復(fù)變函數(shù)論第一章

12024/1/1第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1復(fù)數(shù)§2復(fù)平面上的點(diǎn)集§3復(fù)變函數(shù)§4

復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)22024/1/1第一節(jié)復(fù)數(shù)1.虛數(shù)單位:對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定:一、復(fù)數(shù)的概念虛數(shù)單位的特性:2.復(fù)數(shù):32024/1/1

兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等.

復(fù)數(shù)z

等于0當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于0.注：實(shí)數(shù)可以比較大小,但復(fù)數(shù)不能比較大小.二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1.兩復(fù)數(shù)的代數(shù)和:2.兩復(fù)數(shù)的積:3.兩復(fù)數(shù)的商:4.共軛復(fù)數(shù):

實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).42024/1/16.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):例1解5.復(fù)數(shù)域:全體復(fù)數(shù)在四則運(yùn)算這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)下構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)域,記作C.實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域都是代數(shù)學(xué)中所研究的域的概念的實(shí)例.52024/1/1例2

證例3

解設(shè)62024/1/1三、復(fù)平面1.復(fù)數(shù)的模顯然下列各式成立72024/1/12.復(fù)數(shù)的輻角輻角不確定.輻角主值的定義:82024/1/192024/1/13.利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差4.復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致.|z1+z2|102024/1/15.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式112024/1/1z=x+iy=r(cosθ+isinθ)=reiθ輻角：任意（-∞，∞）的實(shí)數(shù)θ，

滿足rcosθ=x,rsinθ=y.

輻角主值：任意（-π，π]的實(shí)數(shù)θ，滿足rcosθ=x,rsinθ=y.122024/1/1例1解6.復(fù)數(shù)在幾何上的應(yīng)用舉例

下面例子表明,很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)確定它所表示的平面圖形。132024/1/1例1求下列方程所表示的曲線:解化簡(jiǎn)后得142024/1/11.乘積與商定理一

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.四、復(fù)數(shù)的乘冪與方根兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為注由于輻角的多值性,兩端都是無(wú)窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集.對(duì)于左端的任一值,右端必有值與它相對(duì)應(yīng).152024/1/1z1·z2=r1ei

θ1

·r2ei

θ2=r1r2ei

(θ1+θ2)z1/z2=r1ei

θ1

/r2ei

θ2=r1/r2ei

(θ1-θ2)162024/1/1定理二

兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.2.冪與根

n次冪:172024/1/1棣莫佛公式推導(dǎo)過(guò)程如下:棣莫佛公式根據(jù)棣莫佛公式,182024/1/1當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時(shí),這些根又重復(fù)出現(xiàn).從幾何上看,Argwk+1–Argwk=2π/n,k=0,1,2,…,n-1192024/1/1例1解即202024/1/11.2.1復(fù)平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念定義1.1鄰域:記作:或N

(z0)={z||z-z0|<

}記作：或N

0(z0)={z|0<|z-z0|<

}第二節(jié)復(fù)平面上的點(diǎn)集212024/1/1定義1.2聚點(diǎn)、外點(diǎn)、孤立點(diǎn)

如果z0屬于E，但不是E的聚點(diǎn)，則稱z0為E的孤立點(diǎn).

如果z0不屬于E，又不是E的聚點(diǎn)，則稱z0為E的外點(diǎn).z0為E的孤立點(diǎn)

>0:N

(z0)

E={z0}z0為E的外點(diǎn)

>0:N

(z0)

E=222024/1/1定義1.3內(nèi)點(diǎn)、開(kāi)集、邊界點(diǎn)、邊界、閉集:

如果E內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那末E稱為開(kāi)集.如果在z0的任意一個(gè)鄰域內(nèi),都有屬于

E

的點(diǎn),也有不屬于E的點(diǎn),則稱z0為E的邊界點(diǎn)。z0為E的內(nèi)點(diǎn)

>0:N

(z0)

E點(diǎn)集E的全體邊界點(diǎn)組成的集合稱為E的邊界.記為:

E若點(diǎn)集E的每個(gè)聚點(diǎn)都屬于E,則稱E為閉集；任何集合E的閉包一定是閉集.232024/1/1定義1.4有界集和無(wú)界集:zxy有界！o例1

圓盤(pán)N

(z0)={z||z-z0|<

}是有界開(kāi)集；閉圓盤(pán)是有界閉集。例2

集合,圓心它是的孤立點(diǎn)，是集合的聚點(diǎn)。242024/1/1定義1.5區(qū)域:

如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件,則稱它為一個(gè)區(qū)域.(1)D是一個(gè)開(kāi)集；(2)D是連通的,就是說(shuō)D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來(lái).D加上D的邊界稱為閉域。1.2.2區(qū)域與Jordan曲線記為

D＝D+

D

z1

z2

D說(shuō)明(2)區(qū)域邊界可能由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成.(1)區(qū)域都是開(kāi)的.以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界252024/1/1定義1.6連續(xù)曲線:平面曲線C的復(fù)數(shù)表示:C的實(shí)參數(shù)方程C的復(fù)參數(shù)方程起點(diǎn)z(

)C終點(diǎn)z(

)zxyCC的正向：起點(diǎn)終點(diǎn)o262024/1/1

沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C稱為簡(jiǎn)單曲線(或若當(dāng)(Jordan)曲線).重點(diǎn)重點(diǎn)重點(diǎn)換句話說(shuō),簡(jiǎn)單曲線自身不相交.簡(jiǎn)單曲線是z平面上的一個(gè)有界閉集.272024/1/1簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì)

