高中數(shù)學必修五求數(shù)列求和的方法(最全)教案課時訓練練習教案課件

PAGE求數(shù)列前n項和的8種常用方法一.公式法（定義法）：1.等差數(shù)列求和公式：特別地，當前項的個數(shù)為奇數(shù)時，，即前項和為中間項乘以項數(shù)。這個公式在很多時候可以簡化運算；2.等比數(shù)列求和公式：（1），；（2），，特別要注意對公比的討論；3.可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；4.常用公式:（1）；（2）；（3）；（4）.例1已知，求的前項和.解：由由等比數(shù)列求和公式得＝＝＝1－例2設(shè)，,求的最大值.解：易知，∴＝＝＝∴當，即時，.二.倒序相加法:如果一個數(shù)列，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法。如：等差數(shù)列的前項和即是用此法推導(dǎo)的，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個.例3求的值解：設(shè)…………①將①式右邊反序得…………②（反序）又因為①+②得（反序相加）＝89∴S＝44.5例4函數(shù)，求的值.三.錯位相減法：適用于差比數(shù)列（如果等差，等比，那么叫做差比數(shù)列）即把每一項都乘以的公比，向后錯一項，再對應(yīng)同次項相減，即可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.如：等比數(shù)列的前項和就是用此法推導(dǎo)的.例5求和：…………①解：由題可知，{}的通項是等差數(shù)列的通項與等比數(shù)列{}的通項之積設(shè)………………②（設(shè)制錯位）①－②得（錯位相減）即：∴變式求數(shù)列前項的和.解：由題可知，的通項是等差數(shù)列的通項與等比數(shù)列{}的通項之積設(shè)…………①………②（設(shè)制錯位）①－②得，（錯位相減）∴四.裂項相消法:即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有限幾項，可求和。這是分解與組合思想（分是為了更好地合）在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.適用于，其中是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。其基本方法是.常見裂項公式：（1），；（的公差為）；（2）.（根式在分母上時可考慮利用分母有理化，因式相消求和）；（3）；（4）；；（5）；（6）；（7）；（8）常見放縮公式：.例6求數(shù)列的前項和.解：設(shè)（裂項）則（裂項求和）＝＝例7求和.例8在數(shù)列中，，又，求數(shù)列的前項的和.解：∵∴（裂項）∴數(shù)列的前項和（裂項求和）＝＝例9求證：解：設(shè)∵（裂項）∴（裂項求和）＝＝＝＝∴原等式成立變式求.解：五.分段求和法：例10在等差數(shù)列中，求：（1）數(shù)列前多少項和最大；（2）數(shù)列前項和.六.分組求和法:有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，可把數(shù)列的每一項分成多個項或把數(shù)列的項重新組合，使其轉(zhuǎn)化成常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例11求數(shù)列的前項和：，…解：設(shè)將其每一項拆開再重新組合得（分組）當a＝1時，＝（分組求和）當時，＝.例12求數(shù)列的前項和.解：設(shè)∴＝將其每一項拆開再重新組合得（分組）＝＝（分組求和）＝變式求數(shù)列的前項和.解：七.并項求和法：在數(shù)列求和過程中，將某些項分組合并后即可轉(zhuǎn)化為具有某種特殊的性質(zhì)的特殊數(shù)列，可將這些項放在一起先求和，最后再將它們求和，則稱之為并項求和.形如類型，可采用兩項合并求.利用該法時要特別注意有時要對所分項數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)進行討論.例13求cos1°+cos2°+cos3°+…+cos178°+cos179°的值.解：設(shè)Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+…..+cos178°+cos179°∵（找特殊性質(zhì)項）∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）++（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0例14數(shù)列：，求.解：設(shè)＝由可得……∵（找特殊性質(zhì)項）∴＝（合并求和）＝＝＝＝5例15在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì)（找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì)得（合并求和）＝＝＝10變式求和.八.利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前項和，是一個重要的方法.例16求之和.解：由于（找通項及特征）∴＝（分組求和）＝＝＝例17已知數(shù)列：的值.解：∵（找通項及特征）＝（設(shè)制分組）＝（裂項）∴（分組、裂項求和）＝＝變式求的前項和.解：∵以上8種方法雖然各有其特點，但總的原則是要善于改變原數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式或進行消項處理來解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解.下課啦，咱們來聽個小故事吧:活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來。”

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請把手機借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個電話，告訴她做飯時別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內(nèi)容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關(guān)水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的?！?/p>

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個同學太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應(yīng)該把水龍頭關(guān)上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關(guān)就主動關(guān)上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關(guān)會怎樣做呢？

齊：主動關(guān)好。

小記者：同學們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談?wù)労脝幔?/p>

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費一滴水。

小記者：請這位同學談?wù)労脝幔?/p>

答：今天參加班會我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個人做起。我想把每個廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務(wù)先走了，同學們再見！

水跑上來說：同學們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護我們?nèi)祟愖约骸?/p>

動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護你的！

花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因為我太高興了，今后還請你們多關(guān)照我呀！

主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學們，今天我們召開的班會非常生動，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學們能加倍珍惜它，做到節(jié)約一滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會到此結(jié)束。

6.活動效果：

此次活動使學生明白了節(jié)約用水的道理，浪費水的現(xiàn)象減少了，宣傳節(jié)約用水的人增多了，人人爭做節(jié)水小標兵

活動目的：教育學生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學們看得可認真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。

（