用兩平行線間距離

ADAB3

公式，可得/,與12間的距離AD,進(jìn)而可求4與h間的距離AE

【解析】

過(guò)A做于￡>,交g于E,如圖所示：

Ar1

因?yàn)椤?〃，/兒，且由題意得——=一，

■'AB3

APAQ1

所以RfAABDsRjACE,所以一=—=—,

ADAB3

卜4|3亞

又直線4與4間的距離

A。#+(-2)2~5~

所以求4與13間的距離AE=；AD=W

22.已知直線2:尤一2y—8=0和4—2,0),8(2,4)兩點(diǎn),若直線/上存在點(diǎn)尸使得歸山+歸卻最小，求

點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(2,—3)

【分析】

先判斷兩點(diǎn)是在直線同側(cè)還是異側(cè)，再求A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)得解

【解析】

因?yàn)?-2-0-8)(2-8-8)〉0,所以A,B在直線同側(cè)，設(shè)點(diǎn)4-2,0)關(guān)于直線x-2y-8=0對(duì)稱的點(diǎn)坐

^-^-8=0

,2

標(biāo)為4(。,份，則［8,即4(2,—8),

-------=-2

、。+2

可知即三點(diǎn)A',P,8共線時(shí)，|PA|+|PB|最小，連接A3交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為

所求，?.?43直線方程x=2,聯(lián)立求得P點(diǎn)坐標(biāo)(2,-3).

7/s

23.已知三條直線h：2x-y+a=0(a>0),直線h：4x-2y-\=0和直線h：x+y-\=0,且I,和〃的距離是.

10

(1)求4的值.

(2)能否找到一點(diǎn)P,使得P點(diǎn)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①P是第一象限的點(diǎn)；②P點(diǎn)到h的距離是P點(diǎn)到L

的距離的g；③P點(diǎn)到//的距離與P點(diǎn)到人的距離之比是血：石？若能，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

137

【答案】(1)。=3；(2)P(-).

【分析】

(1)根據(jù)兩條直線是平行關(guān)系，利用兩條平行線的距離公式即可求得a的值.

(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，討論當(dāng)P點(diǎn)滿足②與③兩種條件下求得參數(shù)的取值，并注意最后結(jié)果的取舍.

【解析】

(1)/2的方程即為2x—y—；=0,

17

二。和〃的距離d=7亞，〃+一—.*.*6/>0,a=3.

2

(2)設(shè)點(diǎn)P(xo,yo),若P點(diǎn)滿足條件②，則P點(diǎn)在與h和/2平行的直線

lf:2x-y+c=0±,且,一3|_12，即c=身或c=〃.

國(guó)=5下26

.13…11八

??2xo-yo+—=?；?xo-yo+—=。.

26

若點(diǎn)P滿足條件③，由點(diǎn)到直線的距離公式內(nèi)一戰(zhàn)+3|=y/2-%+,

V5V5V2

.\xo-2yo+4=O或3xo+2=O.

由P在第一象限，???3M)+2=0不合題意.

131

聯(lián)立方程2xo-yo+耳=0和％o-2加+4=0,解得xo=-3,yo=5，應(yīng)舍去.

11137

由2xo-yo+—=0與xo-2yo+4=O聯(lián)立,解得xo=-jo=一.

6918

137

所以P(得77)即為同時(shí)滿足三個(gè)條件的點(diǎn).

91o

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與直線的平行關(guān)系、平行線間的距離等，關(guān)鍵計(jì)算量比較大，注意不要算錯(cuò)，屬于中檔題.

24.如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路/,湖上有橋AB^AB是圓O的直徑).規(guī)

劃在公路/上選兩個(gè)點(diǎn)尸、Q,并修建兩段直線型道路尸以QA.規(guī)劃要求:線段尸3、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O

的距離均不個(gè)于河。的半徑.已知點(diǎn)A、B到直線/的距離分別為AC和8。(C、。為垂足)，測(cè)得A8=10,

AC=6,BD=12(單位:百米).

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；

（2）在規(guī)劃要求下，P和。中能否有一個(gè)點(diǎn)選在。處？并說(shuō)明理由；

（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路P8和QA的長(zhǎng)度均為“（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離.

【答案】（D15（百米）；

（2）見解析；

（3）17+3后（百米）.

【分析】

解：解法一：

（1）過(guò)A作垂足為E.利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長(zhǎng)；

（2）分類討論P(yáng)和。中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.

（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P、。兩點(diǎn)間的距離.

解法二：

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)P和點(diǎn)8的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間距離公式可得道路PB的長(zhǎng);

（2）分類討論P(yáng)和0中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.

（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)。的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P、。兩點(diǎn)間的距離.

【解析】

解法一：

（1）過(guò)A作AE_LBO，垂足為E.

由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=8.

因?yàn)?/p>

84

所以cosZPBD=sinNABE

105

PB=—————=—=15

所以cosZPBD4

5

因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.

（2）①若尸在。處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)（除8,E）到點(diǎn)。的距離均小于圓。的

半徑，所以P選在。處不滿足規(guī)劃要求.

②若。在力處，連結(jié)AO,由（1）知A￡）=辦爐+由=io,

從而cosNBAD=一='>0,所以NBA。為銳角.

2ADAB25

所以線段AO上存在點(diǎn)到點(diǎn)。的距離小于圓。的半徑.

因此，。選在。處也不滿足規(guī)劃要求.

綜上，P和Q均不能選在。處.

（3）先討論點(diǎn)P的位置.

當(dāng)/OBP<90。時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)。的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)尸不符合規(guī)劃要求；

當(dāng)/O8電90。時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F,OF>OB,即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓0的半

徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.

設(shè)々為/上一點(diǎn)，且