若當(dāng)(Jordan)定理

任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成C,I(C),E(C)三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.滿足：I(C)E(C)邊界（1）I(C)是一個(gè)有界區(qū)域（稱為C的內(nèi)部）.（2）E(C)是一個(gè)無(wú)界區(qū)域（稱為C的外部）.（3）若簡(jiǎn)單折線P的一個(gè)端點(diǎn)屬于I(C)，另一個(gè)端點(diǎn)屬于E(C)

，則P必與C相交.（4）C是I(C)，E(C)

的公共邊界.282024/1/1定義1.7可求長(zhǎng)曲線:設(shè)連續(xù)弧C的參數(shù)方程為:任取實(shí)數(shù)列考慮C上對(duì)應(yīng)點(diǎn)列將它們用一折線連接起來(lái)，

有上界，則稱C為可求長(zhǎng)的，上確界稱為C的長(zhǎng)度。

的長(zhǎng)度為。若對(duì)所有數(shù)列，光滑曲線C:特點(diǎn)

（1）光滑曲線上的各點(diǎn)都有切線

（2）光滑曲線可以求長(zhǎng)292024/1/1

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線.分段光滑曲線必是可以求長(zhǎng)的，但簡(jiǎn)單曲線或簡(jiǎn)單閉曲線卻不一定可求長(zhǎng)。單連通域與多連通域的定義:

復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B,如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域.一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域簡(jiǎn)單閉曲線的方向：沿著一條簡(jiǎn)單閉曲線C前行時(shí)，C的內(nèi)部總在左側(cè)，此方向稱為曲線C的正向，否則，稱為負(fù)向。oxy302024/1/1例1

指明下列不等式所確定的區(qū)域,是有界的還是無(wú)界的,單連通的還是多連通的.解無(wú)界的單連通域(如圖).是角形域,無(wú)界的單連通域(如圖).312024/1/1無(wú)界的多連通域.表示到1,–1的距離之和為定值4的點(diǎn)的軌跡,是橢圓,有界的單連通域.322024/1/1兩部分都是有界的單連通域.332024/1/11.定義:第三節(jié)復(fù)變函數(shù)2.單(多)值函數(shù)的定義:3.函數(shù)的定義域和值域:1.3.1復(fù)變函數(shù)的定義4.復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系:342024/1/11.3.2映射的概念1.引入:2.映射的定義:352024/1/11.3.2映射的概念xuGG*Z平面zwW=f(z)vyW平面362024/1/13.幾個(gè)特殊的映射:且是全同圖形.372024/1/1根據(jù)乘法公式,映射382024/1/1由于w=z2

=

(x+iy)2=x2-y2+i2xy,于是

u=x2-y2,v=2xyxyOz1z2w2z3w3w1uvO392024/1/1

將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個(gè)長(zhǎng)方形.uv402024/1/1412024/1/1xy單位圓z,|z|=1z1,|z1|=1z,|z|<1z1,|z1|>1422024/1/14.反函數(shù)的定義:根據(jù)反函數(shù)的定義,當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí),今后不再區(qū)別函數(shù)與映射.例設(shè)w=f(z)=z2

則稱為w=z2的反函數(shù)或逆映射為多值函數(shù),2支.因?yàn)椴煌脑髗0,z1對(duì)應(yīng)共同的象442024/1/1復(fù)變函數(shù)（雙值函數(shù)）xuGG*Z平面z1w1w1=f1(z1)vyW平面w2w2=f2(z1)z2w3z3w2=f1(z3)W3=f1(z2)W1=f2(z2)w=f(z)z=f-1(w)反函數(shù)z3=f1-1(w2)z1=f2-1(w2)452024/1/11.3.3復(fù)變函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義:注意:462024/1/1uvwoAxyzo472024/1/1證

必要性xyzo證畢。482024/1/1f(z)A(≠0,≠∞),當(dāng)zz0|f(z)||A|,Argf(z)ArgA當(dāng)zz0uvwoAxyzo492024/1/12.極限的計(jì)算性質(zhì)定理一證(1)

必要性.有502024/1/1(2)充分性.則對(duì)于任意[證畢]512024/1/1定理二與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似.

以上定理用極限定義證!522024/1/1證(二)例1證(一)根據(jù)定理一可知,532024/1/1例2證根據(jù)定理一可知,542024/1/11.連續(xù)的定義:

連續(xù)的三要素:（1）

f(z)在z0處有定義

（2）f(z)在z0處有極限

（3）f(z)在z0處的極限值等于函數(shù)值1.3.4復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性552024/1/1定理1.3例如,2.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)562024/1/1特別地，(1)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)(2)有理分式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的.例1

證設(shè)由于例2

證明f(z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)證xy(z)ozz582024/1/13.有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)>0,>0,z1,z2

E,當(dāng)|z1-z2|<時(shí),有|f(z1)-f(z2)|<.定理1.7

設(shè)E是有界閉集，f(z)

C(E),則有：（1）f(z)在E上有界：（2）|f(z)|在E上有最大（小）值，即：（3）

f(z)在E上一致連續(xù)，即例3證592024/1/14.復(fù)變函數(shù)的極限性質(zhì)定理1(Bolzano-Weierstrass聚點(diǎn)定理)每一個(gè)有界無(wú)窮點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。定理2(閉集套定理)定理3(Heine-Borel有限覆蓋定理)602024/1/1一